数学放大镜：畅谈高中数学 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

图书标签:

• 高中数学
• 数学学习
• 解题技巧
• 思维拓展
• 数学方法
• 应试指导
• 数学思维
• 学习辅导
• 知识讲解
• 数学启蒙

　　对任何数学议题的学习都应该经过探索、尝试、推理、证明而总结为定理或公式，如此才能切实理解进而灵活运用；

　　尤其不应该把数学的学习异化成背诵现象，反覆操弄公式，或是捏造一堆对心智成长毫无助益的难题。

　　为了阐述上述的看法，作者选了一些贴近高中生的数学议题来详细说明，最主要的目的是想要抚平所有因为不当的学习而造成的困扰。

　　更希望教学现场的老师们仔细思索数学教育的意义，既然选择与青少年一起走过成长，当然应该改进教学，与日俱进，千万不要把数学教育变成苦海无边。

作者简介

张海潮

　　1949年生。美国布蓝大士(Brandeis)大学数学硕士、博士。
　　1978年开始在台大数学系任教。
　　2006年担任高中95数学课纲召集人。
　　着有《说数》、《千古之谜》、《狭义相对论的意义》等书。

探索奥秘：高等代数与数论的交织之旅 图书名称：《数海拾遗：从群环域到费马大定理》 图书简介： 本书旨在为对纯粹数学怀有浓厚兴趣的读者，尤其是那些已经对基础微积分和线性代数有所了解的进阶学习者，提供一次深入而系统的“高等代数”与“初等数论”交叉领域的探索之旅。我们不将目光局限于教科书上枯燥的定义和冗长的证明，而是力求揭示这些抽象概念背后所蕴含的深刻思想、历史脉络及其在现代数学体系中的核心地位。 第一部分：代数结构的精妙骨架——群、环与域的构建 本部分将从最基础的代数结构——群开始。我们将不满足于仅仅介绍群的四条公理，而是会深入探讨群论的历史起源，从伽罗瓦对多项式根式解的研究中，感受群论如何成为理解对称性与可解性的强大工具。我们会细致剖析有限群的结构，重点讲解Sylow定理的精妙之处，通过实例展示如何用它来推断特定阶群的内部构造，例如，解析四阶群（$mathbb{Z}_4$与$V_4$）的差异，以及它们在置换群中的体现。 紧接着，我们将进入环的范畴。环的概念是对整数运算规律的抽象和推广。我们将区分整环（Integral Domains）和域（Fields），并探讨环中关键概念，如理想（Ideals）、主理想环（PIDs）和唯一因子分解整环（UFDs）。我们会特别关注多项式环 $F[x]$ 的性质，探究不可约多项式的概念，并展示如何利用商环（Quotient Rings）来构造新的、更丰富的代数结构。例如，如何从整数环 $mathbb{Z}$ 构造出如 $mathbb{Z}[i]$（高斯整数环）这样的重要结构，并初步体会这些结构与数论问题的关联。 最后，我们将聚焦于域。域是满足除法运算的代数结构。本书将详细阐述域的扩张（Field Extensions）理论。从最简单的有理数域 $mathbb{Q}$ 开始，逐步构建二次域、三次域，直至理解伽罗瓦扩张的核心思想。伽罗瓦理论不仅解释了五次及以上代数方程不可用根式求解的根本原因，更提供了一种将代数问题转化为群论问题的强大视角。我们会通过具体的二次方程扩张，如 $mathbb{Q}(sqrt{d})$，来让读者直观感受域扩张的威力，并为后续深入理解代数拓扑和代数几何打下坚实的基础。 第二部分：数字世界的内在秩序——数论的严谨探索 本部分将转向数论，但我们采取的视角将是高度代数化的。开篇仍将以基础的同余理论为基石。我们将不仅仅停留在中国剩余定理的应用，而是会深入研究模运算在群论（如乘法群 $(mathbb{Z}/nmathbb{Z})^ imes$）中的体现，并用群的知识来解析欧拉函数的性质。 核心内容将围绕费马-欧拉定理及其现代延伸展开。我们将详细证明费马小定理和欧拉定理，并展示其在密码学，特别是RSA算法中的实际应用价值。我们不会回避难度，会谨慎地引入原根（Primitive Roots）的概念，并探讨哪些模下存在原根，揭示乘法群的循环性。 进阶部分，我们将触及丢番图方程的经典领域。重点讨论费马大定理（Fermat's Last Theorem）的辉煌历程。虽然完整的证明（基于谷山-志村猜想和椭圆曲线）超出了本书的范围，但我们将详细梳理费马本人的尝试、欧拉的工作，以及库默尔引入理想数（即现代代数中的“理想”概念的雏形）来处理环 $mathbb{Z}[zeta_p]$ 上的分解问题，这自然地将我们带回第一部分讨论的抽象代数思想。通过这个案例，读者可以清晰地看到代数工具如何解决看似简单的数论难题。 此外，本书还会专门开辟章节介绍二次互反律及其美妙的证明思想。我们将探究勒让德符号和雅可比符号，并展示如何利用高斯或雅可比的构造性方法来优雅地证明这一数论中的基石定理，感受数学家们在寻找对称性与联系时的深刻智慧。 第三部分：交融与应用——代数与数论的桥梁 在最后一部分，我们将展示代数与数论是如何相互促进的。我们会探讨代数数论的初步概念，即在扩张域中研究整数的性质。例如，在 $mathbb{Q}(sqrt{-5})$ 中，我们会展示整数环 $mathbb{Z}[sqrt{-5}]$ 不再是唯一因子分解整环（UFD），并解释其原因——因子分解的非唯一性与理想的引入之间的必然联系。这一例子极大地强化了抽象代数工具的必要性。 同时，本书也会介绍初等代数几何的萌芽，通过对椭圆曲线（作为三次曲线的特例）的介绍，展示其在有理数域上的点集结构如何构成一个阿贝尔群，并简要提及这些群结构在现代数论，如BSD 猜想中的核心地位。 本书特色： 深度与广度并重： 在保证数学严谨性的前提下，注重概念背后的直觉和历史背景。 跨越学科的视野： 强调群论、环论与数论思想的内在统一性。 大量的精选习题： 每章末尾附有分层习题，包含概念辨析、技巧运用和开放性探索题，旨在培养读者的独立思考和证明能力。 本书适合数学专业本科生、研究生，以及致力于提升自身数学素养的非专业人士阅读。它将引导读者从熟悉的整数世界，迈向抽象而迷人的纯数学殿堂。阅读完毕后，读者将不仅掌握高等代数与数论的核心工具，更能对数学的结构美感和内在逻辑产生更深层次的理解与敬畏。

