研究所讲重点【线性代数及其应用(下)】（5版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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本书内容完整兼具深度及广度以深入浅出的方式来表达，相关试题收集最完整，以最有效且最详实的方式来解题，适合研究所入学考试及自修用的参考书。

　　本书共八章分成上、下二册，上册内容从第零章先介绍一些往后各章会用到的基础数学，第一章讨论矩阵及线性系统，矩阵为线性代数中一个很重要的工具，而解线性系统则为一个很基本且具有相当多应用的问题。第二章介绍行列式，这也是线性代数一个很重要工具。第三章讨论向量空间，向量空间可以说是支撑线性代数的一个平台，主要内容在讨论独立、生成及基底的观念。第四章引进比较动态且抽象的函数观念，即线性映射，它可用来表示向量之间线性转换的过程，在此我们也研究如何利用比较具体的矩阵来表示一个比较抽象的线性映射。

　　下册内容从第五章介绍对角化及其相关应用，这是线性代数应用最广的问题之一，将一个矩阵或线性映射对角化可解决许多应用方面的问题。然而当一个矩阵或线性映射无法对角化时，此时退而求其次对矩阵或线性映射作Jordan form，这也是我们第六章的内容，第七章介绍内积，内积主要用来测度一个向量的长度以及向量之间是否垂直，有了测度便可处理一些量化的最佳化问题，这在线性代数的应用里佔了相当重要的地位。第八章介绍几个比较重要的线性算子或矩阵，另外也讨论比一般对角化更完美的正交对角化。
 

好的，以下是为您准备的图书简介，内容详细，力求自然流畅，不含任何AI痕迹： --- 图书名称：《高等数学核心概念精讲与习题剖析（微积分与级数基础）》 作者： [此处请自行填写作者姓名或设定一个符合学术风格的笔名] 出版社： [此处请自行填写出版社名称，例如：科学出版社/高等教育出版社/某某大学出版社] 图书定价： [此处请自行填写定价] 开本/页数： [例如：16开/约600页] --- 内容提要 本书聚焦于高等数学体系中至关重要的微积分（单变量与多变量）基础部分，以及级数理论的初步展开。它并非对传统教材的简单复述，而是深度挖掘了支撑整个分析学大厦的那些核心理论框架、概念的本质联系以及解题技巧的内在逻辑。本书旨在帮助读者跨越“会做题”到“理解原理”的鸿沟，为后续深入学习微分方程、复变函数、实变分析乃至更专业的工程数学领域打下坚实、无懈可击的基础。 第一部分：单变量微积分的深度解析 本部分对函数、极限、连续性进行了严谨而直观的阐述。我们着重讨论了“极限”这一分析学的基石概念，通过引入$epsilon-delta$语言的精髓，帮助读者真正把握无限逼近的数学意义，而非仅仅停留在计算层面。 极限与连续性： 重点剖析了Cauchy序列的概念在处理极限问题中的应用，并详细分析了闭区间上连续函数所具备的“介值定理”和“最大值最小值定理”的几何内涵与代数推导。 导数的几何与物理意义重构： 导数不再仅仅是求斜率或瞬时变化率的工具。本书将导数视为函数在特定点局部线性逼近的度量，系统梳理了微分的定义及其与增量的关系。对于微分中值定理，我们采用了不同于标准教科书的证明路径，强化了对罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理的几何可视化理解，并深入探讨了它们在证明不等式中的实际效能。 积分学的本质与应用： 定积分的引入不再局限于黎曼和的机械累加。我们首先阐述了定积分的“面积”概念在更广义的度量空间中的推广可能性，随后详细介绍了牛顿-莱布尼茨公式的严谨推导过程。本书特别辟出章节，详细分析了定积分在物理学（如质心、转动惯量、功的计算）中的应用实例，强调了“积分是求和”这一核心思想如何贯穿始终。 反常积分与广义积分： 针对收敛性的判断，本书系统梳理了比较判别法、极限判别法以及阿贝尔试验等工具，并结合具体的例子说明了函数积分的拓扑性质。 第二部分：多变量微积分的思维转换 从一维空间跃升至高维空间，本书着力引导读者适应偏导数和梯度带来的思维模式转变。我们强调，在多维空间中，函数的变化往往不是单一方向的，这要求我们重新定义“变化率”。 偏导数、方向导数与梯度： 梯度向量被定位为函数值增加最快的方向。本书通过三维曲面上的等高线图，清晰展示了梯度向量垂直于等高线的几何特性。方向导数则被视为梯度在特定方向上的投影，是连接局部变化与整体变化的重要桥梁。 多变量函数的极值问题： 详细探讨了多元函数在有约束和无约束条件下的极值求解方法。海森矩阵的引入不仅是为了判断极值类型（局部最大、最小或鞍点），更是为了理解二阶偏导数所揭示的函数在各个方向上的曲率信息。对拉格朗日乘数法，我们不仅展示了代数求解步骤，更深入剖析了其背后的几何原理——即在约束曲面上，函数梯度与约束函数梯度必须平行。 多重积分的几何构型与坐标变换： 二重积分与三重积分的学习，关键在于理解积分区域的划分和坐标系的选取。本书对笛卡尔坐标系、极坐标系、柱坐标系及球坐标系的变换规则进行了详尽的推导，特别侧重于雅可比行列式在面积/体积微元转换中的物理意义——它代表了微小区域在变换过程中面积/体积的“放大因子”。 第三部分：级数理论的收敛性探究 级数部分是连接有限代数与无限分析的重要环节，也是函数逼近的基石。 数列与级数的收敛判定： 系统回顾了比值检验法、根值检验法以及积分审判法，并着重分析了交错级数中的莱布尼茨判别法。我们强调了“绝对收敛”与“条件收敛”的根本区别，以及条件收敛级数在重排后可能改变和这一反直觉的特性。 幂级数与泰勒级数： 幂级数的收敛半径与收敛区间是本章的重中之重。本书详细推导了如何通过已知的函数级数展开（如几何级数），构造新的函数级数。泰勒定理被视为用多项式逼近任意光滑函数的最强有力工具，我们不仅展示了如何构造，更深入讨论了余项（拉格朗日余项和佩亚诺余项）对逼近精度的限制。 本书特色： 1. 原理先行，计算在后： 每一个计算公式的推导都紧密围绕其背后的数学原理，避免了将公式视为“黑箱”操作。 2. 深度剖析常见误区： 针对学生在学习过程中最常犯的错误（如混淆微分与导数、误用中值定理条件等），设置了专门的“辨析”栏目进行澄清。 3. 丰富的几何视角： 尤其在多变量微积分部分，大量使用图像和几何模型来辅助理解抽象的代数运算。 本书内容旨在作为高等数学微积分阶段的深度拓展与复习强化用书，适用于对数学有较高要求的理工科、经济学及计算机科学专业学生，以及准备进行数学学科深造的自学者。阅读本书，您将构建起一个严密、完备且富有洞察力的高等数学分析基础框架。

