具體描述
數學的宇宙，産生自周遭的現實世界，就好像夢想由日常的事物所激發。
數學的宇宙浩瀚無比，這塊大版圖裏的一切，都是人類心智活動的産物。
閱讀完這三冊《數學是啥玩意？》，你就已一腳踏入瞭韆變萬化的數學天地，遍覽數論（質數、同餘式）、集閤論、拓樸學（公路係統、地圖著色）、組閤數學（正交錶、記憶輪）、分析學（機率）、幾何、代數等等學門的基礎知識。
讀過《數學是啥玩意？》之後，你就會徹底明白：數學，絕對不等於枯燥的數字計算，也不等於一頁又一頁沒有清楚解釋的難懂定理，而是實用有趣的益智遊戲。
著者信息
斯坦──《乾嘛學數學？》作者 Sherman K. Stein
加州大學戴維斯分校數學教授，該校傑齣教學奬得主之一，並曾獲得美國數學學會頒發的福特奬（Lester R. Ford Prize），以錶彰他在闡揚數學知識方麵的貢獻；此外也因為《Algebra and Tiling》這本書，獲頒貝肯巴赫書奬（Beckenbach Book Prize）。
斯坦的主要興趣在代數、組閤數學及教學法，另著有《乾嘛學數學？》（天下文化齣版）以及為中學生所寫的數學普及書係。
譯者簡介
葉偉文
國立清華大學核工係畢業，原子科學研究所碩士（保健物理組）。譯有《愛麗絲漫遊量子奇境》、《乾嘛學數學？》、《物理馬戲團 I～III》、《數學小魔女》、《統計，改變瞭世界》等
圖書目錄
閱讀指南
第15章 地圖著色
第16章 數的種類
第17章 尺規作圖
第18章 無窮集閤
第19章 總 覽
附錄E 等比與調和級數
附錄F 任何維數的空間
「數學健身房」的部分解答與說明
圖書序言
《數學是啥玩意？》的第二版發行迄今，已經七年瞭，在這段時間裏，由於受到專業學識發展和社會變遷的影響，數學的本身及教學方法都有相當程度的演進。本書的第三版就充分反映瞭這些演進，同時也錶達齣我個人在想法上的改變。例如我在第三版增加瞭一章，專門討論機率，即反映齣現今的社會或個人，可能會應用與機率有關的數學知識，來解決所麵臨的難題，而老師與學生在探討相關知識時，也對這些課題愈來愈感興趣。
在我們所處的世界裏，許多事物都是天然生成的，比如水。我們知道，水分子是由兩個氫原子與一個氧原子構成的，但對於水分子湊在一起時如何能呈現水的特性，卻一無所知。用原子與分子的概念，很方便就能解析水這種物質，卻又無法掌握水真實的特性，原子與分子真是既方便卻又抽象的天然事物。
相反的，數學就完全是人為的成果，每個定理與每項證明都是人類心智活動的産物；在數學裏，所有的牌都攤在桌上。在這層意義上，數學是具體的，世界反而是抽象的。
我打算藉由這本書，把數學的這種具體特性介紹給一般讀者。我所謂的「一般讀者」，可以是大學生、高中生或喜歡追根究柢的上班族，不管你的主要興趣是什麼，隻要有一顆好奇的心就行瞭。這本書最初是設計為大專課程，幫助不同科係的學生認識數學的美、生命力與包羅萬象。在寫作本書之前我花瞭好幾年，想找一本閤適的教科書，但找到的不是太難就是太專門。
本書所談的主題選自數論、拓樸學、集閤論、幾何、代數與分析學，但我希望讓僅有少許數學背景的讀者也看得懂（有些章節隻需國中學過的算術），所以針對每個主題，我都會說明主要觀念，讓這些主題的本身很容易實驗或求證。
我建議各位在閱讀每一條定理及證明時，要充分利用數學的具體特性，不要有先入為主的信念，而是要心懷警覺與懷疑，仔細檢查每一個推理的步驟。在碰到像「你可以自己舉個例子」，或「在證明之前，不妨用一些特例檢驗一下這個定理」之類的建議時，最好是能照做。讀這本書時，最好也能把紙、筆放在手邊，隨時可派上用場。
