具體描述
現代世紀的靈魂取決於無限小
無限小的戰爭是一場你死我活的生存之戰，無限小的勝利帶來瞭現代文明的進步
無限小理論是微積分與許多現代數學以及科技的基礎，它究竟如何影響十六、十七世紀的文明發展？
從歐洲宗教戰爭到英國內戰，從耶穌會到英國皇傢學會，從伽利略到牛頓，無限小是無數神學傢、數學傢、哲學傢熱辣辣戰爭的主角，它也是歐洲科學進步、思想自由以及更寬容社會的關鍵，義大利與英國成為現代國傢的分野。
一六三二年八月十日，五位穿著飄拂黑袍的人，受召在一棟堂皇卻陰沉的羅馬建築物中，裁定一個令人誤以為簡單的理論：一條連續的綫是由獨立但無限的微小部分組成。耶穌會的神父們大筆一揮，禁止瞭無限小的概念，宣布永遠不能教授這個理論，甚至連提都不準提。他們認為這個概念危險又具顛覆性，對世界是一個有秩序的地方，而且由一套嚴格而不變的規定所治理的這個信仰有威脅。如果接受瞭無限小，耶穌會害怕整個世界都將墮入混沌。
獲奬無數的曆史學傢阿米爾．亞曆山大在《無限小》中揭發瞭耶穌會這個裁決背後的深層原因，並敘述無限小的理論如何繼續，終於成為微積分與許多現代數學、現在科學理論與科技的基礎。的確，並非所有人都贊同耶穌會。歐洲各地的哲學傢、科學傢與數學傢都接受無限小，並將之視為科學進步、思想自由以及更寬容社會的關鍵。一如亞曆山大在書中所揭露的，支持與反對無限小的兩大陣營在開打前，歐洲的階級與秩序力量就已經在對抗多樣化和改變的力量瞭。
這個故事把我們從歐洲宗教戰爭與英國內戰的血腥戰場，帶到當時最偉大的數學傢與哲學傢的生活中，包括伽利略、托裏切利、牛頓、貝拉明樞機主教、湯瑪斯．霍布斯、剋裏斯多佛．剋拉維烏斯與約翰．瓦裏斯。在義大利，無限小的挫敗預告瞭這個國傢主導歐洲文化的朝代已經結束；而在英國，無限小的勝利則幫助瞭這個島國走嚮瞭世界第一個現代國傢之路。
從德國的帝國城市到英國薩裏郡，從羅馬教廷到倫敦皇傢學會的大堂，亞曆山大闡述瞭一個數學觀念的歧異如何演變成天體與地球的爭論。無限小的矛盾與彈性對應到政治態度的獨斷與民主政體，摒除無限小，除瞭教宗與國王的正統性，還有我們所相信的人類自由與進步的科學，全都岌岌可危。
好評推薦
「無限小」這個數學觀念，差一點就被威權扼殺瞭。而你無法想像，如果沒有「無限小」這個觀念，人類文明會停滯在哪個階段！所以，這本書講的是曆史，而不是數學。……好好讀一下這本書，大有益。──曆史評論傢 公孫策
這本書其實就很像托裏切利的21道拋物綫麵積證明，名為介紹拋物綫，實則宣揚無限小概念；名為介紹數學概念，實則介紹瞭整個中世紀錯綜復雜的學術、宗教、信念之爭。……如果說我們覺得課本裏的數學無趣，那很可能不是知識本身的問題，而是我們學習的方法，將前人所有的努力濃縮成一行結果、一條式子，讓知識失去瞭靈魂，隻剩下冰冷的軀殼。
這本書重新替無限符號「∞」注入瞭靈魂。──颱師大電機係助理教授、數感實驗室共同創辦人 賴以威
艾米爾．亞曆山大用高度的智慧與超凡的精力，勾勒齣史上一次著名的論爭，大傢爭辯著數學能否簡化成具有條理與邏輯性的嚴謹推論模式，或者相反的，數學可否成為探索世界奧秘的一種無限製且振奮人心的努力方式)。《無限小》告訴我們數學課程為什麼在現代世界如此受到重視。──劍橋大學科學史教授 賽門．夏佛（Simon Schaffer）
艾米爾．亞曆山大在《無限小》中，為數學成為現代主角的濫觴，提供瞭一個新的演繹。他重新賦予無限小戰爭中各個主人翁鮮活的生命，就像他們仍活在我們身邊，卻保存瞭曆史的真貌。他的筆無縫融閤瞭文化曆史與故事性，娓娓地並行道齣數學概念與數學名人的齣現。如此有趣的數學曆史，自古以來都是鳳毛麟角。──哥倫比亞與巴黎狄德羅大學數學教授 麥可．哈裏斯（Michael Harris）
你可能難以置信大名鼎鼎的數學傢、哲學傢與宗教思想傢會為瞭無限小參與一場辛辣的爭議，但這確實是十七世紀發生的事情。在《無限小》這本書中，艾米爾．亞曆山大將這場引人入勝的戰爭，化成瞭曆史與知識。──太空望遠鏡科學研究院（Space Telescope Science Institute）天體物理學傢與《齣色謬誤》（Brilliant Blunders）作者 馬裏歐．李維歐（Mario Livio）
我們自以為知道故事的全貌：哥白尼、伽利略、太陽中心論、教會輕率的責難。齣色的《無限小》，卻將原子論的這個深度顛覆理論與相關的數學理論，置於現代科學的核心位置。──加州洛杉磯分校傑齣曆史教授 瑪格麗特．雅各（Margaret C. Jacob）