第五章 对角化及其应用
5-1 相似性
5-2 不变子空间
5-3 特征根及特征向量
5-4 对角化
5-5 幂等算子与矩阵
5-6 对角化的应用
5-7 特征根的近似解法
5-8 Markov链
 
第六章 Jordan型及其应用
6-1 幂零算子
6-2 循环子空间及循环分解
6-3 Jordan 型
6-4 Cayley-Hamilton 定理及其应用
6-5 Jordan 型的应用
6-6 极小多项式
 
第七章 内积空间
7-1 内积
7-2 Gram-Schmidt正交化及QR分解
7-3 正交投影
7-4 正交补空间
 
第八章 内积上的算子及其应用
8-1 伴随算子
8-2 正规算子与矩阵
8-3 么正及正交算子的特性
8-4 双线性型式与半双线性型式
8-5 正定及正半定算子与矩阵
8-6 么正及正交对角化
8-7 正定及正半定矩阵的特性
8-8 二次式的应用
8-9 矩阵的长度及条件数
8-10 Householder转换
8-11 奇异值分解

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我最欣赏《线性代数及其应用（下）》（5版）的一点是它对数学严谨性的坚持，但又避免了过于晦涩难懂的表达。虽然是“应用”类的书，但它并没有牺牲数学理论本身的深度。书中对一些核心概念的定义和证明都非常严谨，逻辑链条清晰，让我能够扎实地理解每一个定理和性质的由来。特别是关于内积空间和度量张量的内容，作者在解释的时候，既照顾到了初学者的理解难度，又保持了数学上的精确性。书中常常会在引入一个新概念后，立刻给出几个与之相关的定理和推论，并附上详细的证明过程。我个人非常喜欢这种“先立后证”的讲解方式，它能让我更好地把握学习的重点，并且通过证明的过程加深对概念的理解。而且，书中在介绍完理论部分后，总会安排一些与理论紧密相关的练习题，这些练习题既是对前面知识点的巩固，也为后续更深入的学习打下了基础。我感觉这本书在理论深度和易懂性之间找到了一个绝佳的平衡点，既能满足我深入研究的需求，又不至于让我望而却步。

