基礎離散數學（第五版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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黃中彥

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深入理解现代科学的基石：《高等代数与线性代数解析》 一部面向理工科、计算机科学及数学专业学生的权威性教材 本书旨在为读者提供一个坚实且深入的数学基础，特别聚焦于高等代数（Abstract Algebra）和线性代数（Linear Algebra）这两大现代科学与工程领域不可或缺的核心分支。我们深刻认识到，无论是进行前沿的理论研究，还是解决复杂的实际工程问题，对向量空间、矩阵理论、群、环与域的深刻理解都是至关重要的先决条件。 全书结构与内容深度： 《高等代数与线性代数解析》的设计理念是平衡理论的严谨性与应用的直观性。全书分为四个主要部分，层层递进，确保读者能够构建起完整的知识体系。 --- 第一部分：线性代数的基石与应用（The Foundations of Linear Algebra） 本部分专注于构建读者对向量空间这一抽象结构的直观认识，并深入探讨其运算和变换的性质。 第一章：向量空间与子空间 核心概念辨析： 详细阐述数域 $mathbb{R}$ 和 $mathbb{C}$ 上的向量空间定义，区分其与初等线性代数中“向量”概念的本质区别。 线性相关性与基： 严格定义线性无关组、生成集和基的概念。通过实例对比有限维与无限维空间中基的选择与构造。 子空间结构： 深度剖析子空间的定义、交集与和空间。重点介绍零空间（Null Space）、列空间（Column Space）和行空间（Row Space）的内在联系及其在求解线性方程组中的决定性作用。 维度定理的证明与意义： 不仅给出维度公式，更侧重于证明过程，加深对“自由度”的理解。 第二章：线性变换与矩阵表示 线性映射的性质： 探讨线性映射的核（Kernel）和像（Image），并严格证明秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）。 矩阵的本质： 将矩阵视为线性变换在特定基下的坐标表示。详细论述基变换如何影响矩阵的表示，为后续的相似性理论打下基础。 初等矩阵与初等行变换： 深入解析初等行变换的代数意义，证明任何矩阵都可以通过初等矩阵的乘积来表示，从而系统地掌握高斯消元法的理论依据。 第三章：行列式理论的深化 行列式的代数定义： 从多线性函数和置换的符号出发，给出行列式的严谨定义，而非仅仅停留在代数公式的计算层面。 性质的系统推导： 基于多线性性，系统推导出行列式关于行（列）的性质，包括比例性、反对称性等。 克莱姆法则（Cramer's Rule）的解析： 证明克莱姆法则，并讨论其在计算中的局限性与理论价值。 伴随矩阵与逆矩阵的构造： 利用代数余子式构造伴随矩阵，并从代数角度导出逆矩阵的求解方法。 第四章：特征值、特征向量与相似性 特征值的确定： 详细讨论特征多项式、特征空间的概念。 对角化理论： 深入探讨矩阵可对角化的充分必要条件——特征向量的线性无关性。重点分析代数重数与几何重数的关系。 相似矩阵的性质： 阐明相似矩阵具有相同的特征值、行列式、迹和秩等不变量。 若尔当标准形（Jordan Canonical Form）： 针对不可对角化的矩阵，系统介绍若尔当块的构造原理和若尔当标准型的唯一性，这是研究线性动力学系统的关键。 第五章：内积空间与正交性 内积的引入： 定义内积，并推广到任意维度空间，介绍施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）。 正交基与正交投影： 详细阐述施密特正交化过程（Gram-Schmidt Process）的每一步几何意义，理解正交基在坐标表示中的优越性。 对称矩阵理论： 证明谱定理（Spectral Theorem），阐述实对称矩阵总可以正交对角化的重要结论及其在二次型分析中的应用。 