具体描述
数学的宇宙，产生自周遭的现实世界，就好像梦想由日常的事物所激发。
数学的宇宙浩瀚无比，这块大版图里的一切，都是人类心智活动的产物。
阅读完这三册《数学是啥玩意？》，你就已一脚踏入了千变万化的数学天地，遍览数论（质数、同余式）、集合论、拓朴学（公路系统、地图着色）、组合数学（正交表、记忆轮）、分析学（机率）、几何、代数等等学门的基础知识。
读过《数学是啥玩意？》之后，你就会彻底明白：数学，绝对不等于枯燥的数字计算，也不等于一页又一页没有清楚解释的难懂定理，而是实用有趣的益智游戏。
著者信息
斯坦──《干嘛学数学？》作者 Sherman K. Stein
加州大学戴维斯分校数学教授，该校杰出教学奖得主之一，并曾获得美国数学学会颁发的福特奖（Lester R. Ford Prize），以表彰他在阐扬数学知识方面的贡献；此外也因为《Algebra and Tiling》这本书，获颁贝肯巴赫书奖（Beckenbach Book Prize）。
斯坦的主要兴趣在代数、组合数学及教学法，另着有《干嘛学数学？》（天下文化出版）以及为中学生所写的数学普及书系。
译者简介
叶伟文
国立清华大学核工系毕业，原子科学研究所硕士（保健物理组）。译有《爱丽丝漫游量子奇境》、《干嘛学数学？》、《物理马戏团 I～III》、《数学小魔女》、《统计，改变了世界》等
图书目录
阅读指南
第15章 地图着色
第16章 数的种类
第17章 尺规作图
第18章 无穷集合
第19章 总 览
附录E 等比与调和级数
附录F 任何维数的空间
「数学健身房」的部分解答与说明
图书序言
《数学是啥玩意？》的第二版发行迄今，已经七年了，在这段时间里，由于受到专业学识发展和社会变迁的影响，数学的本身及教学方法都有相当程度的演进。本书的第三版就充分反映了这些演进，同时也表达出我个人在想法上的改变。例如我在第三版增加了一章，专门讨论机率，即反映出现今的社会或个人，可能会应用与机率有关的数学知识，来解决所面临的难题，而老师与学生在探讨相关知识时，也对这些课题愈来愈感兴趣。
在我们所处的世界里，许多事物都是天然生成的，比如水。我们知道，水分子是由两个氢原子与一个氧原子构成的，但对于水分子凑在一起时如何能呈现水的特性，却一无所知。用原子与分子的概念，很方便就能解析水这种物质，却又无法掌握水真实的特性，原子与分子真是既方便却又抽象的天然事物。
相反的，数学就完全是人为的成果，每个定理与每项证明都是人类心智活动的产物；在数学里，所有的牌都摊在桌上。在这层意义上，数学是具体的，世界反而是抽象的。
我打算借由这本书，把数学的这种具体特性介绍给一般读者。我所谓的「一般读者」，可以是大学生、高中生或喜欢追根究柢的上班族，不管你的主要兴趣是什么，只要有一颗好奇的心就行了。这本书最初是设计为大专课程，帮助不同科系的学生认识数学的美、生命力与包罗万象。在写作本书之前我花了好几年，想找一本合适的教科书，但找到的不是太难就是太专门。
本书所谈的主题选自数论、拓朴学、集合论、几何、代数与分析学，但我希望让仅有少许数学背景的读者也看得懂（有些章节只需国中学过的算术），所以针对每个主题，我都会说明主要观念，让这些主题的本身很容易实验或求证。
我建议各位在阅读每一条定理及证明时，要充分利用数学的具体特性，不要有先入为主的信念，而是要心怀警觉与怀疑，仔细检查每一个推理的步骤。在碰到像「你可以自己举个例子」，或「在证明之前，不妨用一些特例检验一下这个定理」之类的建议时，最好是能照做。读这本书时，最好也能把纸、笔放在手边，随时可派上用场。
