LINEAR ALGEBRA WITH APPLICATIONS 4/E (S-PIE) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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• 向量空间
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• 数值计算
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　　Offering the most geometric presentation available, Linear Algebra with Applications, Fourth Edition emphasizes linear transformations as a unifying theme. This elegant textbook combines a user-friendly presentation with straightforward, lucid language to clarify and organize the many techniques and applications of linear algebra. Exercises and examples make up the heart of the text, with abstract exposition kept to a minimum. Extensive problem sets keep students involved in the material, while genuine applications for a broad range of sciences prepares them for the methods and models of contemporary scientists. In addition, the wealth and variety of exercise sets enable instructors to design a course to best suit the goals and needs of their students. This revision reflects careful review and appropriate changes to the wording of each idea, while preserving the content structure of the previous edition.

本书特色

　　NEW - Many new exercises of all difficulty levels have been added, from the elementary to the challenging. For example, there are twenty-four new exercises on conic and cubic curve fitting that lead up to a discussion of the Cramer-Euler Paradox on fitting a cubic through nine points. NEW - The section on matrix products now follows discussion of the inverse of a matrix, making the presentation more sensible from an algebraic point of view. The determinant is defined in terms of patterns, a transparent way to deal with permutations; Laplace expansion and Gaussian elimination are presented as alternative approaches. This presentation strikes a balance between earlier editions of this text. NEW - Hundreds of improvements include hints on especially difficult problems and revised notations and explanations on many theorems.

　　1 .  Linear transformations are introduced early in the text to make the discussion of matrix operations more meaningful and easier to navigate.

　　2 .  Visualization and geometrical interpretation are emphasized extensively throughout the text.

　　3 .  An abundance of problems, exercises, and applications help students assess their understanding and master the material.

　　4 .  Abstract concepts are introduced gradually throughout the text. Major ideas are carefully developed at various levels of generality before the student is introduced to abstract vector spaces.

　　5 .  Discrete and continuous dynamical systems are used as a motivation for eigenvectors and as a unifying theme thereafter.

　　6 .  Fifty to sixty True/False questions conclude every chapter, testing conceptual understanding and encouraging students to read the text.

　　7 .  Historical problems from ancient Chinese, Indian, Arabic, and early European sources add diversity to the selection of exercises.

　　8 .  Rotations, reflections, projections, and shears are used throughout to illustrate new ideas.

　　9 .  Multiple perspectives on the kernel of a matrix are presented, with a stronger emphasis on the relations among the columns.

　　10 .  Commutative diagrams enhance students'' conceptual understanding of the matrix of a linear transformation. These diagrams enable students to visualize the relations between linear transformations.

　　11 .  A more conceptual approach to the QR factorization is presented, in terms of a change-of-basis.

　　12 .  The determinant is introduced in terms of Laplace expansion rather than permutations, with Gaussian elimination and permutations still presented as alternative methods.

