微积分（下） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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　　内容以深入浅出的方式来引导读者进入微积分的领域，让微积分不再是恐惧的「危机」分。

　　详细讲解经典例题，帮助读者更加暸解基本的学术理论及常使用的计算技巧。

　　附录中附上常用积分公式，方便读者查询积分结果，节省大量繁复的计算时间。

作者简介

姚任之

学历：
国立台湾师范大学数学系学士
国立台湾师范大学数学研究所硕士
美国史丹福大学作业研究所博士

经历：
元智工学院工业工程系副教授
国立中山大学应用数学系副教授

现职：
国立中山大学应用数学系副教授

郭忠胜

学历：
国立台湾师范大学数学学士
美国普渡大学数学硕士
美国明尼苏达大学数学博士

经历：
国立清华大学应用数学研究所教授

现职：
国立台湾师范大学数学系教授

好的，这是一本名为《高等代数：群、环与域》的图书简介，旨在提供对抽象代数核心概念的深入探索，不涉及微积分相关内容。 --- 高等代数：群、环与域 图书简介 《高等代数：群、环与域》 是一部为数学专业本科生及研究生精心编撰的教材与参考书。本书聚焦于抽象代数（Abstract Algebra）的基石——群论、环论和域论，旨在为读者构建一个坚实而严谨的代数结构理论框架。本书的叙述风格强调概念的起源、逻辑的严密性以及与经典数学问题的内在联系，力求在保持理论深度的同时，兼顾清晰的阐释和丰富的实例。 第一部分：群论基础与结构（The Foundations of Group Theory） 本书的起点是群（Group）的概念。我们从集合论的预备知识出发，系统地引入群的公理定义，并立即探讨其基本性质，如单位元、逆元、子群、陪集以及拉格朗日定理。拉格朗日定理作为群论中的里程碑，不仅是计算群结构的关键工具，也是后续结构分解理论的逻辑起点。 我们深入探讨了同态（Homomorphism）与同构（Isomorphism）的概念，这是理解不同群之间关系的核心。核（Kernel）与像（Image）的性质被详尽阐述，导出了第一同构定理，该定理揭示了商群（Quotient Group）的本质及其与正规子群的内在联系。 结构理论部分是本书的重点。我们详细分析了循环群（Cyclic Groups）的唯一性结构，并将其推广到有限阿贝尔群的结构定理。通过初等因子分解和主因子分解的概念，我们证明了任何有限阿贝尔群都可以唯一地分解为初等因子群的直积。 在非交换群的研究中，对称群（Symmetric Groups）和交错群（Alternating Groups）的性质被细致剖析。我们引入了生成元表示法（如Cayley表示），并讨论了群作用（Group Action）及其在证明中的强大应用，特别是利用Sylow定理来刻画有限群的子群结构。Sylow定理不仅是有限群分类的有力武器，也深刻揭示了群的阶数与其子群阶数之间的深刻关系。 最后，我们探讨了直积（Direct Products）与半直积（Semi-direct Products），展示了如何利用更小的、已知的群来构造更复杂的群结构，这是对群的“积木搭建”过程的深入理解。 第二部分：环论的拓展（The Expansion into Ring Theory） 从群的单操作代数结构过渡到具有两种运算（加法和乘法）的环（Ring）结构，是代数抽象的自然延伸。本书首先定义了环的公理，并区分了交换环、单位环、整环（Integral Domain）和域。 子环、理想（Ideals）的概念被引入并深入研究。我们强调理想在环论中的地位，类似于群论中的正规子群。基于理想，我们定义了商环（Quotient Rings），并给出了第一、第二、第三同构定理在环上的对应版本。 环论的精髓在于对乘法运算的深入理解。本书系统地考察了整环的特殊性质，随后引入了主理想整环（Principal Ideal Domains, PID）、唯一因子分解整环（Unique Factorization Domains, UFD）和欧几里得整环（Euclidean Domains, ED）之间的层级关系（ED $Rightarrow$ PID $Rightarrow$ UFD）。我们通过实例和反例，清晰地界定了这三类重要环结构之间的包含关系。 为了处理多项式环的因子分解问题，本书深入探讨了多项式环的性质，特别是在域上的多项式环 $mathbb{F}[x]$ 中，它是一个欧几里得整环，从而保证了唯一分解的存在性。我们介绍了高斯引理及其在多项式不可约性判断中的应用。 第三部分：域与域扩张（Fields and Field Extensions） 本书的最后一部分聚焦于域（Field），这是进行代数运算最为完备的代数结构。我们从域的性质出发，讨论了子域和域扩张（Field Extensions）的概念。 核心内容包括域扩张的次数、代数元（Algebraic Elements）与超越元（Transcendental Elements）的区分，以及最小多项式（Minimal Polynomial）的存在性与唯一性。我们证明了伽罗瓦理论（Galois Theory）的基础——伽罗瓦扩张的性质，即有限、正规、可分的扩张。 伽罗瓦理论的强大之处在于它在多项式方程求解问题上的应用。我们利用伽罗瓦群来分析方程的可解性。一个关键的理论成果是证明了五次及以上的一般多项式方程不能通过根式（即加、减、乘、除及开方运算）求解。这一论断的严格证明，是本书将抽象代数理论与经典数学难题完美结合的体现。 此外，本书还专门辟章节讨论了有限域（Finite Fields）的存在性、结构及其在密码学等现代数学分支中的重要应用。 本书特色 1. 逻辑的递进性： 结构设计严格遵循从具体到抽象、从简单到复杂的路径，确保读者能够平稳地跨越代数抽象的门槛。 2. 严谨的证明： 所有核心定理均给出详尽的、无缝衔接的证明，强调证明过程中的逻辑推导和关键技巧。 3. 丰富的实例与反例： 穿插大量计算实例，用于直观理解抽象定义；同时，精心构造的反例用以辨析不同代数结构之间的细微差别（如PID与UFD的关系）。 4. 联系与展望： 书中不仅关注代数结构本身的内部联系，还暗示了这些理论与数论、拓扑学以及现代密码学之间的深刻关联，为高阶学习做好铺垫。 《高等代数：群、环与域》 不仅仅是一本计算手册，更是一部培养数学思维、领略代数结构之美的深度读物。阅读本书，读者将建立起一套严谨的代数分析工具箱，为未来深入研究现代数学的任何分支打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我最大的感受就是它的“厚重感”和“专业感”。封面采用的是一种比较沉稳的墨绿色，配上烫金的书名，显得既低调又不失格调，非常有学术研究的质感。我平时不太喜欢那些花哨的封面设计，更偏崇这种简洁而有内涵的风格。拿到书的那一刻，我就被它的重量和体积所吸引，这感觉就像是在捧着一本知识的宝库，沉甸甸的，让人觉得分量十足。我之前对微积分的一些概念，比如积分的应用，总觉得不够透彻，有些地方需要更深入的理解，所以这次拿到《微积分（下）》，我抱有很大的期待，希望它能填补我知识上的空白。书页的纸张是那种略微泛黄的，看起来很有年代感，但摸上去却异常光滑，印刷的字体清晰锐利，即使是长篇的公式推导，也能看得一清二楚，不会有任何模糊不清的地方，这一点对于我这样需要反复查看公式的人来说，非常重要。

