具体描述
让你惊叹造物主神奇的数字！
黄金比例是什么？
‧兔子的生育？
‧玫瑰花瓣？
‧鹦鹉螺的外壳？
‧凤梨的外皮鳞片？
‧巨大星系？
‧达文西名画《蒙娜丽莎的微笑》？
‧名模身材？
‧股市指数的波动？
‧以上皆是
以上选项看起来毫不相关，但其实它们都拥有一个共同点，那就是──黄金比例，也就是1.6180339887...。
黄金比例的发现究竟源起于何时？几乎已不可考。不过，有一点倒是可以确定的，欧几里德这位几何学大师用一条简单的几何定理「中未比」就为黄金比例下了完美的定义，即把一条直线（或线段）一分为二，则长线段与短线段之比恰等于完整直线与长线段之比。
黄金比例的趣味或许在于它跳脱了最原始的几何意义，从数学延伸至绘画、建筑、音乐乃至发展成为对完美人体身形比例的终极追求，摇身一变成定夺感官之美或和谐之美的最高裁判官，相较于多数人可以朗朗上口的π值3.1416，黄金比例显然与我们日常生活的关系更为密切。也因此，我们容易「眼见为凭」，将许多充满视觉惊叹之美的结构，误判为是依据黄金比例而设计，譬如神祕的古埃及金字塔与雅典充满简约风格的帕特农神庙等等，许多黄金数字的狂热崇拜者全都将之记在黄金比例的丰功伟绩里，但果真如此吗？
本书作者李维欧不仅是一位称职的向导，用平实的语言引领读者展开这趟黄金比例的深度考古之旅，追本溯源，沿途也发挥科学家的侦探精神，抽丝剥茧，为读者拨开层层迷雾，直达真相。
名人推荐
让丹‧布朗赞叹不已！
李维欧以数学狂热份子或是数学恐惧者都会喜欢的方式，揭开着名「黄金比例」的神祕面纱……看完此书后，你将会以全新眼光去审视金字塔、松果或是毕卡索的画作。──《达文西密码》作者丹‧布朗
这本书可以满足对数学知识充满好奇心的读者，这是一本值得高度推荐的数学普及作品。──洪万生 台湾师范大学数学系退休教授
李维欧完美地化解了数学重复论述的难题……它重新梳理了一遍黄金比例的数学史。──赖以威 数学作家、中研院博士后研究员
身为数学老师的我总是把握机会推荐这本书。……对于热爱追求知识的读者而言，这实在是一本值得细细品味的好书。──林信光 台北市立建国高级中学数学科教师
著者信息
李维欧（Mario Livio）
哈伯太空望远镜科学研究所（Hubble Space Telescope Science Institute）科学部门负责人，研究主题十分广泛，集中于宇宙学和天文物理学领域。他对星体爆炸、宇宙扩张、黑洞附近的物理过程及智慧生命的出现等议题尤其感兴趣。着有《加速的宇宙》（The Accelerating Universe）及《杰出的错误》（Brillian Blunders）；出版超过三百篇的科学论文，经常受邀在史密森博物馆（Smithsonian Institution）和海顿天文台（Hayden Planetarium）对公众演讲。目前定居美国巴尔的摩市。
译者简介
丘宏义
美国康乃尔大学物理博士，美国航太总署（NASA）哥达德太空飞行中心太空科学家及天文物理学家。退休后专事写作与翻译，着有《新封神榜：纣王与妲己》、《吴大猷──中国物理学之父》，译有《预约新宇宙》、《亿万又亿万》、《抓时间的人》、《数学与头脑相遇的地方》、《物理学家的灵感抽屉》、《物理与头脑相遇的地方》、《光锥．蛀孔．宇宙弦》、《宇宙的六个神奇数字》、《量子重力》等书。
图书目录
推荐文 完美的数学史大翻案 赖以威
推荐文 数学与音乐、艺术、设计的最佳交集
