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　　工程数学是大专院校理工科系学生必修之科目且是各专业科目之基础，本书以精辟简要之文字来描述，避免使用艰涩的用词，本书内容包含常微分方程式、拉氏转换、富利叶分析、向量分析、矩阵、复变数分析等等，涵盖工程数学最基础、最重要的部份。使读者能在短时间内对工程数学初步了解，立即应用在专业课程上。

编者简介

黄学亮

学历
　　国立政治大学统计研究所硕士
　　国立清华大学工业工程博士研究

经历
　　文化大学、逢甲大学、静宜大学数学及统计学兼任教师
　　考研所补习班微积分及机率统计任课教师

着作
　　《机率学》
　　《生产与作业管理》
　　《机率与统计学》
　　《机础统计学》
　　《线性代数问题集》
　　《微积分演习指引》
　　《基础微积分》
　　《科技微积分》

现代物理学前沿：从量子场论到宇宙学 本书导言： 在二十一世纪的今天，人类对自然界最基本规律的探索从未止步。从微观世界的粒子相互作用，到宏观尺度的宇宙演化，物理学的边界正在以前所未有的速度拓展。《现代物理学前沿：从量子场论到宇宙学》并非一本基础性的数学教材，而是聚焦于当代理论物理学中最活跃、最具挑战性的几个领域，旨在为具有扎实数学和经典物理基础的读者提供一个深入了解前沿研究脉络的窗口。本书的叙事逻辑是从微观到宏观，层层递进，力求展现理论物理学作为一门统一科学的内在联系。 第一部分：量子场论的深化与拓展 (Quantum Field Theory: Deep Dives and Extensions) 量子场论（QFT）是描述基本粒子及其相互作用的现代语言，它是粒子物理学标准模型（Standard Model）的理论基石。然而，标准模型并非终极理论，其内部的拉格朗日量和对称性结构仍有许多未解之谜。 第一章：超越费曼图：有效场论与重整化群 (Beyond Feynman Diagrams: Effective Field Theories and Renormalization Group) 本章将不再侧重于标准教科书中的费曼图微扰计算，而是深入探讨“有效场论”（EFT）的思想。EFT 强调物理学规律对特定能量尺度下的依赖性，并系统地处理高能物理对低能物理的影响。我们将详细剖析重整化群（RG）的数学结构，特别关注其流（RG Flow）的概念，以及它如何指导我们理解临界现象和相变。我们将探讨非微扰效应，例如欧几里得空间中的瞬子（Instanton）解，以及它们在规范场论中对拓扑荷的贡献。 第二章：共形场论与全息对偶 (Conformal Field Theory and Holographic Duality) 共形对称性（即洛伦兹变换加上标度不变性）在描述统计物理中的临界点和弦理论中扮演核心角色。本章将引入共形场论（CFT）的代数结构，如维拉索罗代数（Virasoro Algebra），并探讨其在二维和高维中的具体应用。重点将放在 AdS/CFT 对偶性——这一突破性的全息原理。我们将详细阐述反德西特空间（AdS）的几何结构，以及如何通过计算边界上的 CFT 算符来理解 AdS 内部的量子引力效应，这是连接量子信息、引力和量子场论的关键桥梁。 第三章：非阿贝尔规范场论的非微扰研究 (Non-perturbative Aspects of Non-Abelian Gauge Theories) 量子色动力学（QCD）作为强相互作用的理论，其低能强耦合区域的研究仍是理论物理的一大挑战。本章将探讨格子 QCD（Lattice QCD）的数值方法论，以及如何通过格点上的规范场配置来模拟夸克禁闭（Confinement）和对称性自发破缺。我们将讨论晶格上的拓扑性质和畴壁（Domain Walls），以及如何从格点计算中提取诸如强子谱（Hadron Spectrum）等物理量。 第二部分：引力理论的现代视野 (Modern Perspectives on Gravitation) 广义相对论（GR）在宏观尺度上取得了巨大成功，但它与量子力学的不相容性构成了理论物理学的核心难题。本部分将探索试图解决这一矛盾的前沿理论框架。 第四章：圈量子引力论的几何化尝试 (Loop Quantum Gravity: Geometrization Attempts) 圈量子引力论（LQG）提供了一种背景独立（Background Independent）的量子引力构造方法。本章将深入探讨阿斯泰卡（Ashtekar）变量的意义，以及如何在此基础上构建圈变量（Holonomy）和电场（Flux）算符。我们将研究 LQG 如何在普朗克尺度上“离散化”时空几何，特别是量子化的面积和体积算符的谱结构。此外，还将讨论 LQG 在黑洞熵和宇宙学早期演化中的应用。 第五章：弦论与 M 理论的景观 (String Theory and the Landscape) 弦论（String Theory）将基本粒子视为一维的振动弦，并在更高维度上寻求引力与规范理论的统一。本章将不再介绍基础的玻色子弦，而是聚焦于超弦理论（Superstring Theory）的五个紧致化方案，以及它们如何收敛于更基础的 M 理论框架。我们将详细分析卡拉比-丘流形（Calabi-Yau Manifolds）的拓扑性质如何决定了低能物理的粒子内容和规范群结构。最后，将探讨“弦景观”（String Landscape）的概念，即不同紧致化方案可能对应着极大量的真空态，及其对可观测宇宙参数的解释意义。 第三部分：宇宙学的最新挑战 (Contemporary Cosmological Puzzles) 现代宇宙学已经从描述性科学转变为需要精确理论预测的前沿学科。本部分关注的是标准宇宙学模型 $Lambda$CDM 面临的最新观测挑战。 第六章：暗物质与暗能量的微观起源 (Microscopic Origins of Dark Matter and Dark Energy) 暗物质和暗能量构成了宇宙质量能量密度的约 95%。本章将严格审视各种暗物质候选者——从弱相互作用重粒子（WIMP）的散射截面计算，到轴子（Axion）模型的动力学机制。对于暗能量，我们将比较精密的宇宙学常数问题（Cosmological Constant Problem）的理论困境，并考察昆虫学（K-essence）和修改引力（Modified Gravity）模型如何试图在不引入真空能的情况下解释宇宙加速膨胀。 第七章：原初引力波与暴胀的检验 (Primordial Gravitational Waves and Inflationary Testing) 宇宙暴胀理论是解释宇宙微波背景（CMB）各向异性起源的关键。本章将侧重于暴胀模型的动力学细节，特别是如何通过张量-标量比（Tensor-to-Scalar Ratio, $r$）来区分不同的暴胀势能函数。我们将详细讨论原初引力波（Primordial Gravitational Waves）对 CMB 偏振 B 模的影响，并分析下一代 CMB 实验（如 CMB-S4）在探测量表尺度上能力的理论要求。 结语：未竟之路 本书的每一章都指向了物理学最深层次的未解问题。我们展示了数学工具如何被用来构建描述这些现象的理论框架，但同时也清晰地表明，当前的工具和模型都只是对现实的近似。真正的突破，或许需要全新的数学语言和革命性的物理直觉。本书旨在激发读者对这些前沿领域进行更深入的探索和思考，因为它们代表着人类认知宇宙的下一轮飞跃。