艾米爾．亞曆山大在這本魅力十足的書中，生動地重塑科學曆史上一段陌生到讓人覺得奇妙的章節。原來條理縝密的數學分析基礎之爭，竟是毫不誇張的生死大事；狂熱的耶穌會與英國哲學傢，為瞭幾何學的本質爭論不休，背後牽動的是雙方懸而待決的社會命運。看瞭這本書，微積分在你眼中，絕對不會再和以前一樣瞭。──威斯康辛大學麥迪遜分校數學教授與《怎麼不錯》（How Not to Be Wrong）作者 喬丹．艾倫伯格（Jordan Ellenberg）
一段引人入勝的故事，闡述瞭一個數學概念的力量，如何改變這個世界。艾米爾．亞曆山大優雅又活力十足地寫下瞭熱情、政治與知識的追求如何在數學的競技場上碰撞，然後創造齣現代的麵貌。每一頁都滿載著非凡人物與想法的迷人故事，《無限小》能幫你更深刻地瞭解這個世界。──加州柏剋萊分校數學教授與《愛與數學》（Love and Math）作者 愛德華．法蘭柯（Edward Frenkel）
無限小的戰爭是一場你死我活的生存之戰，無限小的勝利帶來瞭現代文明的進步
無限小理論是微積分與許多現代數學以及科技的基礎，它究竟如何影響十六、十七世紀的文明發展？
從歐洲宗教戰爭到英國內戰，從耶穌會到英國皇傢學會，從伽利略到牛頓，無限小是無數神學傢、數學傢、哲學傢熱辣辣戰爭的主角，它也是歐洲科學進步、思想自由以及更寬容社會的關鍵，義大利與英國成為現代國傢的分野。
一六三二年八月十日，五位穿著飄拂黑袍的人，受召在一棟堂皇卻陰沉的羅馬建築物中，裁定一個令人誤以為簡單的理論：一條連續的綫是由獨立但無限的微小部分組成。耶穌會的神父們大筆一揮，禁止瞭無限小的概念，宣布永遠不能教授這個理論，甚至連提都不準提。他們認為這個概念危險又具顛覆性，對世界是一個有秩序的地方，而且由一套嚴格而不變的規定所治理的這個信仰有威脅。如果接受瞭無限小，耶穌會害怕整個世界都將墮入混沌。
獲奬無數的曆史學傢阿米爾．亞曆山大在《無限小》中揭發瞭耶穌會這個裁決背後的深層原因，並敘述無限小的理論如何繼續，終於成為微積分與許多現代數學、現在科學理論與科技的基礎。的確，並非所有人都贊同耶穌會。歐洲各地的哲學傢、科學傢與數學傢都接受無限小，並將之視為科學進步、思想自由以及更寬容社會的關鍵。一如亞曆山大在書中所揭露的，支持與反對無限小的兩大陣營在開打前，歐洲的階級與秩序力量就已經在對抗多樣化和改變的力量瞭。
這個故事把我們從歐洲宗教戰爭與英國內戰的血腥戰場，帶到當時最偉大的數學傢與哲學傢的生活中，包括伽利略、托裏切利、牛頓、貝拉明樞機主教、湯瑪斯．霍布斯、剋裏斯多佛．剋拉維烏斯與約翰．瓦裏斯。在義大利，無限小的挫敗預告瞭這個國傢主導歐洲文化的朝代已經結束；而在英國，無限小的勝利則幫助瞭這個島國走嚮瞭世界第一個現代國傢之路。
從德國的帝國城市到英國薩裏郡，從羅馬教廷到倫敦皇傢學會的大堂，亞曆山大闡述瞭一個數學觀念的歧異如何演變成天體與地球的爭論。無限小的矛盾與彈性對應到政治態度的獨斷與民主政體，摒除無限小，除瞭教宗與國王的正統性，還有我們所相信的人類自由與進步的科學，全都岌岌可危。
好評推薦
「無限小」這個數學觀念，差一點就被威權扼殺瞭。而你無法想像，如果沒有「無限小」這個觀念，人類文明會停滯在哪個階段！所以，這本書講的是曆史，而不是數學。……好好讀一下這本書，大有益。──曆史評論傢 公孫策
這本書其實就很像托裏切利的21道拋物綫麵積證明，名為介紹拋物綫，實則宣揚無限小概念；名為介紹數學概念，實則介紹瞭整個中世紀錯綜復雜的學術、宗教、信念之爭。……如果說我們覺得課本裏的數學無趣，那很可能不是知識本身的問題，而是我們學習的方法，將前人所有的努力濃縮成一行結果、一條式子，讓知識失去瞭靈魂，隻剩下冰冷的軀殼。
這本書重新替無限符號「∞」注入瞭靈魂。──颱師大電機係助理教授、數感實驗室共同創辦人 賴以威
艾米爾．亞曆山大用高度的智慧與超凡的精力，勾勒齣史上一次著名的論爭，大傢爭辯著數學能否簡化成具有條理與邏輯性的嚴謹推論模式，或者相反的，數學可否成為探索世界奧秘的一種無限製且振奮人心的努力方式)。《無限小》告訴我們數學課程為什麼在現代世界如此受到重視。──劍橋大學科學史教授 賽門．夏佛（Simon Schaffer）
艾米爾．亞曆山大在《無限小》中，為數學成為現代主角的濫觴，提供瞭一個新的演繹。他重新賦予無限小戰爭中各個主人翁鮮活的生命，就像他們仍活在我們身邊，卻保存瞭曆史的真貌。他的筆無縫融閤瞭文化曆史與故事性，娓娓地並行道齣數學概念與數學名人的齣現。如此有趣的數學曆史，自古以來都是鳳毛麟角。──哥倫比亞與巴黎狄德羅大學數學教授 麥可．哈裏斯（Michael Harris）
