基础微积分解析导引（二版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

图书标签:

• 微积分
• 解析几何
• 高等数学
• 数学教材
• 大学教材
• 理工科
• 基础数学
• 函数
• 极限
• 导数

微积分的重要性，相信只要是理、工、商、管理学院的学生都心知肚明，例如：理、工学院的物理学及工程数学，商、管理学院的统计学及经济学，微积分都应用得非常广泛。当然还有很多的后续课程也少不了它。既然微积分那么重要，初学者要如何学好微积分呢？听课听了好多遍还是无法体会微积分真义的学生，又要如何早一点摆脱重修的恶梦呢？相信本书的出现，能给这些同学得到实质的帮助。也希望本书的出现，让学习微积分不再是一件苦差事，而是一趟快乐又能得到满足的微积分之旅。

 　　本书之书名为基础微积分解析导引，其中基础的意思是本书着重于微积分之基本概念而无介绍太多的应用，因为如果微积分有了好的基础，应用课程自然可以得心应手；而解析导引的意思是本书对于计算公式的推导，大部分都有明确的交待，对于理论部分有兴趣的同学可以获得相当多的乐趣，当然，没有兴趣的同学可以直接跳过复杂艰深的推理过程，只要知道并牢记各个计算过程就可以了（如商管学院之同学）。而本书也有丰富的几何图形做搭配，透过平面或空间解析的对照，可以让读者更容易理解微积分之真义。

 　　由于定义及定理部分，如果也透过中文来翻译，往往会失去它们的味道或曲解它们的原意，因此，此二部分我们还是坚持以英文呈现，一方面可以保持它们的特色，另一方面又可兼顾国际化之需要。本书之范例皆为一时之选，难易适中，再搭配精心设计挑选之习题，读者只要一路跟随本书之节奏，有信心、有耐心及有恆心的往前走，相信会有意想不到的收获及成就感。就像一些特殊才艺一样，其基本功夫的养成过程总是既辛苦又枯燥无味的，同学一定要坚持到最后一刻，那么才有机会採撷到那又香又甜的果实。
 