第一章　一阶常微分方程式
　　1.1　微分方程式简介
　　1.2　分离变数法
　　1.3　正合方程式
　　1.4　齐次方程式
　　1.5　一些简易视察法
　　1.6　积分因子
　　1.7　一阶线性微分方程式与Bernoulli方程式
　　1.8　一阶常微分方程式之补充解法

第二章　线性微分方程式
　　2.1　线性微分方程式
　　2.2　D算子之进一步性质
　　2.3　高阶常系数齐性微分方程式
　　2.4　未定系数法
　　2.5　参数变动法
　　2.6　尤拉线性方程式
　　2.7　高阶线性微分子方程式之其它解法

第三章　拉氏转换
　　3.1　Gamma函数
　　3.2　拉氏转换之定义
　　3.3　拉氏转换之性质(一)
　　3.4　拉氏转换之性质(二)
　　3.5　反拉氏转换
　　3.6　拉氏转换在微分方程式及积分方程式上之应用

第四章　幂级数法
　　4.1　引　子
　　4.2　常点下幂级数求法
　　4.3　Frobenius法
　　4.4　Bessel方程式与Bessel函数

第五章　富利叶分析
　　5.1　预备知识
　　5.2　富利叶级数
　　5.3　富利叶积分、富利叶转换简介

第六章　矩　阵
　　6.1　线性联立方程组
　　6.2　矩阵之基本运算
　　6.3　行列式
　　6.4　方阵特征值之意义
　　6.5　对角化
　　6.6　联立微分方程组