评分☆☆☆☆☆

这本书实在是太厚重了，刚拿到手里的时候，我就被它沉甸甸的质感给镇住了。封面设计简洁大方，没有花哨的图饰，只印着书名“微积分（下）”，字体清晰，颜色搭配也很耐看。我翻开书页，一股淡淡的油墨香扑鼻而来，这种纸张的触感很舒服，摸上去有种柔滑又带点韧性的感觉，不会轻易折损，让人觉得很扎实。我平常对数学一直不太感冒，但看到这本书这么有分量，心里暗暗想着，这得是多少知识的凝聚啊！拿到书的时候，我还在想，是不是应该先从一些更基础的数学概念复习起，但看到书的目录，又觉得好像也没有那么吓人，有一些我似乎在高中时隐约接触过的概念，只是那时候可能还没有深入理解。包装也很仔细，塑封完好无损，没有任何破损的痕迹，这说明商家在细节上很用心。我迫不及待地想开始我的微积分学习之旅了，虽然我知道这会是一个漫长且充满挑战的过程，但我已经做好了充分的心理准备。这本书给我带来的第一印象就是专业和严谨，从装订的工艺就能看出来，每一页都缝合得非常牢固，翻阅的时候不会有松散的感觉。我个人比较喜欢这种有质感的纸张，感觉在使用过程中会更加爱惜。这本书的重量也让我觉得它非常有价值，仿佛里面蕴含着丰富的知识宝藏，等待我去挖掘。

