差和分与微积分 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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本书是杨维哲教授《资优微积分》课程讲义的一部分。

　　本书只有一个主题和一个想法，这个主题就是「差和分法」，而贯穿本书的一个想法就是「类推」。

　　内容除了微积分的复习及补充以外，最主要是阶乘函数，从阶乘数列推广到阶乘函数是「从离散到连续的类推」最重要的一个例子。

作者简介

杨维哲

着名的数学学者及教育家。在联考时代曾担任多次大学联考闱场闱长。
致力推广台语，并以台语教授数学，让人津津乐道。
把教书当成一门表演艺术，上课方式随性自由，自我风格强烈。

现职：国立台湾大学数学系名誉教授
学历：普林斯顿大学数学博士
经历：国立台湾大学数学系专任教授

好的，这是一份关于一本未提及“差和分与微积分”内容的图书简介，内容力求详尽且自然流畅，不包含任何提及原书名的信息。 《逻辑之境：现代数学的基石与思维的构造》 内容简介 本书深入探讨了现代数学的哲学基础、逻辑结构及其在跨学科领域中的应用。我们聚焦于数学理论的内在一致性、公理化方法的发展历程，以及这些抽象概念如何重塑我们对客观世界的理解。这不是一部关于计算技巧的教科书，而是一场关于数学思维方式的深度探索。 第一部分：公理的起源与演绎的艺术 在本书的开篇，我们追溯了数学思想从古希腊几何学到现代集合论的演变。欧几里得的《几何原本》不仅是几何学的范本，更是一种严谨的演绎推理的典范。我们将详细分析其公理体系的构建方式，并探讨后来的数学家如何质疑和拓展这些基础。 我们探讨了非欧几何的出现，这是人类理性边界被拓展的里程碑事件。双曲几何和椭圆几何的发现，迫使数学家重新审视“空间”和“直线”的传统定义，证明了仅仅依靠直觉是不足以构建完整数学体系的。这种对基础的深刻反思，直接催生了对形式系统（Formal Systems）的严格要求。 随后，本书将重点介绍逻辑学在数学中的核心地位。从莱布尼茨的“通用语言”梦想，到布尔代数对逻辑运算的代数化，再到弗雷格对数学语言进行彻底形式化的努力，我们清晰地勾勒出数学如何逐步摆脱自然语言的模糊性，迈向纯粹符号操作的阶段。我们将详细阐述命题演算和谓词演算的基本规则，展示它们如何成为所有现代数学证明的骨架。 第二部分：无穷的悖论与集合的构造 理解“无穷”是现代数学的核心挑战之一。本书将避开简单的计数方法，转而深入研究十九世纪末期集合论的革命性进展。康托尔关于不同“大小”无穷的发现，彻底颠覆了人们对无限概念的直觉认知。我们将细致解析良序（Well-ordering）、良基（Well-founded）以及超限归纳法（Transfinite Induction）的构造性论证，说明这些工具如何使数学家能够有条不紊地处理无限集合。 然而，集合论的强大也带来了深刻的悖论。罗素悖论的出现，如同黑天鹅事件，暴露了朴素集合论的内在矛盾。我们不会简单罗列这些悖论，而是将重点放在数学家为应对危机所做的努力上。这部分将详细分析三种主要的应对策略： 1. 类型论（Theory of Types）： 考察怀特海和罗素如何通过限制集合的构造规则来规避自我指涉的陷阱。 2. 公理化集合论（Axiomatic Set Theory）： 重点介绍策梅洛-弗兰克尔集合论（ZFC）的公理体系，阐释每一个公理（如分离公理、替换公理、外延公理）在保证系统稳定性和表达力方面的独特作用。 3. 形式主义的局限： 讨论哥德尔不完备性定理对形式化数学哲学的根本性冲击，揭示任何足够强大的形式系统都必然包含不可判定的命题。 第三部分：结构、关系与抽象的统一 现代数学的强大在于其强大的抽象能力，即将看似无关的领域通过共同的结构联系起来。本书的第三部分转向代数结构和拓扑学的视角，展示“关系”如何比“对象”本身更为重要。 我们将引入抽象代数的基本概念，重点不在于计算，而在于理解结构。群（Group）、环（Ring）和域（Field）不再仅仅是数系的推广，而是研究对称性、守恒性和变换规律的框架。例如，我们将通过伽罗瓦理论的视角，探讨群论如何回答了五次及以上方程是否存在根式解的根本问题。 紧接着，我们探索拓扑学，即研究空间在连续形变下保持不变的性质的学科。我们关注的是“连通性”、“紧致性”和“同胚”的概念，这些概念允许我们将几何直觉抽象化为纯粹的关系网络。例如，莫比乌斯带和克莱因瓶的分析，将展示拓扑学如何揭示我们日常几何认知背后的深层结构。 第四部分：逻辑与现实的交汇 在全书的收尾，我们将探讨数学逻辑在当代科学，特别是计算机科学和物理学中的应用。我们将讨论可计算性理论（Computability Theory）与图灵机模型的关系，探究“什么是可计算的”这一问题的哲学和技术意义。这种对计算本质的探究，是理解现代信息时代底层逻辑的关键。 最后，本书将回顾数学作为一种人类活动的本质：它究竟是一种发现的活动，揭示了客观存在于宇宙中的真理；还是一种发明的创造，是人类心智构建的、具有内在美感的完美结构。通过对数学史上关键争论（如直觉主义与逻辑主义的对立）的梳理，我们试图引导读者形成自己对数学本质的深刻认识。 目标读者 本书适合对数学哲学、逻辑基础、抽象结构有浓厚兴趣的读者。无需深厚的计算背景，但要求具备清晰的逻辑思维能力和对抽象概念的接受度。它旨在为那些希望理解数学“为什么如此”而非仅仅“如何计算”的人提供一个坚实的思想地图。