二次型与主轴定理： 利用特征值和正交变换，将二次型化为标准形，从而分析二次曲线和二次曲面的几何特性。 --- 第二部分：高等代数的核心结构（Abstract Algebra Essentials） 本部分从集合论的严谨性出发，构建代数结构的三大支柱：群、环和域。 第六章：群论基础 代数结构公理化： 从二元运算的封闭性、结合律、单位元和逆元四个公理严格定义群（Group）。 特殊群的探讨： 深入分析整数加法群 $mathbb{Z}$、非零有理数乘法群 $mathbb{Q}^$、以及对称群 $S_n$ 的性质。 子群与陪集： 讨论子群的判定、循环群的结构。严格证明拉格朗日定理（Lagrange's Theorem）及其推论。 正规子群与商群： 引入正规子群的概念，构建商群（Factor Group）的运算规则，这是理解结构分解的关键。 同态与同构： 证明第一同构定理（First Isomorphism Theorem），阐述结构保持映射的强大威力。 第七章：环论与理想 环的定义与例子： 从集合、加法群、乘法运算三个层面定义环，重点分析整数环 $mathbb{Z}$、多项式环 $F[x]$ 和矩阵环 $M_n(F)$ 的特性。 整环与域的区分： 讨论零因子（Zero Divisors）的概念，定义整环（Integral Domain）并说明域是无零因子的交换环。 理想的结构： 定义理想（Ideal），探讨主理想（Principal Ideal）和极大理想（Maximal Ideal）的概念。 商环的构造： 借鉴群论中的商群概念，构造商环 $R/I$，并给出环上的同构定理。 第八章：域与多项式 多项式环的性质： 重点分析在域 $F$ 上的多项式环 $F[x]$ 具有欧几里得整环的性质，可以进行带余除法。 因式分解理论： 引入不可约多项式（Irreducible Polynomials）的概念，探讨其在多项式环中的作用，类比素数在整数环中的作用。 域的扩张（Field Extensions）： 介绍域扩张的基本概念，包括代数扩张和超越扩张。 有限域的构造： 探讨如何利用不可约多项式在有限域上构造新的域，这是密码学和编码理论的理论基础。 --- 第三部分：高级主题与专题 第九章：线性代数在分析中的应用 矩阵的函数： 引入矩阵指数 $e^A$ 的定义（基于泰勒展开），并讨论其在求解线性常微分方程组 $frac{dx}{dt} = Ax$ 中的唯一解。 奇异值分解（SVD）： 详细推导SVD的几何意义和代数构造，阐述其在数据压缩、主成分分析（PCA）中的核心地位。 伪逆与最小二乘解： 在不可逆矩阵情况下，利用SVD或摩尔-彭若斯（Moore-Penrose）伪逆求解超定（Overdetermined）或欠定（Underdetermined）线性系统的最小二乘解。 第十章：群作用与应用 群作用的定义： 引入群在集合上的作用，探讨轨道（Orbit）和稳定子（Stabilizer）的概念。 伯恩赛德引理（Burnside's Lemma）： 利用群作用的计数原理，解决复杂的组合计数问题（如项链染色问题）。 初识伽罗瓦理论（Galois Theory）的引言： 简要介绍伽罗瓦群如何联系域扩张和多项式的根的结构，为理解五次及以上方程不可解性提供代数框架。 本书的特色： 1. 严格的证明体系： 所有核心定理均提供详细的、易于跟进的完整证明，强调“为什么”而非仅仅“是什么”。 2. 丰富的计算示例： 线性代数部分配有大量的数值计算实例，确保读者掌握从抽象理论到具体操作的过渡。 3. 理论的贯穿性： 明确展示线性代数（矩阵、变换）与高等代数（群、环）的概念如何相互映射和统一，例如线性空间是群作用的特例，矩阵群是抽象群的具体实例。 目标读者： 本书是为数学、物理、电子信息、计算机科学、航空航天等专业本科高年级学生及研究生量身定制的参考书，也是需要对自身数学基础进行系统性回顾和提升的专业人士的理想选择。掌握本书内容，意味着真正掌握了现代数学语言的精髓。