《數學是啥玩意？》的第三版與前兩版有很多不同。在第三版，第1章到第4章是全書的核心，而接下來的六章與新增的第13章，則是用得最多的。第13章〈機遇〉是在介紹機率論的幾個基本知識，在強調機率理論的一般應用及做決策時的重要性；你們由第13章的內容與附帶的練習題可以看齣，機率的概念在日常生活裏雖然隱而不顯，卻無所不在。此外在新版的第9章〈數的錶示法〉當中，還增添瞭公製的介紹，這是因為公製與十進位製是不可分的。
全書還有許多較小規模的改變，包括新的結果、更為簡單的證明，以及新的練習題。就像第二版一樣，很多改變隻是為瞭讓觀念闡述得更清楚。大部分習題的解答都附在書後。
「數學健身房」裏的習題依難度分為三類。第一類是一般練習，讓各位自我測驗是否理解相關的定義與基本觀念。第二類習題我用瞭一隻筆（✎）與前一類區隔，通常你必須應用那一章所談的觀念纔能解答。第三類練習題的前麵有兩隻筆（✎✎），難度最高，解題時你不僅要充分理解那一章的中心主題，還必須能舉一反三，想齣其他的方法。
值得注意的是，本書依不同類型的學生及不同的難易程度，做瞭不一樣的閱讀安排。利用最前麵的閱讀地圖與閱讀指南，老師或讀者可以自行決定要如何進行。
圖書試讀
西洋棋盤隻需要兩種顔色，就能塗滿整個盤麵，方法是讓緊鄰（共用一條邊綫）的兩個小方格各塗上不同顔色。有些地圖也是一樣，隻需兩種顔色就可以塗滿，使相鄰的國傢有不同的顔色，但是有些地圖就做不到瞭。
為瞭簡單起見，當我們說「能以兩種顔色著色的地圖」或「兩色地圖」時，我們指的是隻要用兩種不同的顔色，就可以把整張地圖塗滿，而且那些共享至少一條邊綫的國傢，會有不同的顔色。同樣的，在本章稍後，我們可能會談到「用三種不同的顔色塗滿地圖」或者說「一張五色地圖」，都是指：共享一條邊綫的國傢顔色不同。
我們假設前麵兩張地圖，畫的都是一個有很多國傢的大島。我們稱那些國界的交叉點為「頂點」，而不在海岸綫上的頂點則稱為「內陸頂點」。而「頂點的次數」是指交會在這個頂點的邊綫數目。這種觀念已經在第7章扮演過關鍵性的角色。
那些海島上有眾多國傢的地圖裏，由於包圍內陸頂點的國傢必須交替著上不同的顔色，因此若有個內陸頂點的次數是奇數的，這張地圖就沒辦法用兩種顔色來著色。我們因此得到下列定理：
定理1：如果一個海島上有許多國傢的地圖能用兩種顔色來著色，則每個內陸頂點的次數都是偶數。
至於四色地圖的問題，可以迴溯到1852年的10月23日，是梅氏（K. O. May）提齣的。就在這一天，古斯瑞（Francis Guthrie）把它拿給他的老師，邏輯學傢笛摩根（Augustus De Morgan, 1806-1871）看，而笛摩根則寫信問哈密頓（W. R. Hamilton, 1805-1865）：
我的學生今天就一件事問我原因何在。他認為這件事是一項事實，但我不那麼確定，以前也沒注意到。他說如果把一個圖形隨意分割，並且把每塊區域塗上不同的顔色，使得同一條邊綫的兩邊顔色不同，則隻需要四種顔色就一定夠瞭，甚至更少些……
你認為如何？如果真的是這樣，你以前知道嗎？我的學生說他曾以英格蘭的地圖來做實驗。這件事，我愈想愈覺得它是真確的。
用戶評價
我必須說，《數學是啥玩意？ (III) （改版）》這本書，絕對是我近期閱讀體驗中最為驚艷的一部。作者的敘事方式簡直是一門藝術，他能夠將一個在很多人看來枯燥乏味的學科，描繪得如此引人入勝，讓人欲罷不能。從我個人的閱讀感受來說，它更像是一部探險小說，隻不過探險的對象是抽象的數學概念。書中並沒有一開始就用大量的公式和定理來“轟炸”讀者，而是從一些非常接地氣的生活場景切入。例如，在講解“函數”概念時，作者用瞭一個非常生動的例子，將“投入”和“産齣”的關係，比如你每天學習的時間和最終的成績，用一種形象化的方式錶達齣來，讓我瞬間就理解瞭函數的基本思想。更重要的是，作者在書中並沒有迴避數學的“難點”，而是以一種巧妙的方式，將它們化繁為簡。他會用一些非常規的類比，或者提齣一些非常有引導性的問題，讓讀者在思考的過程中，自己去發現答案。我記得在讀到關於“微積分”的章節時，我原本以為會看到一堆讓人頭疼的積分符號，結果作者卻用瞭一個“爬山”的比喻，將導數和積分的概念形象地比喻成“爬升的速度”和“爬升的總高度”，這種化抽象為具象的能力，讓我驚嘆不已。這本書不僅僅是知識的傳遞，更是一種學習方法的啓示。它告訴我，原來學習數學可以如此輕鬆和有趣，原來數學的世界可以如此廣闊和迷人。
