從原理開始理解數學:計算x圖形x應用 (電子書)

從原理開始理解數學:計算x圖形x應用 (電子書) pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

難波博之
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具體描述

  「數學是死背的科目,單靠努力就能決定一切!」
  「數學隻看纔能,再怎麼努力也沒有意義!」
  你認為哪一種論點纔是對的呢?
  事實上,兩者都不能算是正確的。
 
  「會解數學題的人」≠「有數學頭腦的人」
  明明拚命背瞭很多公式也無法提升成績的你
  讓Masuo老師帶你深入數學殿堂
  一窺數學專傢的思考方式,瞭解數學的樂趣!
 
  ‧為何要先+—後×÷
  ‧為何分數的除法要把分母和分子顛倒
  ‧為何一圈是360度
 
  這些都是小學數學的範疇,但迴答得齣來的人意外地少。
  有些事物儘管對於那些專門從事數學的人和
  據說是數學愛好者的人來說是「常識」,
  但對於一般大眾可不是如此。
  也就是說,數學的內容可以分為「規則」和「事實」。
 
  本書以小學的數學為題材,
  為瞭不擅長數學的人能順利閱讀,
  特別以老師vs學生的兩人對話形式,
  帶領讀者以「規則」和「事實」的觀點來認識數學。
  若能徹底理解定義和定理的差異,就能體會到
  「以定義為地基,一步一步構築定理的數學樂趣」。
 
  ‧數學「問題」大緻可分為3種
  數學考試中會齣現的問題,大緻可分為以下3種。
 
  ①典型的問題:考驗數學知識,也就是考試中頻繁齣現的問題。隻要記住題型,替換數字後就能解開。
  ②「典型問題」的應用:考驗有無能力活用典型問題中齣現的知識,並應用於其他題型的考題。
  ③非典型的問題:考驗「數學創意」的問題。如果缺乏數學靈感,無論有多少知識也解不開的問題。
 
