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　　不管是外型、气质，还是态度，都十分优秀，
　　在世间来来去去，却不会显露出任何瑕疵。
　　——清少纳言《枕草子》

　　柯尼斯堡七桥问题、克莱因瓶、非欧几里得几何学…
　　形状、形状、形状。所见即所得，这就是形状。
　　——真是如此吗？
　　这份感情，又是什么形状？

　　改变位置，形状也会跟着改变。
　　改变角度，形状也会跟着改变。
　　真可说是所见即所得吗？
　　声音的形状、香味的形状、温度的形状。
　　看不到的东西，就没有形状了吗？

　　小小的钥匙。
　　小小的事物可以一手掌握。
　　广大的宇宙。
　　广大的空间是我的容身之处。

　　然而过小的事物难以掌握其形状。
　　过大的空间亦难以掌握其形状。
　　回过头来，自己的形状又是什么样子呢？

　　不如用手中小之又小的钥匙，打开眼前的门，
　　跳入广大的宇宙内吧。

　　那是为了有一天，找到自己的形状。
　　那是为了有一天——找到你的形状。

　　这是「我」和三位女孩
　　教人怦然心动的数学对话。

作者简介

结城  浩

　　1963年生。2014年获得日本数学会出版赏。执笔写作有关程式语言、设计模式、密码、数学等等领域的入门书。最新着作是「数学女孩系列」。是一个最喜欢巴哈「赋格的艺术」作品的新教基督徒。作品包括：2011《数学女孩／费马最后定理》，2012《数学女孩／哥德尔不完备定理》，2013《数学女孩／随机演算法》、2014《数学女孩／伽罗瓦理论》（世茂出版）、2016—2017《数学女孩祕密笔记》系列。

　　www.hyuki.com/

审订者简介

洪万生

　　美国纽约城市大学（CUNY）科学史博士，国立台湾师范大学数学系学士、硕士。国立台湾师范大学数学系教授兼主任（2007/8/1-2009/7/31）、台湾数学教育学会理事长（2007-2009）、国际科学史学院通讯会员、Historia Mathematica（国际数学史杂志）编辑委员、《HPM通讯》发行人、台湾数学（虚拟）博物馆创始人之一。

译者简介

陈朕疆

　　自由译者。清大生科学士、政大财管硕士、京都大学农学部交换一年、台大经济系研究助理。碰到新的领域就想一探究竟，成为译者是偶然，却也越做越喜欢，欢迎批评指教。个人网页 chenzjkyoto.xyz/index.html

 

序章

第一章 柯尼斯七桥问题
1.1 由梨
1.2 一笔划问题
1.3 从简单的图开始
1.4 图与次数
1.5 这也是数学吗？
1.6 《逆定理》的证明

第二章 莫比乌斯带、克莱因瓶
2.1 顶楼
2.1.1 蒂蒂
2.1.2 莫比乌斯带
2.2 教室
2.2.1 自习时间
2.3 图书室
2.3.1 米尔迦
2.3.2 分类
2.3.3 闭曲面的分类
2.3.4 可定向曲面
2.3.5 不可定向曲面
2.3.6 展开图
2.3.7 连通和
2.4 归途
2.4.1 像质数般

第三章 蒂蒂的周围
3.1 家人的周围
3.1.1 由梨
3.2 0的周围
3.2.1 问题练习
3.2.2 全等与相似
3.2.3 对应关系
3.3 实数a的周围
3.3.1 全等、相似、同胚
3.3.2 连续函数
3.4 点a的周围
3.4.1 前往异世界的准备
3.4.2 《距离的世界》实数a的δ邻域
3.4.3 《距离的世界》开集
3.4.4 《距离的世界》开集的性质
3.4.5 从《距离的世界》到《拓朴的世界》之旅途
3.4.6 《拓朴的世界》开集的公理
3.4.7 《拓朴的世界》开邻域
3.4.8 《拓朴的世界》连续映射
3.4.9 同胚映射
3.4.10 不变性
3.5 蒂蒂的周围

第四章 非欧几里得几何学
4.1 球面几何学
4.1.1 地球上的最短路径
4.2 现在与未来之间
4.2.1 高中
4.3 双曲几何学
4.3.1 所谓的学习
4.3.2 非欧几里得几何学
4.3.3 鲍耶与罗巴切夫斯基
4.3.4 自家
4.4 跳脱出毕氏定理
4.4.1 丽莎
4.4.2 距离的定义
4.4.3 庞加莱圆盘模型
4.4.4 半平面模型
4.5 超越平行线公理
4.6 自家

第五章 跨入黎曼流形
5.1 跳脱出日常
5.1.1 轮到自己接受测试
5.1.2 为了打倒龙
5.1.3 由梨的疑问
5.1.4 考虑低维情形
5.1.5 会歪成甚么样子呢
5.2 跨入非日常
5.2.1 樱花树下
5.2.2 内外翻转
5.2.3 展开图
5.2.4 庞加莱猜想
5.2.5 二维球面
5.2.6 三维球面
5.3 要跨入，还是要跳出？
5.3.1 醒过来时
5.3.2 Eulerians

第六章 掌握看不到的形状
6.1 掌握形状
6.1.1 沉默的形状
6.1.2 问题的形状
6.1.3 发现
6.2 以群掌握形状
6.2.1 以数作为线索
6.2.2 以何作为线索？
6.3 以自环掌握形状
6.3.1 自环
6.3.2 自环上的同伦
6.3.3 同伦类
6.3.4 同伦群
6.4 掌握球面
6.4.1 自家
6.4.2 一维球面的基本群
6.4.3 二维球面的基本群
6.4.4 三维球面的基本群
6.4.5 庞加莱猜想
6.5 被限制的形状
6.5.1 确认条件
6.5.2 掌握没能看清的自己

