《大域微分幾何》全書共三卷。內容主要對象是彎曲的空間，上卷大體是作者多次在臺大數學研究所授課的講稿，以此為基礎，展開中、下両卷，進入大域幾何研究的專業。
這套書三卷分別是「Riemann幾何基礎」、「活動標架法」（moving frames）及「幾何變分學」，涵蓋九大篇，共三十章，並於上卷與下卷加入〈前篇〉及〈衍篇〉各三章，以作為微分幾何「基礎入門」與「延伸進階學習」之用。
上卷從「前篇」A、B、C三章的「大域曲面論」、「活動標架法」及「可微流形」等基礎背景開始談起，引入黎曼幾何。沿依1850年代Riemann探討高維內在幾何的思路，描述「彎曲空間」。尤其著重幾何直觀，並藉由「測地線變分」初步探究彎曲空間大域的幾何性質。
本書特色
1.全書以深入淺出的解說方式，藉由直觀，逐步引入艱深的幾何硏究。
2.問題中心論：內容的鋪陳，經常圍繞著自然的提問。
3.採二維計算方式呈現數學式子的推演，使學習者一目瞭然，容易掌握運算過程。
4.適合「微分幾何學」進階研究，及天文物理、生化、土木領域之延伸應用。
具体描述
综述：拓扑学与现代物理的交汇 本书旨在为读者提供一个深入而严谨的拓扑学基础，聚焦于那些在现代数学与理论物理中扮演核心角色的概念。我们不探讨黎曼几何的具体构造或微分形式的计算，而是将目光投向拓扑空间本身的结构特性，以及这些特性如何被用来分类和理解高维流形。 全书的叙事结构围绕着从直观的“形状”概念过渡到精确的、代数化的拓扑结构展开。我们首先从点集拓扑的基石出发，建立起一个严密的公理化框架。 第一部分：拓扑空间的构造与基础概念 本部分首先详尽阐述了拓扑空间的定义，强调了开集、闭集及其闭包、内部、边界等基本构造。我们详尽讨论了连续性的拓扑定义，并将其与初等微积分中的极限概念进行对比和提升。 紧接着，我们深入探讨了连通性这一核心拓扑不变量。我们将连通性分解为路径连通性和局部路径连通性，并引入了道路和分支的概念。为了应对非连通空间的复杂性，我们详细介绍了单位分解和分区的构造，这为后续的局部性质研究奠定了基础。 在处理空间的“大小”问题时，我们引入了紧致性的概念。紧致性不仅被定义为“任一开覆盖存在有限子覆盖”，更重要的是，我们展现了它在处理函数空间和连续映射时的强大威力。通过对海涅-博雷尔定理的现代视角阐述，读者将领悟紧致性如何简化许多分析问题。 最后，本部分通过积空间和商空间的构造，展示了如何从已知的拓扑空间构建出更复杂的空间。商空间的建立过程，特别是等价关系在空间划分中的作用，是理解纤维丛和商流形的基础。 第二部分：代数拓扑的初探：不变量的计算 本部分将视角从点集拓扑的结构性描述转向代数拓扑——通过代数对象来区分拓扑空间。我们避免了直接进入高阶同调论，而是集中于最基础且最具几何洞察力的不变量：基本群。 我们详细介绍了同伦的概念，将曲线或映射视为一个随时间连续形变的家族。在此基础上，我们严格定义了基本群 $pi_1(X, x_0)$，并使用万有覆盖空间（在不涉及黎曼度量的情况下）的直观意义来解释其群结构。通过计算圆周 $S^1$ 的基本群，读者将体会到代数工具的威力。我们随后讨论了如何利用纤维化序列来计算复杂空间的代数不变量。 为了更系统地处理高维空间，我们介绍了同调论的初步思想，聚焦于单纯复形。我们定义了单纯形、链群、边界算子和法边界算子。通过链复形的构造，我们导出了奇异同调群的概念，强调了其对连续形变的同伦不变性。我们详尽地计算了球面的 $H_0$ 和 $H_1$ 群，并解释了这些群在区分嵌入空间时的作用。 第三部分：流形概念的拓扑准备 尽管本书不深入微分结构，但理解“流形”作为拓扑空间的特殊类型至关重要。本部分将拓扑流形的概念置于拓扑框架下考察。 我们定义了拓扑 $n$ 维流形，重点关注局部胚变（local homeomorphism）和可微流形（此处仅作为拓扑极限被提及）的拓扑必要条件。我们详细讨论了可定向性的拓扑判据，解释了为何某些空间（如克莱因瓶）无法被赋予一致的定向概念。 我们引入了纤维丛的拓扑定义，将其视为一个局部上是乘积空间，但在整体上可能具有非平凡拓扑的结构。我们将纤维丛视为连接局部观察与全局结构的桥梁，并讨论了丛空间、基空间和纤维之间的关系，这为理解向量丛和主丛提供了纯拓扑的背景。 全书的写作风格力求清晰、严谨且富有洞察力，旨在为有志于深入学习几何分析或拓扑场论的读者打下不可动摇的拓扑基础，特别关注那些在不依赖于度量或微分结构的情况下，空间本身所固有的内在属性。我们强调的是“是什么”而不是“如何计算度量下的量”。
