具体描述
AI时代，只有数理强的人不会被淘汰
快入手探索经济及社会脉动的最强武器！
从数字的构成到函数、几何、微积分
丰富的插图和图表
网罗国小到高中数学的重要观念
带你搞懂数学的语言及脉络
打开逻辑思维开关
养成洞察万物的数学之眼
灵活的逻辑能力，取决于数学能力
九大章节，激发你的数理分析潜能
第一章 「数」的探索
→「数」的故事：有理数和无理数、虚数和质数
第二章 「数」的关系
→函数、座标图、方程式的解题公式和解题绝招
第三章 解密几何学之美
→圆周率、面积、欧基里德几何学和非欧基里德几何学
第四章 矩阵的运用
→矩阵与向量、靠赛局理论赢得比赛的方法
第五章 数学之王微积分
→生活周遭无所不在的微积分
第六章 偶然的科学
→机率、排列组合与统计
第七章 生活中的数学
→指数、对数和数列
第八章 和三角函数作朋友
→用途无限的三角函数、傅立叶转换
第九章 数学开展世界
→浅谈拓朴学、破局理论、集合与逻辑
著者信息
川久保胜夫
1942年生于日本长野县，东京大学理学院数学系毕。取得同大学的硕士学位后，曾任普林斯顿高等研究所研究员、纽约州立大学研究员、波昂大学客座教授以及赫尔辛基大学客座教授。目前为大坂大学理学院教授，理学博士，也是日本数理协会的理事兼评议员。
审订者简介
李盈娇
台北市人，台湾大学数学研究所硕士
译者简介
高淑珍
辅仁大学日文系毕，曾任锦秀出版社日文编辑、舜恕编译室日文译者，自组「日文翻译工作室」十多年，目前为多家出版社的特约译者。
图书目录
「数」的故事
●数的架构
数的观念从计算开始
●零的发现
代表什么都没有，却具有重要的意义
●负数的功用
计算数目时少不了负数
●有理数的延伸
从加减乘除演算之数的观念，延伸到有理数
●无理数的存在
有理数已得证，无理数的春天在哪里？
●不可思议的虚数i
复数果真存在吗？
●单纯又神秘的质数
「质数」为数的原子
●专栏 每个数字都有不同的意义
第2章 釐清「数」的关系
「函数」的故事
●何谓函数？
饮料或车票自动贩卖机也是一种函数的运用
●一目了然的座标图
一次函数为直线、二次函数为抛物线、反比为双曲数
●方程式的解题绝招
先建立方程式为解题的要诀
●採用联立方程式的鹤龟算法
复杂的计算在于写出方程式
●二次方程式的解题公式
以二次方程式的判别式判断解答的性质
●三次方程式及解题秘密
数学史上最引人瞩目的解法插曲
◎专栏 真的有方程式解法吗？
第3章 几何学之美与谜
「形状」的故事
●几何学大复活！
三角形的五心──重心、内心、外心、旁心、垂心
●形状的确定
直线构成的图形面积请用三角形求解
●形状的排列
任何的正多角形磁砖的舖设问题
●圆周率的计算历史
圆周率π的故事
●黄金矩形之美
二次方程式与黄金比例
●利用尺及圆规解题
希腊三大难题：倍立方体体积、角的三等份、圆的面积
●正多面积只有五个
「正多面积为无限」是错误观念
●欧基里得几何学
知名度仅次于圣经的《原理》是近代科学方法论的基础
●非欧基里得几何学
与欧基里得几何学体系不同的几何学
◎专栏 代数几何学的研究
第4章 矩阵的运用
矩阵与向量的故事
●矩阵或向量的用途为何？
只有数字陈列的矩阵或向量具有深远的意义
●向量的加法与减法
矩阵或向量按照计算规则发挥力量
●矩阵的乘法
矩阵或向量在乘法中更能发挥作用
●矩阵为一变换的机器
通过某个矩阵后向量变身为新风貌
●用矩阵解联立方程式
只要利用反矩阵即可解开联立方程式
●向量翱翔天空
透过许多力的向量合成可以飞行无碍
●经济上中运用的矩阵！
马可夫链可预测汽车的市场佔有率
●赛局理论运用于网球比赛
经济或运动等竞争全都可借为赛局理论求胜