《数学是啥玩意？》的第三版与前两版有很多不同。在第三版，第1章到第4章是全书的核心，而接下来的六章与新增的第13章，则是用得最多的。第13章〈机遇〉是在介绍机率论的几个基本知识，在强调机率理论的一般应用及做决策时的重要性；你们由第13章的内容与附带的练习题可以看出，机率的概念在日常生活里虽然隐而不显，却无所不在。此外在新版的第9章〈数的表示法〉当中，还增添了公制的介绍，这是因为公制与十进位制是不可分的。
全书还有许多较小规模的改变，包括新的结果、更为简单的证明，以及新的练习题。就像第二版一样，很多改变只是为了让观念阐述得更清楚。大部分习题的解答都附在书后。
「数学健身房」里的习题依难度分为三类。第一类是一般练习，让各位自我测验是否理解相关的定义与基本观念。第二类习题我用了一只笔（✎）与前一类区隔，通常你必须应用那一章所谈的观念才能解答。第三类练习题的前面有两只笔（✎✎），难度最高，解题时你不仅要充分理解那一章的中心主题，还必须能举一反三，想出其他的方法。
值得注意的是，本书依不同类型的学生及不同的难易程度，做了不一样的阅读安排。利用最前面的阅读地图与阅读指南，老师或读者可以自行决定要如何进行。
图书试读
西洋棋盘只需要两种颜色，就能涂满整个盘面，方法是让紧邻（共用一条边线）的两个小方格各涂上不同颜色。有些地图也是一样，只需两种颜色就可以涂满，使相邻的国家有不同的颜色，但是有些地图就做不到了。
为了简单起见，当我们说「能以两种颜色着色的地图」或「两色地图」时，我们指的是只要用两种不同的颜色，就可以把整张地图涂满，而且那些共享至少一条边线的国家，会有不同的颜色。同样的，在本章稍后，我们可能会谈到「用三种不同的颜色涂满地图」或者说「一张五色地图」，都是指：共享一条边线的国家颜色不同。
我们假设前面两张地图，画的都是一个有很多国家的大岛。我们称那些国界的交叉点为「顶点」，而不在海岸线上的顶点则称为「内陆顶点」。而「顶点的次数」是指交会在这个顶点的边线数目。这种观念已经在第7章扮演过关键性的角色。
那些海岛上有众多国家的地图里，由于包围内陆顶点的国家必须交替着上不同的颜色，因此若有个内陆顶点的次数是奇数的，这张地图就没办法用两种颜色来着色。我们因此得到下列定理：
定理1：如果一个海岛上有许多国家的地图能用两种颜色来着色，则每个内陆顶点的次数都是偶数。
至于四色地图的问题，可以回溯到1852年的10月23日，是梅氏（K. O. May）提出的。就在这一天，古斯瑞（Francis Guthrie）把它拿给他的老师，逻辑学家笛摩根（Augustus De Morgan, 1806-1871）看，而笛摩根则写信问哈密顿（W. R. Hamilton, 1805-1865）：
我的学生今天就一件事问我原因何在。他认为这件事是一项事实，但我不那么确定，以前也没注意到。他说如果把一个图形随意分割，并且把每块区域涂上不同的颜色，使得同一条边线的两边颜色不同，则只需要四种颜色就一定够了，甚至更少些……
你认为如何？如果真的是这样，你以前知道吗？我的学生说他曾以英格兰的地图来做实验。这件事，我愈想愈觉得它是真确的。
用户评价
《数学是啥玩意？ (III) （改版）》这本书，给我带来的不仅仅是知识的增长，更是一种思维方式的革新。作者以一种极其超脱的视角，将数学的概念置于一个更宏大的宇宙图景中进行审视。我非常欣赏他在书中对“数学与宇宙”之间关系的探讨。他并没有将数学仅仅视为人类思维的产物，而是认为数学是宇宙本身的一种语言，是描述万物运行规律的根本法则。书中关于“形而上学”和“数学”之间联系的论述，让我印象深刻。他会用一些非常巧妙的比喻，来展现数学的抽象概念如何对应着现实世界中的种种现象。例如，他将“数”的概念，与事物的“存在”和“量”联系起来，将“几何”与“空间”和“结构”联系起来，让我对数学的理解上升到了一个全新的维度。而且，作者在文字表达上，极具艺术感，他的语言充满了哲思，又不失趣味。他会用一些意境深远的句子，来引导读者去思考数学的终极意义。我记得他在谈到“数学的公理化”时，用了“搭建空中楼阁”的比喻，让我体会到了数学体系的严谨与脆弱并存的奇妙之处。这本书让我感觉到，数学不仅仅是关于数字和公式，它更是关于理解我们自身，理解我们所处的宇宙。它让我对知识的探索，有了更深层次的动机和追求。