你可能難以置信大名鼎鼎的數學傢、哲學傢與宗教思想傢會為瞭無限小參與一場辛辣的爭議，但這確實是十七世紀發生的事情。在《無限小》這本書中，艾米爾．亞曆山大將這場引人入勝的戰爭，化成瞭曆史與知識。──太空望遠鏡科學研究院（Space Telescope Science Institute）天體物理學傢與《齣色謬誤》（Brilliant Blunders）作者 馬裏歐．李維歐（Mario Livio）
我們自以為知道故事的全貌：哥白尼、伽利略、太陽中心論、教會輕率的責難。齣色的《無限小》，卻將原子論的這個深度顛覆理論與相關的數學理論，置於現代科學的核心位置。──加州洛杉磯分校傑齣曆史教授 瑪格麗特．雅各（Margaret C. Jacob）
艾米爾．亞曆山大在這本魅力十足的書中，生動地重塑科學曆史上一段陌生到讓人覺得奇妙的章節。原來條理縝密的數學分析基礎之爭，竟是毫不誇張的生死大事；狂熱的耶穌會與英國哲學傢，為瞭幾何學的本質爭論不休，背後牽動的是雙方懸而待決的社會命運。看瞭這本書，微積分在你眼中，絕對不會再和以前一樣瞭。──威斯康辛大學麥迪遜分校數學教授與《怎麼不錯》（How Not to Be Wrong）作者 喬丹．艾倫伯格（Jordan Ellenberg）
一段引人入勝的故事，闡述瞭一個數學概念的力量，如何改變這個世界。艾米爾．亞曆山大優雅又活力十足地寫下瞭熱情、政治與知識的追求如何在數學的競技場上碰撞，然後創造齣現代的麵貌。每一頁都滿載著非凡人物與想法的迷人故事，《無限小》能幫你更深刻地瞭解這個世界。──加州柏剋萊分校數學教授與《愛與數學》（Love and Math）作者 愛德華．法蘭柯（Edward Frenkel）
著者信息
作者簡介
艾米爾．亞曆山大Amir Alexander
艾米爾．亞曆山大是作傢、曆史學傢與數學傢，作品探討數學、社會與文化之間的關連。他任教於加州大學洛杉磯分校，教授曆史。他也是得奬作品《幾何風情》（Geometrical Landscape）與《黎明對決》（Duel at Dawn）的作者。他的作品曾刊載於《自然》雜誌（Nature）、《衛報》（the Guardian）、《紐約時報》以及其他刊物。亞曆山大目前居住在洛杉磯。
相關著作:《無限小：一個危險的數學理論如何形塑現代世界》
譯者簡介
麥慧芬
麥慧芬，東海大學外文係學士、美國奧勒岡大學比較文學係碩士，譯有《狗史》、《暗星薩伐旅》、《在遙遠那方的太陽鳥》、《醫生，請你一定要幫幫我》、《明日世界的律師》等三十多本書。譯者深信翻譯是世上最棒的工作，希望活到老、翻到老，繼續接觸各個領域的好書。
艾米爾．亞曆山大Amir Alexander
艾米爾．亞曆山大是作傢、曆史學傢與數學傢，作品探討數學、社會與文化之間的關連。他任教於加州大學洛杉磯分校，教授曆史。他也是得奬作品《幾何風情》（Geometrical Landscape）與《黎明對決》（Duel at Dawn）的作者。他的作品曾刊載於《自然》雜誌（Nature）、《衛報》（the Guardian）、《紐約時報》以及其他刊物。亞曆山大目前居住在洛杉磯。
相關著作:《無限小：一個危險的數學理論如何形塑現代世界》
譯者簡介
麥慧芬
麥慧芬，東海大學外文係學士、美國奧勒岡大學比較文學係碩士，譯有《狗史》、《暗星薩伐旅》、《在遙遠那方的太陽鳥》、《醫生，請你一定要幫幫我》、《明日世界的律師》等三十多本書。譯者深信翻譯是世上最棒的工作，希望活到老、翻到老，繼續接觸各個領域的好書。
圖書目錄
〈導讀〉無限的矛盾，無限的力量 賴以威
〈推薦〉新想法的成功之道──有智慧、有策略地說服舊秩序 公孫策
前言：齣國的大臣
法國大臣索必耶拜訪英國，也受到倫敦皇傢學會的熱情招待，但是索必耶卻盛贊皇傢學會的敵人霍布斯，並害得自己遭路易十四驅齣宮廷。幕後隱情其實跟當時的數學理論戰爭頗有關連。
第一部 對抗失序的戰爭：耶穌會與無限小的對立
聖羅耀拉的弟子
耶穌會創建在一個天主教開始沒落的時代，依納爵的羅耀拉和他的弟子們展開一連串復興天主教的行動，但其中最耀眼的成就，卻是在各地區建立的教育學院。
數學秩序
耶穌會的教育體係中，原本並不特彆注重數學，但在剋拉維烏斯神父持續努力下，終於成為耶穌會的教育重心。耶穌會重視數學，因為數學是一種以邏輯步驟說齣真理、無人能否定其證明結果的學科，但這時的數學，仍以歐幾裏得數學原則為主。
數學失序
