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2014年日本数学会出版贡献奖得主──结城浩！
　　日本高中生的最佳课外读物
　　青春x数学x爱情
　　激发学习数学的幸福滋味！

　　万众瞩目的「数学女孩」第四弹，回来了！
　　无论是数学或爱情，才女米尔迦与「我」都更加靠近！
　　伽罗瓦理论用群论研究方程式，
　　求出「方程式是否能以代数方式解开」的充分必要条件！
　　解决前人的困扰：高次方程式的代数可解性，
　　开辟抽象代数的研究领域！

　　数学的奥妙和女孩的心一样，「我」该如何跳出框架、看清全貌呢？
　　伽罗瓦告诉芸芸众生，如何踏入抽象代数的世界，解决高次方程式的求解问题；
　　数学女孩告诉高中生，你也能了解伽罗瓦理论，深入数学的奥妙之境！

　　伽罗瓦运用高斯的分圆多项式、拉格朗日对置换根的研究、拉格朗日预解式等，
　　发展出伽罗瓦理论，其中牵涉──
　　群与体的定义、线性空间与扩张次数、
　　商群与群指数、体与子体、群与子群、群与体的对应、
　　体的扩张与群的缩小、正规扩张与正规子群、陪集与商群、共轭……等数学概念！
　　甚至解决了角三等分的尺规作图问题！

　　但是！这么复杂、牵涉广泛的理论，
　　2014年日本数学会出版贡献奖得主──结城浩，
　　却能将它归结为「画鬼脚」游戏？！
　　在「数学女孩」的世界，
　　数学、学习与恋爱，
　　都是一场有趣、斗智的精彩游戏！

　　扣人情节＋生动人物＋深入解说＋全面掌握＝日本最受欢迎、高中生必读，数学小说！

㊣什么是「体」？

　　举例来说，一个有理数的集合中，若所有数进行四则运算得到的值，仍属于有理数，此集合为有理数的「体」。要判定多项式能否因式分解，必须先釐清，系数属于哪个体。若在体添加元素，形成扩张体，便能让无解的方程式变成有解！

　　但是！这与角三等分的尺规作图问题有什么关系呢？

㊣什么是「群」？

　　群是满足「群公理」的「数的集合」；群公理定义一个「二元运算」，若一个集合内的数进行此运算，会具有封闭性、结合律、单位元素和反元素，即为群。

　　但是！此「二元运算」怎么定义？与抽象代数学有何关系？而什么是「群的置换」呢？「置换」是什么意思？

㊣什么是「伽罗瓦群」？

　　伽罗瓦群就是伽罗瓦定义的根的「置换群」。他利用在系数体范围内的多项式的根，制作有理式；若一个置换群内的所有置换，作用于有理式所得的值都维持不变，这个置换群就是此方程式的伽罗瓦群。

　　但是！大小不同的伽罗瓦群有差别吗？为什么伽罗瓦理论可说是承先启后呢？
　　扩张系数体的范围，能缩小伽罗瓦群吗？这要如何解决高次方程式的代数可解性呢？
　　这么多数学难题，该如何解答？浩瀚的数学宇宙如何掌握？
　　──天才少女米尔迦的暑期数学特训班，开课啦！

　　未满二十一岁即因决斗而死的伽罗瓦，燃烧他短暂的一生开创数学新领域，深深影响后世的数学家，其理论充实、深广，甚至复杂，但《数学女孩：伽罗瓦理论》的作者结城浩却用高中生的视角，在本书主角「我」与诸位数学女孩互相切磋、教导、恋爱的过程中，以亲切有趣的举例，详细说明各个概念，再以宏观角度带领读者掌握伽罗瓦理论的全貌，使各个系统、概念融会贯通。

　　本书介绍伽罗瓦的「第一论文」及其相关理论。伽罗瓦用群论研究方程式，彰显群论与体论的对应关系，欲求出「方程式是否能以代数方式解开」的充分必要条件。他不以人们熟悉的方式，用「系数」去探求方程式的可解性，反而以「根的置换群」去思考五次以上方程式的可解性。其中牵涉到群与体的定义、线性空间与扩张次数、商群与群指数、体与子体、群与子群、群与体的对应、体的扩张与群的缩小、正规扩张与正规子群、陪集与商群、共轭……等数学概念，而这些丰富的内容尽在本书！