线性代数与应用：现代数学的基石 本书旨在为读者提供一个全面且深入的线性代数学习体验，侧重于理论的严谨性与实际应用的广泛性相结合。线性代数作为现代数学和科学领域的核心分支，其重要性不言而喻。它不仅是理解许多高级数学概念（如泛函分析、微分方程）的先决条件，更是物理学、计算机科学、工程学、经济学乃至数据科学等领域解决复杂问题的强大工具。 本书的结构经过精心设计，力求在保持数学严格性的同时，确保内容对初学者友好，并能激发高阶学习者的兴趣。我们避免了过于抽象和孤立的理论讲解，而是将核心概念置于实际问题的背景之下进行阐述。 第一部分：基础奠基——向量空间与矩阵运算 本书的开篇将读者带入线性代数的核心——向量空间的概念。我们从直观的 $mathbb{R}^n$ 空间出发，逐步推广到更抽象的向量空间定义，强调其基本属性：线性组合、张成、线性相关性与线性无关性。理解向量空间是掌握后续所有主题的基石。 紧接着，我们将深入探讨线性变换。线性变换被视为向量空间之间的“结构保持映射”，是理解操作和转换的关键。我们详细阐述了矩阵如何作为线性变换的表示，以及矩阵乘法在复合变换中的物理意义。 矩阵代数部分被详尽论述。从基本的加减乘法、转置、到矩阵的逆，每一步都配有大量的例子和几何解释。我们特别关注矩阵的秩（Rank）以及它与矩阵所代表的线性变换的几何意义之间的深刻联系。 核心章节之一是关于线性方程组的解法。我们采用严谨的高斯消元法和行阶梯形的概念，系统地分析了方程组解的存在性和唯一性。读者将学会如何通过行变换将复杂系统简化，并理解自由变量与基本变量的概念，从而完全掌握齐次与非齐次线性系统的解空间结构。 第二部分：核心结构——基、维数与正交性 一旦建立了向量空间和线性变换的框架，下一步便是量化这些空间。基（Basis）和维数（Dimension）的概念被引入，它们为向量空间提供了“坐标系”。我们详细区分了列空间、零空间、行空间，并展示了如何利用基底的变换矩阵来描述同一线性变换在不同基下的表示差异（相似矩阵）。 本部分的高潮在于正交性理论。正交性是线性代数中最强大、最优雅的概念之一，它在数据降维、信号处理和最小二乘拟合中扮演着至关重要的角色。我们定义了内积空间，并引入了施密特正交化过程（Gram-Schmidt Process），用以构建任何向量空间中的一组正交基或标准正交基。 对正交投影的详尽讨论，为理解最小二乘法奠定了基础。我们将最小二乘法置于正交补子空间和投影定理的框架下进行解释，这不仅提升了理论深度，也使得读者能更清晰地认识到为什么在数据拟合问题中，残差向量必须正交于模型空间。 第三部分：矩阵的深刻结构——特征值与对角化 理解一个线性变换的本质，关键在于找到那些“不变方向”——特征向量和特征值。本章将特征值的概念引入，并推导出特征方程的求解方法。我们探讨了代数重数与几何重数的关系，并着重分析了为什么特征值对于系统分析至关重要。 对角化是本章的另一个核心。我们阐释了当一个矩阵可以被对角化时，它在线性变换下的行为会变得多么简单。这包括了如何利用特征向量作为新基底，将复杂的线性变换转化为最简单的对角矩阵形式。对于不可对角化的矩阵，我们引入了更强大的工具——若尔当标准型（Jordan Canonical Form），这为处理非简单结构提供了理论保障。 第四部分：跨越实数域——对称矩阵与二次型 在考察实数域 $mathbb{R}^n$ 上的问题时，对称矩阵具有独特的优良性质。我们证明了谱定理（Spectral Theorem），它不仅保证了对称矩阵总是可正交对角化的，而且其特征值都是实数。这一性质在物理学（如量子力学中的厄米算符）和优化理论中具有基础性意义。 随后，我们转向二次型，它们是涉及变量平方项和交叉项的函数（例如 $x_1^2 + 2x_1x_2 + 3x_2^2$）。通过利用对称矩阵的对角化，我们展示了如何通过主轴定理将二次型化为最简形式，这在理解二次曲线和二次曲面的几何性质时是不可或缺的。 第五部分：应用扩展与计算方法 本书的最后部分着眼于将理论知识应用于更广阔的领域。 微分方程中的应用：我们展示了如何使用特征值和特征向量来求解高阶常系数线性常微分方程组，特别是对于描述动态系统的模型（如人口增长、振动系统），矩阵指数 $e^A$ 的概念被详细介绍，并展示了其在求解 $mathbf{x}' = Amathbf{x}$ 中的核心作用。 马尔可夫链与稳定性分析：通过引入转移矩阵，我们将线性代数工具应用于概率过程的建模。我们探讨了稳态分布的存在性及其计算方法，这对于分析网络流量、社会流动或经济模型至关重要。 数据分析的视角：我们回归到奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）。SVD被视为矩阵分解的“万能工具”，它适用于任何矩阵（不论是否方阵、是否可逆）。我们深入解释了SVD的几何意义、如何从SVD中提取矩阵的秩、伪逆，并简要提及它在主成分分析（PCA）和图像压缩中的核心地位。 教学特色 本书的每一章都包含大量的“思考题”，旨在鼓励读者进行批判性思考，而非仅仅机械计算。每节末尾的“应用视角”部分，会提供一个现实世界中的案例，展示所学理论是如何被工程和科学界使用的。我们强调几何直觉与代数推导的平衡，确保读者不仅“知道如何做”，更重要的是“理解为什么”。通过循序渐进的难度提升和广泛的练习集，本书致力于培养出真正精通线性代数这门强大工具的学者和专业人士。

1. Linear Equations
1.1 Introduction to Linear Systems
1.2 Matrices, Vectors, and Gauss-Jordan Elimination
1.3 On the Solutions of Linear Systems; Matrix Algebra

2. Linear Transformations
2.1 Introduction to Linear Transformations and Their Inverses
2.2 Linear Transformations in Geometry
2.3 Matrix Products
2.4 The Inverse of a Linear Transformation