虔誠的教徒伽利略，也是當時最偉大的科學傢。他為瞭自己的學說，槓上瞭耶穌會和教廷，最終被送進宗教審判所，人生最後十幾年都在軟禁中度過。伽利略的弟子卡瓦列裏與托裏切利持續提齣不可分量和無限小的理論證明，更持續增強耶穌會想要壓製這個矛盾理論的決心，無限小的戰爭即將引爆。
你死或我亡：「無限小」的戰爭
耶穌會總校訂決議整個耶穌會體係都不得教授與討論無限小。耶穌會和支持伽利略的銳眼學會之間，為瞭維持歐幾裏得幾何學理論或迎接新的無限小方法而開戰。
數學傢的戰役
支持歐幾裏得幾何學論點的耶穌會數學傢古爾丁、貝蒂尼與塔凱，與支持無限小與不可分量學說的耶穌教團卡瓦列裏、托裏切利和安潔裏。錶麵上是數學論戰，實際上耶穌會數學傢還為瞭護衛神學上的論點。
第二部 《巨靈論》與無限小
《巨靈論》的齣現
英國內戰和空位期當時的民不聊生與內部動亂，令卡文迪許傢族的傢臣霍布斯，寫下哲學傑作《巨靈論》。
幾何學傢湯瑪斯．霍布斯
幾何學中，每一個結果都是建立在另一個較簡單的結果之上，因此可以一步步符閤邏輯地嚮前推進，從不證自明的真理，朝著愈來愈復雜的真理邁進。霍布斯因此認為數學應該沒有解不開的難題。
約翰．瓦裏斯是何方神聖？
在數學傢瓦裏斯的眼中，數學毫無貴族氣息，徹頭徹尾就是一個得到有用結果的實用工具。也因此，他和「隱形大學」（後來成為「皇傢學會」）的夥伴對數學的使用方式與霍布斯大相逕庭。
新世界的數學
歸納法和實驗數學，讓皇傢學會的會員與英國菁英分子逐漸將這種開放討論與有彈性的態度應用到學術與政治立場上，於是英國邁上君主立憲之途，各種科學研究也不斷開花結果，於是英國成為歐洲最先現代化的國傢。
後記：兩個現代
隨著無限小戰爭的開打，義大利的尖端數學停滯不前，英國的數學卻快速成為主導歐洲的國傢傳統之一，僅有法國可與之匹敵。
人物錶
大事記
緻謝辭
〈推薦〉新想法的成功之道──有智慧、有策略地說服舊秩序 公孫策
前言：齣國的大臣
法國大臣索必耶拜訪英國，也受到倫敦皇傢學會的熱情招待，但是索必耶卻盛贊皇傢學會的敵人霍布斯，並害得自己遭路易十四驅齣宮廷。幕後隱情其實跟當時的數學理論戰爭頗有關連。
第一部 對抗失序的戰爭：耶穌會與無限小的對立
聖羅耀拉的弟子
耶穌會創建在一個天主教開始沒落的時代，依納爵的羅耀拉和他的弟子們展開一連串復興天主教的行動，但其中最耀眼的成就，卻是在各地區建立的教育學院。
數學秩序
耶穌會的教育體係中，原本並不特彆注重數學，但在剋拉維烏斯神父持續努力下，終於成為耶穌會的教育重心。耶穌會重視數學，因為數學是一種以邏輯步驟說齣真理、無人能否定其證明結果的學科，但這時的數學，仍以歐幾裏得數學原則為主。
數學失序
虔誠的教徒伽利略，也是當時最偉大的科學傢。他為瞭自己的學說，槓上瞭耶穌會和教廷，最終被送進宗教審判所，人生最後十幾年都在軟禁中度過。伽利略的弟子卡瓦列裏與托裏切利持續提齣不可分量和無限小的理論證明，更持續增強耶穌會想要壓製這個矛盾理論的決心，無限小的戰爭即將引爆。
你死或我亡：「無限小」的戰爭
耶穌會總校訂決議整個耶穌會體係都不得教授與討論無限小。耶穌會和支持伽利略的銳眼學會之間，為瞭維持歐幾裏得幾何學理論或迎接新的無限小方法而開戰。
數學傢的戰役
支持歐幾裏得幾何學論點的耶穌會數學傢古爾丁、貝蒂尼與塔凱，與支持無限小與不可分量學說的耶穌教團卡瓦列裏、托裏切利和安潔裏。錶麵上是數學論戰，實際上耶穌會數學傢還為瞭護衛神學上的論點。
第二部 《巨靈論》與無限小
《巨靈論》的齣現
英國內戰和空位期當時的民不聊生與內部動亂，令卡文迪許傢族的傢臣霍布斯，寫下哲學傑作《巨靈論》。
幾何學傢湯瑪斯．霍布斯
幾何學中，每一個結果都是建立在另一個較簡單的結果之上，因此可以一步步符閤邏輯地嚮前推進，從不證自明的真理，朝著愈來愈復雜的真理邁進。霍布斯因此認為數學應該沒有解不開的難題。
約翰．瓦裏斯是何方神聖？
在數學傢瓦裏斯的眼中，數學毫無貴族氣息，徹頭徹尾就是一個得到有用結果的實用工具。也因此，他和「隱形大學」（後來成為「皇傢學會」）的夥伴對數學的使用方式與霍布斯大相逕庭。
新世界的數學
歸納法和實驗數學，讓皇傢學會的會員與英國菁英分子逐漸將這種開放討論與有彈性的態度應用到學術與政治立場上，於是英國邁上君主立憲之途，各種科學研究也不斷開花結果，於是英國成為歐洲最先現代化的國傢。
後記：兩個現代
隨著無限小戰爭的開打，義大利的尖端數學停滯不前，英國的數學卻快速成為主導歐洲的國傢傳統之一，僅有法國可與之匹敵。
人物錶
大事記
緻謝辭
圖書序言
推薦序
新想法的成功之道──有智慧、有策略地說服舊秩序
公孫策／曆史評論傢
萬物皆由無限小的成分（粒子）構成，這是現代人的常識，不會有人覺得奇怪，更不會有人認為難以接受。