◎专栏 未来的预测
第5章 数学之王微积分
微分与积分的故事
●重点是计算面积
积分的起源来自古埃及尼罗河的氾滥
●越切越小的图形
阿基米德的构思开启微积分学的大门
●积分的构思
利用极限思考算出曲线图形的面积
●追求瞬间速度
千变万化的速度唯有微分可以掌握
●微分再微分
追踪函数曲线的最大线索是导函数
●微分不离积分
魔棒一挥，微分与积分紧紧相依
●函数f(x)和f’(x)
了解微积分基本定理，积分变简单
●应用微积分
生活周遭都是微积分的应用实例
◎专栏 阿基里斯的比赛
第6章 偶然的科学
机率的故事
●与命运女神邂逅的方法
将「偶然」科学化的机率论起源自赌博
●掷6次必定会出现1次吗？
机率的基本为大数法则──小心不要用错
●排列与组合的观念
在机率中计算场合的数量成为基数
●乱枪打鸟也会中？
「至少……」等机率问题，可运用余事件解释
●不太可靠的直觉
在40人的班级中生日相同者的机率为89%
●先抽先赢？
画成机率的树形图，一清二楚
●红球与白球的机率
制作图表，一清二楚
●赢钱或输钱的平均
运用期望值评估赌博，结果发现都是赔
●乱数具有的深刻意义
乱数无所不在
●统计的比较
平均与标准差
◎专栏 不了解机率的话连命都没了
第7章 这么想就对啦
指数‧对数和数列的故事
●天文学的数字计算
从微小世界到极大世界，都是指数函数的概括范围
●天才数学家高斯的计算
等差数列之和的快速算法
●超乎想像空间的等比数列
多倍数的计算易如反掌
●生活周遭中的等比数列
银行存款、贷款利息、音阶世界等，都是等比数列
●对数世界十分有趣
对数和指数正好相反
●让计算变简单
烦人的复利计算，用对数就对了
●知觉其实是对数感觉
星星亮度等级、声音强弱的分贝、地震的震度级数……
●自然界中的对数和指数
自然界中的指数或对数
◎专栏 不可思议的e=(ex)’=ex
第8章 和三角函数作朋友
三角函数的故事
●给畏惧三角函数的人
sin、cos、tan是好朋友三人组
●用棍子测量高度
泰利斯测量金字塔高度的方法
●跨越障碍的余弦定理
碰上山或建筑物无法直接测量时的距离算法
●正弦定理的测量妙方
神通广大的三角测量
●电气也是正弦的世界
若没有三角函数就日夜不分了
●用途无限的三角函数
重现美妙音色的，正弦曲线的组合
●傅利叶转换
DNA的双重螺旋构造也可用傅利叶转换解释
◎专栏 神秘的Euler公式
第9章 数学展开新世界
新数学的故事
●形状在空间中的变化
可以发现局部性和全面性差异的拓朴学
●谁在说谎？
动摇数学基础的罗素诡论
●何谓不确定性理论？
一个人无法决定自己的价值
●模煳理论
地下铁或NASA的太空梭都有关系
●天气预报为何不准确？
模煳不清或无秩序的混沌现象经常可见
●何谓碎形图形？
介于一维度与二维度之间的维度空间图形
●破局的分析
破局理论将急遽变化加以规范
●电脑运用的数学
两个数字组合即可表现逻辑
●集合与逻辑
集合理论与逻辑推论
●对称之美
一切都源于哥罗亚的方程式解法
●「维度」另一章
三度、四度、五度……自由思考多维度空间
◎专栏 费玛大定理的证明
图书序言
运用数学的灵活思考力，发挥真正的价值
近年来，就业市场出现重大的变革；数学科出身的学生，成为各大企业征才的新宠儿，究其原因不外乎拜电脑普及之赐。不管是要拟定一份新的企划案、解决预估情势外衍生的新问题，数理背景人才的思考灵活，比较能够发挥真正的价值。
类似上述的问题，通常牵涉到许多层面；单凭个人有限的经验，恐怕无法找出问题的症结点。这时我们需要能够分析、综合问题以及理路清晰的能力；而这正是数学的思考法及敏锐度。