评分這本書真是個驚喜！我一直以為數學就是冰冷的數字和枯燥的公式，但《數學是啥玩意？ (III) （改版）》徹底顛覆瞭我的認知。作者以一種極其有趣且通俗易懂的方式，帶領我一步步探索數學世界的奇妙。從最基礎的概念講起，到一些看似高深莫測的理論，書中都用生動的比喻、貼近生活的例子，甚至是一些幽默的小故事來闡釋。我記得有一章講到概率，作者用擲骰子、抽撲剋牌來比喻，甚至還結閤瞭生活中遇到的各種“巧閤”和“運氣”，讓我瞬間明白原來概率並不是遙不可及的，而是無處不在的。更讓我印象深刻的是，書中並沒有僅僅停留在“是什麼”的層麵，而是深入淺齣地探討瞭“為什麼”。為什麼會有這些公式？它們是如何被發現和發展的？這些問題的解答，讓我對數學産生的敬畏感油然而生。它讓我明白，數學不僅僅是解決問題的工具，更是一種思考方式，一種認識世界、理解宇宙的語言。讀完這本書，我感覺自己不再是那個對數學望而卻步的門外漢，而是有瞭一些初步的瞭解和濃厚的興趣，開始願意主動去接觸和學習更多的數學知識。這本書的語言風格非常活潑，沒有一點說教的味道，就像一個經驗豐富的嚮導，耐心而又不失趣味地引導著我進行一場數學的探險。我想，這對於很多曾經被數學“嚇到”的人來說，絕對是一本能夠重新點燃興趣的絕佳讀物。它就像一把鑰匙，為我打開瞭通往數學王國的大門，讓我看到瞭一個前所未有的繽紛世界。
评分《數學是啥玩意？ (III) （改版）》這本書，給我帶來的不僅僅是知識的增長，更是一種思維方式的革新。作者以一種極其超脫的視角，將數學的概念置於一個更宏大的宇宙圖景中進行審視。我非常欣賞他在書中對“數學與宇宙”之間關係的探討。他並沒有將數學僅僅視為人類思維的産物，而是認為數學是宇宙本身的一種語言，是描述萬物運行規律的根本法則。書中關於“形而上學”和“數學”之間聯係的論述，讓我印象深刻。他會用一些非常巧妙的比喻，來展現數學的抽象概念如何對應著現實世界中的種種現象。例如，他將“數”的概念，與事物的“存在”和“量”聯係起來，將“幾何”與“空間”和“結構”聯係起來，讓我對數學的理解上升到瞭一個全新的維度。而且，作者在文字錶達上，極具藝術感，他的語言充滿瞭哲思，又不失趣味。他會用一些意境深遠的句子，來引導讀者去思考數學的終極意義。我記得他在談到“數學的公理化”時，用瞭“搭建空中樓閣”的比喻，讓我體會到瞭數學體係的嚴謹與脆弱並存的奇妙之處。這本書讓我感覺到，數學不僅僅是關於數字和公式，它更是關於理解我們自身，理解我們所處的宇宙。它讓我對知識的探索，有瞭更深層次的動機和追求。
评分老實說，拿到《數學是啥玩意？ (III) （改版）》這本書的時候，我並沒有抱太大的期待，畢竟“數學”這兩個字對我來說，總帶點遙遠的距離感。然而，這本書完全打破瞭我的刻闆印象。它更像是一場精彩的頭腦風暴，作者以一種近乎哲學的高度，探討瞭數學的本質和意義。他沒有止步於介紹具體的數學分支，而是深入挖掘瞭數學背後的邏輯、推理和證明過程。這讓我開始思考，數學究竟是什麼？它是一種語言？一種思維方式？還是描述宇宙萬物的終極法則？書中關於“無限”的概念，是我最著迷的部分。作者沒有直接拋齣那些令人暈眩的數學符號，而是通過一些引人入勝的悖論和思想實驗，比如澤諾的阿喀琉斯追不上烏龜的故事，讓我們逐漸體會到無限的復雜性和迷人之處。這種循序漸進、層層遞進的引導方式，讓我能夠在這種抽象的概念中找到自己的立足點。此外，作者對數學史的梳理也十分精彩，他介紹瞭許多偉大的數學傢及其發現的艱辛曆程，讓我們看到，數學的發展並非一帆風順，而是充滿瞭探索、質疑和突破。這本書的價值在於，它不僅僅是知識的傳遞，更是智慧的啓迪。它鼓勵讀者去質疑、去思考，去獨立地探索數學的奧秘。讀完這本書，我感覺自己好像經曆瞭一場洗禮，對數學的理解不再停留在錶麵，而是開始對其背後的哲學意蘊有瞭初步的認識。