名人推荐  

前师范大学数学系教授兼主任洪万生专业推荐

　　在结城浩已经出版的数学女孩系列中，《数学女孩：伽罗瓦理论》在数学知识内容方面，最为扎实与完整。任何读者想要具体理解伽罗瓦理论的主要内容与意义，甚至是国中数学所熟悉的二次方程的判别式，以及根与系数关系（连同其对称多项式概念）有哪些特殊「意义」等，除了大学数学系的代数学教科书，恐怕没有任何数学普及着作比本书更容易让一般读者入手。

作者简介

结城浩

　　1963年生。执笔写作有关程式语言、设计模式、密码、数学等等领域的入门书。最新着作是「数学女孩系列」。是一个最喜欢巴哈的「赋格的艺术」作品的新教基督徒。出版有2011《数学女孩／费马最后定理》，2012《数学女孩／哥德尔不完备定理》，2013《数学女孩／随机演算法》（世茂出版）。

　　www.hyuki.com/

审订者简介

洪万生

　　纽约城市大学（CUNY）科学史博士，国立台湾师范大学数学系学士、硕士。国立台湾师范大学数学系教授兼主任（2007/8/1-2009/7/31）、台湾数学教育学会理事长（2007-2009）、国际科学史学院通讯会员、Historia Mathematica（国际数学史杂志）编辑委员、《HPM通讯》发行人、台湾数学（虚拟）博物馆创始人之一。

译者简介

陈冠贵

　　专职日文译者，台大日文系双修中文系毕业，译作横跨手工艺、小说、生活、商管类等各领域。自我期许能优游于中日文之间，带给读者阅读无碍的文字飨宴。

　　苦心孤译:detectivestella.blogspot.tw/

给读者
序章

第1章　你喜爱的画鬼脚
1.1　交织的画鬼脚
1.1.1　两端交换
1.2　溢出的画鬼脚
1.2.1　计算数量
1.2.2　由梨的疑问
1.3　理所当然的画鬼脚
1.3.1　冰沙
1.3.2　无可替代之物
1.3.3　可以做所有的模式吗
1.4　你喜爱的画鬼脚
1.4.1　三条直线
1.4.2　画鬼脚的二次方
1.4.3　画鬼脚的三次方
1.4.4　绘图
1.4.5　追求更进一步的谜题

第2章　睡眠之森的二次方程式
2.1　平方根
2.1.1　由梨
2.1.2　负数×负数
2.1.3　复数平面
2.2　公式解
2.2.1　二次方程式
2.2.2　方程式与多项式
2.2.3　推导二次方程式的公式解
2.2.4　传达心情
2.3　根与系数的关系
2.3.1　蒂蒂
2.3.2　根与系数的关系
2.3.3　脑袋的整理
2.4　对称多项式与体的观点
2.4.1　米尔迦
2.4.2　再访：根与系数的关系
2.4.3　再访：公式解
2.4.4　归途

第3章　探索形式
3.1　正三角形的形式
3.1.1　医院
3.1.2　再次发烧
3.1.3　梦的结局
3.2　对称群的形式
3.2.1　图书室
3.2.2　群的公理
3.2.3　公理与定义
3.3　循环群的形式
3.3.1　往『学乐』前进
3.3.2　结构
3.3.3　子群
3.3.4　基数
3.3.5　循环群
3.3.6　阿贝尔群

第4章　与你共轭
4.1　图书室
4.1.1　蒂蒂
4.1.2　因式分解
4.1.3　数的范围
4.1.4　多项式的除法
4.1.5　1的十二次方根
4.1.6　正ｎ边形
4.1.7　三角函数
4.1.8　出路
4.2　循环群
4.2.1　米尔迦
4.2.2　十二个复数
4.2.3　制作表格
4.2.4　共有顶点的正多边形
4.2.5　1的原始十二次方根
4.2.6　分圆多项式
4.2.7　分圆方程式
4.2.8　与你共轭
4.2.9　循环群与生成元
4.3　模拟考
4.3.1　考试会场