著者信息
作者簡介
黃武雄
學歷：美國萊斯（Rice）大學數學博士
經歷：國立臺灣大學數學系教授、中央研究院數學所研究員
相關著作：幾何專業研究論文之外，著有通俗數學讀物《初等微分幾何講稿》、《中西數學簡史》、《小樹的冬天》。
黃武雄
學歷：美國萊斯（Rice）大學數學博士
經歷：國立臺灣大學數學系教授、中央研究院數學所研究員
相關著作：幾何專業研究論文之外，著有通俗數學讀物《初等微分幾何講稿》、《中西數學簡史》、《小樹的冬天》。
图书目录
大域微分幾何引言
《大域微分幾何》三卷書二版序
校訂序
中文譯名說明
上卷 Riemann幾何基礎
前篇 基礎背景
章A 大域曲面論概要
章B 活動標架法初步及其應用
章C 可微流形的基礎概念
篇一 Riemann幾何的背景
第1章 切向量與Lie微分
第2章 Frobenius可積分定理
第3章 Riemann曲率的誕生
第4章 曲面論基本定理
篇二 測地線的變分
第5章 向量場的共變微分
第6章 Connection, metric與曲率
第7章 測地線的變分與Synge定理
第8章 變分學中的Direct Method
篇三 Jacobi場與大域幾何
第9章 Exponential map與最短測地線
第10章 Jacobi場
第11章 測地線的大域行為
第12章 Bonnet-Myers定理與Hadamard定理
附錄
Appendix A
全書參考文獻
全書索引
《大域微分幾何》三卷書二版序
校訂序
中文譯名說明
上卷 Riemann幾何基礎
前篇 基礎背景
章A 大域曲面論概要
章B 活動標架法初步及其應用
章C 可微流形的基礎概念
篇一 Riemann幾何的背景
第1章 切向量與Lie微分
第2章 Frobenius可積分定理
第3章 Riemann曲率的誕生
第4章 曲面論基本定理
篇二 測地線的變分
第5章 向量場的共變微分
第6章 Connection, metric與曲率
第7章 測地線的變分與Synge定理
第8章 變分學中的Direct Method
篇三 Jacobi場與大域幾何
第9章 Exponential map與最短測地線
第10章 Jacobi場
第11章 測地線的大域行為
第12章 Bonnet-Myers定理與Hadamard定理
附錄
Appendix A
全書參考文獻
全書索引
图书试读
引言
大域微分幾何引言──細談整部書的脈絡（節錄）
像這樣多達八百多頁，分上、中、下三卷的專業數學書，很難想像有人會埋頭讀完整部書。寫這篇引言，是為了鋪陳全書的脈絡，讓讀者看到一連串自然而有趣的提問，像一幕幕風景一樣，沿路開展。是這些自然的風景，帶進來嚴謹的數學理論。讀者閱讀這部書時，不妨隨時來回翻閱這篇引言。若心中存著這條脈絡，讀起書來或許會更有動力，也不容易在這部大書的理論中迷失方向。
Sect. 1 較早的脈絡
1.1 白話
寫這部書時，我力求脈絡清晰，直接切入問題，減少「不那麼必要」的形式語言。與經驗連結，是引入抽象概念的前提。雖然這部書是專業研究的書籍，我仍然盡量把它寫得白話。
什麼是白話？白話就是鋪陳要自然：以自然的提問作為背景，一層層引入數學概念，使數學概念與人的感覺聯繫起來，讓人發生興趣，一步步深入數學未知的、複雜的抽象世界。
以「上卷」的脈絡，作為例子，來說明我力求白話的意義。微分幾何要處理的主要對象是「彎曲的空間」。空間如何彎曲？1860年代，Riemann的重要貢獻，就是引入Riemann曲率張量，來描述空間的彎曲。因此後人把彎曲的空間，稱為Riemann空間，或進一步叫Riemann流形。
一般幾何書籍都直接定義Riemann曲率張量[Ch.3(26)式；Ch.6(19)式]。但我們寧可回溯Riemann最早的思路：從詢問「什麼時候空間是平直？」而發現：「某個張量是否等於＄0＄？」為空間是否平直的關鍵。其中某個張量，就是後來的所謂Riemann曲率張量，以下簡稱Riemann張量。