曾有一家知名企业老板，针对未来的商界局势说过一句名言：「具有数理能力的人才不会被淘汰！」他所指并非单纯的计算能力或数学认知，而是一再被强调之企业所需，如前所述的数学思考法及数学敏锐度。再者，在会议等场合中的发言受到重视或漠视，能不能以清晰理路展开议论，都和数理有密不可分的关系。
从有趣真实的角度，探索数学的「架构」
有些人，一听到「数学」二字，马上竖起白旗投降；或虽觉得有兴趣，却怎么也记不住数学符号、用语或公式，在入门时就饱受挫折的人也不少。这对身为数学老师的我来说，着实十分遗憾，促使我写作此书。
我深切盼望原来讨厌数学的人，能透过此书，从有趣且深入理解的角度探索数学的「架构」。
在商业书籍中，只强调兴趣本位但论点含煳的作品不少；本书为了帮读者养成用数学思考的好习惯，绝不含煳论点，而以真实的面貌呈现出数学的世界。
我希望尽量以深入浅出的方式，让读者了解数学的世界何其有趣，对人类有多大的帮助；并以周遭的题材为例，採用图文并茂的视觉解说，让每一个人都可以轻易了解。尤其是把说明重点放在「为何这么做？」的动机上，确信一定能产生「原来如此！是这样算啊！」的结果。
例如，一提到三角函数，只要大家了解「为何要认识三角函数」的动机，就会知道三角函数多么简单，且为何现在会被广泛用于高科技领域的理由了。
此外，矩阵或向量正是探索经济或社会脉动的强而有力武器；经由矩阵或向量的运用，复杂现象间的关系变得密切，好比变魔术一般能清楚看到物体之间的关联。
就连许多学生头痛不已的微积分，也能自然地被引导来理解物体变化的样子；结果，在「这个时候，能这么应用吗？」的思考之下，微积分的思维方式或知识，广泛地被运用。
只要稍微用心就会发现，生活周遭的一切事物，都是数学创意延伸的结果。
本书的利用方法
本书分成九大章，利用许多插图或图表解说有关数学的基本架构；为了帮读者做进一步的了解，还提及数学公式或其证明。但原则上，希望读者以稳健的步伐，探索数学的世界。此外，针对一般人常有的疑问，另辟专栏加以说明。而书中的各个章节大多可以单独提出，所以，不论读者从哪个章节着手均可。
愉快又自然地琢磨出数学的感受力，就是我最大的期待。
图书试读
数的观念从计算开始
从历史的观点来看，不难想像数学最早的起源是来自计算东西。
当人们数着一个、二个、三个苹果或橘子，一个人或二个人的时候，从这些不同种类的「物」、「人」中，产生数的观念；这就是自然数的起源。
现代人可以随心所欲加以运用的数，是经过漫长历史才被人类掌握；因为实际计算和用数字表达的抽象观念之间，有着极大的差距。
当然，这种抽象的观念，会经过某些特定的努力而具体化；经过长久的岁月，借着许多人的力量，我们才能一步步认识数学。
在我们计算苹果或橘子的时候，自然地导入了加减法的演算。
除了无限大的数学外，比较小的「正整数」会自然地进入人类的生活中（所以正整数又称作「自然数」）。
数的发展
自然数衍生了数的观念之后，人类又发现「零」，接下来出现「负数」，成为完整的整数结构。
当然，从物体的分割，发展出有理数也是自然的现象；「有理数」指的是分母及分子都是整数（但分母不为零）的分数。
若有理数再加入「无理数」，就构成「实数」系统。
不过，就像毕达哥拉斯学派的门徒对此持保留意见一样，无理数正如其名，总叫人觉得是不太自然的数。
最后实数加上「虚数」成为「复数」，数的观念终于暂时划下休止符；但这并不表示，这条数学大道从此平坦顺遂。
由此可知，经过漫长历史，辛苦累积的数的观念，堪称是人类智慧的结晶。
零的发现
代表什么都没有，却具有重要的意义
零就是什么都没有。
「既然是什么都没有，那还有存在的意义吗？」或许很多人都有这种疑问吧！
因为人们平常已经相当习惯「」的存在，反而忽略了它的价值与重要性。
