无限小（修订版）：一个危险的数学理论如何形塑现代世界 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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原文作者： Amir Alexander

现代世纪的灵魂取决于无限小
　　无限小的战争是一场你死我活的生存之战，无限小的胜利带来了现代文明的进步
　　无限小理论是微积分与许多现代数学以及科技的基础，它究竟如何影响十六、十七世纪的文明发展？

　　从欧洲宗教战争到英国内战，从耶稣会到英国皇家学会，从伽利略到牛顿，无限小是无数神学家、数学家、哲学家热辣辣战争的主角，它也是欧洲科学进步、思想自由以及更宽容社会的关键，义大利与英国成为现代国家的分野。

　　一六三二年八月十日，五位穿着飘拂黑袍的人，受召在一栋堂皇却阴沉的罗马建筑物中，裁定一个令人误以为简单的理论：一条连续的线是由独立但无限的微小部分组成。耶稣会的神父们大笔一挥，禁止了无限小的概念，宣布永远不能教授这个理论，甚至连提都不准提。他们认为这个概念危险又具颠覆性，对世界是一个有秩序的地方，而且由一套严格而不变的规定所治理的这个信仰有威胁。如果接受了无限小，耶稣会害怕整个世界都将堕入混沌。

　　获奖无数的历史学家阿米尔．亚历山大在《无限小》中揭发了耶稣会这个裁决背后的深层原因，并叙述无限小的理论如何继续，终于成为微积分与许多现代数学、现在科学理论与科技的基础。的确，并非所有人都赞同耶稣会。欧洲各地的哲学家、科学家与数学家都接受无限小，并将之视为科学进步、思想自由以及更宽容社会的关键。一如亚历山大在书中所揭露的，支持与反对无限小的两大阵营在开打前，欧洲的阶级与秩序力量就已经在对抗多样化和改变的力量了。

　　这个故事把我们从欧洲宗教战争与英国内战的血腥战场，带到当时最伟大的数学家与哲学家的生活中，包括伽利略、托里切利、牛顿、贝拉明枢机主教、汤玛斯．霍布斯、克里斯多佛．克拉维乌斯与约翰．瓦里斯。在义大利，无限小的挫败预告了这个国家主导欧洲文化的朝代已经结束；而在英国，无限小的胜利则帮助了这个岛国走向了世界第一个现代国家之路。

　　从德国的帝国城市到英国萨里郡，从罗马教廷到伦敦皇家学会的大堂，亚历山大阐述了一个数学观念的歧异如何演变成天体与地球的争论。无限小的矛盾与弹性对应到政治态度的独断与民主政体，摒除无限小，除了教宗与国王的正统性，还有我们所相信的人类自由与进步的科学，全都岌岌可危。

好评推荐

　　「无限小」这个数学观念，差一点就被威权扼杀了。而你无法想像，如果没有「无限小」这个观念，人类文明会停滞在哪个阶段！所以，这本书讲的是历史，而不是数学。……好好读一下这本书，大有益。──历史评论家　公孙策

　　这本书其实就很像托里切利的21道抛物线面积证明，名为介绍抛物线，实则宣扬无限小概念；名为介绍数学概念，实则介绍了整个中世纪错综复杂的学术、宗教、信念之争。……如果说我们觉得课本里的数学无趣，那很可能不是知识本身的问题，而是我们学习的方法，将前人所有的努力浓缩成一行结果、一条式子，让知识失去了灵魂，只剩下冰冷的躯壳。
这本书重新替无限符号「∞」注入了灵魂。──台师大电机系助理教授、数感实验室共同创办人　赖以威

　　艾米尔．亚历山大用高度的智慧与超凡的精力，勾勒出史上一次着名的论争，大家争辩着数学能否简化成具有条理与逻辑性的严谨推论模式，或者相反的，数学可否成为探索世界奥秘的一种无限制且振奋人心的努力方式)。《无限小》告诉我们数学课程为什么在现代世界如此受到重视。──剑桥大学科学史教授　赛门．夏佛（Simon Schaffer）