评分☆☆☆☆☆

我收到《微积分（下）》时，正是天气正好，阳光透过窗户洒进来，我拆开快递，一股淡淡的书香扑鼻而来，让人心情愉悦。这本书的外观设计非常大气，封面是一种深邃的蓝色，上面用简洁的白色字体印着书名，没有任何多余的装饰，给人一种沉静而专业的视觉感受。我平时对于数学学习，尤其是高等数学部分，总是有种“敬畏”感，总觉得那些抽象的符号和公式是难以逾越的障碍，但这本书的出现，让我觉得或许可以尝试着去征服它。我拿到书的瞬间，就感受到它不轻的重量，这让我觉得里面一定包含了丰富的知识和详细的讲解，是值得仔细研读的。书页的纸张是那种略带一点点纹理的，摸起来很舒服，而且印刷非常清晰，即使是一些细小的公式和符号，也能一览无余，不会有模糊不清的情况，这一点对于我这种需要反复推敲公式的人来说，简直是福音。我个人喜欢这种触感细腻的纸张，感觉在翻阅的时候，就像在抚摸知识的纹理。

评分☆☆☆☆☆

《微积分（下）》送达的时候，天气晴朗，阳光正好。我小心翼翼地拆开包裹，一本书的“庐山真面目”展现在我眼前。它的封面设计是一种复古的风格，采用的是一种暗红色的硬壳封面，上面用仿羊皮纸的质感印着书名，给人一种历史悠久、内容扎实的厚重感。我一直觉得，一本好的数学教材，应该像一个老朋友一样，值得反复品味和研究。我之前在学习微积分的时候，常常会在一些定理的推导过程中感到困惑，对公式的理解也仅停留在表面，所以这次拿到这本“下册”，我满怀期待它能带领我深入到微积分的精髓之中。书页的纸张是那种略带厚度的，摸上去有一种柔韧的质感，翻页时会发出轻微的“沙沙”声，印刷的字体清晰有力，即使是密密麻麻的公式，也显得井井有条，一点也不杂乱。

评分☆☆☆☆☆

我拿到《微积分（下）》的时候，外面正下着小雨，听着雨滴敲打窗户的声音，我拆开了快递，一股淡淡的纸墨香伴随着雨的气息扑面而来，感觉非常应景。这本书的封面设计是一种非常独特的风格，它采用了那种带有肌理感的纸张，颜色是浅灰色的，上面只印着黑色的书名，没有任何多余的图案，显得非常极简主义，却又带着一种难以言喻的艺术感。我平时对数学的学习，总是在理论和实践之间徘徊，有时觉得理论太抽象，有时又觉得例子不够充分，所以这次我希望这本书能在理论的深度和应用的广度上，给我带来新的启发。书的重量适中，拿在手里有种踏实的感觉，翻开书页，是那种略带米白色的纸张，触感非常柔和，印刷的字迹非常工整，每一个公式、每一个符号都清晰可见，排版也十分合理，不会让人觉得拥挤。

评分☆☆☆☆☆

这本书的包装非常严实，外层用了厚实的纸箱，内里还填充了防震的泡沫，拆开之后，书的塑封也完好无损，没有任何磕碰的痕迹。我拿到书的时候，正值我因为之前学习的微积分内容有些吃力而感到有些沮丧的时候，看到这本《微积分（下）》如此精美的外观，顿时觉得又有了继续下去的动力。书的封面设计是一种比较简约的风格，没有过多的修饰，只是用一种沉稳的颜色搭配清晰的字体，让我觉得它是一本踏踏实实的学术书籍，而不是那种赶时髦的快餐读物。拿到手里，它的份量感也让我觉得很踏实，仿佛里面蕴藏着扎实的知识。我平时对一些数学概念的理解一直比较模糊，尤其是那些抽象的概念，所以这次我希望通过这本书，能够把那些曾经模糊的地方变得清晰起来，或者说，能够构建起一个更完整的知识体系。书页的纸质是那种比较自然的颜色，摸上去有种温润的触感，翻页的时候也不会觉得涩滞，印刷的字体大小适中，排版也很舒服，即使长时间阅读，眼睛也不会觉得疲劳。