「什麼時候空間是平直？」必須借助坐標來描述。換句話說，Riemann空間的坐標，什麼時候可以換成平直的新坐標？這牽涉到「新坐標該滿足的微分方程組，可否積分？」的問題。因此，我們必須先討論可積分條件。為了處理這樣的問題，我們證明了更普遍的Frobenius可積分定理——有時普遍反而變得自然。見Ch.2 sec2。
根據Frobenius可積分定理，便不難找到用來描述曲率的Riemann張量。一旦有了Riemann曲率張量，測地線的二階變分[Ch.7(21)式，有時稱為第二變分式]，就容易看出意義，因為計算出來的那一大堆式子，整併起來，原來就是Riemann曲率張量。
為了考慮二階變分等於＄0＄的情況（這相當於在初等微積分中找inflection point：亦即找x，使f''(x)=0），所謂的Jacobi場出現了。
如果測地線上，首度出現非零的Jacobi場[Ch.10(02)式]，我們說兩端點互為共軛（conjugate）。等到熟悉測地線與Jacobi場的遠方行為[Ch.9, 10, 11]之後，例如知道：「兩共軛點之間的測地線，若往外延長一點，便不再穩定（stable），當然也就不是最短路徑」，我們便能夠利用測地線與Jacobi場，去了解Riemann空間（或稱Riemann流形）的整體樣貌，切入大域微分幾何的內核。譬如，我們可以控制正曲率流形的直徑[Bonnet-Myer定理，Ch.12]，也可以掌握負曲率空間的形狀[Hadamard定理，Ch.12]。
所有的概念，像Riemann張量、Frobenius可積分條件、Jacobi場、共軛點、cut point、…都不是空穴來風，而是為了瞭解彎曲空間的形狀，沿著一層層問題的思路，而發展出來的重要概念。這一切都很自然，而且整條脈絡清晰易明，一氣呵成。如此「上卷」忽忽結束。這就是白話的意思。
當然，發展這條脈絡的路邊，有很多花草，像共變微分、平行線、Riemann尺度、指數映照、凸鄰域、…，都必須一一引介。這整條脈絡，加上周邊的花草，就是「上卷」的主要內容。
1.2 零四講稿
這部書（以下有時稱本書）有：
上卷 前篇A、B、C三章
篇一到篇三，含Ch.1--Ch.12
中卷 篇四到篇六，含Ch.13--Ch.21
下卷 篇七到篇九，含Ch.22--Ch.30
衍篇 三文
它最早的形式是1998-2004年春，我多次在台大數學研究所，開幾何課的講稿——以下稱為「零四講稿」。
零四講稿的內容是：現今前篇的章C、上卷三篇、及中卷到篇五。前篇的章C簡述可微流形。有了可微流形，加上Riemann尺度（metric），才成為Riemann流形。
可微流形最根本的出發點是維數（dimension）。從日常的生活經驗，一維、二維、三維、…等維數的概念，似乎明白易辨。但1890年Peano曲線的出現，使數學家對維數這樣司空見慣的概念，開始感到不安。在前篇章C，開始定義可微流形之前，我們也證明了維數的拓撲不變性。
很多數學者都相信，維數在拓撲變換之下不變，但一生從來沒讀過或做過證明。這部書主張人進入幾何專業之前，總要讀過一遍維數拓撲不變性的證明（當然，能自己證明出來更好。這是流形概念的基礎，它的證明是nontrivial。對數學專業者來說，nontrivial是數學品味的判準之一。
一旦確認維數的拓撲不變性，並引入坐標鄰域疊合延拓的概念，可微流形的簡介也就結束。我們跳過可微流形最有趣也最nontrivial的內容：Poincaré-de Rham-Hodge的理論，這是令人遺憾的事。但de Rham的理論龐大而深刻，篇幅相當於一本書。我們不得不略過，為了早點進入本書的主題「彎曲的空間」。就這樣，本書談過前篇的章C之後，我們依剛剛1.1所說，一路討論完上卷。
零四講稿的後面兩篇[即中卷篇四、篇五]，在2004春的課堂中，並沒來得及討論，因為講過前篇章C及上卷到Ch.12、一個學期已匆匆過去。
1.3 大域與局部
大域微分幾何，經常在考慮局部與大域之間的辯證問題。曲率是由局部幾何（而且是infinitesimally local）決定的，那麼局部的曲率如何影響空間大域的形狀？前述1.1提到的Bonnet-Myer與Hadamard定理，便是這樣的兩個例子。