第七章　向量分析
　　7.1　向量之基本概念
　　7.2　向量点积与叉积
　　7.3　空间之平面与直线
　　7.4　向量函数之微分与积分
　　7.5　梯度、散度与旋度
　　7.6　向量导数之几何意义
　　7.7　线积分
　　7.8　平面上的格林定理
　　7.9　面积分
　　7.10　向量函数之面积分与散度定理

第八章　复变数分析
　　8.1　复数系
　　8.2　复变数函数
　　8.3　复变函数之解析性
　　8.4　基本解析函数
　　8.5　复变函数积分与Gauchy积分定理
　　8.6　罗伦展开式
　　8.7　留数定理
　　8.8　留数定理在实特殊函数定积分上之应用

习题解答

评分☆☆☆☆☆

我必須坦白說，在拿到這本《基礎工程數學》之前，我對工程數學的印象一直停留在「考試科目」的階段，總覺得它枯燥乏味，跟實際的工程應用有點距離。但是，這本書徹底改變了我的想法。它的內容不僅涵蓋了工程師必備的數學知識，更重要的是，它以一種非常生動、有趣的方式來呈現。書中的每個數學概念，都與實際的工程案例緊密結合，讓你在學習的同時，能夠清楚地看到這些數學知識的應用價值。例如，在講解微分方程時，作者舉了許多經典的工程例子，像是彈簧-質量系統的振動，電路的暫態響應，以及傳熱問題的求解。這些例子不僅讓你對數學理論有了更直觀的理解，更讓你看到了數學在解決實際工程問題中的強大力量。我尤其喜歡書中關於數值方法的部分。作者介紹了許多實用的數值積分、插值和方程求解方法，並且提供了豐富的程式碼範例，讓你可以親自動手去實現這些算法。這對於我這種喜歡動手實踐的讀者來說，簡直是太棒了！它讓我能夠從理論走向實踐，並且更好地掌握這些數學工具。書中的圖解也非常豐富，對於複雜的數學概念，往往能夠通過一個簡單的圖形就一目了然。這大大降低了學習的難度，也讓我對工程數學產生了濃厚的興趣。總之，這本書不僅是一本優秀的教材，更是一本能夠激發學習熱情的啟迪之書。

评分☆☆☆☆☆

坦白說，我一直覺得自己數學底子不算太差，但在工程領域，總覺得有些抽象的數學概念，總像是隔著一層紗，無法真正觸及到核心。這本《基礎工程數學》的出現，就像是幫我撕開了那層紗，讓我能夠更清晰地看到數學在工程中的真正價值。書中對於每一個數學工具的介紹，都緊密地聯繫著實際的工程應用。例如，在講解複變函數的時候，它不會只是告訴你什麼是柯西黎曼方程，而是會展示如何利用複變函數來求解二維穩態熱傳導問題，或是如何分析電路的頻率響應。這種「學以致用」的編排方式，讓我對數學的學習充滿了興趣。我特別喜歡書中關於數值分析的部分，作者介紹了許多實用的數值方法，例如龍格－庫塔法求解微分方程，高斯消去法求解線性方程組，以及有限差分法求解偏微分方程。這些方法在現代工程計算中是不可或缺的。而且，書中的例題都非常貼近實際工程中的應用，例如如何模擬彈性體的變形，如何分析流體的運動，如何優化電路設計等等。這些例題不僅幫助我理解了數學理論，更讓我看到了如何運用這些理論來解決實際工程問題。書中的圖形和圖解也非常豐富，對於複雜的數學概念，往往能夠通過一個簡單的圖形就能夠被理解。這對於我這種需要不斷將抽象概念視覺化的人來說，幫助非常大。總之，這本書不僅是一本優秀的工程數學教材，更是一本能夠啟發工程思維的工具書。