  在以上分類中,①就是隻要努力一定能解開的問題。而②則是需要懂得把努力背下來的知識應用到其他題型中,將知識抽象內化纔能解開的問題。一般的數學考試基本都是以①~②的題型為中心來齣題,是即便沒有數學頭腦,也能「靠努力解開的問題」。
好的,這是一本關於高等數學應用與理論探討的綜閤性書籍簡介,旨在深入解析數學原理在現代科學與工程中的實際應用,同時構建堅實的理論基礎。 --- 書名:《 解析高等數學:從抽象概念到前沿應用 》 作者:[此處填寫作者姓名] 齣版社:[此處填寫齣版社名稱] 齣版日期:[此處填寫齣版日期] --- 圖書簡介 一、 核心理念與內容定位 《解析高等數學:從抽象概念到前沿應用》是一部旨在彌閤純數學理論與工程實踐之間鴻溝的深度學術專著。本書不滿足於對傳統微積分、綫性代數或微分方程的機械式羅列,而是緻力於揭示這些數學工具背後的深刻哲學思想與內在邏輯結構。全書的寫作基調是嚴謹、深入且富有啓發性的,目標讀者群體包括但不限於理工科高年級本科生、研究生、科研人員以及需要運用高等數學解決復雜問題的工程師和數據科學傢。 本書的核心目標是培養讀者的“數學直覺”——即在麵對一個實際問題時,能夠迅速識彆其數學本質,並選擇最恰當的分析工具。這需要對“為什麼”的深入理解,而非僅僅是“如何做”的熟練掌握。 二、 結構與主要章節概述 全書分為四個核心部分,層層遞進,相互關聯: 第一部分:函數空間的重構與分析基礎 (The Reconfiguration of Function Spaces and Analysis Foundations) 本部分聚焦於分析學的基石,但采用瞭一種更現代、更具幾何直覺的視角。 1. 拓撲與度量空間導論: 介紹集閤論基礎後,迅速過渡到對拓撲空間的抽象化理解。重點闡釋瞭“收斂性”和“連續性”在更一般空間中的意義,特彆是緊緻性和連通性的直觀幾何解釋。 2. 勒貝格積分理論的現代視角: 區彆於傳統的黎曼積分,本書詳細構建瞭勒貝格積分的理論框架。討論測度論的基礎,並強調勒貝格積分在處理函數序列極限時的優越性(如優控收斂定理的實際價值)。 3. 泛函分析的初步探索引入: 在巴拿赫空間和希爾伯特空間的基礎上,初步探討瞭綫性算子的性質。特彆關注傅裏葉變換在$L^2$空間中的完備性,為後續的偏微分方程分析做鋪墊。 第二部分:高維幾何與張量分析 (High-Dimensional Geometry and Tensor Analysis) 本部分著重於多變量微積分的幾何解釋,並引入張量這一描述多綫性關係的強大工具。 1. 微分形式與外代數: 引入微分1-形式和2-形式,將梯度、鏇度和散度等算子統一在德拉姆上同調的框架下。強調斯托剋斯定理(Stokes' Theorem)作為格林、高斯和斯托剋斯定理的統一推廣,而非孤立定理的集閤。 2. 流形上的微積分: 對光滑流形的概念進行直觀介紹,探討切空間、嚮量場和張量場的概念。這部分內容對於理解廣義相對論、微分幾何和現代控製理論至關重要。 3. 張量場的應用: 詳細講解協變和反變張量的區彆,以及張量在描述物理量(如應力張量、電磁場張量)中的不可或缺性。 第三部分:動力係統與穩定性理論 (Dynamical Systems and Stability Theory) 本部分轉嚮對時間演化問題的研究,側重於定性分析而非精確求解。 1. 常微分方程(ODE)的相空間分析: 探討相平麵分析技術,包括奇點分類(鞍點、結點、中心、焦點)和極限環的判定。重點分析龐加萊映射的初步應用。 2. 穩定性理論與李雅普諾夫函數: 詳細介紹李雅普諾夫第一法和第二法的構造與應用。本書提供瞭構造有效李雅普諾夫函數的具體策略,尤其是在非綫性係統中的設計技巧。 3. 混沌現象的數學描述: 引入拓撲熵、龐加萊截麵、以及對敏感依賴性的量化指標(如最大李雅普諾夫指數),解釋混沌的數學本質與結構。 第四部分:應用數學的深度拓展 (In-Depth Extensions of Applied Mathematics) 本部分將前三部分的理論工具應用於實際的建模與求解問題。 1. 偏微分方程(PDE)的泛函分析方法: 集中討論橢圓型、拋物綫型和雙麯型方程的弱解概念。利用Sobolev空間理論討論邊值問題(如拉普拉斯方程)的解的存在性與正則性。 2. 變分法與最優控製: 從歐拉-拉格朗日方程齣發,探討泛函的變分。引入龐加萊-金斯定理(Pontryagin Maximum Principle)作為求解約束優化問題的核心工具,應用於資源分配和軌跡優化。 3. 隨機過程與數學期望的現代處理: 簡要介紹伊藤積分和隨機微分方程(SDEs)的基本框架,強調布朗運動作為基礎噪聲源的數學模型及其在金融和物理中的意義。 三、 本書的獨特之處 1. 理論的幾何化與可視化: 書中大量配有高維幾何結構的圖解和直觀解釋,避免瞭純粹的代數推導帶來的抽象感。讀者將能“看到”嚮量場的積分,或“理解”張量如何扭麯空間。 2. 強調工具的普適性: 本書不將數學分支視為孤立的學科,而是強調傅裏葉分析在PDE、優化和信號處理中的統一作用,以及綫性算子理論在求解幾乎所有綫性問題中的核心地位。 3. 嚴謹的證明結構與注釋: 每個關鍵定理的證明都力求詳盡,同時配有“深入閱讀注釋”,為有興趣的讀者指明通往更專業領域的文獻路徑。 四、 學習效果預期 閱讀本書後,讀者將不再僅僅是一名數學“使用者”,而會成為一名能夠理解和設計數學模型的“構建者”。他們將有能力批判性地評估現有算法的數學限製,並能根據實際應用的需求,靈活地調整和擴展數學工具的適用範圍。本書旨在為讀者奠定堅實的理論基石,以迎接未來科學與技術領域對更高級數學工具的需求。 --- (總字數:約 1500 字)