Chapter １　复习微积
　　A1　微积分学根本定理
　　　　A1.1　微导
　　　　A1.2　（定）积分
　　　　A1.3　根本定理
　　A2　由导函数看原函数
　　　　A2.1　函数的单调性
　　　　A2.2　平均变化率定理
　　　　A2.3　凸函数
　　　　A2.4　函数的高阶的行为
　　A3　微导与反微导
　　　　A3.1　基本的运算原理
　　　　A3.2　公式集合
　　A4　瑕积分
　　　　A4.1　无界区域的瑕积分
　　　　A4.2　无界函数的瑕积分

Chapter ２　差和分法
　　B1　和分
　　　　B1.1　叠合原理
　　　　B1.2　重和分原理
　　　　B1.3　有穷数列的和分
　　　　B1.4　Lebesgue型的想法：频度观
　　B2　从差分算子谈起
　　　　B2.1　数列
　　　　B2.2　差分算子与和分算子
　　　　B2.3　不定和分定理
　　　　B2.4　比分幂分法
　　B3　差和分计算法
　　　　B3.1　差分算子的性质
　　　　B3.2　多项式数列与排列数列
　　　　B3.3　Stirling系数
　　　　B3.4　负数次数的排列数列
　　　　B3.5　高阶差分
　　　　B3.6　单体和
　　B4　数列的增减与极值
　　　　B4.1　极值
　　　　B4.2　数列的增减
　　　　B4.3　局部极值
　　B5　Newton的差分展开公式
　　　　B5.1　插值原理
　　　　B5.2　叠合原理
　　　　B5.3　Lagrange公式
　　　　B5.4　Newton的逐步割近法
　　　　B5.5　Vandermonde
　　　　B5.6　Newton展开公式的证明
　　B6　泛指数数列
　　　　B6.1　指数数列的差分
　　　　B6.2　泛指数数列：指数数列与多项式数列的结合
　　　　B6.3　三角数列的差分
　　B7　级数
　　　　B7.1　级数之收敛
　　　　B7.2　正项级数
　　　　B7.3　Raabe-Gauss检验法
　　　　B7.4　交错级数
　　　　B7.5　瑕积分与瑕和分的比较
　　B8　幂级数
　　　　B8.1　幂级数收敛半径
　　　　B8.2　d’Alembert
　　　　B8.3　Cauchy
　　　　B8.4　Hadamard与Abel
　　　　B8.5　幂级数定义初等函数
　　B9　阶乘数列
　　　　B9.1　无限乘积
　　　　B9.2　Euler乘积
　　　　B9.3　Stirling公式

Chapter ３　差分方程
　　C1　差分方程
　　　　C1.1　差分方程的意义
　　　　C1.2　差分方程的产生
　　C2　差方演化
　　　　C2.1　演化的观点
　　　　C2.2　一维半瀑＝蜘网
　　C3　稳定性与歧支
　　　　C3.1　一维半瀑固定点之稳定性
　　　　C3.2　一族演化的歧支
　　C4　高阶差方