评分☆☆☆☆☆

這本書《基礎工程數學》的內容，我必須說，真的觸及到了我心底最深的那些學習痛點。以前在學工程數學的時候，最痛苦的一點就是，老師們常常會直接跳到公式和定理，然後就開始狂算題目，但卻很少解釋「為什麼」我們要學這些東西，以及這些東西在實際工程中到底有什麼用。很多時候，我們只是機械式地套用公式，根本不知道背後蘊含的邏輯和意義。這本書很不一樣，它在每個章節開始的時候，都會花很大的篇幅去鋪陳，去介紹這個數學概念在工程領域扮演的角色，例如，在介紹傅立葉級數的時候，它不會只是告訴你怎麼展開，而是會先跟你說，訊號的頻譜分析在通訊、訊號處理、甚至是影像處理裡有多麼重要，然後再引導你進入數學的推導。這種「先有應用，再有理論」的編排方式，對我來說簡直是醍醐灌頂！我一直覺得，學數學最好的方法，就是讓它跟實際生活產生連結，而這本書恰恰做到了這一點。書中有很多實際的工程問題，例如如何分析橋樑在風力作用下的振動，如何設計濾波器來消除雜訊，甚至是如何優化生產流程來降低成本，這些都巧妙地融入了工程數學的知識。作者在講解線性代數的時候，特別強調了矩陣運算在多變量系統分析中的應用，比如在機械手臂的運動控制，或是電網的潮流計算。而對於機率與統計的部分，也詳細闡述了在品質管制、可靠度工程以及風險評估中的重要性，這對於我這個在製程產業工作的人來說，真的太有幫助了！它讓我重新認識到，工程數學不是一門孤立的學科，而是貫穿所有工程領域的基礎語言。

评分☆☆☆☆☆

哇！拿到這本《基礎工程數學》真的是讓我一本滿足！想當年我唸大學的時候，數學課簡直是我工程領域的惡夢，什麼微積分、線性代數、微分方程，每次看到課本上的符號和公式就頭昏腦脹，常常覺得自己是不是走錯科系了。幸好，我的教授們都很有耐心，也找了幾本不錯的參考書，但總覺得好像少了點什麼，就是那種能夠把抽象數學概念跟實際工程應用完美連結的橋樑。這本書，我敢說，就是我一直在尋找的那個「橋樑」！它不是那種枯燥乏味、只會講一堆理論的教科書，而是真的把工程師在實際工作中最常遇到的問題，用數學的方式去解構，然後再一步步教你如何運用書中的工具去解決。像是結構分析裡面的應力應變計算，流體力學中的壓力分佈，或是電路學裡的暫態響應，書裡都有非常詳盡的範例，而且講解的非常清楚。作者在每個主題的開頭，都會先跟你說這個數學概念為什麼重要，在工程上有什麼實際的應用，這點真的太棒了，立刻就讓我有了學習的動力，不再是為了考試而死記硬背。而且，書裡面的圖解也非常豐富，對於我這種比較視覺化的學習者來說，真的幫助很大，複雜的公式和圖形能夠更直觀地被理解。我尤其喜歡裡面有一個章節是關於數值方法的，這在現代工程設計中真的不可或缺，像是有限元素分析、計算流體力學等等，都需要用到這些方法。書裡對於數值積分、插值、求解非線性方程組這些都有很深入的介紹，而且都配有實際的工程案例，讓我知道這些理論不只是紙上談兵，而是能夠真實解決問題的利器。總之，如果你跟我一樣，覺得工程數學有點難以親近，或者想要更深入了解數學在工程中的應用，這本《基礎工程數學》絕對是你的最佳選擇！它讓我重新燃起了對數學的興趣，也對我未來的工程學習和工作充滿了信心。