關於這層辯證關係，古典的Gauss-Bonnet定理，是最早出現的重要成就：在封閉的曲面上，高斯曲率的總積分決定曲面的拓撲！」[前篇章A§8]。
Gauss-Bonnet定理的證明，主要的觸媒是Hopf-Poincaré的標數定理。後者把整體拓撲，歸結到向量場在一個奇異點附近的標數（index），這使得大域與局部的幾何聯繫起來。Hopf-Poincaré的標數定理意義深刻，卻不難理解，我們提早在前篇章A，便加以詳述，雖然那裡所考慮的，還只是二維曲面。這個利用標數的精神，可以延伸到後來高維的情況，完成高維Gauss-Bonnet定理的證明[中卷篇六，Ch.19]，揭開最早局部與大域之間的辯證關係。
其實這層辯證關係（亦即聯繫曲率與拓撲），可以說是大域微分幾何的主要課題。Gauss-Bonnet之後，我們看到Synge-Frankel類型的大域定理。
在上卷中，我們注意到一個有趣又重要的事實：「曲率越大，測地線也不穩定。」[Ch.7§3]。這個事實可以從測地線的二階變分得到。利用它，我們容易得到Synge與Frankel等幾個定理的證明[Ch.7]。
Synge定理說的是：封閉的Riemann流形，若為偶數維、可定向而且正曲率，則必為單連通。在這裡「正曲率」如何影響流形的整體樣貌？這又是局部與大域辯證關係的另一個好例子。
我們注意到透過測地線的二階變分，局部性的曲率起了作用，影響到測地線是否穩定的大域行為，亦即：封閉測地線在正曲率流形中的不穩定性，使得任何封閉測地線必須越縮越小，終至變成一個單點，所以流形必然是單連通。
這類利用測地線的變分，是切入大域幾何的第一道重要方法。
事實上，前言1.1談到Bonnet-Myer與Hadamard定理，也都是這方法的例子。
這方法的延伸，我們稱為「幾何變分學」。幾何變分學（calculus of variations in geometry）是這部書下卷的主題。在上卷中我們利用測地線的變分；測地線是一維的。到了下卷，我們會提升幾何變分學的層次，把一維的測地線，提高成二維以上的最小曲面，或常均曲率的曲面，而得到更多、更複雜、更深刻的大域定理。
二版序
《大域微分幾何》三卷書二版序（摘錄）
1、
這三卷書去年初版。出乎意料的，不到一年半已幾乎售罄。去年初版成書後不久，我便發覺有幾處校對上的疏忽。另外，下卷最後一章（即ch.30）的最後一個式子，因論證大意而有漏洞。慚愧之餘，我一直期待再版時，能有機會修正。
雖然有了這些瑕疵，但出書以來，我收到一些數學家的正面回饋，則感到欣喜。例如美國Purdue大學莫宗堅教授、史丹佛Stanford大學兼中研院劉太平教授，透過信件或電話告訴我，他們閲讀時的感想。台大蔡宜洵教授更細心的讀完終卷，寫下深刻感人的書評，發表在《中華民國數學會電子報》；這份書評的紙本，亦將在中研院《數學傳播》季刊全文刊登。
另外，感謝張海潮、王藹農、王立中教授指出篇一第4章「曲面論基本定理」的證明，有個gap，並做了補正，其間細微之辨，非常有趣。我在現今這個二版的上卷書末，增添兩頁附錄，放入他們的補正。
2、
初版時，我在引言中談到1978年我出版過的小書《初等微分幾何講稿》（以下簡稱為「小書」）。這本小書適合大學部初讀者的水準。許多這一代台灣的數學家，年輕時都讀過這本小書。如今他們已步入中年，多次向我提起小書對他們大學時代的影響。
今年初，在新迪出版社友人石飛益的贊助之下，這本小書重新修訂出版。
目前《大域微分幾何》這三卷書（以下稱為「大書」），可以看成是小書的續集，初版或二版不拘。也就是說，小書是大書的先修本。
但大書上卷的前篇章A〈大域曲面論概要〉則是小書的濃縮版。數學程度成熟的專業者可以跳過小書，直接讀大書。兩書一小一大，相輔相成，從大學部的水準，一直深入微分幾何專業研究的領域。
中研院鄭日新、台大李瑩英、師大林俊吉三位教授，原本計劃要在今年8月7日，為大書舉辦「新書發表會/暨cmc曲面研討會」；同時也回顧他們年輕時走向幾何的經驗。惜因疫情起伏不定而作罷。
我在今年初的《數學傳播季刊》中，寫了一篇長文，説明大書與小書內容的連結。這篇長文也作為前言，放在重新出版的小書中。