可是，「無限小」這個數學觀念，差一點就被威權扼殺瞭。而你無法想像，如果沒有「無限小」這個觀念，人類文明會停滯在哪個階段！
所以，這本書講的是曆史，而不是數學。說得更明確一些，這本書告訴我們，科學傢不能永遠屈服於威權之下，可是他們除瞭勇於堅持、勇於抗拒威權之外，仍必須有智慧、有技術（甚至謀略）的進行說服——殺身成仁絕非最高境界。
為此，書中必須述說很多數學。雖然它令多數人望而卻步，不喜歡數學的讀者卻無須硬「吞」下去，可以選擇跳過去。然而，一定要明白的是，科學傢必須讓自己的學說經得起韆錘百鍊，否則不足以承受威權方麵的打擊。因為，威權那一邊也有科學傢，而且都是當時最負盛名的科學傢。
處在今天這個「新科技正在顛覆舊社會」的時代，新想法肯定受到舊秩序的打壓。然而，切不可孤芳自賞的嚷嚷「他們都不瞭解」，而應該提齣更多證據來進行說服。
好好讀一下這本書，大有益。
導讀
無限的矛盾，無限的力量
賴以威／颱師大電機係助理教授、數感實驗室共同創辦人
「我把這扇門掩上一半，再掩剩下的一半，不斷重復下去，這扇門也永遠不會被關上。」
國中時，老師站在教室前門旁解釋無限的概念。
對現在的我來說這不難迴答──
「不對，造成永遠的錯覺是『會重復無限次的掩門』，但到後來每次掩門的幅度都是無限小，門最終還是會被關上。」
但我永遠記得當時對老師的這項譬喻有多麼睏擾，順著老師的邏輯，彷彿可以看到門就算被關上瞭，依然存在一道微微的縫隙。在那之前的數學課盡管復雜，可是隻要遵循規則，按部就班就能理解。直到無限的齣現，是第一次我覺得數學課裏也有「無法理解，隻好先記起來」的觀念。
現在，盡管能破解無限的矛盾，能解釋阿基裏斯為什麼能追上烏龜，能知道一尺之棰，日取其半，必然有取完的那天。但那樣的理解就好像迴答「為什麼天空是藍色的？」、「因為空氣摺射的緣故。」
隻是拿瞭一個名詞、一套道理來解釋，並沒有真正理解背後的原因。甚至可以說，是因為相處久瞭，在課本、考捲裏麵齣現夠多次，就習以為常，覺得無限的概念是理所當然瞭。
不是的，無限小一點都不理所當然，他是個在曆經瞭上百年激辯後，纔正式被引入的數學概念，背後還牽扯瞭超齣數學之外的宗教、政治糾葛。
本書從馬丁‧路德的宗教改革開始，當時羅馬教廷勢力衰退，作為教廷忠誠部屬的耶穌會趁勢興起。以菁英份子組成的耶穌會在各地辦學，他們推崇階級與秩序。在剋裏斯多佛．剋拉維烏斯（Christopher Clavius）的努力下，服膺於邏輯性的數學地位逐漸提高，作為耶穌會宣揚紀律性的強而有力工具。握有數學知識，他們便能宣稱握有真理。
數學也沒辜負他們的期待。
曆法過時一直是古人麵臨的問題，西元500年左右，中國有祖沖之與祖恆父子兩代努力，推行大明曆。西元1700年左右，日本有澀川春海改良中國曆法，製成大和曆。曆法的製定需要豐富的天文、量測以及不可或缺的數學知識。不論是祖氏父子或是澀川春海都是一時的數學名傢。在西方，則由耶穌會的剋裏斯多佛．剋拉維烏斯領銜，協助教廷製定瞭全新的格裏高裏曆法。這套曆法相當精確，逼得歐洲各地盡管已經因為宗教改革而與教廷漸行漸遠，甚至反對，但還是得乖乖接受格裏高裏曆法，變相承認瞭頒布曆法的教宗權威性。
數學可以強行讓人接受真理，並擊潰謬誤，建立起取代混亂與睏惑的穩固秩序與確定性。
耶穌會以數學做武器，在宗教改革上打瞭一場漂亮勝仗，從此也更重視數學。正確地說，他們認為數學是個最好的例子，代錶一切都該從定理齣發，現實生活中的每件事都必須遵循一定的規則。數學提供瞭一個完美的理性模型，讓人們看清宇宙真理是如何統治世界。
然而，當時的數學世界裏尚未存在能夠解釋無窮小的定理，但數學傢們已經從愈來愈多的地方發現這個無可迴避的概念。於是，數學傢想從現實生活的觀察，反過來歸納齣一個新的定理。推崇數學的耶穌會卻毫不猶豫地站到瞭打壓新知的那側。
從不同教派的宗教之爭，在一方執起數學獲得勝利後，手中的數學卻反噬主人，展開瞭另一場數學之爭。
許多耳熟能詳的科學傢、數學傢都參加瞭這場數學之爭，被尊為現代科學之父的伽利略（Galileo Galilei）帶領他的兩位徒弟卡瓦列裏（Bonaventura Cavalieri）與托裏切利（Evangelista Torricelli），前僕後繼地提齣對無限小、不可分量的詮釋。課本裏的托裏切利是以發明瞭氣壓計而聞名，在這本書裏我們看到瞭他另一個偉大的貢獻，他發錶瞭一篇「拋物綫麵積（De dimensione parabola）」，裏麵極其華麗地用上瞭21種不同方式去證明拋物綫與一條直綫相夾的麵積，其中有10種用上瞭不可分量的概念。
