本书是杨维哲教授《资优微积分》课程讲义的一部分。

　　本书只有一个主题和一个想法，这个主题就是「差和分法」，而贯穿本书的一个想法就是「类推」。

　　内容除了微积分的复习及补充以外，最主要是阶乘函数，从阶乘数列推广到阶乘函数是「从离散到连续的类推」最重要的一个例子。

作者简介

杨维哲

着名的数学学者及教育家。在联考时代曾担任多次大学联考闱场闱长。
致力推广台语，并以台语教授数学，让人津津乐道。
把教书当成一门表演艺术，上课方式随性自由，自我风格强烈。

现职：国立台湾大学数学系名誉教授
学历：普林斯顿大学数学博士
经历：国立台湾大学数学系专任教授

Chapter １　复习微积
　　A1　微积分学根本定理
　　　　A1.1　微导
　　　　A1.2　（定）积分
　　　　A1.3　根本定理
　　A2　由导函数看原函数
　　　　A2.1　函数的单调性
　　　　A2.2　平均变化率定理
　　　　A2.3　凸函数
　　　　A2.4　函数的高阶的行为
　　A3　微导与反微导
　　　　A3.1　基本的运算原理
　　　　A3.2　公式集合
　　A4　瑕积分
　　　　A4.1　无界区域的瑕积分
　　　　A4.2　无界函数的瑕积分

Chapter ２　差和分法
　　B1　和分
　　　　B1.1　叠合原理
　　　　B1.2　重和分原理
　　　　B1.3　有穷数列的和分
　　　　B1.4　Lebesgue型的想法：频度观
　　B2　从差分算子谈起
　　　　B2.1　数列
　　　　B2.2　差分算子与和分算子
　　　　B2.3　不定和分定理
　　　　B2.4　比分幂分法
　　B3　差和分计算法
　　　　B3.1　差分算子的性质
　　　　B3.2　多项式数列与排列数列
　　　　B3.3　Stirling系数
　　　　B3.4　负数次数的排列数列
　　　　B3.5　高阶差分
　　　　B3.6　单体和
　　B4　数列的增减与极值
　　　　B4.1　极值
　　　　B4.2　数列的增减
　　　　B4.3　局部极值
　　B5　Newton的差分展开公式
　　　　B5.1　插值原理
　　　　B5.2　叠合原理
　　　　B5.3　Lagrange公式
　　　　B5.4　Newton的逐步割近法
　　　　B5.5　Vandermonde
　　　　B5.6　Newton展开公式的证明
　　B6　泛指数数列
　　　　B6.1　指数数列的差分
　　　　B6.2　泛指数数列：指数数列与多项式数列的结合
　　　　B6.3　三角数列的差分
　　B7　级数
　　　　B7.1　级数之收敛
　　　　B7.2　正项级数
　　　　B7.3　Raabe-Gauss检验法
　　　　B7.4　交错级数
　　　　B7.5　瑕积分与瑕和分的比较
　　B8　幂级数
　　　　B8.1　幂级数收敛半径
　　　　B8.2　d’Alembert
　　　　B8.3　Cauchy
　　　　B8.4　Hadamard与Abel
　　　　B8.5　幂级数定义初等函数
　　B9　阶乘数列
　　　　B9.1　无限乘积
　　　　B9.2　Euler乘积
　　　　B9.3　Stirling公式

Chapter ３　差分方程
　　C1　差分方程
　　　　C1.1　差分方程的意义
　　　　C1.2　差分方程的产生
　　C2　差方演化
　　　　C2.1　演化的观点
　　　　C2.2　一维半瀑＝蜘网
　　C3　稳定性与歧支
　　　　C3.1　一维半瀑固定点之稳定性
　　　　C3.2　一族演化的歧支
　　C4　高阶差方