评分☆☆☆☆☆

作为一个曾经对数学感到头疼的学生，我拿到《数学放大镜：畅谈高中数学》时，并没有抱太大的希望，以为它不过是另一种形式的枯燥说教。然而，这本书彻底颠覆了我的认知。作者的笔触极为生动，他并没有使用那些令人望而生畏的专业术语，而是用一种平易近人的语言，将那些深奥的数学概念娓娓道来。我特别喜欢他在讲解数学定理时，常常会举出一些生活中的实例，比如在解释等差数列时，他用“每天多走一步”来比喻公差，瞬间就让这个概念变得形象生动，也更容易被记住。这本书最让我受益匪浅的一点是，它不仅仅是教授“怎么做”，更重要的是教授“为什么这么做”。作者在解析每一个解题思路时，都会追溯到其背后的数学思想和原理，这让我明白了数学的内在逻辑，而不是仅仅停留在表面的运算技巧。每一次阅读，都感觉像是在和一位经验丰富的数学老师进行一次深入的交流，他鼓励我去思考，去质疑，去探索，而不是被动地接受。这本书让我重新认识了数学，也让我对学习数学产生了前所未有的兴趣。

评分☆☆☆☆☆

这本书的出现，对我来说，无异于在数学学习的道路上点亮了一盏指路明灯。它所展现出的，并非是教科书式的标准化讲解，而是一种充满智慧的“再创造”。作者用他独特的视角，将高中数学的各个知识点串联起来，形成了一个有机的整体，让我不再觉得数学是一个个孤立的知识点，而是可以通过逻辑和联系融会贯通的。我尤其喜欢书中那种“旁征博引”的写作方式，他会从历史、哲学、甚至艺术的领域来引入数学概念，让我在学习数学的同时，也能感受到跨学科的魅力。这种方式不仅拓宽了我的视野，也让我对数学产生了更深层次的理解和认识。书中的一些解析方法，也给了我很大的启发，让我学会了如何从不同的角度去思考同一个问题，如何寻找更简洁、更优雅的解题思路。它所传递的，不仅仅是数学知识，更是一种解决问题的方法论，一种严谨而不失灵活的思维方式，这对于我今后在任何领域的发展都将是宝贵的财富。