Chapter ４　线性差分方程
　　D1　一阶线性齐次差分方程
　　　　D1.1　不定常性的解释
　　　　D1.2　离散与连续之类推
　　　　D1.3　阶乘函数
　　　　D1.4　恰当性
　　D2　一阶线性不齐次方程
　　　　D2.1　常数变化法
　　　　D2.2　本值与末值观点
　　　　D2.3　中介值观点
　　　　D2.4　叠合原理
　　D3　二阶的常系数线性差分方程
　　　　D3.1　齐次方程的解空间
　　　　D3.2　不齐次的情形
　　　　D3.3　Heaviside算子方法
　　D4　二阶线性差分方程
　　　　D4.1　二阶齐次线性恰当差分方程
　　　　D4.2　二阶线性差分方程：常数变化法
　　D5　二阶线性差方的Casorati方法
　　　　D5.1　Casorati定准
　　　　D5.2　Green观点
　　　　D5.3　Sturm-Liouville固有值问题
　　D6　Mikusinski算子
　　　　D6.1　数列空间的代数
　　　　D6.2　生成函数：基本运算与列表
　　　　D6.3　Mikusinski算子
　　　　D6.4　线性差方的算子解法
　　D7　其他线性差分方程
　　　　D7.1　Riccati型非线性一阶方程
　　　　D7.2　联立线性常系数高阶差分方程

Chapter ５　Euler的遗产点滴
　　E1　指数对数与圆函数
　　　　E1.1　素朴的定义
　　　　E1.2　积分与微分方程定义法
　　　　E1.3　圆函数
　　E2　阶乘函数
　　　　E2.1　实阶乘函数的刻划
　　　　E2.2　倍幅公式
　　　　E2.3　无穷乘积定义法
　　　　E2.4　一个弱的质数分佈定理
　　E3　Beta函数
　　　　E3.1　补充：Laplace变换
　　　　E3.2　Beta函数
　　　　E3.3　Dirichlet的积分
　　E4　E-M求和法
　　　　E4.1　形式的想法
　　　　E4.2　幂方和函数
　　　　E4.3　主公式
　　E5　非整阶的微积分
　　　　E5.1　任意正阶的积分
　　　　E5.2　任意正阶的微导
　　　　E5.3　一般的指数定律
　　　　E5.4　Leibniz定律
　　　　E5.5　应用
　　　　E5.6　Gr?nwald的定义

Chapter ６　ε型微积分法
　　F1　差和分法概述
　　　　F1.1　等距採样与数列
　　　　F1.2　差分格式
　　F2　差和分算法
　　　　F2.1　ε型的幂方函数
　　　　F2.2　离散的Maclaurin公式
　　F3　泛指数型的函数
　　　　F3.1　ε型的指数函数
　　　　F3.2　ε型的三角函数
　　　　F3.3　泛指数函数
　　F4　连续变数的差和分
　　　　F4.1　ε型瑕积分与反微导
　　　　F4.2　连续变数的差分方程式

Chapter ７　q型微积分法
　　G1　差和分：q型与 ε型
　　　　G1.1　拟似微积分学
　　　　G1.2　q型微导
　　　　G1.3　q型定积分
　　　　G1.4　q型反微导
　　G2　q型幂方函数
　　　　G2.1　q型的拟似整数
　　　　G2.2　q型的二项式函数
　　　　G2.3　q型单项式函数
　　　　G2.4　q型的二项系数
　　　　G2.5　线性代数的补充
　　　　G2.6　q型的Taylor展开
　　G3　指数函数类
　　　　G3.1　q型的指数函数
　　　　G3.2　q型的三角函数
　　　　G3.3　二项式定理
　　　　G3.4　差方与连续的指数
　　　　G3.5　一个量子恆等式
　　G4　Euler以降
　　　　G4.1　Jacobi三重积恆等式
　　　　G4.2　三角数、四角数与五角数
　　　　G4.3　超几何级数
　　　　G4.4　Heine具基超几何函数
　　　　G4.5　拟似阶乘数函数与拟似β函数
　　G5　应用到数论
　　　　G5.1　Ramanujan恆等式
　　　　G5.2　数论中的平方和
　　　　G5.3　数论中的三角数之和
　　G6　对称的q型微积分
　　　　G6.1　对称差分与对称的拟似整数
　　　　G6.2　对称的q型定积分
　　　　G6.3　对称的q型反微导与瑕积分
　　　　G6.4　多项式函数

评分☆☆☆☆☆

“差和分与微积分”这个书名，听起来就像是数学工具箱里最基础也最重要的两件宝贝。我猜这本书大概是想把这两个看似独立但又紧密相连的概念，用一种系统性的方式呈现出来。我一直觉得，很多看似复杂的数学模型，背后其实都有着简单朴素的原理。差分，不就是对事物变化的“一步之遥”的观察吗？而积分，不就是对这些“一步一步”累积起来的总和的概括吗？ 我很好奇，这本书会不会从差分方程的视角切入，然后巧妙地引出微积分的概念？比如，用一个简单的数列递推关系，来展示如何用极限的思想来逼近连续函数的导数。再者，它会不会讲解如何通过“求和”的技巧，来理解定积分的几何意义？我希望这本书能够打破我过去那种“微积分就是微分和积分”的刻板印象，让我看到它们之间内在的逻辑联系和递进关系。这本书如果能帮助我理解，如何在离散世界和连续世界之间自由穿梭，那将是极大的收获。