　　艾米尔．亚历山大在《无限小》中，为数学成为现代主角的滥觞，提供了一个新的演绎。他重新赋予无限小战争中各个主人翁鲜活的生命，就像他们仍活在我们身边，却保存了历史的真貌。他的笔无缝融合了文化历史与故事性，娓娓地并行道出数学概念与数学名人的出现。如此有趣的数学历史，自古以来都是凤毛麟角。──哥伦比亚与巴黎狄德罗大学数学教授　麦可．哈里斯（Michael Harris）

　　你可能难以置信大名鼎鼎的数学家、哲学家与宗教思想家会为了无限小参与一场辛辣的争议，但这确实是十七世纪发生的事情。在《无限小》这本书中，艾米尔．亚历山大将这场引人入胜的战争，化成了历史与知识。──太空望远镜科学研究院（Space Telescope Science Institute）天体物理学家与《出色谬误》（Brilliant Blunders）作者　马里欧．李维欧（Mario Livio）

　　我们自以为知道故事的全貌：哥白尼、伽利略、太阳中心论、教会轻率的责难。出色的《无限小》，却将原子论的这个深度颠覆理论与相关的数学理论，置于现代科学的核心位置。──加州洛杉矶分校杰出历史教授　玛格丽特．雅各（Margaret C. Jacob）

　　艾米尔．亚历山大在这本魅力十足的书中，生动地重塑科学历史上一段陌生到让人觉得奇妙的章节。原来条理缜密的数学分析基础之争，竟是毫不夸张的生死大事；狂热的耶稣会与英国哲学家，为了几何学的本质争论不休，背后牵动的是双方悬而待决的社会命运。看了这本书，微积分在你眼中，绝对不会再和以前一样了。──威斯康辛大学麦迪逊分校数学教授与《怎么不错》（How Not to Be Wrong）作者　乔丹．艾伦伯格（Jordan Ellenberg）

　　一段引人入胜的故事，阐述了一个数学概念的力量，如何改变这个世界。艾米尔．亚历山大优雅又活力十足地写下了热情、政治与知识的追求如何在数学的竞技场上碰撞，然后创造出现代的面貌。每一页都满载着非凡人物与想法的迷人故事，《无限小》能帮你更深刻地了解这个世界。──加州柏克莱分校数学教授与《爱与数学》（Love and Math）作者　爱德华．法兰柯（Edward Frenkel）

作者简介

艾米尔．亚历山大Amir Alexander

　　艾米尔．亚历山大是作家、历史学家与数学家，作品探讨数学、社会与文化之间的关连。他任教于加州大学洛杉矶分校，教授历史。他也是得奖作品《几何风情》（Geometrical Landscape）与《黎明对决》（Duel at Dawn）的作者。他的作品曾刊载于《自然》杂志（Nature）、《卫报》（the Guardian）、《纽约时报》以及其他刊物。亚历山大目前居住在洛杉矶。

　　相关着作:《无限小：一个危险的数学理论如何形塑现代世界》

译者简介

麦慧芬

　　麦慧芬，东海大学外文系学士、美国奥勒冈大学比较文学系硕士，译有《狗史》、《暗星萨伐旅》、《在遥远那方的太阳鸟》、《医生，请你一定要帮帮我》、《明日世界的律师》等三十多本书。译者深信翻译是世上最棒的工作，希望活到老、翻到老，继续接触各个领域的好书。

〈导读〉无限的矛盾，无限的力量                              赖以威
〈推荐〉新想法的成功之道──有智慧、有策略地说服旧秩序      公孙策

前言：出国的大臣
法国大臣索必耶拜访英国，也受到伦敦皇家学会的热情招待，但是索必耶却盛赞皇家学会的敌人霍布斯，并害得自己遭路易十四驱出宫廷。幕后隐情其实跟当时的数学理论战争颇有关连。

第一部      对抗失序的战争：耶稣会与无限小的对立
圣罗耀拉的弟子
耶稣会创建在一个天主教开始没落的时代，依纳爵的罗耀拉和他的弟子们展开一连串复兴天主教的行动，但其中最耀眼的成就，却是在各地区建立的教育学院。

数学秩序
耶稣会的教育体系中，原本并不特别注重数学，但在克拉维乌斯神父持续努力下，终于成为耶稣会的教育重心。耶稣会重视数学，因为数学是一种以逻辑步骤说出真理、无人能否定其证明结果的学科，但这时的数学，仍以欧几里得数学原则为主。

