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生活周遭的一切事物，都是數學創意延伸的結果
　　AI時代，隻有數理強的人不會被淘汰
　　快入手探索經濟及社會脈動的最強武器！

　　從數字的構成到函數、幾何、微積分
　　豐富的插圖和圖錶
　　網羅國小到高中數學的重要觀念
　　帶你搞懂數學的語言及脈絡
　　打開邏輯思維開關
　　養成洞察萬物的數學之眼
　　靈活的邏輯能力，取決於數學能力
　　九大章節，激發你的數理分析潛能

　　第一章 「數」的探索
　　→「數」的故事：有理數和無理數、虛數和質數
　　第二章 「數」的關係
　　→函數、座標圖、方程式的解題公式和解題絕招
　　第三章 解密幾何學之美
　　→圓周率、麵積、歐基裏德幾何學和非歐基裏德幾何學
　　第四章 矩陣的運用
　　→矩陣與嚮量、靠賽局理論贏得比賽的方法
　　第五章 數學之王微積分
　　→生活周遭無所不在的微積分
　　第六章 偶然的科學
　　→機率、排列組閤與統計
　　第七章 生活中的數學
　　→指數、對數和數列
　　第八章 和三角函數作朋友
　　→用途無限的三角函數、傅立葉轉換
　　第九章 數學開展世界
　　→淺談拓樸學、破局理論、集閤與邏輯


 

作者簡介

川久保勝夫

　　1942年生於日本長野縣，東京大學理學院數學係畢。取得同大學的碩士學位後，曾任普林斯頓高等研究所研究員、紐約州立大學研究員、波昂大學客座教授以及赫爾辛基大學客座教授。目前為大阪大學理學院教授，理學博士，也是日本數理協會的理事兼評議員。

審訂者簡介

李盈嬌

　　颱北市人，颱灣大學數學研究所碩士

譯者簡介

高淑珍

　　輔仁大學日文係畢，曾任錦秀齣版社日文編輯、舜恕編譯室日文譯者，自組「日文翻譯工作室」十多年，目前為多傢齣版社的特約譯者。
 

第1章 「數」的探索
「數」的故事
●數的架構
數的觀念從計算開始
●零的發現
代錶什麼都沒有，卻具有重要的意義
●負數的功用
計算數目時少不瞭負數
●有理數的延伸
從加減乘除演算之數的觀念，延伸到有理數
●無理數的存在
有理數已得證，無理數的春天在哪裏？
●不可思議的虛數i
復數果真存在嗎？
●單純又神秘的質數
「質數」為數的原子
●專欄 每個數字都有不同的意義

第2章 釐清「數」的關係
「函數」的故事
●何謂函數？
飲料或車票自動販賣機也是一種函數的運用
●一目瞭然的座標圖
一次函數為直綫、二次函數為拋物綫、反比為雙麯數
●方程式的解題絕招
先建立方程式為解題的要訣
●採用聯立方程式的鶴龜算法
復雜的計算在於寫齣方程式
●二次方程式的解題公式
以二次方程式的判彆式判斷解答的性質
●三次方程式及解題秘密
數學史上最引人矚目的解法插麯
◎專欄 真的有方程式解法嗎？

第3章 幾何學之美與謎
「形狀」的故事
●幾何學大復活！
三角形的五心──重心、內心、外心、旁心、垂心
●形狀的確定
直綫構成的圖形麵積請用三角形求解
●形狀的排列
任何的正多角形磁磚的舖設問題
●圓周率的計算曆史
圓周率π的故事
●黃金矩形之美
二次方程式與黃金比例
●利用尺及圓規解題
希臘三大難題：倍立方體體積、角的三等份、圓的麵積
●正多麵積隻有五個
「正多麵積為無限」是錯誤觀念
●歐基裏得幾何學
知名度僅次於聖經的《原理》是近代科學方法論的基礎
●非歐基裏得幾何學
與歐基裏得幾何學體係不同的幾何學
◎專欄 代數幾何學的研究

第4章 矩陣的運用
矩陣與嚮量的故事
●矩陣或嚮量的用途為何？
隻有數字陳列的矩陣或嚮量具有深遠的意義
●嚮量的加法與減法
矩陣或嚮量按照計算規則發揮力量
●矩陣的乘法
矩陣或嚮量在乘法中更能發揮作用
●矩陣為一變換的機器
通過某個矩陣後嚮量變身為新風貌
●用矩陣解聯立方程式
隻要利用反矩陣即可解開聯立方程式
●嚮量翱翔天空
透過許多力的嚮量閤成可以飛行無礙
●經濟上中運用的矩陣！
馬可夫鏈可預測汽車的市場佔有率
●賽局理論運用於網球比賽
經濟或運動等競爭全都可藉為賽局理論求勝
◎專欄 未來的預測

第5章 數學之王微積分
微分與積分的故事
●重點是計算麵積
積分的起源來自古埃及尼羅河的氾濫
●越切越小的圖形
阿基米德的構思開啓微積分學的大門
●積分的構思
利用極限思考算齣麯綫圖形的麵積
●追求瞬間速度
韆變萬化的速度唯有微分可以掌握
●微分再微分
追蹤函數麯綫的最大綫索是導函數
●微分不離積分
魔棒一揮，微分與積分緊緊相依
●函數f(x)和f’(x)
瞭解微積分基本定理，積分變簡單
●應用微積分
生活周遭都是微積分的應用實例
◎專欄 阿基裏斯的比賽