基础微积分解析导引（二版） 之外的广阔数学天地：一部精选的进阶数学导览 本书旨在为读者提供一个与《基础微积分解析导引（二版）》形成互补、但内容领域截然不同的数学学习路径。我们深知微积分是数学分析的基石，但一旦跨越了单变量和多变量微积分的门槛，更广阔、更精妙的数学分支便等待着探索。本书聚焦于高等代数、拓扑学基础、实分析进阶概念以及离散数学的核心结构，力求在不重复微积分核心内容的 情况下，为读者构建一个扎实的、面向应用和理论深化的知识框架。 第一部分：超越函数极限——抽象代数的结构之美 微积分的严谨性建立在极限和 $epsilon-delta$ 论证之上，但这仅仅是分析学的一个侧面。本部分将带领读者深入理解数学对象之间的结构关系，这是现代数学的灵魂所在。 第一章：群论基础与对称性（Group Theory Fundamentals and Symmetry） 本章将完全避开微积分中的微分方程和积分技巧，转而关注集合上的运算所能形成的最基本的代数结构——群。我们将从集合、二元运算的封闭性、结合律、单位元和逆元这些基本公理出发，构建起抽象代数的第一个支柱。 核心内容解析： 1. 置换群与阶： 详细讲解对称群 $S_n$ 的构造，以及群的阶、元素的阶之间的关系（拉格朗日定理的证明，不涉及积分或连续性）。重点探讨有限群的结构分析，例如二面体群 $D_n$ 在几何变换中的体现。 2. 子群与陪集： 定义子群的判定准则，并引入陪集的概念。这部分将强调集合论和划分的概念，而非函数空间的结构。 3. 正规子群与商群： 这是理解结构“收缩”的关键。我们将通过具体例子（如整数模 $n$ 的加法群 $mathbb{Z}_n$）来阐释商群的构造，其核心在于等价关系和剩余类的划分，与微积分中函数的局部性质分析路径完全不同。 4. 同态与同构： 探讨结构保持的映射。例如，从加法群到乘法群（非零复数）的映射，仅关注代数结构是否一致，不涉及映射的连续性或可微性。 第二章：环与域的构造（Rings and Fields Construction） 在群的基础上，我们引入第二个运算——乘法，从而进入环的范畴。本章将侧重于代数对象的“算术”性质，而非其在连续空间上的“度量”。 核心内容解析： 1. 环的定义与基本性质： 交换环、单位元、零因子。重点研究多项式环 $F[x]$，它在代数几何中有重要地位，但其研究工具是代数而非分析。 2. 理想与商环： 类似于群中的正规子群，理想是环中的关键概念。我们将详细分析主理想域（PID）和唯一因子域（UFD）的性质，如欧几里得环的概念，这与微积分中处理的实数域 $mathbb{R}$ 的性质有本质区别。 3. 域的扩张： 探讨如何从一个域（如 $mathbb{Q}$）构造出更大的域（如 $mathbb{Q}(sqrt{2})$）。这完全是关于域的代数封闭性和代数数的研究，与函数空间扩张无关。 --- 第二部分：从点集到空间——拓扑学的几何直觉构建 微积分的“接近”概念是通过度量（距离函数）定义的，即 $mathbb{R}^n$ 上的范数。拓扑学则将这种“接近”抽象化，使其适用于更广泛的对象，如函数空间、网络结构等，而无需依赖距离。 第三章：点集拓扑初步（Foundations of Point-Set Topology） 本章的目标是建立一个无需距离即可讨论收敛、连通性和紧致性的框架。 核心内容解析： 1. 拓扑空间的定义： 从开集的公理出发，完全脱离 $epsilon-delta$ 语言。介绍子空间拓扑、商拓扑（这与代数中的商群有结构上的对应关系）。 2. 连续性与同胚： 拓扑空间的连续映射被定义为开集的原像仍是开集。同胚（Homeomorphism）是拓扑学的“等价”概念，研究的是空间的本质形状，例如将一个甜甜圈（环面）和一个咖啡杯视为拓扑等价，而不讨论它们在三维空间中的具体微分结构。 3. 连通性与紧致性： 连通性由开集的划分定义，紧致性则通过开覆盖的有限子集来定义（Heine-Borel定理在 $mathbb{R}^n$ 上的证明是微积分内容，此处将推广到任意拓扑空间，强调其对极限过程的约束力）。 --- 第三部分：分析的深化——度量、完备性与范数空间 虽然本书避开了《基础微积分解析导引（二版）》中对基本积分技巧的详细讲解，但它将深入探讨分析学更深层次的理论基础，特别是当维度和结构复杂度增加时，这些基础的必要性。 第四章：度量空间与函数空间导论（Metric Spaces and Introduction to Function Spaces） 本章将“距离”这一概念系统化，并将其应用于无穷维空间。 核心内容解析： 1. 度量空间的结构： 重新定义开球、闭球、导集和闭包，建立在任意度量 $d(x, y)$ 上。这允许我们将微积分的概念推广到非欧几里得空间。 2. 完备性与巴拿赫空间概念： 柯西序列的概念是本章的核心。我们将讨论完备度量空间的重要性，并引入赋范向量空间的概念。这里的重点是线性算子的性质，而非微分算子。例如，探讨线性泛函的界限，这为泛函分析做准备。 3. 等度量空间： 研究等距映射（Isometry），它保留了所有距离信息。这在几何学和数据分析中有直接应用，且不依赖于可微性。 --- 第四部分：非连续世界的逻辑——离散数学与构造性思维 本部分将视角完全转向非连续、非量化的世界，探讨计算机科学和现代逻辑的数学基础。 第五章：命题逻辑与一阶逻辑（Propositional and First-Order Logic） 本章专注于数学语言的严谨性本身，研究如何构建有效的论证。 核心内容解析： 1. 命题演算： 真值表、逻辑连接词、重言式和矛盾式。我们将分析如何将自然语言的陈述转化为精确的逻辑表达式。 2. 谓词逻辑（一阶逻辑）： 引入量词（$forall, exists$）和谓词，用于描述对象和它们之间的关系。重点讨论有效性和可满足性问题。本章的论证基于布尔代数和集合论，完全独立于微积分中的连续变量。 第六章：图论基础与组合构造（Foundations of Graph Theory and Combinatorial Constructions） 本章关注离散结构，即由有限的顶点和边构成的网络。 核心内容解析： 1. 图的定义与类型： 有向图、无向图、加权图。讨论邻接矩阵和关联矩阵的表示方法，这些是线性代数（矩阵）在离散结构上的应用，而非在连续函数空间上的应用。 2. 连通性与路径问题： 欧拉路径和哈密顿回路的存在性判定。这些问题的解法依赖于组合计数和结构分析，而非微积分的优化方法。 3. 树结构： 最小生成树（如 Kruskal 或 Prim 算法的介绍，侧重于贪婪选择的组合原理）。 本书的结构设计旨在提供一个平行于微积分学习的知识体系，侧重于结构、抽象、逻辑和离散性。它为那些希望在代数理论、拓扑直觉和离散建模方面打下坚实基础的读者提供了清晰的路线图，完美地填补了基础微积分教学大纲之外的广阔领域。