评分《數學是啥玩意？ (III) （改版）》這本書，帶給我的是一種前所未有的精神享受。作者不僅僅是在講解數學知識，更是在傳遞一種對數學的熱愛和對宇宙的敬畏。他的文字，字字珠璣，充滿智慧，又飽含深情。我尤其被書中關於“數學的美學”的討論所吸引。作者並沒有將數學僅僅視為一種工具，而是強調瞭數學內在的和諧、簡潔和優美。他會用一些非常恰當的例子，比如斐波那契數列在自然界中的體現，或者一些數學公式本身所蘊含的優雅結構，來證明數學不僅僅是理性的，更是充滿藝術感的。這種觀點，讓我對數學産生瞭全新的認識，我開始意識到，數學的魅力不僅僅在於它的應用價值，更在於其本身所具有的那種超凡脫俗的美。此外，作者在書中還穿插瞭一些關於數學傢的人生故事，這些故事充滿瞭傳奇色彩，也讓我們看到瞭他們在追求真理的道路上所付齣的巨大努力和不懈堅持。這些故事，讓我不僅僅看到瞭數學的理論，更看到瞭創造這些理論的人類智慧和精神。讀完這本書，我感覺自己好像被注入瞭一股新的能量，對知識的渴望更加強烈，對世界的好奇心也更加旺盛。它讓我明白，學習不僅僅是為瞭掌握知識，更是為瞭豐富自己的內心，提升自己的精神境界。
评分我不得不說，《數學是啥玩意？ (III) （改版）》這本書，是一次讓我“重新認識”數學的旅程。在讀這本書之前，我對數學的印象，僅僅停留在那些課本上的公式和定理，覺得它們遙遠而又冰冷。然而，這本書以一種極為溫暖和人性化的方式，將數學的魅力展現在我麵前。作者不僅僅是在介紹數學知識，更是在分享他對於數學的熱愛和理解。他會用一些充滿哲理的思考，來引導讀者去探索數學的本質。我尤其喜歡書中關於“數學的直覺”的討論。作者認為，數學不僅僅是邏輯和證明，更需要一種靈感和直覺。他會用一些曆史故事，來展現那些偉大的數學傢是如何通過直覺，一步步走嚮最終的證明。這種觀點，讓我覺得數學不再是那麼遙不可及，它也包含著人類的創造力和想象力。而且，作者在書中並沒有迴避數學的“不確定性”，而是將其視為數學發展的重要驅動力。他會用一些例子，來展現數學在探索未知領域時所麵臨的挑戰和可能性。這本書讓我明白，學習數學，不僅僅是為瞭掌握知識，更是為瞭培養一種解決問題的能力，一種不斷探索的精神。它讓我看到瞭數學背後的智慧和力量。
评分我必須承認，《數學是啥玩意？ (III) （改版）》這本書給我的觸動是巨大的。它不僅僅是一本關於數學的書，更像是一次深刻的自我對話，讓我重新審視瞭知識的獲取方式和學習的意義。作者在書中展現齣的那種對知識的純粹追求和對真理的不懈探索精神，深深地打動瞭我。他並沒有將數學知識簡單地堆砌，而是將每一個概念、每一個理論都置於一個更廣闊的背景下進行闡釋。比如，在講解“集閤論”的時候，他並沒有僅僅介紹一些符號和定義，而是從哲學的高度，探討瞭“分類”和“歸納”這兩個人類認識世界的基礎能力，以及集閤論如何為這些能力提供瞭嚴謹的數學基礎。這種從宏觀到微觀，再迴到宏觀的視角，讓我對知識的理解更加全麵和深刻。而且，作者在語言運用上也非常考究，他能夠用精準且富於詩意的語言，將復雜的數學概念描繪得生動形象。我特彆喜歡書中關於“歐幾裏得幾何”的論述，作者並沒有局限於課本上的定理推導，而是通過一些曆史故事和哲學思考，展現瞭歐幾裏得幾何的偉大之處，以及它如何影響瞭人類對空間和形的認識。這本書讓我明白，學習數學的過程，也是一個不斷發現自身潛能、拓展思維邊界的過程。它激發瞭我對未知世界的好奇心，也讓我對知識本身的魅力有瞭更深的感悟。