据说「0」这个符号发源于印度。古印度人由地球眺望夜空的星星时，彷彿看到点点或小圈圈，就用「‧」或「0」来表示，视为「修涅」（无）。而印度的创造之神梵天（普拉夫玛）相信这种「修涅」必带有宗教上的意义，才产生「‧」或「0」代表「无」之「修涅」的观念。
的存在意义
以下可以举出「0」这个符号的两种存在意义。
第一是用来表示「无」的状态，即所谓的「一元复始」。第二是用来表示「位数」，例如二百三十的数字写成。
用户评价
我一直对那些“高屋建瓴”的讲解方式感到不适，仿佛作者站在一个很高的平台，俯视着我这些“凡人”，然后用一套我完全不懂的语言来“赐予”我知识。《图解数学基础入门 全新修订版》则完全不同，它的语气非常平易近人，就像一个耐心细致的学长在旁边和你一起探讨问题。书中的语言风格非常接地气，没有使用太多专业术语，即使有，作者也会用最通俗易懂的方式进行解释。比如，在讲解“变量”的时候，它没有直接给出抽象的定义，而是用一个“盒子”来比喻变量，说它可以装不同的数值，就像一个盒子可以装不同的物品一样。这种“类比”手法贯穿了整本书，让复杂的数学概念变得妙趣横生。而且，书中还经常使用一些“对话式”的语言，仿佛是作者在和我进行一场头脑风暴，引导我去思考。我读这本书的时候，经常会有“哦，原来是这样！”的感觉，这种顿悟的时刻，比单纯的记忆知识点要更有成就感。它让我感觉到，学习数学并不是一件被动接受的事情，而是一个主动探索和发现的过程。
评分这本《图解数学基础入门 全新修订版》简直是我数学启蒙的福音！我一直以来都对数学有着一种莫名的畏惧感，总觉得那些公式、定理高深莫测，难以企及。然而，翻开这本书，我瞬间被它独特的“图解”方式所吸引。它不像我过去接触过的任何一本教材，上来就是一堆密密麻麻的文字和符号。这本书的每一页都像是在给我讲故事，用生动形象的插图将抽象的数学概念具象化。比如，在讲解集合的时候，它不像枯燥地列举元素的交集、并集，而是用不同颜色、大小、形状的图形来代表不同的集合，直观地展示它们之间的关系，我甚至能看到 Venn 图在脑海里“活”过来。在学习函数的部分，更是妙不可言，作者巧妙地运用各种曲线和折线图，将函数的单调性、奇偶性、周期性等特点展现得淋漓尽致。我不再需要费力去背诵那些抽象的定义，而是通过观察图示，就能自己领悟其中的规律。而且，书中的例子也十分贴近生活，不再是那些脱离实际的“苹果香蕉”问题，而是涉及到一些我平时可能遇到但没有意识到可以用数学来解决的场景，比如如何最优地规划购物路线，或者如何理解简单的概率问题。这本书的语言风格也非常亲切，没有那种居高临下的说教感，更像是朋友在耐心教导，让我感觉学习数学不再是一件苦差事，而是一种探索和发现的乐趣。
评分坦白说，我当初买这本书，纯粹是被它的名字吸引。《图解数学基础入门 全新修订版》，听起来就像一本能让我这种数学“小白”也能看懂的宝典。拿到书之后，我并没有立刻投入到学习中，而是先随意翻阅了一下。我发现这本书的排版设计简直是业界良心。每一页都留有足够的空白，让我可以在上面随手写下自己的想法，或者标记出关键的知识点，这一点对于习惯做笔记的我来说，简直太重要了。而且，书中的插图风格统一，色彩搭配也恰到好处，不会显得杂乱无章，反而有一种赏心悦目的感觉。更让我惊喜的是，这本书在讲解一些稍微复杂一点的概念时，会采用“循序渐进”的方式，从最简单的例子入手，逐步引入更深层次的知识。比如，在讲解代数方程时，它不是直接给出通用的求解公式，而是先从一次方程开始，一步步过渡到二次方程，再到高次方程，每一步都留有足够的时间让读者消化。这种“慢节奏”的学习方式，让我感到压力骤减，仿佛可以按照自己的节奏来掌握知识。而且，这本书在章节的衔接上也做得非常自然，前一个知识点往往能为后一个知识点打下基础，让你在学习新内容时不会感到突兀。