评分☆☆☆☆☆

《微积分（下）》送到我手中时，我刚好坐在书桌前，灯光柔和地照在书上。这本书的封面设计十分简约，是一种纯粹的白色，上面没有任何图案，只用一种特别的字体印刷着书名，这种极简的设计反而让我觉得它有一种“大象无形”的智慧感。我平时喜欢简洁明快的学习环境，而这本书的封面恰好符合我的审美。我拿到书的重量比我预期的要轻一些，这让我开始思考，它是否在内容上也更加精炼和高效？我之前在学习微积分的过程中，经常会遇到一些因为概念不清而导致的理解障碍，我希望这本书能够提供清晰的概念辨析和严谨的逻辑推理，帮助我建立起坚实的数学基础。书页的纸张是那种略带一点点透明感的，摸上去非常丝滑，翻页的时候几乎没有声音，印刷的字迹颜色很深，排版也十分疏朗，给人一种非常通透的感觉。

评分☆☆☆☆☆

我收到《微积分（下）》的时候，心情十分激动。这本书的外观设计非常别致，它采用了一种类似布艺的封面材质，颜色是深蓝色的，上面用银色的丝线勾勒出书名的轮廓，在光线下闪烁着低调的光芒，非常有质感。我平时喜欢收集一些设计独特的书籍，而这本书无疑满足了我的这一爱好。拿到书的瞬间，我就被它轻巧的重量所惊讶，本以为这么厚的书会很沉，但它却比我想象的要轻便许多，这让我觉得在携带和阅读上会更加方便。我之前在学习微积分的过程中，常常会因为一些过于抽象的概念而望而却步，希望这本书能够通过更加形象的解释和生动的例子，来帮助我克服这些困难。书页的纸张是那种略微有点韧性的，摸上去有一种哑光的质感，印刷的字迹颜色很正，清晰度很高，即使是长篇的推导过程，也显得干净利落。

评分☆☆☆☆☆

我拿到这本《微积分（下）》的时候，第一眼就被它沉稳内敛的设计吸引了。封面配色是一种偏暗的蓝色，搭配白色的书名，显得非常专业和有学术气息，完全没有那种浮夸的网络课程封面那种花里胡哨的感觉。书的尺寸和厚度都恰到好处，既方便拿在手里阅读，又能容纳下相当多的内容，感觉翻开它，就像打开了一个知识的殿堂。我拿到书的时候，还在期待着能从里面找到一些解决我数学学习瓶颈的“钥匙”，毕竟“下册”意味着前面已经打下了基础，而我可能在某些基础环节上有所欠缺，所以这本“下册”对我来说，既是继续学习的阶梯，也是查漏补缺的机会。书页的纸质是那种略带米黄色的，摸起来很细腻，而且印刷非常清晰，字迹不会模糊，也没有发现错别字或者印刷不清的情况，这一点对于我这种需要仔细辨认公式和符号的学习者来说，简直太重要了。我平时读书的时候，对纸张的触感和印刷的质量都有一定的要求，这本书在这方面做得非常出色，让人一看就觉得很舒服，很有阅读的欲望。而且，书的边缘也处理得很光滑，拿在手里不会刮手，细节之处体现了出版方的用心。

评分☆☆☆☆☆

从快递小哥手中接过《微积分（下）》的那一刻，我就被它沉甸甸的重量所吸引，这不仅仅是一本书，更像是一个知识的载体，承载着我渴望掌握的知识。这本书的外观设计非常有特点，它采用了类似皮质的封面材质，触感温润，颜色是那种深邃的咖啡棕色，配上银色的书名，显得既复古又高雅，让人忍不住想捧在手里细细品味。我一直觉得，一本好的教材，其外观设计也应该与其内容一样严谨和有深度。我之前在学习微积分的过程中，遇到了一些瓶颈，尤其是在理解一些复杂的定理证明时，总感觉力不从心，所以这次我非常期待这本“下册”能够提供更深入的解释和更严谨的论证，帮助我突破思维的局限。书页的纸张非常细腻，手感极佳，翻页的时候有一种丝滑的触感，印刷的字迹清晰且富有层次感，即使是复杂的数学公式，也展现得淋漓尽致，没有丝毫的模糊或变形。