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生活周遭的一切事物，都是数学创意延伸的结果
　　AI时代，只有数理强的人不会被淘汰
　　快入手探索经济及社会脉动的最强武器！

　　从数字的构成到函数、几何、微积分
　　丰富的插图和图表
　　网罗国小到高中数学的重要观念
　　带你搞懂数学的语言及脉络
　　打开逻辑思维开关
　　养成洞察万物的数学之眼
　　灵活的逻辑能力，取决于数学能力
　　九大章节，激发你的数理分析潜能

　　第一章 「数」的探索
　　→「数」的故事：有理数和无理数、虚数和质数
　　第二章 「数」的关系
　　→函数、座标图、方程式的解题公式和解题绝招
　　第三章 解密几何学之美
　　→圆周率、面积、欧基里德几何学和非欧基里德几何学
　　第四章 矩阵的运用
　　→矩阵与向量、靠赛局理论赢得比赛的方法
　　第五章 数学之王微积分
　　→生活周遭无所不在的微积分
　　第六章 偶然的科学
　　→机率、排列组合与统计
　　第七章 生活中的数学
　　→指数、对数和数列
　　第八章 和三角函数作朋友
　　→用途无限的三角函数、傅立叶转换
　　第九章 数学开展世界
　　→浅谈拓朴学、破局理论、集合与逻辑


 

作者简介

川久保胜夫

　　1942年生于日本长野县，东京大学理学院数学系毕。取得同大学的硕士学位后，曾任普林斯顿高等研究所研究员、纽约州立大学研究员、波昂大学客座教授以及赫尔辛基大学客座教授。目前为大坂大学理学院教授，理学博士，也是日本数理协会的理事兼评议员。

审订者简介

李盈娇

　　台北市人，台湾大学数学研究所硕士

译者简介

高淑珍

　　辅仁大学日文系毕，曾任锦秀出版社日文编辑、舜恕编译室日文译者，自组「日文翻译工作室」十多年，目前为多家出版社的特约译者。
 

第1章 「数」的探索
「数」的故事
●数的架构
数的观念从计算开始
●零的发现
代表什么都没有，却具有重要的意义
●负数的功用
计算数目时少不了负数
●有理数的延伸
从加减乘除演算之数的观念，延伸到有理数
●无理数的存在
有理数已得证，无理数的春天在哪里？
●不可思议的虚数i
复数果真存在吗？
●单纯又神秘的质数
「质数」为数的原子
●专栏 每个数字都有不同的意义

第2章 釐清「数」的关系
「函数」的故事
●何谓函数？
饮料或车票自动贩卖机也是一种函数的运用
●一目了然的座标图
一次函数为直线、二次函数为抛物线、反比为双曲数
●方程式的解题绝招
先建立方程式为解题的要诀
●採用联立方程式的鹤龟算法
复杂的计算在于写出方程式
●二次方程式的解题公式
以二次方程式的判别式判断解答的性质
●三次方程式及解题秘密
数学史上最引人瞩目的解法插曲
◎专栏 真的有方程式解法吗？

第3章 几何学之美与谜
「形状」的故事
●几何学大复活！
三角形的五心──重心、内心、外心、旁心、垂心
●形状的确定
直线构成的图形面积请用三角形求解
●形状的排列
任何的正多角形磁砖的舖设问题
●圆周率的计算历史
圆周率π的故事
●黄金矩形之美
二次方程式与黄金比例
●利用尺及圆规解题
希腊三大难题：倍立方体体积、角的三等份、圆的面积
●正多面积只有五个
「正多面积为无限」是错误观念
●欧基里得几何学
知名度仅次于圣经的《原理》是近代科学方法论的基础
●非欧基里得几何学
与欧基里得几何学体系不同的几何学
◎专栏 代数几何学的研究

第4章 矩阵的运用
矩阵与向量的故事
●矩阵或向量的用途为何？
只有数字陈列的矩阵或向量具有深远的意义
●向量的加法与减法
矩阵或向量按照计算规则发挥力量
●矩阵的乘法
矩阵或向量在乘法中更能发挥作用
●矩阵为一变换的机器
通过某个矩阵后向量变身为新风貌
●用矩阵解联立方程式
只要利用反矩阵即可解开联立方程式
●向量翱翔天空
透过许多力的向量合成可以飞行无碍
●经济上中运用的矩阵！
马可夫链可预测汽车的市场佔有率
●赛局理论运用于网球比赛
经济或运动等竞争全都可借为赛局理论求胜
◎专栏 未来的预测

第5章 数学之王微积分
微分与积分的故事
●重点是计算面积
积分的起源来自古埃及尼罗河的氾滥
●越切越小的图形
阿基米德的构思开启微积分学的大门
●积分的构思
利用极限思考算出曲线图形的面积
●追求瞬间速度
千变万化的速度唯有微分可以掌握
●微分再微分
追踪函数曲线的最大线索是导函数
●微分不离积分
魔棒一挥，微分与积分紧紧相依
●函数f(x)和f’(x)
了解微积分基本定理，积分变简单
●应用微积分
生活周遭都是微积分的应用实例
◎专栏 阿基里斯的比赛