评分《数学是啥玩意？ (III) （改版）》这本书，带给我的是一种前所未有的精神享受。作者不仅仅是在讲解数学知识，更是在传递一种对数学的热爱和对宇宙的敬畏。他的文字，字字珠玑，充满智慧，又饱含深情。我尤其被书中关于“数学的美学”的讨论所吸引。作者并没有将数学仅仅视为一种工具，而是强调了数学内在的和谐、简洁和优美。他会用一些非常恰当的例子，比如斐波那契数列在自然界中的体现，或者一些数学公式本身所蕴含的优雅结构，来证明数学不仅仅是理性的，更是充满艺术感的。这种观点，让我对数学产生了全新的认识，我开始意识到，数学的魅力不仅仅在于它的应用价值，更在于其本身所具有的那种超凡脱俗的美。此外，作者在书中还穿插了一些关于数学家的人生故事，这些故事充满了传奇色彩，也让我们看到了他们在追求真理的道路上所付出的巨大努力和不懈坚持。这些故事，让我不仅仅看到了数学的理论，更看到了创造这些理论的人类智慧和精神。读完这本书，我感觉自己好像被注入了一股新的能量，对知识的渴望更加强烈，对世界的好奇心也更加旺盛。它让我明白，学习不仅仅是为了掌握知识，更是为了丰富自己的内心，提升自己的精神境界。
评分我不得不说，《数学是啥玩意？ (III) （改版）》这本书简直是我近年来读到的最有启发性的一本书。它不仅仅是一本数学科普读物，更是一本关于如何思考、如何观察世界的指南。作者在书中展现出的深刻洞察力，让我由衷钦佩。他能够从极其平凡的现象中挖掘出深层的数学原理，并用一种让人拍案叫绝的方式呈现出来。举个例子，书中有一段探讨“对称性”的内容，作者并没有枯燥地讲解几何定义，而是从自然界的各种形态，比如蝴蝶的翅膀、雪花的结晶，甚至到我们日常生活中随处可见的建筑设计，都巧妙地联系起来。他告诉我们，对称不仅仅是一种美学上的表现，更是宇宙运行的基本规律之一。这种将抽象概念与具象事物融会贯通的能力，是这本书最吸引我的地方。而且，作者在文字表达上也非常精炼，每一句话都充满力量，没有丝毫的冗余。他能够用最简洁的语言，触及最深刻的本质。我尤其喜欢他在讨论“信息论”那一章的论述，他将信息传输的效率、冗余度等概念，通过生动的例子，比如我们日常的语言交流、甚至是动物的信号传递，进行类比，让我对这个原本听起来很复杂的领域有了全新的理解。这本书让我意识到，数学并非只属于科学家和工程师，它渗透在我们生活的方方面面，是我们理解世界不可或缺的工具。读完这本书，我感觉自己的思维方式得到了极大的拓展，看待问题的角度也更加多元化了。
评分我必须承认，《数学是啥玩意？ (III) （改版）》这本书给我的触动是巨大的。它不仅仅是一本关于数学的书，更像是一次深刻的自我对话，让我重新审视了知识的获取方式和学习的意义。作者在书中展现出的那种对知识的纯粹追求和对真理的不懈探索精神，深深地打动了我。他并没有将数学知识简单地堆砌，而是将每一个概念、每一个理论都置于一个更广阔的背景下进行阐释。比如，在讲解“集合论”的时候，他并没有仅仅介绍一些符号和定义，而是从哲学的高度，探讨了“分类”和“归纳”这两个人类认识世界的基础能力，以及集合论如何为这些能力提供了严谨的数学基础。这种从宏观到微观，再回到宏观的视角，让我对知识的理解更加全面和深刻。而且，作者在语言运用上也非常考究，他能够用精准且富于诗意的语言，将复杂的数学概念描绘得生动形象。我特别喜欢书中关于“欧几里得几何”的论述，作者并没有局限于课本上的定理推导，而是通过一些历史故事和哲学思考，展现了欧几里得几何的伟大之处，以及它如何影响了人类对空间和形的认识。这本书让我明白，学习数学的过程，也是一个不断发现自身潜能、拓展思维边界的过程。它激发了我对未知世界的好奇心，也让我对知识本身的魅力有了更深的感悟。