评分我不得不說，《數學是啥玩意？ (III) （改版）》這本書簡直是我近年來讀到的最有啓發性的一本書。它不僅僅是一本數學科普讀物，更是一本關於如何思考、如何觀察世界的指南。作者在書中展現齣的深刻洞察力，讓我由衷欽佩。他能夠從極其平凡的現象中挖掘齣深層的數學原理，並用一種讓人拍案叫絕的方式呈現齣來。舉個例子，書中有一段探討“對稱性”的內容，作者並沒有枯燥地講解幾何定義，而是從自然界的各種形態，比如蝴蝶的翅膀、雪花的結晶，甚至到我們日常生活中隨處可見的建築設計，都巧妙地聯係起來。他告訴我們，對稱不僅僅是一種美學上的錶現，更是宇宙運行的基本規律之一。這種將抽象概念與具象事物融會貫通的能力，是這本書最吸引我的地方。而且，作者在文字錶達上也非常精煉，每一句話都充滿力量，沒有絲毫的冗餘。他能夠用最簡潔的語言，觸及最深刻的本質。我尤其喜歡他在討論“信息論”那一章的論述，他將信息傳輸的效率、冗餘度等概念，通過生動的例子，比如我們日常的語言交流、甚至是動物的信號傳遞，進行類比，讓我對這個原本聽起來很復雜的領域有瞭全新的理解。這本書讓我意識到，數學並非隻屬於科學傢和工程師，它滲透在我們生活的方方麵麵，是我們理解世界不可或缺的工具。讀完這本書，我感覺自己的思維方式得到瞭極大的拓展，看待問題的角度也更加多元化瞭。
评分《數學是啥玩意？ (III) （改版）》這本書，對我來說，是一次顛覆性的閱讀體驗。我一直以為數學是一門孤立的學科，與現實生活相去甚遠，但這本書徹底改變瞭我的看法。作者以一種極為巧妙的方式，將數學的理論與現實世界的各種現象聯係起來，讓我看到瞭數學無處不在的力量。書中有一個章節，專門探討瞭“博弈論”在日常生活中的應用。作者用一些非常貼近我們生活的例子，比如兩個人之間的閤作與競爭，商店的促銷策略，甚至是交通擁堵等問題，來闡釋博弈論的基本思想。這讓我突然意識到，原來很多看似復雜的社會現象，都可以用數學的視角去分析和理解。這種將抽象理論與現實生活緊密結閤的能力，是這本書最讓我感到驚喜的地方。而且，作者在語言風格上非常活潑，充滿瞭幽默感，讀起來一點也不枯燥。他會用一些調侃的語氣，或者生動的比喻，來解釋一些可能比較晦澀的概念。我記得他在講解“信息熵”的時候，用瞭一個“猜謎語”的遊戲來比喻，讓我瞬間就明白瞭信息熵的核心思想，即信息量越大，猜中的可能性越小，反之亦然。這本書讓我真正體會到瞭數學的實用性和趣味性，也讓我對未來的學習充滿瞭信心。
评分我對《數學是啥玩意？ (III) （改版）》這本書的評價，用“茅塞頓開”來形容毫不為過。作者以一種極其獨特且極富創造力的方式，將原本可能令人生畏的數學概念，變得通俗易懂，甚至妙趣橫生。我一直以來都對數學的“邏輯性”感到好奇，但總覺得它過於抽象，難以把握。然而，這本書中關於“邏輯推理”的章節，讓我眼前一亮。作者並沒有上來就講解各種邏輯符號和規則，而是從一些生活中的常見邏輯謬誤入手，比如“以偏概全”、“滑坡謬誤”等等，用一些非常幽默的例子，讓我們深刻地認識到邏輯推理的重要性，以及一旦齣現錯誤，可能會導緻多麼荒謬的結果。這種從“錯誤”中學習的方式，反而更加深刻和有效。而且，作者在書中並沒有局限於某一特定的數學分支，而是盡可能地展現瞭數學的廣度和深度，將不同領域的數學概念巧妙地串聯起來，形成瞭一個有機整體。我尤其欣賞他對於“概率論”和“統計學”之間關係的闡述，他用一些非常生動的實驗和案例，讓我們看到瞭這兩個看似獨立又緊密相連的學科，是如何共同幫助我們理解不確定性世界的。這本書讓我明白，數學不僅僅是數字的遊戲，更是我們理解世界、做齣決策的重要思維工具。
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