评分☆☆☆☆☆

终于读完了这本《数学放大镜：畅谈高中数学》，说实话，我最初是被书名吸引来的，总觉得“放大镜”这个词暗示着一种深入探究、拨开迷雾的视角，而“畅谈”又带着一种轻松随性的氛围，让我对这本书充满了期待。拿到书后，我迫不及待地翻开，第一感受是它的排版设计非常人性化，字体大小适中，段落分明，即使是密集的公式和定理，也不会让人感到眼花缭乱。我尤其喜欢它在讲解每一个数学概念时，都会先从一个引人入胜的生活场景或历史故事切入，比如在讲到函数概念的时候，作者居然引用了“如果今天下雨，明天就一定放晴”这样的例子，让我瞬间就觉得数学不再是枯燥的符号堆砌，而是与我们的生活息息相关的。而且，作者在书中并没有一味地追求高深和晦涩，而是用一种非常亲切、甚至有些幽默的语言来解释那些看似复杂的数学原理，我感觉就像在和一个经验丰富的老师面对面交流，他会耐心解答我的每一个疑惑，并且总能用最恰当的比喻让我茅塞顿开。这本书最大的亮点在于，它不仅仅是知识的传递，更是一种思维方式的引导。它教会我如何去观察、去联想、去推理，如何从一个数学问题中看到更深层次的逻辑和结构，这对于我今后的学习和生活都大有裨益。

评分☆☆☆☆☆

我一直认为，数学是一门非常“硬核”的学科，需要严谨的逻辑和繁琐的计算。然而，当我翻开《数学放大镜：畅谈高中数学》时，我才发现，原来数学也可以如此“柔软”和有趣。这本书的作者拥有非凡的洞察力，他能够精准地捕捉到高中数学学习中的难点和痛点，并用一种极为巧妙的方式将其化解。我最欣赏的是，他在书中并没有回避那些让学生们头疼的抽象概念，而是主动去拥抱它们，并通过各种生动的比喻和形象的图示，将它们变得通俗易懂。比如，在讲解导数的时候，他并没有直接给出复杂的定义，而是通过“速度的变化”这一生活化场景来引入，让我一下子就明白了导数的本质意义。这本书的叙事风格也非常吸引人，作者常常会在讲解过程中穿插一些数学家的趣闻轶事，或者是一些数学史上的精彩故事，这不仅增加了阅读的趣味性，也让我感受到了数学的魅力所在。它让我明白，数学并非只有枯燥的公式和定理，更蕴含着人类智慧的结晶和对世界规律的探索。

评分☆☆☆☆☆

这本书带给我的震撼，远超出了我对一本高中数学读物的预期。它不是那种死板的教科书，也不是那种堆砌题海的辅导书，而是像一位博学的智者，带着我走进一个奇妙的数学世界。书中对数学史的梳理，让我看到了那些伟大的数学家们是如何一步步探索、如何克服困难、如何建立起庞大的数学体系的，这极大地激发了我对数学的敬畏之情和学习热情。我特别欣赏作者在讲解每一个章节时，都能够将抽象的数学概念与具体的实际应用相结合，让我明白了“为什么学”和“学了有什么用”。比如，书中在介绍概率论时，就详细阐述了它在金融、保险、甚至游戏设计等领域的广泛应用，这让我意识到，数学并非束之高阁的象牙塔，而是渗透在我们生活方方面面的强大工具。此外，作者的逻辑分析能力也让我叹服，他能够层层剥茧，将复杂的数学问题分解成易于理解的步骤，并且在关键的地方进行提炼和总结，帮助读者建立清晰的知识框架。阅读这本书的过程，更像是一场智力探险，每翻一页，都能发现新的惊喜和启迪，让我对高中数学的理解上升到了一个全新的高度。