3. Subspaces of R" and Their Dimensions
3.1 Image and Kernel of a Linear Transformation
3.2 Subspace of R"; Bases and Linear Independence
3.3 The Dimension of a Subspace of R"
3.4 Coordinates

4. Linear Spaces
4.1 Introduction to Linear Spaces
4.2 Linear Transformations and Isomorphisms
4.3 The Matrix of a Linear Transformation

5. Orthogonality and Least Squares
5.1 Orthogonal Projections and Orthonormal Bases
5.2 Gram-Schmidt Process and QR Factorization
5.3 Orthogonal Transformations and Orthogonal Matrices
5.4 Least Squares and Data Fitting
5.5 Inner Product Spaces

6. Determinants
6.1 Introduction to Determinants
6.2 Properties of the Determinant
6.3 Geometrical Interpretations of the Determinant; Cramer's Rule

7. Eigenvalues and Eigenvectors
7.1 Dynamical Systems and Eigenvectors: An Introductory Example
7.2 Finding the Eigenvalues of a Matrix
7.3 Finding the Eigenvectors of a Matrix
7.4 Diagonalization
7.5 Complex Eigenvalues
7.6 Stability

8. Symmetric Matrices and Quadratic Forms
8.1 Symmetric Matrices
8.2 Quadratic Forms
8.3 Singular Values

9. Linear Differential Equations
9.1 An Introduction to Continuous Dynamical Systems
9.2 The Complex Case: Euler's Formula
9.3 Linear Differential Operators and Linear Differential Equations

Appendix A. Vectors
Answers to Odd-numbered Exercises
Subject Index
Name Index

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我一直在寻找一本能够提供清晰的“动机”和“洞察力”的线性代数教材。很多时候，我们在学习中会遇到一些定义或者定理，但却不理解它们出现的“原因”。为什么我们需要定义“线性无关”？它解决了什么问题？为什么我们需要“行列式”？它有什么作用？我希望一本好的教材能够不仅仅告诉我们“是什么”，更能解释“为什么”。例如，在引入线性无关的概念时，可以先展示一个例子，其中一组向量可以表示为另一组向量的线性组合，然后引出“线性无关”的概念，并解释它与向量组能否构成一个空间基的联系。或者在介绍行列式时，可以先从二维空间的面积变化和三维空间的体积变化入手，展示行列式在几何上的意义，再逐步推广到代数上的定义。我希望这本书能够让我不仅仅是机械地记忆公式，而是能够真正理解数学概念背后的逻辑和动机，从而建立起深刻的认知。一本优秀的教材，应该能够激发读者的好奇心，引导他们主动去探索数学的奥秘，并最终形成独立思考的能力。

评分☆☆☆☆☆

我一直在寻找一本能够突破传统线性代数教学模式的教材。许多教材在讲解线性方程组的求解时，总是围绕着高斯消元法打转，虽然这是基础，但它往往不能让读者感受到线性代数在更广阔领域的应用。我希望能看到一本教材，它能够将线性代数与更现代的数学分支，如数值计算、优化理论、甚至图形学联系起来。例如，在讲解向量空间时，不妨引入一些关于“高维数据可视化”或者“降维技术”的例子，让读者看到抽象的向量空间是如何在实际问题中得到应用的。又比如，在讨论特征值和特征向量时，除了传统的物理学或工程学中的振动分析，能否引入一些关于“图像识别”或“社交网络分析”的例子，展示如何利用特征值来揭示数据的内在结构？我希望这本书能够展现线性代数作为一种“语言”，如何被用来描述和解决各种现实世界中的问题。它应该能够帮助我理解，为什么在人工智能、大数据分析等领域，线性代数扮演着如此核心的角色。我渴望找到一本能够真正激发我学习兴趣，让我看到线性代数实用价值的教材，它能够让我不仅仅是在学习数学，更是在学习一种强大的思维工具。

评分☆☆☆☆☆

我对线性代数在解决实际问题时的“普适性”和“高效性”深感兴趣。很多时候，我们会遇到一些复杂的系统，它们可以被分解为一系列相互关联的线性方程组，而线性代数正是处理这类问题的强大工具。我希望找到一本教材，它能够清晰地阐释线性代数在不同学科领域中的应用，例如在经济学中如何构建投入产出模型，在物理学中如何分析电路网络，在计算机科学中如何进行数据压缩和图像处理。我尤其希望能看到书中包含一些关于“算法效率”和“计算复杂度”的讨论，让我了解为什么在处理大规模数据时，基于线性代数的方法能够如此高效。例如，在矩阵求逆的计算复杂度与直接求解线性方程组的比较，或者特征值分解在某些问题中的优势。一本优秀的教材，不应该仅仅停留在理论层面，更应该引导读者去思考“为什么”某种方法是有效的，以及它在实际应用中能带来怎样的好处。我希望这本书能够让我认识到线性代数不仅仅是一门数学学科，更是一种解决现实世界复杂问题的“方法论”，它能够帮助我以更系统、更高效的方式来分析和解决问题。