评分我不得不说，《数学是啥玩意？ (III) （改版）》这本书，是一次让我“重新认识”数学的旅程。在读这本书之前，我对数学的印象，仅仅停留在那些课本上的公式和定理，觉得它们遥远而又冰冷。然而，这本书以一种极为温暖和人性化的方式，将数学的魅力展现在我面前。作者不仅仅是在介绍数学知识，更是在分享他对于数学的热爱和理解。他会用一些充满哲理的思考，来引导读者去探索数学的本质。我尤其喜欢书中关于“数学的直觉”的讨论。作者认为，数学不仅仅是逻辑和证明，更需要一种灵感和直觉。他会用一些历史故事，来展现那些伟大的数学家是如何通过直觉，一步步走向最终的证明。这种观点，让我觉得数学不再是那么遥不可及，它也包含着人类的创造力和想象力。而且，作者在书中并没有回避数学的“不确定性”，而是将其视为数学发展的重要驱动力。他会用一些例子，来展现数学在探索未知领域时所面临的挑战和可能性。这本书让我明白，学习数学，不仅仅是为了掌握知识，更是为了培养一种解决问题的能力，一种不断探索的精神。它让我看到了数学背后的智慧和力量。
评分老实说，拿到《数学是啥玩意？ (III) （改版）》这本书的时候，我并没有抱太大的期待，毕竟“数学”这两个字对我来说，总带点遥远的距离感。然而，这本书完全打破了我的刻板印象。它更像是一场精彩的头脑风暴，作者以一种近乎哲学的高度，探讨了数学的本质和意义。他没有止步于介绍具体的数学分支，而是深入挖掘了数学背后的逻辑、推理和证明过程。这让我开始思考，数学究竟是什么？它是一种语言？一种思维方式？还是描述宇宙万物的终极法则？书中关于“无限”的概念，是我最着迷的部分。作者没有直接抛出那些令人晕眩的数学符号，而是通过一些引人入胜的悖论和思想实验，比如泽诺的阿喀琉斯追不上乌龟的故事，让我们逐渐体会到无限的复杂性和迷人之处。这种循序渐进、层层递进的引导方式，让我能够在这种抽象的概念中找到自己的立足点。此外，作者对数学史的梳理也十分精彩，他介绍了许多伟大的数学家及其发现的艰辛历程，让我们看到，数学的发展并非一帆风顺，而是充满了探索、质疑和突破。这本书的价值在于，它不仅仅是知识的传递，更是智慧的启迪。它鼓励读者去质疑、去思考，去独立地探索数学的奥秘。读完这本书，我感觉自己好像经历了一场洗礼，对数学的理解不再停留在表面，而是开始对其背后的哲学意蕴有了初步的认识。
评分我必须说，《数学是啥玩意？ (III) （改版）》这本书，绝对是我近期阅读体验中最为惊艳的一部。作者的叙事方式简直是一门艺术，他能够将一个在很多人看来枯燥乏味的学科，描绘得如此引人入胜，让人欲罢不能。从我个人的阅读感受来说，它更像是一部探险小说，只不过探险的对象是抽象的数学概念。书中并没有一开始就用大量的公式和定理来“轰炸”读者，而是从一些非常接地气的生活场景切入。例如，在讲解“函数”概念时，作者用了一个非常生动的例子，将“投入”和“产出”的关系，比如你每天学习的时间和最终的成绩，用一种形象化的方式表达出来，让我瞬间就理解了函数的基本思想。更重要的是，作者在书中并没有回避数学的“难点”，而是以一种巧妙的方式，将它们化繁为简。他会用一些非常规的类比，或者提出一些非常有引导性的问题，让读者在思考的过程中，自己去发现答案。我记得在读到关于“微积分”的章节时，我原本以为会看到一堆让人头疼的积分符号，结果作者却用了一个“爬山”的比喻，将导数和积分的概念形象地比喻成“爬升的速度”和“爬升的总高度”，这种化抽象为具象的能力，让我惊叹不已。这本书不仅仅是知识的传递，更是一种学习方法的启示。它告诉我，原来学习数学可以如此轻松和有趣，原来数学的世界可以如此广阔和迷人。