3、
眼前這套大書的再版（即現今這二版），上、中兩卷除了修正幾處typos（校對誤差）之外，幾乎沒什麼更動。下卷亦然，真正大幅更動的是最後一章（ch30）。我把它重新改寫，因為在彌補前述的漏洞時，我們的研究工作又有新的進展。
這章主題是處理cmc曲面（hypersurface ）上domain D(t)的動態變形，考慮其上Jacobi場隨著t，而離散出現的分佈情狀。
我們引入Morse index定理，來處理這問題。關鍵便落在stability operator的特徵值是否連續。我們處理的domain D(t)是困難的廣義Lipschitz domain，並且容許它們的topological type可以隨t而改變。如此D(t)才能伸向大域，使其樣態多變。
但這樣一來，問題便艱鉅得多，而且論證也變得深刻。穿越困難，像走入曲折迂迴的甬道，暗黑而多次碰壁。經過半年多艱辛的努力，我們終於看到曙光，解決了問題，得到完整的結果。
這章（ch30）的改寫，是二版修訂真正的重點。
大域微分幾何引言──細談整部書的脈絡（節錄）
像這樣多達八百多頁，分上、中、下三卷的專業數學書，很難想像有人會埋頭讀完整部書。寫這篇引言，是為了鋪陳全書的脈絡，讓讀者看到一連串自然而有趣的提問，像一幕幕風景一樣，沿路開展。是這些自然的風景，帶進來嚴謹的數學理論。讀者閱讀這部書時，不妨隨時來回翻閱這篇引言。若心中存著這條脈絡，讀起書來或許會更有動力，也不容易在這部大書的理論中迷失方向。
Sect. 1 較早的脈絡
1.1 白話
寫這部書時，我力求脈絡清晰，直接切入問題，減少「不那麼必要」的形式語言。與經驗連結，是引入抽象概念的前提。雖然這部書是專業研究的書籍，我仍然盡量把它寫得白話。
什麼是白話？白話就是鋪陳要自然：以自然的提問作為背景，一層層引入數學概念，使數學概念與人的感覺聯繫起來，讓人發生興趣，一步步深入數學未知的、複雜的抽象世界。
以「上卷」的脈絡，作為例子，來說明我力求白話的意義。微分幾何要處理的主要對象是「彎曲的空間」。空間如何彎曲？1860年代，Riemann的重要貢獻，就是引入Riemann曲率張量，來描述空間的彎曲。因此後人把彎曲的空間，稱為Riemann空間，或進一步叫Riemann流形。
一般幾何書籍都直接定義Riemann曲率張量[Ch.3(26)式；Ch.6(19)式]。但我們寧可回溯Riemann最早的思路：從詢問「什麼時候空間是平直？」而發現：「某個張量是否等於＄0＄？」為空間是否平直的關鍵。其中某個張量，就是後來的所謂Riemann曲率張量，以下簡稱Riemann張量。
「什麼時候空間是平直？」必須借助坐標來描述。換句話說，Riemann空間的坐標，什麼時候可以換成平直的新坐標？這牽涉到「新坐標該滿足的微分方程組，可否積分？」的問題。因此，我們必須先討論可積分條件。為了處理這樣的問題，我們證明了更普遍的Frobenius可積分定理——有時普遍反而變得自然。見Ch.2 sec2。
根據Frobenius可積分定理，便不難找到用來描述曲率的Riemann張量。一旦有了Riemann曲率張量，測地線的二階變分[Ch.7(21)式，有時稱為第二變分式]，就容易看出意義，因為計算出來的那一大堆式子，整併起來，原來就是Riemann曲率張量。
為了考慮二階變分等於＄0＄的情況（這相當於在初等微積分中找inflection point：亦即找x，使f''(x)=0），所謂的Jacobi場出現了。
如果測地線上，首度出現非零的Jacobi場[Ch.10(02)式]，我們說兩端點互為共軛（conjugate）。等到熟悉測地線與Jacobi場的遠方行為[Ch.9, 10, 11]之後，例如知道：「兩共軛點之間的測地線，若往外延長一點，便不再穩定（stable），當然也就不是最短路徑」，我們便能夠利用測地線與Jacobi場，去了解Riemann空間（或稱Riemann流形）的整體樣貌，切入大域微分幾何的內核。譬如，我們可以控制正曲率流形的直徑[Bonnet-Myer定理，Ch.12]，也可以掌握負曲率空間的形狀[Hadamard定理，Ch.12]。