──黄金比例 林信安
译 序 从数学到艺术，
及我们所知的数学是否万能？
第一章 数字的前奏曲
数不清是世界的奇蹟。——索福克里斯
第二章 和谐音与五角星形
我看到了宇宙中有一种秩序在，而数学是让它现身的方法之一。——萨腾
第三章 在一个指向星星，呈Y形的金字塔之下？
以埃及人铺造的金字塔为首；巴比伦的花园次之，
为了阿咪蒂斯王妃而造；下一个是爱与罪的莫所罗墓；
第四个，在以弗所的黛安娜女神庙；罗德斯岛巨像，黄铜铸成；
第六个，朱比得塑像，费底亚斯所造；人们说，埃及的法罗斯来得最晚，
或者是用黄金打造的西流士宫殿。——佚名
第四章 黄金比例方程式
几何拥有两件至宝：一件是毕达哥拉斯定理；
另一件是把线段做中末比分割。第一件足以和黄金媲美；
第二件我们或可称之为珍贵的珠宝。——克卜勒
第五章 费波纳奇数字无所不在
这九个印度数字是：9 8 7 6 5 4 3 2 1。用这九个数字，
再加上这个 0 的符号..可以把任何数字写出。——费波纳奇
第六章 神的比例
探索我们的起源，是使哲学家头脑满足的甜蜜汁液。——帕西欧里
第七章 艺术家也疯狂？
绘画不是一种美感的操作；它是一种魔法，作为这个奇怪的
逆境世界和我们之间的仲裁者。——毕卡索
第八章 从地砖到苍穹
毕竟，科学所要做的就是理解、领悟——
科学比起无需动脑筋的计算工作当然重要许多。——潘洛斯
第九章 上帝是一位数学家吗？
我应当以几何方法去处理人类的罪行及愚惷..
从大自然的需求和效力来思考憎恨、愤怒、妒忌等等激情..
因此，我在处理大自然和情感的力量时，会採取一视同仁的态度，
彷彿我所关心的是直线、平面，及立体。——史宾诺莎
不管有些业余家嘀咕说二加二等于三，或者评论家大声疾唿说是五，
数学家依旧认定二加二等于四。——惠斯勒
附 录 1~9
延伸阅读
图书序言
永远备受瞩目的黄金比例
洪万生 台湾师范大学数学系退休教授
《黄金比例》是一本有关黄金比例与费波纳奇数列的数学普及书籍。
作者李维欧试图说明人类对黄金比例的迷恋，似乎有其特殊的文化意义，尽管他强调在埃及金字塔或希腊神庙都找不到其纵迹。这种学者应有的审慎态度，也一样见诸于本书第七章〈艺术家也疯狂？〉的论述。另一方面，作者也指出，有关毕氏学派的正五角星形logos，正多面体与柏拉图的宇宙生成论，以及欧几里德的中末比（亦即黄金比例）命题、正五边形作图，乃至于五种柏拉图立体存在之证明，都足以说明文艺复兴之后的西方学者与艺术家为何如此珍视黄金比例。
说得更明确一点，欧几里得在《几何原本》之所以引进中末比，显然是为了正五边形的尺规作图，以及只有五种柏拉图立体之证明。其中，正五边形这个核心的概念，当然与毕氏学派的神秘正五角星形息息相关。因此，尽管在建筑设计与艺术创作中，被认为相当具有和谐美感的黄金比例并不多见，然而，这些扎实的几何理论，却成为十五世纪之后，科学家与数学家将黄金比例塑造成为「神的比例」（divine proportion）的基石。
不过，黄金比例的神圣性是否得利于费波纳奇数列的「无所不在」，作者维持一贯的审慎，并未提供进一步的说明。但尽管如此，在本书第六章〈神的比例〉中，作者引述法兰契斯卡、达文西与杜勒对于黄金比例的探索，可以见证当时画家对此一概念的着迷程度。在这个关联中，作者特别提及数学家帕西欧里如何将法兰契斯卡在立体方面的研究，「编入」《神的比例》，并邀请达文西为其绘制插图。如果说这是法兰契斯卡利用黄金比例透露和谐形体的秘密，那么，克卜勒也是基于同样的信念，利用柏拉图立体建立宇宙模型，因为他相信黄金比例是上帝创世时，所使用的一个基本工具。至于黄金比例的现实应用，作者则在股价涨跌模型及宇宙论等研究主题上，找到颇为重要的例证（参见第八章〈从地砖到苍穹〉）。这说明纯粹基于美学考量的黄金比例，最终在数学家与物理学家的手上，出现重大的应用意义，从而作者也得以「上帝是一位数学家吗？」，来总结这一趟关于黄金比例的文化史之旅。