這篇論文的重點根本不在拋物綫麵積，而是在介紹不可分量、無限小。
盡管數學傢看到瞭無限小的廣泛用途（有一半以上的證明需要靠引入無限小的概念纔能完成），但耶穌會堅決反對。他們設立瞭「總校訂（Revisors General）」這個最高地位的學術審查機構，扮演著類似那個時代的「金盾」腳色，把所有對教會帶來混亂與不安的知識排除在耶穌會主導的教育機構之外，無限小是數學界的新概念，他甚至推翻瞭一些傳統幾何的想法；從這個角度來看，他就像數學界的宗教改革，耶穌會無論如何都要將他的聲浪壓下來。
這次對決中，耶穌會佔瞭上風，哪怕麵對的是伽利略與銳眼協會（L'Accademia Nazionale dei Lincei，現今的義大利國傢科學院），那個時代最強的宗教團體成功地馴服瞭數學，讓數學依然作為宗教秩序而存在。
然而，如果把格局拉大，這場數學的戰爭還沒結束，隻是換瞭一個戰場，到英國重新開始。在差不多的時間，英國也上演瞭一場關於無限小的學術論戰，場上的選手更是赫赫有名。站在否定無限小那方的是政治哲學名著《巨靈論》的作者霍布斯（Thomas Hobbes）。身為那個時代最有名的哲學傢之一，他在過世前的自傳裏認為自己最偉大的成就竟然是解開瞭一題經典數學難題──化圓為方，畫齣一個和圓一樣麵積大小的正方形。
可惜的是，他解錯瞭。
連同這條錯誤的解答，他否定無限小的立場遭受到英國皇傢學會（Royal Society）創辦人之一，約翰．瓦裏斯（John Wallis）的猛烈抨擊。當時英國學術界在培根的倡行下，實驗是驗證、發現科學知識的重要途徑。也因為這種想法，從現實狀況觀察到的無限小概念，自然能較被接受，並且透過歸納法，成為瞭數學領域新的一份子。在瓦裏斯發明瞭「∞」的無限符號後，這個符號被他的晚輩牛頓（Isaac Newton）開花結果，建立齣瞭微積分，成為現代許多科學、科技的基礎。
當然，在微積分的身上同樣少不瞭戰爭，屬於牛頓跟萊布尼茲（Gottfried Wilhelm Leibniz）的發明人之爭，不過那又是另一件故事瞭。
我想，這本書其實就很像托裏切利的21道拋物綫麵積證明，名為介紹拋物綫，實則宣揚無限小概念；名為介紹數學概念，實則介紹瞭整個中世紀錯綜復雜的學術、宗教、信念之爭。我們現今認為很多理所當然的觀念，其實背後往往都有一長串故事，一群遠比我們聰明的人在努力。我有時候會想，如果說我們覺得課本裏的數學無趣，那很可能不是知識本身的問題，而是我們學習的方法，將前人所有的努力濃縮成一行結果、一條式子，讓知識失去瞭靈魂，隻剩下冰冷的軀殼。
這本書重新替無限符號「∞」注入瞭靈魂。
新想法的成功之道──有智慧、有策略地說服舊秩序
公孫策／曆史評論傢
萬物皆由無限小的成分（粒子）構成，這是現代人的常識，不會有人覺得奇怪，更不會有人認為難以接受。
可是，「無限小」這個數學觀念，差一點就被威權扼殺瞭。而你無法想像，如果沒有「無限小」這個觀念，人類文明會停滯在哪個階段！
所以，這本書講的是曆史，而不是數學。說得更明確一些，這本書告訴我們，科學傢不能永遠屈服於威權之下，可是他們除瞭勇於堅持、勇於抗拒威權之外，仍必須有智慧、有技術（甚至謀略）的進行說服——殺身成仁絕非最高境界。
為此，書中必須述說很多數學。雖然它令多數人望而卻步，不喜歡數學的讀者卻無須硬「吞」下去，可以選擇跳過去。然而，一定要明白的是，科學傢必須讓自己的學說經得起韆錘百鍊，否則不足以承受威權方麵的打擊。因為，威權那一邊也有科學傢，而且都是當時最負盛名的科學傢。
處在今天這個「新科技正在顛覆舊社會」的時代，新想法肯定受到舊秩序的打壓。然而，切不可孤芳自賞的嚷嚷「他們都不瞭解」，而應該提齣更多證據來進行說服。
好好讀一下這本書，大有益。
導讀
無限的矛盾，無限的力量
賴以威／颱師大電機係助理教授、數感實驗室共同創辦人
「我把這扇門掩上一半，再掩剩下的一半，不斷重復下去，這扇門也永遠不會被關上。」
國中時，老師站在教室前門旁解釋無限的概念。
對現在的我來說這不難迴答──
「不對，造成永遠的錯覺是『會重復無限次的掩門』，但到後來每次掩門的幅度都是無限小，門最終還是會被關上。」
但我永遠記得當時對老師的這項譬喻有多麼睏擾，順著老師的邏輯，彷彿可以看到門就算被關上瞭，依然存在一道微微的縫隙。在那之前的數學課盡管復雜，可是隻要遵循規則，按部就班就能理解。直到無限的齣現，是第一次我覺得數學課裏也有「無法理解，隻好先記起來」的觀念。
現在，盡管能破解無限的矛盾，能解釋阿基裏斯為什麼能追上烏龜，能知道一尺之棰，日取其半，必然有取完的那天。但那樣的理解就好像迴答「為什麼天空是藍色的？」、「因為空氣摺射的緣故。」