评分☆☆☆☆☆

這本第五版在組合學的章節處理上，個人覺得是「中規中矩，安全穩健」。它涵蓋了排列組合、鴿籠原理、生成函數等所有基礎知識點，幾乎沒有遺漏任何一個標準課綱會考的範圍。作者在處理這些計數問題時，習慣性地會先給出一個非常正式的定理陳述，然後再搭配一到兩個範例。這種風格的好處是，你學到的永遠是標準解法；壞處則是，當你遇到那種「看起來像排列組合，但又有點像圖論著色問題」的變形題時，光靠書上的例子可能不夠靈活變通。我記得有次在做課後習題，有一題關於在特定限制下分配物品，我套用了書上學到的容斥原理，但答案總是差一點點。後來才發現，是題目隱含了一個額外的限制，這個限制在書上的基礎範例裡頭沒有被特別點出。所以，我會建議讀者，在讀完這個部分後，一定要多做考古題，用實戰經驗去補足書本「標準化」帶來的僵硬感。

评分☆☆☆☆☆

說到編排的風格，這本第五版相較於更早的版本，在符號一致性上做得更好了，這是值得肯定的進步。過去不同章節間符號有時會出現混用（例如，有的地方用 $E$ 表示邊，有的地方用 $e$），新版在這方面統一了標準，閱讀起來順暢許多。不過，作為一本工具書，它的「可攜帶性」就稍微差了一點點，畢竟內容紮實，書本本身蠻厚的，帶去圖書館或咖啡廳溫習時，負擔不小。另外，對於那些對數學證明有恐懼心理的讀者，這本書的結構雖然嚴謹，但對於「如何開始寫證明」的指導性敘述較為簡略。它假設你已經具備一定的數學邏輯基礎，直接切入核心證明。因此，如果你的邏輯訓練還在摸索階段，可能建議先找一本專門講述「數學寫作與邏輯」的入門書，建立起基本框架後，再回頭啃這本厚重的經典，效果會事半功倍，否則容易在密集的證明中迷失方向。

评分☆☆☆☆☆

我特別欣賞這本書在演算法分析這一塊的處理方式。雖然離散數學的核心通常圍繞在圖論和組合學上，但第五版對於計算複雜度跟遞迴關係的章節著墨頗深，這點對於計算機科學背景的學生來說，簡直是福音。書中對於大O記法的介紹非常到位，不是敷衍帶過，而是真的帶領讀者一步步去分析不同遞迴結構的成長曲線。舉例來說，關於主定理（Master Theorem）的推導過程，書上寫得非常清楚，圖表輔助也足夠，讓我這個當年被遞迴搞得灰頭土臉的人，重新找回了一點信心。唯一的缺憾是，或許因為是較新的版本，它在某些極為前沿的應用，例如量子計算對應的離散結構，著墨就相對較少，但這或許是定位問題，畢竟它還是以「基礎」為名。總之，如果你是資工或電機的學生，這本書的演算法相關章節絕對是你的救贖，比坊間很多專門講演算法的書還來得紮實。

评分☆☆☆☆☆

從學術傳承的角度來看，這套書的優點在於其龐大的練習題庫。據說這一版又更新、擴充了不少題目，而且最棒的是，它還區分了基礎練習、中階應用和進階挑戰。對於老師來說，這簡直是出作業和試卷的寶庫；對於學生而言，更是自我檢視學習成效的最佳工具。我個人對後面的圖論章節印象特別深刻，那裡的習題設計得非常精妙，將歐拉路徑、漢米爾頓迴路、最小生成樹等概念，透過不同情境的圖形結構來呈現，讓你真正體會到圖論的「廣泛性」。不過，這本書的例題解答（如果有的話，有些台灣的版本習慣不附詳解）相對較少，這對於自學的朋友可能是一個不小的挫折。你可能需要花大量時間去鑽研那些證明過程，才能確認自己是否真的理解了「為什麼是這個答案」，而不是單純套用了公式。它要求讀者具備獨立思考和除錯的能力。

评分☆☆☆☆☆

這本《離散數學》的第五版，坦白說，光是封面設計就給人一種相當扎實、有點傳統的感覺，不像現在有些教科書弄得花花綠綠的。書本的排版非常工整，字體選用也是那種很耐看的黑體，閱讀起來眼睛不會太吃力。不過，對於初學者來說，剛翻開前幾章節，可能會覺得內容稍微有點「硬核」。像是集合論和邏輯的部分，雖然定義都很精確，但少了些生活化的例子來做輔助。我記得我第一次接觸這些概念時，光是理解量詞的否定、或是一些證明方法，就得花上好一番功夫。這本書的優點在於，它的定義和定理都是標準的數學語言，非常嚴謹，對於想往後繼續深造、需要準備研究所考試的同學來說，絕對是本值得收藏的參考書。但是，如果是為了應付基礎課期中考，學生可能需要搭配老師額外的補充講義，或者自己多找一些網路資源來補足那種「情境化」的解說。整體來說，它像是位經驗豐富的老師，直接給你最核心的知識，但得你自己去消化那些味道。