第5章　角的三等分
5.1　图的世界
5.1.1　由梨
5.1.2　角的三等分问题
5.1.3　对于角的三等分问题的误解
5.1.4　尺与圆规
5.1.5　可能作图的意义
5.2　数的世界
5.2.1　具体例子
5.2.2　透过作图加减乘除
5.2.3　透过作图开根号
5.3　三角函数的世界
5.3.1　双仓图书馆
5.3.2　丽莎
5.3.3　离别之际
5.4　方程式的世界
5.4.1　看穿结构
5.4.2　用有理数练熟
5.4.3　一步的重覆
5.4.4　能进行到下一个步骤吗？
5.4.5　发现了吗？
5.4.6　预测与定理
5.4.7　出路呢？

第6章　支撑天空的东西
6.1　次元（维度）
6.1.1　庙会
6.1.2　四次元的世界
6.1.3　章鱼烧
6.1.4　支撑的东西
6.2　线性空间
6.2.1　图书室
6.2.2　座标平面
6.2.3　线性空间
6.2.4　ℝ上的线性空间ℂ
6.2.5　ℚ范围内的线性空间ℚ（√2）
6.2.6　扩展的大小
6.3　线性独立
6.3.1　线性独立
6.3.2　次元的不变性
6.3.3　扩张次数

第7章　拉格朗日预解式的秘密
7.1　三次方程式的解的公式
7.1.1　蒂蒂
7.1.2　红色的卡片『契尔恩豪森转换』
7.1.3　橙色的卡片『根与系数的关系』
7.1.4　黄色的卡片『拉格朗日预解式』
7.1.5　绿色的卡片『三次方的和』
7.1.6　蓝色的卡片『三次方的积』
7.1.7　靛色的卡片『从系数到解』
7.1.8　紫色的卡片『三次方程式的公式解』
7.1.9　描绘旅行的地图
7.2　拉格朗日预解式
7.2.1　米尔迦
7.2.2　拉格朗日预解式的性质
7.2.3　能够适用吗
7.3　2次方程式的公式解
7.3.1　二次方程式的拉格朗日预解式
7.3.2　判别式
7.4　五次方程式的公式解
7.4.1　五次方程式是？
7.4.2　「5」这个数的意义

第8章　建造塔
8.1　音乐
8.1.1　茶水间
8.1.2　相遇
8.2　讲课
8.2.1　图书室
8.2.2　扩张次数
8.2.3　扩张体与部分体
8.2.4　ℚ（√2）/ℚ
8.2.5　小测验
8.2.6　ℚ（√2, √3）/ℚ
8.2.7　扩张次数的积
8.2.8　ℚ（√2+√3）/ℚ
8.2.9　最小多项式
8.2.10　新发现？
8.3　信
8.3.1　归途
8.3.2　家
8.3.3　信
8.3.4　可能作图数
8.3.5　晚餐
8.3.6　朝向方程式的可解性
8.3.7　最小分裂体
8.3.8　正规扩张
8.3.9　以真货为对象

第9章　心情的形式
9.1　对称群S3的形式
9.1.1　双仓图书馆
9.1.2　类别
9.1.3　陪集
9.1.4　漂亮的形式
9.1.5　制作群
9.2　书写法的形式
9.2.1　氧
9.2.2　置换的书写法
9.2.3　拉格朗日定理
9.2.4　正规子群的书写法
9.3　部分的形式
9.3.1　独自孤零零的3√2
9.3.2　探求结构
9.3.3　伽罗瓦的正规分解
9.3.4　进一步除以C3
9.3.5　除法与同等看待
9.4　对称群S4的形式
9.4.1　铍
9.5　心情的形式
9.5.1　碘
9.5.2　熄灯时间