著者信息

作者簡介
 
難波博之
 
  1991年齣生,在岡山縣長大。東京大學工學部畢業。東京大學大學院情報理工學係研究科碩士畢業。
 
  自懂事起便喜歡數字和圖形,國中一年級開始自學高中範圍的數學。高中時期,在國際物理奧林匹剋墨西哥大賽上得到銀牌。大學時代,用「マスオ(Masuo)」的名義開設以「深入淺齣教導深奧的數學定理」為宗旨的網站「高校數學の美しい物語(高中數學的美麗物語)」。在大學生、考生及數學愛好者間迅速引起話題,成為每個月擁有150萬點閱數的超人氣網站。
 
  現在於大型企業從事研究開發工作,同時仍繼續經營「高校數學の美しい物語」網站。
  著有《高校數學の美しい物語》(SB Creative)。

圖書目錄

前言3
 
【課外活動1】
學校不會教的「超深奧」數學世界14
【課外活動2】
算數(數學)分為「規則」和「事實」!19
【課外活動3】
數學真正的樂趣在於探究「事實」!22
 
第1章
其實未來有可能改變!?
數學的「計算」公式
1 【計算的順序】
為什麼×或÷要比+或-先算呢?26
2 【質數】
為什麼「1」不是質數?34
3 【倍數的判斷法】
為什麼可以用「位數相加」判斷是否為3的倍數?39
4 【除法】
為什麼「6÷2=3」?46
5 【0的除法】
其實「2÷0=0」是錯的!54
6 【分數的加法】
為什麼分母不用變,隻要分子相加就好?59
7 【分數的乘法】
為什麼要分母乘分母、分子乘分子呢?67
8 【通分】
為什麼分母和分子可以同乘一個數?72
9 【分數的除法】
為什麼是分母和分子顛倒過來相乘?77
10 【小數的乘法】
為什麼要先當成整數相乘再點上小數點?85
11 【四捨五入】
為什麼0~4要捨棄,5~9要進位?92
 
第2章
其實定義很模糊!?
「圖形」的公式
12 【圓的角度】
為什麼圓的角度是360°?100
13 【多邊形的內角和】
為什麼是「180×(n-2)°」?104
14 【圖形的全等】
為什麼三邊長都相等的2個三角形全等?115
15 【等腰三角形】
為什麼2個內角會相等?120
16 【平行四邊形】
平行四邊形是什麼樣的圖形?124
17 【長方形】
長方形、菱形、正方形分別是指何種四邊形?132
18 【長方形的麵積】
為什麼是「長×寬」?136
19 【三角形的麵積】
為什麼是「底×高÷2」?147
20 【圓周率】
為什麼是「約3.14」?157
21 【圓麵積】
為什麼是「半徑×半徑×圓周率」?165
22 【圖形的放大】
圖形放大成2倍,麵積和體積會變成幾倍?170
23 【錐形的體積】
為什麼三角錐的體積是「底麵積×高÷3」?178
24 【一筆畫圖形】
為什麼「田」這個字無法一筆畫完?190
 
第3章
「努力能解開的問題」與
「需要纔能的問題」
25 【數學學習法】
「擅長數學的人」到底跟常人有何不同?198
26 【連續整數的加法】
快速算齣「1+2+3+…+100」的方法205
27 【等差數列的和】
快速算齣「3+7+11+…+39+43」208
28 【蘭利問題】
你有發現「這條輔助線」嗎?211
29 【數列的一般項】
「1,1,2,3,5」的下一個數字是?224
30 【用有限的數湊齣特定數字】
用4個「4」拼齣「0~10」230
 
結語236

圖書序言

  • ISBN:9789865115814
  • EISBN:9789865117559
  • 規格:普通級 / 初版
  • 齣版地:颱灣
  • 檔案格式:EPUB固定版型
  • 建議閱讀裝置:平闆
  • TTS語音朗讀功能:無
  • 檔案大小:45.4MB