第 0 章 基础微积分预备知识回顾
第 1 章 函数之极限与连续
第 2 章 导函数
第 3 章 导数的应用
第 4 章 积分
第 5 章 一些超越函数
第 6 章 积分技巧
第 7 章 瑕积分
第 8 章 无穷序列
第 9 章 无穷级数
第 10 章 多变数函数
第 11 章 二重积分
参考书目
习题答案

评分☆☆☆☆☆

对于我这样一个平时很少接触数学，甚至对数学带有一定畏惧心理的人来说，《基础微积分解析导引（二版）》无疑是给我打了一剂强心针。我一直认为，学习数学就像攀登一座高山，而这本书就像是一位经验丰富的向导，他知道哪里有险峻的悬崖，哪里有平缓的坡道，并且会提前告诉你需要准备什么，以及如何一步步攀登。 书中对于一些核心概念的讲解，都充满了作者独到的思考。比如，在讲解“连续性”时，它并没有一开始就用极限来定义，而是从“函数图像不间断”的直观理解出发，然后再引申到极限的定义。这种由直观到抽象的过渡，让我的理解过程顺畅了许多。书中还穿插了一些“历史的视角”，介绍了一些重要的数学家是如何一步步发展出这些概念的，这让我在学习知识的同时，也对数学的发展历程有了一些了解，增加了学习的趣味性。我特别喜欢书中关于“牛顿-莱布尼茨公式”的推导过程。作者花了很大的篇幅，从几何意义和物理意义上分别进行阐述，然后才将它们巧妙地联系起来。这种多角度的解读，让我不仅记住了公式，更理解了它背后的深刻含义，这对于我这个非数学专业背景的学生来说，实在是太有帮助了。

评分☆☆☆☆☆

坦白讲，我对数学的直觉一直不算特别敏锐，很多时候学习数学就像在背诵一套复杂的规则，缺乏内在的理解。然而，《基础微积分解析导引（二版）》彻底改变了我的看法。它不仅仅是在教授微积分的知识点，更是在培养我们对数学的“感觉”。作者在讲解每一个概念时，都会深入剖析其产生的背景和意义，让你明白“为什么要有这个东西”，而不是简单地告诉你“是什么”。 比如，在讲解导数时，它并没有直接给出导数的定义，而是先回顾了“变化率”这个概念。从匀速直线运动的速度，到曲线运动瞬时速度的计算，再到函数在某一点的瞬时变化率，作者一步步引导我们去思考，去发现问题。这种“由表及里，由浅入深”的教学思路，让我在学习过程中，总能有一种“豁然开朗”的感觉。尤其是在处理一些看起来很棘手的证明题时，作者常常会提供多种思路，或者指出其中最关键的突破口，让我不再感到束手无策。我特别欣赏书中对于“链式法则”的解释。它没有简单地给出公式，而是通过“嵌套函数”的类比，将多个函数的复合变化率之间的关系，用一种非常形象的方式呈现出来。读完那一段，我才真正理解了链式法则背后的逻辑，而不是仅仅记住了一个符号组合。这种对“为什么”的深入探究，让我对微积分的理解上升到了一个全新的高度，也让我对未来继续深入学习数学充满了信心。

评分☆☆☆☆☆

《基础微积分解析导引（二版）》在细节处理上也做得非常到位，让我在阅读过程中几乎没有遇到任何障碍。它不仅仅是一本教材，更像是一位耐心的导师。 我尤其欣赏书中对于“函数图像”的描绘。作者并没有仅仅给出几个简单的函数图像，而是会通过对函数的性质进行分析，一步步地绘制出复杂的函数图像。他会详细讲解如何通过求导来确定函数的单调性、极值点，如何通过二阶导数来判断函数的凹凸性、拐点，以及如何通过函数的渐近线来描绘其整体趋势。这些步骤的详细讲解，让我能够清晰地理解每一个细节是如何影响最终的图像的。书中还有大量的“注意事项”和“易错点提醒”，这些小小的提示，却能帮我避免很多不必要的错误，节省了大量的摸索时间。我记得书中有一个地方，特别强调了在求导时，要区分“乘法符号”和“小数点”，这虽然是一个非常小的细节，但对于初学者来说，确实是一个很容易犯的错误。这种对细节的关注，体现了作者对读者的最大程度的关怀。