第10章　伽罗瓦理论
10.1　伽罗瓦节
10.1.1　简略年表
10.1.2　第一论文
10.2　定义
10.2.1　定义（可约与既约）
10.2.2　定义（置换群）
10.2.3　两个世界
10.3　引理
10.3.1　引理1（既约多项式的性质）
10.3.2　引理2（用根制作的V）
10.3.3　引理3（用Ｖ表示根）
10.3.4　引理4（Ｖ的共轭）
10.4　定理
10.4.1　定理1（『伽罗瓦群』的定义）
10.4.2　方程式x2-3x+2=0的伽罗瓦群
10.4.3　方程式ax2+bx+c=0的伽罗瓦群
10.4.4　伽罗瓦群的做法
10.4.5　方程式x3-2x=0的伽罗瓦群
10.4.6　定理2（『伽罗瓦群』的缩小）
10.4.7　伽罗瓦的错误
10.4.8　定理3（添加辅助方程式的所有的根）
10.4.9　缩小的重覆
10.4.10　定理4（缩小的伽罗瓦群的性质）
10.5　定理5（能够以代数方式解方程式的充分必要条件）
10.5.1　伽罗瓦的问题
10.5.2　何谓『能够以代数方式解方程式』
10.5.3　蒂蒂的提问
10.5.4　p次方根的添加
10.5.5　伽罗瓦的添加元
10.5.6　由梨的手忙脚乱
10.6　两座塔
10.6.1　一般三次方程式
10.6.2　一般四次方程式
10.6.3　一般三次方程式
10.6.4　五次方程式不存在公式解
10.7　夏天的结束
10.7.1　伽罗瓦理论的基本定理
10.7.2　巡游展示
10.7.3　夜晚的「氧」
10.7.4　无可替代之物

尾声
后记
索引

第1章
 
有趣的画鬼脚
 
1.1 交错的画鬼脚
1.1.1 两端交换
 
「哥哥，你可以画这种画鬼脚吗？」由梨说。
 
「什么意思？」我看着她画的图。
 
「用直线与横线填满空白处，使上方的数连接到下方相应的数。」由梨说。

「呃……」我看着箭头的末端，「右端的5降到左端；2,3,4笔直从上降下来；左端的1降到右端……左右两端的数字交换，但中间三个数降到正下方，妳要我画这种『画鬼脚』吧？」
 
「对对对，哥哥你应该很懂画鬼脚吧。」
 
「由梨，妳是国三，说话别像高三。」
 
由梨是我的表妹。她是国中三年级的考生，住在我家附近，週末会来我的房间聊天、玩小测验，或读书、解数学题目……总之是跟我感情不错的表妹。
 
我们从小像亲兄妹般玩在一起，所以由梨总是叫我「哥哥」。
 
暑假将近，今天是期末考前的星期六。
 
这里是我的房间，我正在书桌前念书，由梨砰一声把自己的笔记本放在我的书桌上。
 
她一身牛仔裤配Ｔ恤，平常总是把栗色的头发绑成马尾，今天却很稀奇，绑三股辫。辫子编得很整齐，两条辫子垂在左右，看起来真是幼稚啊。
 
「由梨，妳今天绑三股辫呢。」她听我说，马上捏起发尾转。
 
「这是复古风，叫作三股编双马尾喔 」
 
「双马尾？」
 
「对啦，『两端交换的画鬼脚』怎么画？」
 
「很简单啊。」我快速地在笔记本上画图。
 
「这么快！好无聊喵呜～」由梨使用猫语。
 
「妳要这么想喔。像『往左下的楼梯』，画四条横线，右端的5可以带到左端，接着像『往右下的楼梯』，画三条线，把1带到右端，使1与5交换，而不移动到其他数字，其他数字维持固定。」
 
「嗯，没错。不过这和我的画法有点不同。」
 
由梨说着，给我看这样的图。
 
「两端交换的画鬼脚」由梨的画法
 
「原来如此。」我说：「这的确是两端交换的画鬼脚。」
 
「是吧？这样也可以。」
 
「两端交换的画鬼脚」由梨的其他画法
 
1.2 溢出的画鬼脚
1.2.1 计算数量
 
「那么，这次换哥哥来出小测验。」我说。
 
五条直线的「画鬼脚」总共有几种？
 
「什么意思？」
 
「『计算数量』是数学爱好者的基本。既然提到画鬼脚，思考它总共有几种，很自然吧。」
 
「画鬼脚不是有无限多种吗？因为不管加几条横线，都是画鬼脚，即使加上几万条横线……」

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