评分这本书真是个惊喜！我一直以为数学就是冰冷的数字和枯燥的公式，但《数学是啥玩意？ (III) （改版）》彻底颠覆了我的认知。作者以一种极其有趣且通俗易懂的方式，带领我一步步探索数学世界的奇妙。从最基础的概念讲起，到一些看似高深莫测的理论，书中都用生动的比喻、贴近生活的例子，甚至是一些幽默的小故事来阐释。我记得有一章讲到概率，作者用掷骰子、抽扑克牌来比喻，甚至还结合了生活中遇到的各种“巧合”和“运气”，让我瞬间明白原来概率并不是遥不可及的，而是无处不在的。更让我印象深刻的是，书中并没有仅仅停留在“是什么”的层面，而是深入浅出地探讨了“为什么”。为什么会有这些公式？它们是如何被发现和发展的？这些问题的解答，让我对数学产生的敬畏感油然而生。它让我明白，数学不仅仅是解决问题的工具，更是一种思考方式，一种认识世界、理解宇宙的语言。读完这本书，我感觉自己不再是那个对数学望而却步的门外汉，而是有了一些初步的了解和浓厚的兴趣，开始愿意主动去接触和学习更多的数学知识。这本书的语言风格非常活泼，没有一点说教的味道，就像一个经验丰富的向导，耐心而又不失趣味地引导着我进行一场数学的探险。我想，这对于很多曾经被数学“吓到”的人来说，绝对是一本能够重新点燃兴趣的绝佳读物。它就像一把钥匙，为我打开了通往数学王国的大门，让我看到了一个前所未有的缤纷世界。
评分我对《数学是啥玩意？ (III) （改版）》这本书的评价，用“茅塞顿开”来形容毫不为过。作者以一种极其独特且极富创造力的方式，将原本可能令人生畏的数学概念，变得通俗易懂，甚至妙趣横生。我一直以来都对数学的“逻辑性”感到好奇，但总觉得它过于抽象，难以把握。然而，这本书中关于“逻辑推理”的章节，让我眼前一亮。作者并没有上来就讲解各种逻辑符号和规则，而是从一些生活中的常见逻辑谬误入手，比如“以偏概全”、“滑坡谬误”等等，用一些非常幽默的例子，让我们深刻地认识到逻辑推理的重要性，以及一旦出现错误，可能会导致多么荒谬的结果。这种从“错误”中学习的方式，反而更加深刻和有效。而且，作者在书中并没有局限于某一特定的数学分支，而是尽可能地展现了数学的广度和深度，将不同领域的数学概念巧妙地串联起来，形成了一个有机整体。我尤其欣赏他对于“概率论”和“统计学”之间关系的阐述，他用一些非常生动的实验和案例，让我们看到了这两个看似独立又紧密相连的学科，是如何共同帮助我们理解不确定性世界的。这本书让我明白，数学不仅仅是数字的游戏，更是我们理解世界、做出决策的重要思维工具。
评分《数学是啥玩意？ (III) （改版）》这本书，对我来说，是一次颠覆性的阅读体验。我一直以为数学是一门孤立的学科，与现实生活相去甚远，但这本书彻底改变了我的看法。作者以一种极为巧妙的方式，将数学的理论与现实世界的各种现象联系起来，让我看到了数学无处不在的力量。书中有一个章节，专门探讨了“博弈论”在日常生活中的应用。作者用一些非常贴近我们生活的例子，比如两个人之间的合作与竞争，商店的促销策略，甚至是交通拥堵等问题，来阐释博弈论的基本思想。这让我突然意识到，原来很多看似复杂的社会现象，都可以用数学的视角去分析和理解。这种将抽象理论与现实生活紧密结合的能力，是这本书最让我感到惊喜的地方。而且，作者在语言风格上非常活泼，充满了幽默感，读起来一点也不枯燥。他会用一些调侃的语气，或者生动的比喻，来解释一些可能比较晦涩的概念。我记得他在讲解“信息熵”的时候，用了一个“猜谜语”的游戏来比喻，让我瞬间就明白了信息熵的核心思想，即信息量越大，猜中的可能性越小，反之亦然。这本书让我真正体会到了数学的实用性和趣味性，也让我对未来的学习充满了信心。
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