所有的概念，像Riemann張量、Frobenius可積分條件、Jacobi場、共軛點、cut point、…都不是空穴來風，而是為了瞭解彎曲空間的形狀，沿著一層層問題的思路，而發展出來的重要概念。這一切都很自然，而且整條脈絡清晰易明，一氣呵成。如此「上卷」忽忽結束。這就是白話的意思。
當然，發展這條脈絡的路邊，有很多花草，像共變微分、平行線、Riemann尺度、指數映照、凸鄰域、…，都必須一一引介。這整條脈絡，加上周邊的花草，就是「上卷」的主要內容。
1.2 零四講稿
這部書（以下有時稱本書）有：
上卷 前篇A、B、C三章
篇一到篇三，含Ch.1--Ch.12
中卷 篇四到篇六，含Ch.13--Ch.21
下卷 篇七到篇九，含Ch.22--Ch.30
衍篇 三文
它最早的形式是1998-2004年春，我多次在台大數學研究所，開幾何課的講稿——以下稱為「零四講稿」。
零四講稿的內容是：現今前篇的章C、上卷三篇、及中卷到篇五。前篇的章C簡述可微流形。有了可微流形，加上Riemann尺度（metric），才成為Riemann流形。
可微流形最根本的出發點是維數（dimension）。從日常的生活經驗，一維、二維、三維、…等維數的概念，似乎明白易辨。但1890年Peano曲線的出現，使數學家對維數這樣司空見慣的概念，開始感到不安。在前篇章C，開始定義可微流形之前，我們也證明了維數的拓撲不變性。
很多數學者都相信，維數在拓撲變換之下不變，但一生從來沒讀過或做過證明。這部書主張人進入幾何專業之前，總要讀過一遍維數拓撲不變性的證明（當然，能自己證明出來更好。這是流形概念的基礎，它的證明是nontrivial。對數學專業者來說，nontrivial是數學品味的判準之一。
一旦確認維數的拓撲不變性，並引入坐標鄰域疊合延拓的概念，可微流形的簡介也就結束。我們跳過可微流形最有趣也最nontrivial的內容：Poincaré-de Rham-Hodge的理論，這是令人遺憾的事。但de Rham的理論龐大而深刻，篇幅相當於一本書。我們不得不略過，為了早點進入本書的主題「彎曲的空間」。就這樣，本書談過前篇的章C之後，我們依剛剛1.1所說，一路討論完上卷。
零四講稿的後面兩篇[即中卷篇四、篇五]，在2004春的課堂中，並沒來得及討論，因為講過前篇章C及上卷到Ch.12、一個學期已匆匆過去。
1.3 大域與局部
大域微分幾何，經常在考慮局部與大域之間的辯證問題。曲率是由局部幾何（而且是infinitesimally local）決定的，那麼局部的曲率如何影響空間大域的形狀？前述1.1提到的Bonnet-Myer與Hadamard定理，便是這樣的兩個例子。
關於這層辯證關係，古典的Gauss-Bonnet定理，是最早出現的重要成就：在封閉的曲面上，高斯曲率的總積分決定曲面的拓撲！」[前篇章A§8]。
Gauss-Bonnet定理的證明，主要的觸媒是Hopf-Poincaré的標數定理。後者把整體拓撲，歸結到向量場在一個奇異點附近的標數（index），這使得大域與局部的幾何聯繫起來。Hopf-Poincaré的標數定理意義深刻，卻不難理解，我們提早在前篇章A，便加以詳述，雖然那裡所考慮的，還只是二維曲面。這個利用標數的精神，可以延伸到後來高維的情況，完成高維Gauss-Bonnet定理的證明[中卷篇六，Ch.19]，揭開最早局部與大域之間的辯證關係。
其實這層辯證關係（亦即聯繫曲率與拓撲），可以說是大域微分幾何的主要課題。Gauss-Bonnet之後，我們看到Synge-Frankel類型的大域定理。
在上卷中，我們注意到一個有趣又重要的事實：「曲率越大，測地線也不穩定。」[Ch.7§3]。這個事實可以從測地線的二階變分得到。利用它，我們容易得到Synge與Frankel等幾個定理的證明[Ch.7]。
Synge定理說的是：封閉的Riemann流形，若為偶數維、可定向而且正曲率，則必為單連通。在這裡「正曲率」如何影響流形的整體樣貌？這又是局部與大域辯證關係的另一個好例子。
我們注意到透過測地線的二階變分，局部性的曲率起了作用，影響到測地線是否穩定的大域行為，亦即：封閉測地線在正曲率流形中的不穩定性，使得任何封閉測地線必須越縮越小，終至變成一個單點，所以流形必然是單連通。