评分☆☆☆☆☆

這本《基礎工程數學》的出現，簡直就像是為我量身打造的！我在工程領域工作多年，深知數學對於工程師的重要性，但也常常苦於找不到一本真正能夠將理論與實踐完美結合的教材。這本書，做到了！它的編寫風格非常獨特，作者並沒有一味地堆砌數學公式，而是將每個數學概念都置於一個具體的工程情境中進行講解。例如，在講解向量和矩陣的時候，它會用機械臂的運動學和動力學來引入，讓讀者能夠立刻明白這些數學工具的實際用途。而對於微積分的講解，更是深入淺出，不僅介紹了微分和積分的概念，更重要的是，它展示了如何利用微積分來分析系統的變化率、累計量，以及優化設計。我特別喜歡書中關於傅立葉分析和拉普拉斯變換的部分，這兩個工具在訊號處理和系統分析中至關重要。作者不僅詳細解釋了它們的數學原理，更重要的是，它展示了如何利用這些工具來分析電路的頻率響應，如何進行訊號的濾波和解調。這對於我在進行產品設計和調試時，提供了非常大的幫助。書中的例題設計也非常巧妙，從簡單的入門題到複雜的綜合題，都涵蓋得很全面。而且，書中的解答也提供了詳細的步驟，讓你可以清楚地知道解題思路。總之，這本書不僅是一本優秀的工程數學工具書，更是一本能夠幫助你提升工程思維能力的啟發之書。

评分☆☆☆☆☆

翻開這本《基礎工程數學》，我最直觀的感受就是「清晰」。很多市面上的工程數學書籍，都喜歡用非常學術化的語言，動不動就是一堆希臘字母和拉丁字母的符號，看得讓人眼花繚亂。但這本書的編寫風格，卻更加貼近一個工程師的思維模式。作者在講解每一個數學概念的時候，都會盡量使用比較直觀的語言，並且輔以大量的圖形和示意圖，來幫助讀者理解。例如，在介紹矩陣和向量的時候，它會用三維空間的座標變換來解釋，而不是枯燥地定義什麼是向量空間。又或者，在講解拉普拉斯轉換的時候，它會用系統響應的時域和頻域轉換來引入，而不是直接給出轉換的公式。這種「情境式」的引入方式，讓我感覺自己不像是在讀一本數學書，而更像是在跟一位經驗豐富的工程師在交流。書中對於一些比較難的數學主題，例如複變函數的應用，也有很深入的探討。它不僅講解了柯西積分定理、留數定理這些核心概念，更重要的是，它展示了這些工具如何被應用於解決複雜的工程問題，例如求解邊界值問題，或是分析穩定性。我特別欣賞書中關於機率密度函數和累積分布函數的應用，在可靠度工程和風險評估中，這些概念是不可或缺的。它詳細地解釋了如何計算元件的平均故障間隔時間（MTBF），以及如何預測系統的失效機率。這對於我在工業界的工作，提供了非常實用的指導。這本書的優點在於，它能夠在保持數學嚴謹性的同時，又兼顧工程應用的實用性，真的是一本難得的好書。

评分☆☆☆☆☆

我一直覺得，工程師的思維方式，很大程度上取決於他們對數學的理解程度。而這本《基礎工程數學》絕對能夠幫助你塑造一個更為紮實、更為深刻的工程思維。它不是那種讓你死記硬背公式的書，而是讓你理解公式背後的原理，以及這些原理在工程應用中的意義。書中的內容編排非常合理，循序漸進，從最基礎的代數、幾何，到進階的微積分、微分方程、機率統計，都涵蓋得非常全面。而且，每個主題的講解都非常深入，作者會花很多篇幅去解釋概念的由來，以及它在不同工程領域的應用。例如，在介紹機率與統計時，它會從基本的隨機事件、概率計算開始，然後逐步深入到各種概率分佈，以及如何進行統計推斷和假設檢驗。這對於我這個在從事品質管理工作的人來說，真的是太實用了！它讓我能夠更科學地分析數據，更準確地預測產品的可靠性。我尤其欣賞書中關於數值方法的講解。作者介紹了許多常用的數值求解技術，例如迭代法、有限差分法，並且提供了豐富的圖形輔助，讓這些抽象的算法變得非常直觀。這對於我理解複雜的工程模擬過程非常有幫助。總之，這本書的價值，不僅在於它提供的數學知識，更在於它能夠培養你的工程思維，讓你學會如何用數學的語言來理解和解決工程問題。