就数学文化史（cultural history of mathematics）的文类来看，本书类似《从零开始》与《毛起来说无限》，都涉及数学史、哲学史、艺术史与形上学等主题，对读者的博雅素养有着相当高的期许。不过，本书的内容也可以满足对数学知识充满好奇心的读者。无论如何，这是一本值得高度推荐的数学普及作品。
推荐文
完美的数学史大翻案
赖以威
写数学书有项难处是别的主题所没有的，它不像心灵励志书籍，同样概念可以在不同的着作里以不同的姿态出现。数学书可就吃亏了，每个概念不仅得用方程式和文字各定义一次，还得安上个专有名词，怎么逃也逃不掉。好比说本书的主角，数学界里最广为人知的大明星「黄金比例」吧，喜欢数学的读者看过一本、两本、三本关于黄金比例的书籍后，就会开始有些腻，觉得怎么都是1.618，都有只让人看了会晕眩的鹦鹉螺，或是已经出现在许多摄影集里但自己还是没存够钱去的希腊巴特农神殿。这是数学讲究精确、清楚的原罪。
但《黄金比例：1.618...世界上最美的数字》作者李维欧完美地化解了这个重复论述的难题。
几年前流行历史翻案文：诸葛亮仅善于内政，曹操是位仁君，刘禅之智不亚于其父，长山赵子龙根本是个女的！这些翻案文有些引起争论，有些还给当事人公道，有些仅是茶余饭后一笑置之。但不管怎么说，都让我们看到了历史全新的一面。某种程度上，这本书也扮演了相似的角色，它重新梳理了一遍黄金比例的数学史。
这时，数学的精确度又派上用场了。例如浑身上下充满秘密的金字塔，许多文献都指出可以从金字塔的三围里找出黄金比例、圆周率的踪影，还提供了计算过程。对一般读者来说，算式相当有说服力，但李维欧发挥科学家质疑一切的特质，不仅验证算式，还检验数据是否可靠，他发现文献中认定金字塔里藏有黄金比例所使用的数据根本是错的。不仅如此，因为埃及的金字塔高度与底座周长比例，埃及人普遍被认为能精确掌握圆周率，但说不定埃及人只是误打误撞的将圆周率和法老王一併埋进了金字塔里。
有别于人文的历史翻案，李维欧的论述除了有史料佐证，还有更多透过数学检验。他脱下了黄金比例被过度神化的面貌，同时又提醒我们抬起脚来、或是转身看看，这儿和那儿也都有黄金比例。我个人最喜欢的是李维欧在本书中旁征博引，将从古至今的数学家留下的经典格言像珠宝般地散落在段落间。这些伟大的数学家们长期被数学淬炼出的逻辑、人生观，有些时候比黄金比例更让人深思。
你已经看完这本书最无趣之处了，接下来的部分，只会越来越有趣。
（本文作者为数学作家，现职中研院博士后研究员。作品常见于联合报「阅读数学」、国语日报，以及泛科学﹝Pansci﹞、有物报告、CAREhER等网路媒体。着有散文集《再见，爸爸》，译有《平面国》，合着《叶丙成的机率惊艳》。）
推荐文
数学与音乐、艺术、设计的最佳交集──黄金比例
林信安 台北市立建国高级中学数学科教师
「黄金比例」对许多学生来说不算陌生。只要课堂上提到相关的题材，例如黄金矩形、黄金三角形、正五边形、五角星形、费氏数列等，学生们还会列举更多例子，像是凤梨鳞片的排列、向日葵小花的排列、黄金比例是最美的比例等等。