评分☆☆☆☆☆

这本书最大的特点之一，便是其高度的“互动性”。我很少看到一本教材能够如此有效地将读者拉入到学习的过程中来。它不仅仅是单方面的知识灌输，而是鼓励读者主动思考、主动探索。 我记得在讲解“级数”这一章时，作者并没有直接给出收敛判别法的公式，而是通过一些级数的求和例子，让读者自己去体会级数的变化趋势。然后，他才引入“部分和”、“收敛”等概念。书中还设计了很多“小实验”性质的问题，比如让读者计算不同级数的和，并观察其收敛速度。这些互动性的设计，让我感觉自己不再是一个旁观者，而是真正参与到了数学知识的构建过程中。此外，书中还鼓励读者去“猜想”一些数学结论，并在后续的章节中给出证明。这种“先猜后证”的学习方式，极大地激发了我的好奇心和探索欲。我感觉自己就像一个真正的数学家，在不断地提出问题、验证猜想。这种学习体验，是我之前从未有过的。

评分☆☆☆☆☆

这本书的编排方式也令我印象深刻。它不是那种按部就班、缺乏变化的教材。作者在讲解过程中，穿插了大量的“思考题”、“小练习”以及“应用实例”。这些内容不仅仅是为了巩固知识点，更是为了引导读者进行更深层次的思考。 我经常会在做完一道例题后，遇到一些“如果……会怎样？”的变式题，这促使我去思考概念的边界和适用范围。还有一些生活中的应用案例，比如物理学中的速度、加速度计算，经济学中的边际成本、边际收益分析，甚至是一些更抽象的领域的模型构建，都通过微积分的工具得到了有效的解释。这些应用让我深刻体会到微积分并非是象牙塔里的理论，而是解决现实问题的重要工具。这极大地激发了我学习微积分的动力。我还注意到，书中在一些容易混淆的概念之间，会专门设置对比和辨析的章节，比如导数和积分，同一点的极限和函数的连续性等等，这种细致的对比，避免了我走弯路，也让我对这些概念有了更清晰的认识。

评分☆☆☆☆☆

这本《基础微积分解析导引（二版）》绝对是我近期翻阅过的所有教材中最令我惊喜的一本。它不同于我以往接触过的那些动辄堆砌公式、抽象概念令人望而生畏的微积分书籍，而是真正做到了“导引”二字。从拿到书的第一页开始，我就能感受到作者的良苦用心。他似乎知道初学者在学习微积分时最容易在哪里跌倒，最容易产生困惑，然后在接下来的篇幅里，以一种极其循序渐进、逻辑清晰的方式，为读者铺平道路。 举个例子，书中对极限的概念的阐述，就让我印象深刻。通常，极限的定义会用 ε-δ 语言来表达，这对于很多第一次接触微积分的学生来说，无疑是一道难以逾越的鸿沟。然而，《基础微积分解析导引（二版）》并没有一开始就抛出这个“大杀器”。它首先从直观的几何意义入手，用函数图像的逼近、数列的收敛等生活化、易于理解的例子来解释极限的含义。它会反复强调“无限接近”这个概念，并通过大量的图示，让读者能够“看到”极限究竟是什么。我记得书中有一段关于“悬崖跳水”的比喻，虽然简单，但却异常生动地刻画了极限的精髓——无论你跳多近，总有更近的一点。直到读者对极限有了足够的感性认识后，作者才小心翼翼地引入 ε-δ 定义，并且在引入后，依然不厌其烦地用图形和具体的例子来解释这个抽象的定义，让它变得不再那么令人畏惧，甚至在理解之后，你会觉得它非常自然和严谨。这种教学方式，简直就是为我这样的“微积分小白”量身定做的，让我不再因为害怕抽象而放弃对这门学科的学习。