评分☆☆☆☆☆

一本好的线性代数教材，不仅仅是枯燥的公式和定理的堆砌，更应该能够点燃读者对数学的热情，展现数学的精妙之处。我一直在寻找这样一本能够深入浅出、引人入胜的教材，能够帮助我真正理解线性代数的概念，而不是仅仅停留在机械的计算层面。特别是当我在学习一些更高级的数学课程，如数值分析、信号处理，甚至是机器学习时，发现扎实的线性代数基础是多么的重要。许多算法和模型的核心都离不开矩阵运算、向量空间、特征值分解等等。然而，传统的教学方式往往过于注重推导过程，而忽略了这些概念背后的几何直观和实际应用。我渴望找到一本能够弥补这一遗憾的书，它应该能够用生动形象的例子，将抽象的数学概念具象化，让我看到线性代数在现实世界中的影子。例如，在处理图像压缩时，奇异值分解（SVD）是如何发挥作用的？在构建推荐系统时，矩阵分解又扮演着怎样的角色？这些都是我非常感兴趣但目前了解不深的问题。如果一本教材能够清晰地解答这些疑问，并且在讲解理论的同时，提供丰富的应用案例，那对我来说无疑是一笔宝贵的财富。我希望这本书能够像一位经验丰富的向导，带领我穿越线性代数这座迷人的数学殿堂，让我不仅掌握其精髓，更能领略其博大精深。我希望它能用清晰的语言，逻辑严谨的论述，让我一步步地构建起对线性代数的完整认知体系。

评分☆☆☆☆☆

我正在寻找一本能够提供严谨而不失趣味的线性代数学习体验的书籍。目前市面上很多线性代数教材，要么过于理论化，充斥着晦涩的符号和复杂的证明，让初学者望而却步；要么过于简化，只停留在表面的计算技巧，缺乏对概念本质的深入探讨。我希望能够找到一本教材，它能够平衡理论的严谨性和教学的易懂性。例如，在介绍线性映射时，不仅仅给出定义和性质，更能通过几何变换的例子，如旋转、缩放、剪切等，来直观地展示线性映射的几何意义。我希望教材能够引导读者思考“为什么”这些概念是这样定义的，以及它们之间是如何相互联系的。例如，矩阵乘法为何可以表示线性映射的复合？秩-零度定理的几何直观是什么？这些问题的答案，能够帮助我建立起一个更加完整和深刻的理解框架。我还希望能看到书中包含一些“思考题”或者“挑战题”，这些题目不只是简单的计算练习，而是能够激发读者独立思考，去探索概念之间的联系，甚至去发现新的性质。一本真正优秀的教材，应该能够培养读者的数学思维能力，而不仅仅是传递知识。我期待这本书能够成为我探索线性代数世界的得力助手，它能够激发我的好奇心，让我乐于深入研究，并最终掌握这门重要的数学分支。

评分☆☆☆☆☆

我想象中的一本线性代数教材，应该能够提供一种全新的视角来理解数学。不仅仅是符号的转换和计算的熟练，更重要的是对概念背后逻辑的深刻洞察。很多时候，我们在学习过程中会遇到一些似是而非的概念，例如向量空间的基，它们到底代表着什么？为什么存在不同的基？这些基之间的关系又是如何？我希望一本好的教材能够通过巧妙的例子，或者直观的几何解释，来揭示这些问题的本质。例如，将向量空间想象成一个多维的“空间”，而基向量则如同这个空间里的“坐标轴”，它们定义了我们观察和描述这个空间的“方式”。当切换到不同的基时，我们只是改变了观察的角度，但空间本身的结构和性质是不会改变的。这样的类比能够帮助我们建立起更深刻的理解，而不是仅仅记住几个公式。此外，我对线性代数在数据科学和机器学习中的应用尤为感兴趣。很多复杂的模型，如主成分分析（PCA）、线性回归、支持向量机（SVM）等等，其底层原理都与线性代数息息相关。如果一本教材能够在介绍基本概念的同时，穿插一些关于这些应用的简要介绍，即使不深入探讨算法细节，也能为我打开一扇新的大门，让我看到数学的强大力量。我期望它能激发出我更多学习的动力，让我觉得线性代数不再是遥不可及的理论，而是解决实际问题的有力工具。