這類利用測地線的變分，是切入大域幾何的第一道重要方法。
事實上，前言1.1談到Bonnet-Myer與Hadamard定理，也都是這方法的例子。
這方法的延伸，我們稱為「幾何變分學」。幾何變分學（calculus of variations in geometry）是這部書下卷的主題。在上卷中我們利用測地線的變分；測地線是一維的。到了下卷，我們會提升幾何變分學的層次，把一維的測地線，提高成二維以上的最小曲面，或常均曲率的曲面，而得到更多、更複雜、更深刻的大域定理。
二版序
《大域微分幾何》三卷書二版序（摘錄）
1、
這三卷書去年初版。出乎意料的，不到一年半已幾乎售罄。去年初版成書後不久，我便發覺有幾處校對上的疏忽。另外，下卷最後一章（即ch.30）的最後一個式子，因論證大意而有漏洞。慚愧之餘，我一直期待再版時，能有機會修正。
雖然有了這些瑕疵，但出書以來，我收到一些數學家的正面回饋，則感到欣喜。例如美國Purdue大學莫宗堅教授、史丹佛Stanford大學兼中研院劉太平教授，透過信件或電話告訴我，他們閲讀時的感想。台大蔡宜洵教授更細心的讀完終卷，寫下深刻感人的書評，發表在《中華民國數學會電子報》；這份書評的紙本，亦將在中研院《數學傳播》季刊全文刊登。
另外，感謝張海潮、王藹農、王立中教授指出篇一第4章「曲面論基本定理」的證明，有個gap，並做了補正，其間細微之辨，非常有趣。我在現今這個二版的上卷書末，增添兩頁附錄，放入他們的補正。
2、
初版時，我在引言中談到1978年我出版過的小書《初等微分幾何講稿》（以下簡稱為「小書」）。這本小書適合大學部初讀者的水準。許多這一代台灣的數學家，年輕時都讀過這本小書。如今他們已步入中年，多次向我提起小書對他們大學時代的影響。
今年初，在新迪出版社友人石飛益的贊助之下，這本小書重新修訂出版。
目前《大域微分幾何》這三卷書（以下稱為「大書」），可以看成是小書的續集，初版或二版不拘。也就是說，小書是大書的先修本。
但大書上卷的前篇章A〈大域曲面論概要〉則是小書的濃縮版。數學程度成熟的專業者可以跳過小書，直接讀大書。兩書一小一大，相輔相成，從大學部的水準，一直深入微分幾何專業研究的領域。
中研院鄭日新、台大李瑩英、師大林俊吉三位教授，原本計劃要在今年8月7日，為大書舉辦「新書發表會/暨cmc曲面研討會」；同時也回顧他們年輕時走向幾何的經驗。惜因疫情起伏不定而作罷。
我在今年初的《數學傳播季刊》中，寫了一篇長文，説明大書與小書內容的連結。這篇長文也作為前言，放在重新出版的小書中。
3、
眼前這套大書的再版（即現今這二版），上、中兩卷除了修正幾處typos（校對誤差）之外，幾乎沒什麼更動。下卷亦然，真正大幅更動的是最後一章（ch30）。我把它重新改寫，因為在彌補前述的漏洞時，我們的研究工作又有新的進展。
這章主題是處理cmc曲面（hypersurface ）上domain D(t)的動態變形，考慮其上Jacobi場隨著t，而離散出現的分佈情狀。
我們引入Morse index定理，來處理這問題。關鍵便落在stability operator的特徵值是否連續。我們處理的domain D(t)是困難的廣義Lipschitz domain，並且容許它們的topological type可以隨t而改變。如此D(t)才能伸向大域，使其樣態多變。
但這樣一來，問題便艱鉅得多，而且論證也變得深刻。穿越困難，像走入曲折迂迴的甬道，暗黑而多次碰壁。經過半年多艱辛的努力，我們終於看到曙光，解決了問題，得到完整的結果。
這章（ch30）的改寫，是二版修訂真正的重點。
用户评价
评分
這套書的厚度，一看就知道內容量是相當紮實的。然而，衡量一本基礎教材好壞的標準，有時並不在於它包含了多少標準定理，而在於它對「基礎工具」的闡述是否到位。對於初學者而言，「張量場的微分」和「協變微分」的概念往往是第一個高牆。很多教材會直接跳到張量分析的符號操作，卻沒有花足夠的篇幅解釋，為什麼我們需要引入聯絡係數 $Gamma^k_{ij}$，以及它如何代表了「在彎曲空間中保持方向不變」這個看似簡單卻極為微妙的操作。我非常期待這本書能夠以一種非常清晰、無歧義的方式來區分「純幾何物件」（如向量場）與「依賴坐標系的物件」（如梯度或法向量）。如果能用一種更「內蘊」（Intrinsic）的方式來解釋這些運算，而不是過度依賴局部坐標轉換，那麼這本教材就真正體現了微分幾何的精髓，即強調幾何物件的獨立性，而非依賴於人為選定的坐標系。