第6章 偶然的科學
機率的故事
●與命運女神邂逅的方法
將「偶然」科學化的機率論起源自賭博
●擲6次必定會齣現1次嗎？
機率的基本為大數法則──小心不要用錯
●排列與組閤的觀念
在機率中計算場閤的數量成為基數
●亂槍打鳥也會中？
「至少……」等機率問題，可運用餘事件解釋
●不太可靠的直覺
在40人的班級中生日相同者的機率為89%
●先抽先贏？
畫成機率的樹形圖，一清二楚
●紅球與白球的機率
製作圖錶，一清二楚
●贏錢或輸錢的平均
運用期望值評估賭博，結果發現都是賠
●亂數具有的深刻意義
亂數無所不在
●統計的比較
平均與標準差
◎專欄 不瞭解機率的話連命都沒瞭

第7章 這麼想就對啦
指數‧對數和數列的故事
●天文學的數字計算
從微小世界到極大世界，都是指數函數的概括範圍
●天纔數學傢高斯的計算
等差數列之和的快速算法
●超乎想像空間的等比數列
多倍數的計算易如反掌
●生活周遭中的等比數列
銀行存款、貸款利息、音階世界等，都是等比數列
●對數世界十分有趣
對數和指數正好相反
●讓計算變簡單
煩人的復利計算，用對數就對瞭
●知覺其實是對數感覺
星星亮度等級、聲音強弱的分貝、地震的震度級數……
●自然界中的對數和指數
自然界中的指數或對數
◎專欄 不可思議的e=(ex)’=ex

第8章 和三角函數作朋友
三角函數的故事
●給畏懼三角函數的人
sin、cos、tan是好朋友三人組
●用棍子測量高度
泰利斯測量金字塔高度的方法
●跨越障礙的餘弦定理
碰上山或建築物無法直接測量時的距離算法
●正弦定理的測量妙方
神通廣大的三角測量
●電氣也是正弦的世界
若沒有三角函數就日夜不分瞭
●用途無限的三角函數
重現美妙音色的，正弦麯綫的組閤
●傅利葉轉換
DNA的雙重螺鏇構造也可用傅利葉轉換解釋
◎專欄 神秘的Euler公式

第9章 數學展開新世界
新數學的故事
●形狀在空間中的變化
可以發現局部性和全麵性差異的拓樸學
●誰在說謊？
動搖數學基礎的羅素詭論
●何謂不確定性理論？
一個人無法決定自己的價值
●模糊理論
地下鐵或NASA的太空梭都有關係
●天氣預報為何不準確？
模糊不清或無秩序的混沌現象經常可見
●何謂碎形圖形？
介於一維度與二維度之間的維度空間圖形
●破局的分析
破局理論將急遽變化加以規範
●電腦運用的數學
兩個數字組閤即可錶現邏輯
●集閤與邏輯
集閤理論與邏輯推論
●對稱之美
一切都源於哥羅亞的方程式解法
●「維度」另一章
三度、四度、五度……自由思考多維度空間
◎專欄 費瑪大定理的證明

 

數的架構
 
數的觀念從計算開始
 
從曆史的觀點來看，不難想像數學最早的起源是來自計算東西。
 
當人們數著一個、二個、三個蘋果或橘子，一個人或二個人的時候，從這些不同種類的「物」、「人」中，産生數的觀念；這就是自然數的起源。
 
現代人可以隨心所欲加以運用的數，是經過漫長曆史纔被人類掌握；因為實際計算和用數字錶達的抽象觀念之間，有著極大的差距。
 
當然，這種抽象的觀念，會經過某些特定的努力而具體化；經過長久的歲月，藉著許多人的力量，我們纔能一步步認識數學。
 
在我們計算蘋果或橘子的時候，自然地導入瞭加減法的演算。
 
除瞭無限大的數學外，比較小的「正整數」會自然地進入人類的生活中（所以正整數又稱作「自然數」）。
 
數的發展
 
自然數衍生瞭數的觀念之後，人類又發現「零」，接下來齣現「負數」，成為完整的整數結構。
 
當然，從物體的分割，發展齣有理數也是自然的現象；「有理數」指的是分母及分子都是整數（但分母不為零）的分數。
 
若有理數再加入「無理數」，就構成「實數」係統。
 
不過，就像畢達哥拉斯學派的門徒對此持保留意見一樣，無理數正如其名，總叫人覺得是不太自然的數。
 
最後實數加上「虛數」成為「復數」，數的觀念終於暫時劃下休止符；但這並不錶示，這條數學大道從此平坦順遂。
 
由此可知，經過漫長曆史，辛苦纍積的數的觀念，堪稱是人類智慧的結晶。
 
零的發現
 
代錶什麼都沒有，卻具有重要的意義
 
零就是什麼都沒有。
 
「既然是什麼都沒有，那還有存在的意義嗎？」或許很多人都有這種疑問吧！
 
因為人們平常已經相當習慣「」的存在，反而忽略瞭它的價值與重要性。
 
據說「0」這個符號發源於印度。古印度人由地球眺望夜空的星星時，彷彿看到點點或小圈圈，就用「‧」或「0」來錶示，視為「修涅」（無）。而印度的創造之神梵天（普拉夫瑪）相信這種「修涅」必帶有宗教上的意義，纔産生「‧」或「0」代錶「無」之「修涅」的觀念。
 
的存在意義
 
以下可以舉齣「0」這個符號的兩種存在意義。
 
第一是用來錶示「無」的狀態，即所謂的「一元復始」。第二是用來錶示「位數」，例如二百三十的數字寫成。

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