评分☆☆☆☆☆

我一直对数学的“美感”深信不疑，只是在过往的学习经历中，很少有教材能够真正展现给我。但《基础微积分解析导引（二版）》做到了。它不是那种冰冷、僵硬的数学书，而更像是一部充满智慧和洞察力的“数学散文”。 作者在讲解过程中，会时不时地穿插一些关于数学思想的历史典故，或者数学家们在探索过程中的有趣故事。这些内容虽然与核心的数学公式和定理没有直接关系，但却极大地丰富了我的阅读体验，让我能够从更广阔的视野去理解微积分的诞生和发展。我尤其喜欢书中关于“微积分基本定理”的阐述。作者花了大量的篇幅，从几何角度和物理意义上，将导数和积分这两个看似独立的运算统一起来。他用“速度-位移”的关系来形象地解释这个定理，让我感受到了数学逻辑的精妙和统一。读到那一部分，我真的有一种“众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”的顿悟感。这本书让我意识到，数学不仅仅是冷冰冰的数字和符号，更是一种深刻的思维方式和理解世界的方式。

评分☆☆☆☆☆

《基础微积分解析导引（二版）》这本书，可以说是将“理论与实践相结合”的教学理念贯彻得淋漓尽致。我最看重的一点是，它没有把数学当成一个孤立的学科来讲解，而是尽可能地将其与现实世界联系起来。 举个例子，在讲解“洛必达法则”时，作者并没有直接给出法则的推导和应用，而是先引入了“不定式”的概念，并用几个简单的函数极限的例子，展示了当直接代入法失效时，我们所面临的困境。然后，他再引入洛必达法则，解释了它如何解决这类问题。更重要的是，作者还提供了很多不同类型的实际问题，让读者运用洛必达法则去解决。我记得有一个例子，是关于计算一个非常复杂的比值，直接计算几乎不可能，但通过洛必达法则，却能轻松得到结果。这种“授人以鱼不如授人以渔”的教学方式，让我不仅学会了如何运用这个法则，更学会了在什么时候、什么情况下，它才是最有效的工具。书中还包含了一些关于“泰勒展开”的应用，这在物理学、工程学等领域都有着广泛的应用，作者通过讲解如何用多项式函数逼近复杂函数，让我领略到了微积分的强大之处。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对理论推导常常感到力不从心的读者，《基础微积分解析导引（二版）》的每一个证明都显得格外清晰和易于理解。作者在这方面下了很大的功夫，力求将每一个数学命题都讲透彻，不留任何逻辑上的模糊地带。 我一直对“中值定理”感到有些抽象，但在书中，作者通过一系列精心的设计，让我彻底克服了这一障碍。他首先从直观的几何意义出发，描绘了“切线斜率等于割线斜率”的场景，让读者能够“看到”定理的成立。然后，他才引入相应的数学定义和证明。更难能可贵的是，书中对证明的每一步都进行了详细的解释，并且会指出每一步所依据的公理或已证明的定理。这种“刨根问底”的精神，让我能够完全跟上作者的思路，并且在自己尝试证明问题时，也能更加有条理。我还注意到，书中在证明一些复杂的定理时，会提供多种证明方法，这不仅拓宽了我的思路，也让我能够从不同的角度去理解同一个数学结论。这种严谨又不失灵活的教学风格，对于提升我的数学思维能力起到了至关重要的作用。

评分☆☆☆☆☆

这本书最让我赞叹的一点，莫过于它在数学严谨性和可读性之间取得的绝妙平衡。很多高等数学的书籍，为了追求绝对的严谨，往往会牺牲掉大部分读者的理解能力，将本来生动有趣的数学概念包装成一堆枯燥的符号和逻辑。但《基础微积分解析导引（二版）》在这方面做得非常出色。它在保证数学定义的准确性和定理证明的完整性的前提下，始终保持着一种亲切、平易近人的语言风格。 我记得在学习积分那一章时，作者并没有直接跳到黎曼积分的定义，而是先花了相当大的篇幅来阐述“面积”这个概念的几何意义。他通过分割细小的矩形，并逐渐增加矩形数量来逼近曲线下面积的过程，让读者直观地感受到积分的本质。书中大量的插图，让抽象的概念变得触手可及，仿佛你就在那里用尺子和铅笔一点点测量面积一样。即使在引入黎曼和的概念时，作者也没有忽略对“积分存在性”的讨论，并且用图示的方式说明了在什么条件下，一个函数是可以被积分的。这种在严谨和直观之间游走的叙述方式，让我能够同时获得对微积分概念的深刻理解和对其数学本质的精确把握。我从来没有觉得自己在“被迫”学习，而是在一种非常自然的引导下，一步步走进微积分的殿堂。