第七章 微分方程式的温度
7.1 微分方程式
7.1.1 音乐教室
7.1.2 教室
7.1.3 指数函数
7.1.4 三角函数
7.1.5 微分方程式的目的
7.1.6 弹簧的振盪
7.2 牛顿冷却定律
7.2.1 下午的授课

第八章 绝妙定理
8.1 车站前
8.1.1 由梨
8.1.2 让人讶异的事
8.2 自家
8.2.1 妈妈
8.2.2 珍稀之物
8.3 图书室
8.3.1 蒂蒂
8.3.2 理所当然的事
8.4 《学仓》
8.4.1 米尔迦
8.4.2 倾听
8.4.3 解谜
8.4.4 高斯曲率
8.4.5 绝妙定理
8.4.6 齐性与各向同性
8.4.7 回礼

第九章 灵光一闪与毅力
9.1 三角函数训练
9.1.1 灵光一闪与毅力
9.1.2 单位圆
9.1.3 sin曲线
9.1.4 从旋转矩阵到和角公式
9.1.5 从和角公式到积化和差公式
9.1.6 妈妈
9.2 合格判定模拟考
9.2.1 不要紧张
9.2.2 不要被骗到
9.2.3 需要灵光一闪还是需要毅力
9.3 看穿算式的本质
9.3.1 机率密度函数的研究
9.3.2 拉普拉斯积分的研究
9.4 傅立叶展开
9.4.1 灵光一闪
9.4.2 傅立叶展开
9.4.3 超越毅力
9.4.4 超越灵光一闪

第十章 庞加莱猜想
10.1 开放式研讨会
10.1.1 课程结束之后
10.1.2 午餐时间
10.2 庞加莱
10.2.1 形状
10.2.2 庞加莱猜想
10.2.3 瑟斯顿的几何化猜想
10.2.4 哈密顿的里奇流方程式
10.3 数学家们
10.3.1 年表
10.3.2 菲尔兹奖
10.3.3 千禧年大奖难题
10.4 哈密顿
10.4.1 里奇流方程式
10.4.2 傅立叶的热传导方程式
10.4.3 想法的逆转
10.4.4 哈密顿计画
10.5 佩雷尔曼
10.5.1 佩雷尔曼的论文
10.5.2 再多前进一步
10.6 傅立叶
10.6.1 傅立叶的时代
10.6.2 热传导方程式
10.6.3 变数分离法
10.6.4 重叠积分
10.6.5 傅立叶积分
10.6.6 观察类似物
10.6.7 回到里奇流方程式
10.7 我们
10.7.1 从过去到未来
10.7.2 若冬天来到
10.7.3 春天就不远了
尾声
后记
索引
 

第一章 柯尼斯堡七桥问题
 
几何学中，处理距离的领域一直都很受人瞩目。
 
然而除此之外，还有个领域几乎从来没人提到。
 
首先谈及这个领域的莱布尼兹，
 
将其称作「位置的几何学」。
 
——李昂哈德‧欧拉(Leonhard Euler)
 
1.1 由梨
 
「最近哥哥给人的感觉好像不太一样耶。」由梨说着。
 
今天是星期六的下午，这里是我的房间。
 
就读国中三年级的表妹，由梨来找我玩。
 
小时候就常和我一起玩的她，总是叫我《哥哥》。
 
绑着栗色马尾，穿着牛仔裤的她，从我的书架上抽起了几本书，慵懒地翻着阅读。
 
「给人的感觉不一样？」我反问她。
 
「嗯——总觉得有点过度冷静，感觉很无聊喵。」
 
由梨一边翻着书页，一边用着她独特的猫语这么说。
 
「是吗？毕竟我也是高三生，也得有些考生的样子啊。」
 
「不对喔。」她马上否定了我的辩解。「哥哥以前不是都会和我玩很多不同的游戏吗？但是最近——应该说暑假结束后，就都没怎么理我了，明明都已经秋天了耶！」
 
说完后，由梨把手上的书啪一声阖起。那是一本给高中生读的数学书籍。虽然里面有写到一些比较难的内容，但由梨的话应该也读得懂吧。
 
「明明都已经秋天了……不不不，就是因为已经是秋天了，身为考生，得开始认真读书啊。再说，由梨也是考生不是吗？」
 
「你是想说，国中三年级也该有点考生的样子吗喵？」
 
像这样刁蛮的由梨，明年也要考高中了。她的成绩并不差，所以应该能考进她想读的学校——也就是我的高中吧。
 
「可是学校好无聊喔。」由梨边叹气边说。
 
啊……因为《那家伙》已经转学了是吗？
 
1.2 一笔划问题
 
「对了，由梨知道柯尼斯堡七桥问题吗？」
 
「柯尼……什么啊？」由梨回道。
 
「柯尼斯堡。这是一个城市的名字。这个城市内有七座桥。」
 
「这什么啊，听起来好像奇幻小说喔。『这个城市有七座神圣的桥，勇者们需通过这些桥，才能打败龙——』」
 
「不是啦，不是那种故事。柯尼斯堡七桥问题是历史上很有名的数学问题喔。」
 
「是这样吗？」
 
「也就是所谓的一笔划问题喔！」
 
「是只能用一笔划通过所有边的那个吗？」
 
「是啊。说得更仔细一点，就像这样。柯尼斯堡这个城市内有河流通过，市内有七座桥，如图所示。」

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