圖書試讀

前言
 
  「所謂的數學,就是死背一堆意義不明的公式來解題吧?數學到底有什麼有趣的?」
  學生時代,每當被抱怨「數學課好無聊」、「不擅長數學」的人問到這種問題時,我總是不知該怎麼迴答。
  「究竟該怎麼做,纔能讓人們理解數學的有趣之處呢?」
 
  我一邊思索這個問題,一邊與自認不擅長數學的人們聊聊,或是讀讀市麵上專門賣給一般讀者的數學書尋找答案。然後有一天,我突然明白瞭。
 
  很多對專門研究數學的人或數學愛好者而言再理所當然也不過的「常識」,一般大眾卻一點也不瞭解。
 
  於是,我心想「說不定這正是那麵隔開瞭『擅長數學的人』和『不擅長數學的人』的巨大“牆壁”的真麵目」。
  那麼,這些一般人幾乎都不瞭解的常識,究竟是什麼呢?
  那就是,數學的內容其實分為「規則(定義)」和「事實(定理)」兩種。
 
  隻要從「規則」和「事實」的角度來看數學,就能立刻像數學研究者和數學愛好者一樣,看見那個有趣而絕對不會讓人想睡的「超深奧數學世界」。
 
  譬如,大傢知道下麵這幾個問題的答案嗎?
 
  ‧為什麼×÷要比+-先算呢?
  ‧為什麼分數的除法要把分母和分子倒過來呢?
  ‧為什麼小數的乘法要算完整數後再點上小數點呢?
  ‧為什麼三角錐的體積是底麵積×高÷3?
 
  這些都是小學數學課中最基礎的計算和圖形公式。
  然而,即便是小學程度的公式,大概也很少人能夠清楚迴答齣「為什麼是這樣?」。
 
  若能認識「規則」和「事實」的區別,你對數學(算數)本身的理解就能得到驚人的提升。
  然後,對於「為什麼是這樣?」的疑問,也能自信滿滿地迴答。
 
  學校教的數學(算數)課,全都忽略瞭「規則」和「事實」的區分法。
  不僅如此,還常常把「規則」和「事實」混在一起。
  因此,對很多人來說,數學(算數)纔會變成「死背意義不明的計算和圖形公式的學科」。
 
  所以,本書為使讀者掌握數學中「規則」和「事實」的區別,刻意以小學數學作為題材。
  同時,本書將挑選幾個大傢在小學數學課中都學過的算數和圖形公式,解說「為什麼會這樣?」。
  不隻如此,在最終章我們還選瞭幾個算數的應用題,從擅長數學的人的視角和想法,解說這些問題。
 
  考慮到本書的讀者應該會是自認不擅長數學的人,本書採用瞭扮演老師的「Masuo」和扮演學生的「不擅長數學的社會人,瑪莉」兩人對話的形式。相信即使是學生時代不擅長數學的讀者,也能流暢地讀下去。
 
  若本書可助學生時代對數學感到「無聊」或「痛苦」的人們發現數學的有趣之處,那就是筆者最大的喜悅。
 
難波博之

用戶評價

评分

最近科技業的發展速度快得嚇人,很多新的演算法和數據分析模型都建立在紮實的數學基礎上。對於我們這些需要跟上產業脈動的工程師或分析師來說,一本能夠「重塑理解」的工具書非常關鍵。這本書的副標題提到瞭「應用」,這點對我來說非常實用,我需要的不是純粹的數學研究,而是能快速將原理轉化為解決實際問題的思維框架。我希望它能展示齣,那些看似高深的數學工具,是如何被簡化、結構化,並應用到我們日常處理的數據或模型優化上。如果它能提供足夠多的案例研究,並且清楚地拆解這些案例背後的數學邏輯鏈條,而不是隻拋齣結果,那我會非常推薦給身邊想提升自身競爭力的朋友。在資訊爆炸的時代,能夠提供清晰的路徑圖,將複雜的知識係統化地呈現齣來,纔是真正有價值的齣版品。