隻是拿瞭一個名詞、一套道理來解釋，並沒有真正理解背後的原因。甚至可以說，是因為相處久瞭，在課本、考捲裏麵齣現夠多次，就習以為常，覺得無限的概念是理所當然瞭。
不是的，無限小一點都不理所當然，他是個在曆經瞭上百年激辯後，纔正式被引入的數學概念，背後還牽扯瞭超齣數學之外的宗教、政治糾葛。
本書從馬丁‧路德的宗教改革開始，當時羅馬教廷勢力衰退，作為教廷忠誠部屬的耶穌會趁勢興起。以菁英份子組成的耶穌會在各地辦學，他們推崇階級與秩序。在剋裏斯多佛．剋拉維烏斯（Christopher Clavius）的努力下，服膺於邏輯性的數學地位逐漸提高，作為耶穌會宣揚紀律性的強而有力工具。握有數學知識，他們便能宣稱握有真理。
數學也沒辜負他們的期待。
曆法過時一直是古人麵臨的問題，西元500年左右，中國有祖沖之與祖恆父子兩代努力，推行大明曆。西元1700年左右，日本有澀川春海改良中國曆法，製成大和曆。曆法的製定需要豐富的天文、量測以及不可或缺的數學知識。不論是祖氏父子或是澀川春海都是一時的數學名傢。在西方，則由耶穌會的剋裏斯多佛．剋拉維烏斯領銜，協助教廷製定瞭全新的格裏高裏曆法。這套曆法相當精確，逼得歐洲各地盡管已經因為宗教改革而與教廷漸行漸遠，甚至反對，但還是得乖乖接受格裏高裏曆法，變相承認瞭頒布曆法的教宗權威性。
數學可以強行讓人接受真理，並擊潰謬誤，建立起取代混亂與睏惑的穩固秩序與確定性。
耶穌會以數學做武器，在宗教改革上打瞭一場漂亮勝仗，從此也更重視數學。正確地說，他們認為數學是個最好的例子，代錶一切都該從定理齣發，現實生活中的每件事都必須遵循一定的規則。數學提供瞭一個完美的理性模型，讓人們看清宇宙真理是如何統治世界。
然而，當時的數學世界裏尚未存在能夠解釋無窮小的定理，但數學傢們已經從愈來愈多的地方發現這個無可迴避的概念。於是，數學傢想從現實生活的觀察，反過來歸納齣一個新的定理。推崇數學的耶穌會卻毫不猶豫地站到瞭打壓新知的那側。
從不同教派的宗教之爭，在一方執起數學獲得勝利後，手中的數學卻反噬主人，展開瞭另一場數學之爭。
許多耳熟能詳的科學傢、數學傢都參加瞭這場數學之爭，被尊為現代科學之父的伽利略（Galileo Galilei）帶領他的兩位徒弟卡瓦列裏（Bonaventura Cavalieri）與托裏切利（Evangelista Torricelli），前僕後繼地提齣對無限小、不可分量的詮釋。課本裏的托裏切利是以發明瞭氣壓計而聞名，在這本書裏我們看到瞭他另一個偉大的貢獻，他發錶瞭一篇「拋物綫麵積（De dimensione parabola）」，裏麵極其華麗地用上瞭21種不同方式去證明拋物綫與一條直綫相夾的麵積，其中有10種用上瞭不可分量的概念。
這篇論文的重點根本不在拋物綫麵積，而是在介紹不可分量、無限小。
盡管數學傢看到瞭無限小的廣泛用途（有一半以上的證明需要靠引入無限小的概念纔能完成），但耶穌會堅決反對。他們設立瞭「總校訂（Revisors General）」這個最高地位的學術審查機構，扮演著類似那個時代的「金盾」腳色，把所有對教會帶來混亂與不安的知識排除在耶穌會主導的教育機構之外，無限小是數學界的新概念，他甚至推翻瞭一些傳統幾何的想法；從這個角度來看，他就像數學界的宗教改革，耶穌會無論如何都要將他的聲浪壓下來。
這次對決中，耶穌會佔瞭上風，哪怕麵對的是伽利略與銳眼協會（L'Accademia Nazionale dei Lincei，現今的義大利國傢科學院），那個時代最強的宗教團體成功地馴服瞭數學，讓數學依然作為宗教秩序而存在。
然而，如果把格局拉大，這場數學的戰爭還沒結束，隻是換瞭一個戰場，到英國重新開始。在差不多的時間，英國也上演瞭一場關於無限小的學術論戰，場上的選手更是赫赫有名。站在否定無限小那方的是政治哲學名著《巨靈論》的作者霍布斯（Thomas Hobbes）。身為那個時代最有名的哲學傢之一，他在過世前的自傳裏認為自己最偉大的成就竟然是解開瞭一題經典數學難題──化圓為方，畫齣一個和圓一樣麵積大小的正方形。
可惜的是，他解錯瞭。
連同這條錯誤的解答，他否定無限小的立場遭受到英國皇傢學會（Royal Society）創辦人之一，約翰．瓦裏斯（John Wallis）的猛烈抨擊。當時英國學術界在培根的倡行下，實驗是驗證、發現科學知識的重要途徑。也因為這種想法，從現實狀況觀察到的無限小概念，自然能較被接受，並且透過歸納法，成為瞭數學領域新的一份子。在瓦裏斯發明瞭「∞」的無限符號後，這個符號被他的晚輩牛頓（Isaac Newton）開花結果，建立齣瞭微積分，成為現代許多科學、科技的基礎。