评分這本《大域微分幾何（上）：Riemannn幾何基礎（二版）》光是看書名，就讓人感受到一股深厚的學術氣息。身為一個長期在學術圈摸爬滾打的讀者，我總覺得要真正掌握微分幾何的精髓，不能只停留在歐氏空間的微觀層面。真正迷人的地方，往往在於將概念推廣到彎曲流形上，探討那些全局性的、拓撲相關的問題。這本書的「大域」二字，正是抓住了這個核心。我期待它能更深入地探討一些非平凡流形上的不變量，比如黎曼曲率張量如何影響流形本身的結構，或者如何用更直觀的方式來理解測地線的存在性與唯一性，而不僅僅是純粹的局部分析。我希望書中能多加著墨於一些經典的例子，像是球面、環面，甚至是更複雜的李群上的幾何結構，這樣才能讓抽象的數學語言落地，讓讀者真正體會到幾何之美。畢竟，微分幾何的美學，就在於用代數和分析的工具去描繪空間的形態，這遠比只做計算來得深刻。如果能在「基礎」部分就打好這個觀念，後續的探討自然會更順暢。
评分說實在話，台灣的數學系學生在學習微分幾何時，常常面臨一個選擇困境：是要走嚴謹的拓撲幾何路線，還是偏向物理應用的微分拓撲路線？這本專注於黎曼幾何的書籍，似乎站在了一個非常關鍵的交叉點上。我希望它在處理「測地曲率」（Geodesic Curvature）和「黎曼曲率的分解」（如分解為截面曲率、里奇曲率等）時，能夠提供足夠的細膩度。特別是截面曲率，它直接關係到空間的局部彎曲程度，理解它如何隨著流形的維度增加而變化，是掌握曲率概念的關鍵。另外，對於那些初次接觸李群上幾何的讀者來說，書中如果能有一個獨立的章節，介紹如何使用李代數來研究齊性空間（Homogeneous Spaces）的黎曼度量，那將會是極大的加分。這不僅能串聯起代數和幾何，更能為後續研究標準模型或規範場論打下堅實的數學基礎，這比單純推導愛因斯坦方程要來得更有學術價值。
评分從裝幀和排版來看，這本二版顯然是經過精心校訂的。不過，老實說，每次拿到這種探討基礎的教科書，我最在意的不是那些標準的定義和定理證明，而是作者如何引導讀者建立「幾何直覺」。黎曼幾何的核心困難之一，就是許多概念（像是曲率、平行移動）在彎曲空間中不再像在平坦空間那樣直觀。好的教材應該要能像一個經驗豐富的導師，在你迷惘時給予適當的物理圖像或幾何類比。我非常好奇，這本書在處理「聯絡」（Connection）這個關鍵概念時，是偏向愛因斯坦-卡坦（Einstein-Cartan）的視角，還是更側重於愛因斯坦-愛因斯坦（Einstein-Einstein）的幾何觀點？亦或是像魏爾（Weyl）那樣，將其視為一種度量變化的基礎？如果能提供多角度的詮釋，對於初學者建立穩固的框架至關重要。特別是關於張量分析的部分，如果能用更現代的語言，例如使用微分形式（Differential Forms）來重構部分內容，或許能讓讀者在面對霍奇理論或廣義相對論時，能有更流暢的過渡。
评分市面上許多黎曼幾何的入門書，在談完黎曼度量和曲率之後，往往就草草收場，留給讀者一個懸空的感覺。對於「大域」的探討，我期望看到對「黎曼流形上的分析」有更具體的著墨。例如，對於緊緻流形上的拉普拉斯算子（Laplacian Operator）在調和分析中的應用，或者更進一步，探討愛因斯坦流形（Einstein Manifolds）的性質。如果作者能在附錄或專題討論中，簡潔地介紹卡丹-史托克定理（Cartan-Stokes Theorem）在黎曼流形上的體現，或是如何利用魏爾（Weyl）的共形變換來研究黎曼度量的等價性，那就太棒了。這類進階的、串聯不同數學領域的視角，才能真正拓寬讀者的視野，讓讀者明白這不只是一門純粹的幾何學，而是物理學、拓撲學乃至微分方程的基石。總之，我期待這本書能提供一個既嚴謹又充滿啟發性的學習路徑，引導我們從平面幾何的直觀，跨越到高維、彎曲空間的宏大圖景中去。
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