数学失序
虔诚的教徒伽利略，也是当时最伟大的科学家。他为了自己的学说，槓上了耶稣会和教廷，最终被送进宗教审判所，人生最后十几年都在软禁中度过。伽利略的弟子卡瓦列里与托里切利持续提出不可分量和无限小的理论证明，更持续增强耶稣会想要压制这个矛盾理论的决心，无限小的战争即将引爆。

你死或我亡：「无限小」的战争
耶稣会总校订决议整个耶稣会体系都不得教授与讨论无限小。耶稣会和支持伽利略的锐眼学会之间，为了维持欧几里得几何学理论或迎接新的无限小方法而开战。

数学家的战役
支持欧几里得几何学论点的耶稣会数学家古尔丁、贝蒂尼与塔凯，与支持无限小与不可分量学说的耶稣教团卡瓦列里、托里切利和安洁里。表面上是数学论战，实际上耶稣会数学家还为了护卫神学上的论点。

第二部      《巨灵论》与无限小
《巨灵论》的出现
英国内战和空位期当时的民不聊生与内部动乱，令卡文迪许家族的家臣霍布斯，写下哲学杰作《巨灵论》。

几何学家汤玛斯．霍布斯
几何学中，每一个结果都是建立在另一个较简单的结果之上，因此可以一步步符合逻辑地向前推进，从不证自明的真理，朝着愈来愈复杂的真理迈进。霍布斯因此认为数学应该没有解不开的难题。

约翰．瓦里斯是何方神圣？
在数学家瓦里斯的眼中，数学毫无贵族气息，彻头彻尾就是一个得到有用结果的实用工具。也因此，他和「隐形大学」（后来成为「皇家学会」）的伙伴对数学的使用方式与霍布斯大相迳庭。

新世界的数学
归纳法和实验数学，让皇家学会的会员与英国菁英分子逐渐将这种开放讨论与有弹性的态度应用到学术与政治立场上，于是英国迈上君主立宪之途，各种科学研究也不断开花结果，于是英国成为欧洲最先现代化的国家。

后记：两个现代
随着无限小战争的开打，义大利的尖端数学停滞不前，英国的数学却快速成为主导欧洲的国家传统之一，仅有法国可与之匹敌。

人物表
大事记
致谢辞

第四章　「你死或我亡」：无限小的战争
 
无限小的危险
 
依据耶稣会数学家安德烈．塔凯（André Tacquet，1612~60）那个时代的标准，他算是位饱经世故之人。虽然从未踏足家乡法兰德斯以外之地，他的通信网却跨越了欧洲的宗教分裂，抵达了义大利与法国，甚至还到了信奉新教的荷兰与英国。塔凯在去世前几个月，还招待过荷兰的博学之士克里斯提安．惠更斯（Christiaan Huygens），而惠更斯之所以到安特卫普，也明白表示是为了见当时被视为耶稣会历来最明亮的数学之星塔凯。两人会面的时间虽然只有短短数天，但相处甚为愉快，连耶稣会都相信他已设法成功说服惠更斯改信天主教（事实并非如此）。超越十七世纪宗教偏见的，并非塔凯的个人魅力，而是他卓越的数学能力。在英国，非耶稣会友人的皇家学会秘书亨利．奥登柏格，于1669 年1 月的学会会议上，用了过多的时间叙述塔凯的《数学文集》（Opera mathematica），这考验了学会伙伴们的耐性，他也特别为此道歉。尽管如此，他仍坚持那本书是「有史以来最好的数学书籍之一」。
 
塔凯之所以有这样的数学声誉，主要是因为他1651 年的作品《圆柱与环四辑》。他在书中展现出对当时整个数学领域了若指掌，除此之外，他同时利用古典方式以及同侪与新近前辈所发展出来的新方法，计算几何图形的面积与体积。只不过一提到不可分量，这位态度通常温和的耶稣会会员，就会变得不太客气：
 
我认为不可分量的证明方式既不正当也不几何……许多几何学家都同意，一个点移动就会产生一条线、一条线移动就形成一个面、一个面移动就会造成一个立体。但一个不可分量经过移动而形成一个数量这样的说法，与许多不可分量构成一个数量的说法大不相同。前者的真理经过了完全确认，后者却会引发几何战争，且其规模将达到不是你死就是我亡的程度。

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