评分老实说，我曾经对学习数学抱有一种“重在参与”的心态，总觉得自己天生就不是学数学的料，所以只要跟着老师的节奏，完成作业就好，至于能不能真正理解，也就没那么在意了。《图解数学基础入门 全新修订版》彻底打破了我这种消极的学习态度。这本书最大的特点就是它的“互动性”。它不是一本让你单方面接受知识的书，而是鼓励你去思考、去尝试。在很多章节的末尾，都会有一些“思考题”或者“小挑战”，这些题目并不复杂，但却能引导你去主动运用刚刚学到的知识。我发现，当我主动去思考这些问题时，我对知识的理解就更加深刻了。而且，书中还提供了一些“常见误区”的讲解，作者会提前预设读者可能会犯的错误，并给出详细的解释和纠正方法。这就像有一个经验丰富的老师时刻在你身边提醒你，让你少走弯路。这本书还特别强调了“练习的重要性”，但它提供的练习题也不是那种枯燥乏味的重复性题目，而是设计得非常有针对性，能够帮助你巩固和深化特定知识点。通过这些练习，我甚至发现了一些自己之前没有注意到的细节。
评分我曾经非常害怕数学中的“证明”部分，总觉得它们像是一门玄奥的武功秘籍，我怎么学也学不会。《图解数学基础入门 全新修订版》在这方面给我带来了巨大的信心。它并没有一开始就要求我掌握复杂的证明技巧，而是从最基本的“逻辑推理”入手，用非常直观的方式讲解了命题、公理、定理之间的关系。它通过一些简单的例子，比如“如果下雨，地面就会湿”，来演示如何进行演绎推理和归纳推理。然后，再逐步引入一些相对复杂的证明方法，比如“反证法”和“数学归纳法”。作者在讲解这些方法时，会先解释其核心思想，然后再用具体的数学问题来加以说明，让我能够理解“为什么”要用这种方法，以及“如何”去应用。而且，书中还会提供一些“典型的证明结构”，让我有一个清晰的思路框架，即使面对新的证明题，我也能知道从何入手。这种“循序渐进”的讲解模式，让我不再对证明感到畏惧，反而觉得它是一种充满逻辑美和智慧的挑战。
评分我一直对那些“炫技”式的数学书敬而远之，总觉得它们过于理论化，不接地气，读起来就像在啃一本天书。但是，《图解数学基础入门 全新修订版》彻底颠覆了我对数学读物的看法。这本书最让我印象深刻的是它在讲解数学方法论上的独到之处。它不仅仅是告诉你“是什么”，更重要的是告诉你“怎么想”。例如，在介绍证明题的时候，它并没有直接丢给我一堆证明技巧，而是先花了不少篇幅来讲解“逆向思维”和“构造性证明”的思路。作者通过一系列的实际问题，比如如何找到一个隐藏的缺陷，或者如何设计一个最佳方案，来引导读者体会这些思维方式的强大。我突然意识到，数学的学习不仅仅是记忆公式，更重要的是培养一种严谨而灵活的思考能力。书中对逻辑推理的阐述也十分精妙，它没有把逻辑学写成一门独立的课程，而是将逻辑的思维方式渗透到每一个数学知识点的讲解中。我通过阅读这本书，对“充分条件”、“必要条件”、“充要条件”有了更深刻的理解，不再是死记硬背，而是能根据具体的数学情境来判断。此外，这本书在数学史的穿插上也做得相当不错，偶尔会介绍一些数学家的小故事，或者某个数学概念的发现历程，这些小插曲让原本有些枯燥的数学知识变得生动有趣，也让我看到了数学发展背后的人文关怀。