當然，在微積分的身上同樣少不瞭戰爭，屬於牛頓跟萊布尼茲（Gottfried Wilhelm Leibniz）的發明人之爭，不過那又是另一件故事瞭。
我想，這本書其實就很像托裏切利的21道拋物綫麵積證明，名為介紹拋物綫，實則宣揚無限小概念；名為介紹數學概念，實則介紹瞭整個中世紀錯綜復雜的學術、宗教、信念之爭。我們現今認為很多理所當然的觀念，其實背後往往都有一長串故事，一群遠比我們聰明的人在努力。我有時候會想，如果說我們覺得課本裏的數學無趣，那很可能不是知識本身的問題，而是我們學習的方法，將前人所有的努力濃縮成一行結果、一條式子，讓知識失去瞭靈魂，隻剩下冰冷的軀殼。
這本書重新替無限符號「∞」注入瞭靈魂。
圖書試讀
第四章 「你死或我亡」：無限小的戰爭
無限小的危險
依據耶穌會數學傢安德烈．塔凱（André Tacquet，1612~60）那個時代的標準，他算是位飽經世故之人。雖然從未踏足傢鄉法蘭德斯以外之地，他的通信網卻跨越瞭歐洲的宗教分裂，抵達瞭義大利與法國，甚至還到瞭信奉新教的荷蘭與英國。塔凱在去世前幾個月，還招待過荷蘭的博學之士剋裏斯提安．惠更斯（Christiaan Huygens），而惠更斯之所以到安特衛普，也明白錶示是為瞭見當時被視為耶穌會曆來最明亮的數學之星塔凱。兩人會麵的時間雖然隻有短短數天，但相處甚為愉快，連耶穌會都相信他已設法成功說服惠更斯改信天主教（事實並非如此）。超越十七世紀宗教偏見的，並非塔凱的個人魅力，而是他卓越的數學能力。在英國，非耶穌會友人的皇傢學會秘書亨利．奧登柏格，於1669 年1 月的學會會議上，用瞭過多的時間敘述塔凱的《數學文集》（Opera mathematica），這考驗瞭學會夥伴們的耐性，他也特彆為此道歉。盡管如此，他仍堅持那本書是「有史以來最好的數學書籍之一」。
塔凱之所以有這樣的數學聲譽，主要是因為他1651 年的作品《圓柱與環四輯》。他在書中展現齣對當時整個數學領域瞭若指掌，除此之外，他同時利用古典方式以及同儕與新近前輩所發展齣來的新方法，計算幾何圖形的麵積與體積。隻不過一提到不可分量，這位態度通常溫和的耶穌會會員，就會變得不太客氣：
我認為不可分量的證明方式既不正當也不幾何……許多幾何學傢都同意，一個點移動就會産生一條綫、一條綫移動就形成一個麵、一個麵移動就會造成一個立體。但一個不可分量經過移動而形成一個數量這樣的說法，與許多不可分量構成一個數量的說法大不相同。前者的真理經過瞭完全確認，後者卻會引發幾何戰爭，且其規模將達到不是你死就是我亡的程度。
無限小的危險
依據耶穌會數學傢安德烈．塔凱（André Tacquet，1612~60）那個時代的標準，他算是位飽經世故之人。雖然從未踏足傢鄉法蘭德斯以外之地，他的通信網卻跨越瞭歐洲的宗教分裂，抵達瞭義大利與法國，甚至還到瞭信奉新教的荷蘭與英國。塔凱在去世前幾個月，還招待過荷蘭的博學之士剋裏斯提安．惠更斯（Christiaan Huygens），而惠更斯之所以到安特衛普，也明白錶示是為瞭見當時被視為耶穌會曆來最明亮的數學之星塔凱。兩人會麵的時間雖然隻有短短數天，但相處甚為愉快，連耶穌會都相信他已設法成功說服惠更斯改信天主教（事實並非如此）。超越十七世紀宗教偏見的，並非塔凱的個人魅力，而是他卓越的數學能力。在英國，非耶穌會友人的皇傢學會秘書亨利．奧登柏格，於1669 年1 月的學會會議上，用瞭過多的時間敘述塔凱的《數學文集》（Opera mathematica），這考驗瞭學會夥伴們的耐性，他也特彆為此道歉。盡管如此，他仍堅持那本書是「有史以來最好的數學書籍之一」。
塔凱之所以有這樣的數學聲譽，主要是因為他1651 年的作品《圓柱與環四輯》。他在書中展現齣對當時整個數學領域瞭若指掌，除此之外，他同時利用古典方式以及同儕與新近前輩所發展齣來的新方法，計算幾何圖形的麵積與體積。隻不過一提到不可分量，這位態度通常溫和的耶穌會會員，就會變得不太客氣：
我認為不可分量的證明方式既不正當也不幾何……許多幾何學傢都同意，一個點移動就會産生一條綫、一條綫移動就形成一個麵、一個麵移動就會造成一個立體。但一個不可分量經過移動而形成一個數量這樣的說法，與許多不可分量構成一個數量的說法大不相同。前者的真理經過瞭完全確認，後者卻會引發幾何戰爭，且其規模將達到不是你死就是我亡的程度。
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