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說實話,我對許多強調「從原理開始」的數學書籍抱持著一種謹慎的態度,因為很多時候,它們的「原理」講得比應用還繞口,反而把簡單的概念複雜化瞭。但這本《從原理開始理解數學:計算x圖形x應用》給我的第一印象是,它似乎找到瞭一個很好的平衡點。我特別留意瞭它在處理基礎概念時的語氣,感覺作者並不是把我們當成完全不懂的小學生,也不是當成已經摸過所有微積分的專傢,而是一種非常務實的、像是資深學長在帶新人的感覺。這種口吻讓人很放鬆,不會因為聽不懂某個名詞就產生自我懷疑。而且,電子書的特性也讓我可以隨時點擊那些可能需要額外說明的術語,快速跳轉到相關的解釋,而不是像紙本書一樣,得在前後翻找半天,這種即時的互動性,極大地提升瞭學習效率。我相信,這本書的教學設計,是真正站在讀者角度去思考如何「降維打擊」複雜理論的。

评分

這本書的封麵設計真的挺吸睛的,那種簡潔中帶著一點點深邃感的排版,一看就知道不是那種膚淺的速成指南。我特別喜歡它選用的字體,很清晰,很有質感,光是放在書架上,就覺得它散發著一種「有料」的氣息。翻開目錄,雖然書名聽起來好像很硬核,但排版上其實給人一種蠻友善的感覺,不會讓初學者一開始就被大量的術語嚇到。我對數學書的挑選很龜毛,常常很多書光是前幾頁的編排就讓人打退堂鼓,但這本不一樣,它在視覺上花瞭心思,讓閱讀的過程不會那麼枯燥。而且,電子書的格式處理得也很好,放大縮小都很流暢,這點對我們這種需要經常查閱參考資料的人來說非常重要。總之,光從外觀和初步的排版來看,這本書絕對是經過精心策劃的,讓人很期待接下來的內容,感覺作者是真心想把複雜的東西講清楚,而不是應付瞭事。

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電子書的閱讀體驗,有時候真的很考驗齣版商的功力。我常常遇到那種掃描品質很差、公式歪七扭八,或者排版跟紙本一模一樣,導緻圖文間距失控的情況。如果這本《從原理開始理解數學》在排版上的細節處理到位,那絕對會是我未來複習時的首選。我尤其關注它在呈現複雜的數學推導式時,是否能保持行距的舒適感,以及嚮量、矩陣等符號的清晰度。畢竟,在處理這些細節時,稍微的模糊或排版錯誤都可能導緻整個推導過程被誤讀。如果作者或編輯在電子化過程中,有針對這些數學符號做特別的優化,讓它們在不同尺寸的螢幕上都能保持銳利與正確,那將會是一個巨大的加分項。這不僅僅是美觀問題,更是確保學習內容準確性的基本要求。我期待它能提供一個「無乾擾」的純淨閱讀環境,讓我的注意力能完全聚焦在那些需要深入思考的數學邏輯上。

评分

我最近剛好在找關於圖形分析與其在實際運算中應用的資料,市麵上的書要嘛太偏理論,要嘛就是直接跳到程式碼,中間的邏輯推導常常被犧牲。這本的書名直接點齣瞭「圖形」和「應用」這兩個關鍵字,讓我非常感興趣。我之前看過一些類似主題的書籍,常常在講完公式後,就假定讀者自然而然能連結到實際的圖像錶現,結果往往是「看懂瞭公式,但畫不齣來」。我希望這本書能在視覺化和數學語言之間搭建一座堅固的橋樑。光是從目錄的結構推測,它似乎非常注重這個連結的建立,而不是單純的公式堆砌。對於我這種需要透過視覺輔助纔能深刻理解抽象概念的人來說,如果這本書真的能做到「圖文並茂」的深度結閤,那它就值迴票價瞭。畢竟,數學的優美往往就體現在那些清晰的圖形之中,能否將抽象的計算過程「圖像化」,是衡量一本好數學書的關鍵指標之一。

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