评分我一直以为，数学的魅力在于它的精准和严谨，而《图解数学基础入门 全新修订版》则向我展示了数学的另一种美——它的创造性和应用性。这本书在讲解很多基本概念时，都强调了它们是如何被发现和发展起来的。比如，在讲解微积分的基本思想时，作者并没有上来就抛出导数和积分的定义，而是通过一个“如何计算不规则图形面积”的实际问题来引入，让我看到了微积分诞生的必要性和它的强大解决问题的能力。这种“从问题到概念”的讲解方式，比单纯的“概念到应用”更加具有启发性。我开始意识到，数学不仅仅是学校里的学科，更是理解世界、改造世界的一种工具。书中还穿插了一些关于数学在现代科技中应用的案例，比如数据分析、人工智能等，这些案例让我对数学的学习有了更强的动力和目标感。我不再是为了应付考试而学习，而是为了更好地理解这个日新月异的世界。而且，这本书在讲解一些抽象概念时，会用一些类比和比喻，让我能够从熟悉的领域去理解陌生的数学原理，比如用“斜坡”来类比导数的概念，用“累积”来类比积分的概念，这些巧妙的比喻让我在学习过程中充满了“原来如此”的惊喜。
评分在我看来，数学的学习不仅是关于“懂”，更是关于“会用”。《图解数学基础入门 全新修订版》在这方面给我带来了极大的启发。它不仅仅局限于数学理论本身，而是将数学与现实生活紧密地联系起来。书中大量的应用案例，让我看到了数学的实际价值。比如，在讲解“比例”时，它不仅仅是告诉你分子分母的关系，而是通过介绍“黄金分割”在艺术和建筑中的应用，以及如何利用比例来缩放图片，让我深刻体会到比例在设计和美学中的重要性。在讲解“概率”时，它更是用生活中常见的抽奖、天气预报等例子，让我理解了概率在决策和风险评估中的作用。这本书让我明白，数学不是一门独立的学科，而是渗透在我们生活的方方面面，只要我们掌握了它，就能更好地理解和改造世界。这种“学以致用”的学习理念，让我对数学的学习充满了期待和动力。我不再觉得数学是“无用之学”，而是变得越来越有价值。
评分我一直认为，数学知识的掌握是一个“积少成多”的过程，尤其是在基础概念不牢固的情况下，越往后学越吃力。《图解数学基础入门 全新修订版》在这方面做得非常出色，它在基础概念的讲解上可谓是“锱铢必较”，力求做到清晰明了，不留任何模糊地带。例如，在讲解“分数”这个看似简单的概念时，它并没有简单地定义分子分母，而是从“分割”和“部分”的角度出发，用各种图形来展示分数的含义，比如一个披萨被切成几块，每一块占多少。我甚至能看到书中的插图，从一个完整的圆，被一点点分割，直到变成无数个小份，这种视觉化的过程让我对分数的概念有了全新的认识。在讲解“负数”时，它更是用温度计、数轴等生活化的例子来解释，让我理解了负数不仅仅是“小于零”，更是表示“相反的方向”或者“亏损”。书中的每一个概念，都好像被拆解成了最基本的构成元素，然后用最直观的方式呈现出来，让我能够一步一步地建立起完整的知识体系。这种“由浅入深”的讲解模式，对于那些曾经对数学感到困难的读者来说，无疑是一剂强心针。
评分我一直认为，一本好的教材，不仅要传授知识，更要激发读者的兴趣。《图解数学基础入门 全新修订版》在这方面做得非常出色。它用一种非常有趣的方式来讲解数学，让我在阅读的过程中，经常会忍俊不禁。书中的一些“冷笑话”式的数学趣题，或者一些关于数学悖论的介绍，都让我对数学产生了浓厚的兴趣。例如，在讲解“无限”的概念时，作者没有直接给出数学上的定义，而是用一个“旅店悖论”来引入，让我通过思考这个悖论，来体会无限的奇妙之处。这种“寓教于乐”的方式，让我觉得学习数学不再是一件枯燥乏味的事情，而是一种充满探索和乐趣的体验。而且，书中的图文结合也做得非常精妙，每一幅插图都恰到好处地呼应了文字内容，让我在视觉上也得到了极大的享受。我甚至觉得，这本书更像是一本“数学绘本”，让我能够轻松愉快地走进数学的世界，发现数学的魅力。
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