第6章 偶然的科学
机率的故事
●与命运女神邂逅的方法
将「偶然」科学化的机率论起源自赌博
●掷6次必定会出现1次吗？
机率的基本为大数法则──小心不要用错
●排列与组合的观念
在机率中计算场合的数量成为基数
●乱枪打鸟也会中？
「至少……」等机率问题，可运用余事件解释
●不太可靠的直觉
在40人的班级中生日相同者的机率为89%
●先抽先赢？
画成机率的树形图，一清二楚
●红球与白球的机率
制作图表，一清二楚
●赢钱或输钱的平均
运用期望值评估赌博，结果发现都是赔
●乱数具有的深刻意义
乱数无所不在
●统计的比较
平均与标准差
◎专栏 不了解机率的话连命都没了

第7章 这么想就对啦
指数‧对数和数列的故事
●天文学的数字计算
从微小世界到极大世界，都是指数函数的概括范围
●天才数学家高斯的计算
等差数列之和的快速算法
●超乎想像空间的等比数列
多倍数的计算易如反掌
●生活周遭中的等比数列
银行存款、贷款利息、音阶世界等，都是等比数列
●对数世界十分有趣
对数和指数正好相反
●让计算变简单
烦人的复利计算，用对数就对了
●知觉其实是对数感觉
星星亮度等级、声音强弱的分贝、地震的震度级数……
●自然界中的对数和指数
自然界中的指数或对数
◎专栏 不可思议的e=(ex)’=ex

第8章 和三角函数作朋友
三角函数的故事
●给畏惧三角函数的人
sin、cos、tan是好朋友三人组
●用棍子测量高度
泰利斯测量金字塔高度的方法
●跨越障碍的余弦定理
碰上山或建筑物无法直接测量时的距离算法
●正弦定理的测量妙方
神通广大的三角测量
●电气也是正弦的世界
若没有三角函数就日夜不分了
●用途无限的三角函数
重现美妙音色的，正弦曲线的组合
●傅利叶转换
DNA的双重螺旋构造也可用傅利叶转换解释
◎专栏 神秘的Euler公式

第9章 数学展开新世界
新数学的故事
●形状在空间中的变化
可以发现局部性和全面性差异的拓朴学
●谁在说谎？
动摇数学基础的罗素诡论
●何谓不确定性理论？
一个人无法决定自己的价值
●模煳理论
地下铁或NASA的太空梭都有关系
●天气预报为何不准确？
模煳不清或无秩序的混沌现象经常可见
●何谓碎形图形？
介于一维度与二维度之间的维度空间图形
●破局的分析
破局理论将急遽变化加以规范
●电脑运用的数学
两个数字组合即可表现逻辑
●集合与逻辑
集合理论与逻辑推论
●对称之美
一切都源于哥罗亚的方程式解法
●「维度」另一章
三度、四度、五度……自由思考多维度空间
◎专栏 费玛大定理的证明

 

数的架构
 
数的观念从计算开始
 
从历史的观点来看，不难想像数学最早的起源是来自计算东西。
 
当人们数着一个、二个、三个苹果或橘子，一个人或二个人的时候，从这些不同种类的「物」、「人」中，产生数的观念；这就是自然数的起源。
 
现代人可以随心所欲加以运用的数，是经过漫长历史才被人类掌握；因为实际计算和用数字表达的抽象观念之间，有着极大的差距。
 
当然，这种抽象的观念，会经过某些特定的努力而具体化；经过长久的岁月，借着许多人的力量，我们才能一步步认识数学。
 
在我们计算苹果或橘子的时候，自然地导入了加减法的演算。
 
除了无限大的数学外，比较小的「正整数」会自然地进入人类的生活中（所以正整数又称作「自然数」）。
 
数的发展
 
自然数衍生了数的观念之后，人类又发现「零」，接下来出现「负数」，成为完整的整数结构。
 
当然，从物体的分割，发展出有理数也是自然的现象；「有理数」指的是分母及分子都是整数（但分母不为零）的分数。
 
若有理数再加入「无理数」，就构成「实数」系统。
 
不过，就像毕达哥拉斯学派的门徒对此持保留意见一样，无理数正如其名，总叫人觉得是不太自然的数。
 
最后实数加上「虚数」成为「复数」，数的观念终于暂时划下休止符；但这并不表示，这条数学大道从此平坦顺遂。
 
由此可知，经过漫长历史，辛苦累积的数的观念，堪称是人类智慧的结晶。
 
零的发现
 
代表什么都没有，却具有重要的意义
 
零就是什么都没有。
 
「既然是什么都没有，那还有存在的意义吗？」或许很多人都有这种疑问吧！
 
因为人们平常已经相当习惯「」的存在，反而忽略了它的价值与重要性。
 
据说「0」这个符号发源于印度。古印度人由地球眺望夜空的星星时，彷彿看到点点或小圈圈，就用「‧」或「0」来表示，视为「修涅」（无）。而印度的创造之神梵天（普拉夫玛）相信这种「修涅」必带有宗教上的意义，才产生「‧」或「0」代表「无」之「修涅」的观念。
 
的存在意义
 
以下可以举出「0」这个符号的两种存在意义。
 
第一是用来表示「无」的状态，即所谓的「一元复始」。第二是用来表示「位数」，例如二百三十的数字写成。

None