评分☆☆☆☆☆

老實說，我拿這本《基礎工程數學》的時候，心裡其實是抱持著一絲絲的懷疑的。畢竟「基礎」這兩個字，有時候聽起來就像是「很簡單」或是「不深入」，但事實證明，我的擔心是多餘的。這本書的「基礎」並不是指內容淺薄，而是指它提供了工程師最核心、最必要的數學工具，而且是用一種循序漸進、非常扎實的方式呈現。它沒有一開始就給你一堆高深的數學理論，而是從最基本的概念開始，然後一步一步地往上建構。例如，在講到微分方程的時候，它會先從最簡單的一階常微分方程講起，然後慢慢過渡到二階、高階，以及偏微分方程。而且，它不會只停留在數學的求解上，更重要的是，它會告訴你，這些不同類型的微分方程，在工程上分別對應著什麼樣的物理現象。像是 RC 電路、RLC 電路的暫態響應，或是彈簧-質量-阻尼系統的自由振動，這些都是非常經典的工程應用。書中的例題設計也非常巧妙，從簡到難，從單一變數到多變數，都涵蓋得很完整。我尤其喜歡它在講解向量微積分的部分，對於如何計算場的散度、旋度，以及如何應用高斯定律、史托克斯定理等，都有非常清晰的圖示和推導。這對我理解流體力學和電磁學中的一些基本定律有很大的幫助。而且，書中的數學證明也相對詳盡，不會讓你覺得公式是憑空出現的。總之，如果你是剛接觸工程領域，或是想要重新穩固自己的工程數學基礎，這本書絕對值得你擁有。它讓你學到的不只是解題技巧，更是對工程問題的深刻理解。

评分☆☆☆☆☆

我一直以來都覺得，工程數學學習的瓶頸，在於「連結」。我們學了很多數學公式和定理，但卻不知道它們跟實際的工程現象之間有什麼樣的關聯。這本《基礎工程數學》的出現，正好解決了這個問題。作者在編寫這本書時，顯然花了很多心思去思考如何將數學理論與工程實踐結合。每個章節的開頭，都會有一個引人入勝的工程案例，然後再逐步引導讀者去學習解決這個案例所需的數學工具。例如，在介紹傅立葉分析時，作者並沒有直接給出級數展開的公式，而是從分析聲波、光波等週期性訊號的組成開始，然後才引入傅立葉級數的概念。這種「由現象入理論」的編排方式，讓學習過程變得非常自然和有意義。書中對於線性代數的講解，也讓我印象深刻。它不僅介紹了矩陣的運算，更重要的是，它深入探討了矩陣的幾何意義，以及它在座標轉換、線性變換中的應用。這對於我理解空間中的向量操作非常有幫助。另外，書中關於機率與統計的部分，也提供了非常實用的知識。它詳細解釋了如何進行實驗設計、數據分析，以及如何利用這些工具來進行預測和決策。這對於我在進行產品開發和品質控制時，提供了非常大的幫助。這本書的優點在於，它能夠讓你不僅學會如何「算」，更能學會如何「用」。它讓你明白，數學不僅是解決問題的工具，更是理解世界的一種方式。

评分☆☆☆☆☆

我必須承認，我一開始拿到這本《基礎工程數學》的時候，並沒有抱持太大的期待。畢竟市面上關於工程數學的書籍實在是太多了，而且很多都大同小異。但是，當我翻開這本書，並且開始閱讀其中的內容時，我徹底被它的編排和內容深度所震撼了。它不是那種只講皮毛、不講內涵的書，也不是那種只講理論、不講應用的書。相反地，它是一本真正能夠引導你深入理解工程數學核心概念，並且能夠將這些概念應用於實際工程問題的好書。書中的內容結構非常完整，從最基本的代數、微積分，一直到高等的微分方程、複變函數、機率與統計，幾乎涵蓋了工程師在學習和工作中所需的所有數學工具。而且，每個主題的講解都非常細緻，作者會從最基本的定義開始，一步一步地推導，確保讀者能夠完全理解。我尤其欣賞書中對於線性代數部分的講解，它不僅介紹了矩陣的運算，更重要的是，它深入探討了特徵值和特徵向量的意義，以及它們在振動分析、系統穩定性分析中的應用。這部分內容對於我之前在學習時遇到的很多困惑，都提供了清晰的解答。另外，書中關於機率與統計的部分，也做得非常出色。它不僅介紹了基本的機率分佈，還探討了如何進行假設檢驗、迴歸分析，以及如何應用這些工具來優化工程設計和決策。這本書的價值，在於它能夠讓你建立起一個紮實的工程數學知識體系，並且讓你明白，數學不僅僅是解題的工具，更是理解工程世界的一種語言。