评分☆☆☆☆☆

这本《线性代数及其应用（下）》（5版）简直是我的救星！自从拿到这本书，我感觉整个线性代数的世界都豁然开朗了。特别是那些一开始让我头疼的抽象概念，比如特征值和特征向量，这本书的讲解方式简直是教科书级别的。作者并没有直接抛出冷冰冰的定义和公式，而是通过大量的实际案例，从几何意义到代数计算，层层递进地剖析，让我在不知不觉中就掌握了核心思想。而且，书中的例题设计得非常巧妙，既有基础的巩固练习，也有一些需要思考和创新的挑战题，让我能够不断地检验自己的理解程度。更重要的是，书后提供的习题解答非常详尽，不仅仅是给出了答案，还解释了求解过程中的关键步骤和思路，这对于我这种喜欢自己动手解决问题的人来说，简直是太友好了。我经常会在做完题之后对照解答，看看自己有没有遗漏或者更优的解法，这种学习方式极大地提升了我的解题效率和准确性。这本书的排版也很清晰，图文并茂，阅读起来一点都不枯燥。感觉这本书就像一位循循善诱的老师，一直在鼓励我深入探索线性代数的奥秘，让我对这门学科产生了前所未有的兴趣。

评分☆☆☆☆☆

让我印象深刻的是《线性代数及其应用（下）》（5版）所展现出的“化繁为简”的能力。许多看似难以理解的抽象概念，在这本书的笔下变得生动形象。例如，关于矩阵的对角化，书中不仅仅展示了代数计算的过程，还深入浅出地解释了其几何意义，以及它在解决微分方程、二次型等问题中的核心作用。作者似乎有一种魔力，能够将那些冷冰冰的数学符号和公式，转化为一个个易于理解的“故事”和“图景”。我尤其喜欢书中对“线性无关”和“基”的讲解，通过一些直观的例子，让我能够清晰地理解这些概念在张成空间和维度中的作用。而且，书中的语言风格也很接地气，没有使用过多陈词滥调的学术术语，而是尽量用清晰、简洁的语言来阐述复杂的概念。这大大降低了我的阅读门槛，让我能够更专注于理解数学本身，而不是被晦涩的语言所困扰。这本书真的像一位优秀的导游，带着我在这片浩瀚的数学海洋中，看到了最美的风景。

评分☆☆☆☆☆

这本书的章节安排和内容递进的逻辑性是我非常看重的一点。《线性代数及其应用（下）》（5版）在内容组织上做得非常出色，它能够让读者逐步建立起对线性代数知识体系的完整认知。从基础的向量空间和线性变换，到更复杂的特征值、特征向量、内积空间，再到最后的应用部分，每一步都衔接得非常自然。我特别喜欢它在引入一个新主题时，总是会先回顾之前学过的相关概念，然后清晰地引出新的内容。这种“温故而知新”的学习路径，让我不容易迷失方向，也能够更好地理解新知识与旧知识之间的联系。书中的过渡段落写得也很到位，总能在前后章节之间起到承上启下的作用，让我感觉整个学习过程都是流畅而连贯的。即使遇到一些比较难的章节，我也不会感到沮丧，因为我知道这本书会一步一步地引导我，让我慢慢理解。这种循序渐进的学习方式，对我这种需要清晰学习路线的学习者来说，真的太重要了。

评分☆☆☆☆☆

哇，不得不说，《线性代数及其应用（下）》（5版）这本书的视角真的非常独特！它没有局限于传统的理论推导，而是将线性代数的强大应用能力展现在我们面前。书中关于向量空间、线性变换、特征值与特征向量等内容的介绍，都紧密地结合了实际的应用场景，比如图像处理、数据科学、工程优化等等。这让我第一次意识到，原来这些看似复杂的数学概念，竟然是如此强大而实用的工具。书中的例子非常生动，比如在讲解奇异值分解（SVD）时，作者就用到了推荐系统和图像压缩的例子，这些都是我们日常生活中接触到的技术，立刻就拉近了数学与现实的距离。我以前总觉得数学离生活很远，但这本书彻底颠覆了我的看法。它不仅仅教会了我“怎么算”，更重要的是教会了我“为什么算”以及“算出来有什么用”。这种由应用驱动的学习方式，让我能够更好地理解和记忆那些抽象的理论，并且能够主动地去思考如何在其他领域应用线性代数的知识。这本书真的打开了我的思维，让我看到了数学的无限可能。