评分☆☆☆☆☆

看到《差和分与微积分》的书名，我脑海里立刻浮现出一些关于数据分析和建模的场景。在我看来，“差和分”就像是侦探手中的放大镜，能够仔细观察事物细微的、离散的变化；而“微积分”则像是一个超级计算器，能够将这些细微的变化累积起来，给出全局的、连续的结论。我一直觉得，学习数学最有趣的地方，就在于理解不同的工具是如何协同工作的。 我非常好奇，这本书会不会从离散的视角出发，深入浅出地介绍差分方程的求解方法，以及它们在现实问题中的应用？比如，如何用差分方程来描述人口增长、疾病传播或者金融市场的动态？然后，它又将如何平滑地过渡到微积分的世界，解释连续变量的导数和积分是如何作为差分方法的极限情况出现的？我希望这本书能够帮助我建立起一个更完整的数学思维框架，让我明白，我们所观察到的世界，既有离散的一面，也有连续的一面，而这些数学工具，正是连接这两者的桥梁。如果这本书能让我更深刻地理解“变化”这个概念，无论是离散的还是连续的，那它就是一本非常值得阅读的书。

评分☆☆☆☆☆

哇！看到《差和分与微积分》这个书名，真的让我跃跃欲试！我一直对数学里的各种工具很着迷，尤其是那些能够帮助我们理解变化和累积的强大概念。《差和分》听起来就很有意思，它是不是像一种“离散的微积分”？我一直觉得，有时候在现实世界里，很多东西并不是连续变化的，可能就是一步一步、一格一格地累加或者递减，比如人口统计、经济数据、甚至是股票市场的波动。如果这本书能教我如何用差和分来捕捉这些离散过程的规律，那简直太棒了！ 我很好奇，它会不会讲解一些实际的例子？比如，怎样用差和分来预测下一季度的销售额？或者分析一个简单经济模型中，某个政策变动对失业率的长期影响？然后，再把这些离散的工具和我们熟悉的连续的微积分联系起来，这简直是跨越了两个数学世界的桥梁！我一直觉得，理解一个概念最好的方式就是看到它在现实生活中的应用，如果这本书能做到这一点，那它就不仅仅是一本教科书，而是一个解决实际问题的工具箱。我希望它能用清晰易懂的方式，把这些抽象的概念具象化，让我这个不是数学科班出身的人也能有所收获。

评分☆☆☆☆☆

《差和分与微积分》这个书名，让我立刻联想到一些解决实际问题的数学方法。我工作上常常会接触到一些时间序列数据，比如每月的销售额、每季度的报表，这些数据都是离散的。而“差和分”听起来就非常适合处理这类数据，或许它可以帮助我分析这些数据的趋势、周期性，甚至预测未来的走向。然后，再和“微积分”联系起来，我便开始畅想，这本书是否能够引导我，如何将这些离散的分析工具，与更宏观、更抽象的连续模型结合起来？ 我特别希望这本书能有实际应用的案例分析，比如如何用差分方法来建立一个简单的经济模型，然后用微积分的工具来分析这个模型的稳定性和长期行为。或者，在工程领域，如何利用差分方程来模拟一个物理系统的演变，再用微积分来求解这个系统的特定状态。我期待这本书能让我看到，数学不仅仅是纸面上的公式和定理，更是解决现实世界问题的有力武器。如果它能让我更好地理解如何从局部（差分）洞察全局（微积分），那这本书的价值就非同一般了。

评分☆☆☆☆☆

这本书名《差和分与微积分》勾起了我很多关于学习数学的往事。我记得当年学微积分的时候，常常被那些无穷小、无穷大的概念搞得头晕，虽然知道它能解决很多复杂问题，但总觉得有点“空中楼阁”的感觉。而“差和分”这个词，听起来就接地气多了，好像是直接从实际测量和计算中来的。我在想，这本书会不会从一个更直观、更基础的角度来引入微积分的概念？是不是先通过观察离散数据的变化，然后慢慢过渡到连续函数的导数和积分？ 我特别期待它能解释清楚“差”和“和”这两个字背后的数学意义。是像我们平时算账一样，一个一个地减去或者加上？如果是这样，那它应该非常适合那些喜欢动手计算、喜欢看到具体数字变化的读者。而且，它会不会举一些历史上的例子，讲讲数学家们是如何一步步从差分方程发展到微积分的？了解背景故事，往往能帮助我更好地理解一个概念的精髓。我希望这本书能让我对微积分有一个全新的认识，不再是那个遥不可及的数学高峰，而是触手可及的学习旅程。