Chapter ４　线性差分方程
　　D1　一阶线性齐次差分方程
　　　　D1.1　不定常性的解释
　　　　D1.2　离散与连续之类推
　　　　D1.3　阶乘函数
　　　　D1.4　恰当性
　　D2　一阶线性不齐次方程
　　　　D2.1　常数变化法
　　　　D2.2　本值与末值观点
　　　　D2.3　中介值观点
　　　　D2.4　叠合原理
　　D3　二阶的常系数线性差分方程
　　　　D3.1　齐次方程的解空间
　　　　D3.2　不齐次的情形
　　　　D3.3　Heaviside算子方法
　　D4　二阶线性差分方程
　　　　D4.1　二阶齐次线性恰当差分方程
　　　　D4.2　二阶线性差分方程：常数变化法
　　D5　二阶线性差方的Casorati方法
　　　　D5.1　Casorati定准
　　　　D5.2　Green观点
　　　　D5.3　Sturm-Liouville固有值问题
　　D6　Mikusinski算子
　　　　D6.1　数列空间的代数
　　　　D6.2　生成函数：基本运算与列表
　　　　D6.3　Mikusinski算子
　　　　D6.4　线性差方的算子解法
　　D7　其他线性差分方程
　　　　D7.1　Riccati型非线性一阶方程
　　　　D7.2　联立线性常系数高阶差分方程

Chapter ５　Euler的遗产点滴
　　E1　指数对数与圆函数
　　　　E1.1　素朴的定义
　　　　E1.2　积分与微分方程定义法
　　　　E1.3　圆函数
　　E2　阶乘函数
　　　　E2.1　实阶乘函数的刻划
　　　　E2.2　倍幅公式
　　　　E2.3　无穷乘积定义法
　　　　E2.4　一个弱的质数分佈定理
　　E3　Beta函数
　　　　E3.1　补充：Laplace变换
　　　　E3.2　Beta函数
　　　　E3.3　Dirichlet的积分
　　E4　E-M求和法
　　　　E4.1　形式的想法
　　　　E4.2　幂方和函数
　　　　E4.3　主公式
　　E5　非整阶的微积分
　　　　E5.1　任意正阶的积分
　　　　E5.2　任意正阶的微导
　　　　E5.3　一般的指数定律
　　　　E5.4　Leibniz定律
　　　　E5.5　应用
　　　　E5.6　Gr?nwald的定义

Chapter ６　ε型微积分法
　　F1　差和分法概述
　　　　F1.1　等距採样与数列
　　　　F1.2　差分格式
　　F2　差和分算法
　　　　F2.1　ε型的幂方函数
　　　　F2.2　离散的Maclaurin公式
　　F3　泛指数型的函数
　　　　F3.1　ε型的指数函数
　　　　F3.2　ε型的三角函数
　　　　F3.3　泛指数函数
　　F4　连续变数的差和分
　　　　F4.1　ε型瑕积分与反微导
　　　　F4.2　连续变数的差分方程式

Chapter ７　q型微积分法
　　G1　差和分：q型与 ε型
　　　　G1.1　拟似微积分学
　　　　G1.2　q型微导
　　　　G1.3　q型定积分
　　　　G1.4　q型反微导
　　G2　q型幂方函数
　　　　G2.1　q型的拟似整数
　　　　G2.2　q型的二项式函数
　　　　G2.3　q型单项式函数
　　　　G2.4　q型的二项系数
　　　　G2.5　线性代数的补充
　　　　G2.6　q型的Taylor展开
　　G3　指数函数类
　　　　G3.1　q型的指数函数
　　　　G3.2　q型的三角函数
　　　　G3.3　二项式定理
　　　　G3.4　差方与连续的指数
　　　　G3.5　一个量子恆等式
　　G4　Euler以降
　　　　G4.1　Jacobi三重积恆等式
　　　　G4.2　三角数、四角数与五角数
　　　　G4.3　超几何级数
　　　　G4.4　Heine具基超几何函数
　　　　G4.5　拟似阶乘数函数与拟似β函数
　　G5　应用到数论
　　　　G5.1　Ramanujan恆等式
　　　　G5.2　数论中的平方和
　　　　G5.3　数论中的三角数之和
　　G6　对称的q型微积分
　　　　G6.1　对称差分与对称的拟似整数
　　　　G6.2　对称的q型定积分
　　　　G6.3　对称的q型反微导与瑕积分
　　　　G6.4　多项式函数