评分☆☆☆☆☆

我渴望拥有一本能够将线性代数与几何直观紧密结合的教材。在我的学习经历中，很多时候我们仅仅是被迫记忆那些抽象的定理和公式，而忽略了它们背后所蕴含的几何意义。例如，向量空间中的“子空间”，它在几何上到底是什么样的？“线性变换”在几何空间中会产生什么样的效果？我希望一本好的教材能够通过丰富的图形、图表，以及生动的几何解释，来帮助我理解这些概念。例如，将二维或三维向量空间具象化，用点、线、面来表示向量、子空间和线性变换，让我能够通过视觉化的方式来建立起对数学的理解。我希望这本书能够让我不仅“知道”线性代数的定义，更能“理解”它的几何意义，从而更深刻地把握其精髓。我还希望能看到教材中提供一些与实际应用相关的几何例子，例如在计算机图形学中，如何利用矩阵来描述三维物体的旋转、缩放和投影？这些例子能够将抽象的数学概念与我们所熟知的现实世界联系起来，极大地增强学习的趣味性和有效性。一本优秀的教材，应该能够让读者在不知不觉中，将抽象的代数概念转化为清晰的几何图像，从而达到融会贯通的境界。

评分☆☆☆☆☆

我一直在寻找一本能够提供深度和广度兼具的线性代数学习体验的教材。许多教材往往只能覆盖线性代数的基础知识，但对于其在更高级数学和工程领域中的应用则鲜有涉及。我希望能够找到一本教材，它不仅能够扎实地讲解诸如向量空间、线性变换、矩阵理论等核心概念，还能在适当的地方，引出与数值分析、最优化、概率论等学科的联系。例如，在讲解矩阵分解时，可以简要介绍奇异值分解（SVD）在数据降维和推荐系统中的应用；在讨论线性方程组的求解时，可以提及迭代解法及其在处理大型稀疏矩阵时的优势。我希望这本书能够像一个引路人，不仅带我入门，更能指引我未来的学习方向，让我看到线性代数是如何渗透到各个学科领域，并成为解决复杂问题的基石。我渴望这本书能够激发我对更深入研究的兴趣，让我觉得线性代数不仅仅是一门独立的学科，更是连接各个知识领域的桥梁。我期待它能够为我未来的学术或职业生涯打下坚实的基础，让我能够更加自信地迎接挑战。

评分☆☆☆☆☆

我期望拥有一本能够提供“计算”与“理论”完美平衡的线性代数教材。在学习线性代数时，我们既需要掌握矩阵运算、方程组求解等实际的计算技巧，也需要深刻理解向量空间、线性变换等抽象的理论概念。然而，很多教材往往偏重于其中一方面，要么计算练习过多，理论讲解不足，要么理论过于高深，缺乏实际的计算指导。我希望能够找到一本教材，它在介绍理论概念的同时，能够提供与这些概念紧密相关的计算示例，并解释这些计算背后的几何或代数意义。例如，在讲解矩阵的LU分解时，除了给出算法步骤，还可以解释LU分解在求解线性方程组和计算行列式方面的优势。又或者，在介绍特征值和特征向量时，除了理论推导，还可以提供一些关于如何利用数值方法（如幂法）来近似计算特征值和特征向量的例子。这样的结合，能够帮助我更好地理解理论知识的实际应用，也能提升我的计算能力。我希望这本书能够让我既能够熟练地进行线性代数运算，又能深入地理解其理论内涵，从而在解决实际问题时能够游刃有余。

评分☆☆☆☆☆

我一直对线性代数中的“抽象性”和“普适性”感到着迷，并希望找到一本能够充分展现这一点的教材。很多时候，我们学习的理论知识似乎与现实世界脱节，但线性代数却是一种例外。例如，我们学习的向量空间，它不仅仅是二维或三维的几何空间，而是可以推广到任何具有加法和标量乘法运算的集合。这种抽象的定义，恰恰使得线性代数能够广泛应用于各种不同的领域，从物理学到计算机科学，再到经济学。我希望一本优秀的教材能够通过精心设计的例子，来展示这种“抽象”的强大力量。例如，可以将“函数空间”或者“多项式空间”也看作是向量空间，并运用线性代数的工具来分析它们。这样的例子能够帮助我突破思维定势，认识到线性代数并非仅仅局限于数字的运算，而是可以成为分析更广泛数学对象的通用框架。我希望这本书能够让我真正理解“抽象”的价值，它能够赋予我们一种更强大的思维能力，去理解和解决那些看似不同但本质上却息息相关的数学问题。