我发现到，学生普遍对黄金比例感兴趣，甚至发出赞叹之声，身为数学老师的我总是把握机会，推荐《黄金比例：1.618…世界上最美的数字》这本书，书中介绍了黄金比例与几何、音乐、艺术、设计等各领域的纠葛与迷思，希望能借此引领学生欣赏数学与其它领域产生丰富的交互作用。我自己从事数学与科学教育多年，这本书提供了我很多课堂上发人深省的好问题。
此外，本书还蒐集了大量的参考资料列举了丰富的巧合，像是巴特农神殿、美感与黄金比例的关系、画作中隐藏的黄金比例等。作者李维欧对这些巧合提出质疑，也对黄金比例的神祕感提供出见解与澄清，这是我觉得《黄金比例：1.618…世界上最美的数字》最有启发性与迷人之处。对于热爱追求知识的读者而言，这实在是一本值得细细品味的好书。
图书试读
从数学到艺术，及我们所知的数学是否万能？
文／丘宏义
从上古到现在的数学
本书可是说是一部以黄金比率φ为核心的数学简史。黄金比率牵涉之广，几乎在所有的数学中都插进一脚，即使插进的份量最多可以说是当配角而已。本书提到，圆週率π成为配角或主角的角色可能要比黄金比率还要多得多，可是从任何一点说来，π太「严肃」了，没有φ这么的多彩多姿。
有许多计算π的系列，最准确的的第一项就可以把π算到48位小数。而计算黄金比率的公式只牵涉到5的平方根而已。为甚么老天爷对数字5特别加以青睐，而对其它的数字如3，7 或者11这么平淡地对待呢？我想，这也是为甚么黄金比率会有这么大的吸引力的原因。
各种古文化都知道计数。对我们说来，他们计数的方法可能很笨拙－即使对他们的语言最自傲的法国人，也对他们到现在还在天天用的quatre-vengts（四个二十，即八十）只好苦笑，因为这实在太违背他们发明出的公制的精神了－可是对他们来说，不用「八个十」而用别扭的「四个二十」是天经地义的事。中国人称3/4为四分之三，英语则称为三个四分（three fourth），我们认为他们的说法别扭，他们也认为我们的说法别扭。如果把四分之三的中文逐字译成英文，应当是 four's three(虽然文法较对的说法应当是three out of four，即四个中的三个)。中文把「被属于X」的某物放在后面，而英文把「被属于X」的某物放在前面。我想原因大约是，中文的意思是，这某物属于X，因此X是主人，应当在前面；而西方认为我们讲的是这属于 X 的某物，因此这「某物」为主，应当放在前面。
用户评价
我是一名对设计行业充满好奇的业余爱好者，经常在网上浏览各种设计作品，有时会觉得某些设计特别吸引人，却又说不出具体原因。《黄金比例：1.618...世界上最美的数字（新版）》这本书，就像为我揭开了设计领域的一层神秘面纱。 书中关于黄金比例在现代设计中的应用，给我带来了极大的启发。无论是平面设计中的排版、Logo设计，还是产品设计、网页设计，作者都给出了详实的案例和分析。我开始理解为什么某些构图会让人感觉舒适，为什么某些比例的按钮会更容易点击，以及为什么有些品牌标志会如此令人印象深刻。这本书不仅仅是理论的讲解，更像是给了我一套实用的“设计语言”，让我能够从更深的层次去理解和欣赏优秀的设计。我甚至开始尝试将书中的一些原则运用到我自己的小型设计项目中，虽然经验尚浅，但确实带来了不小的提升。
评分老实说，我是一个对数字和数学有点“畏惧”的人，但我被《黄金比例：1.618...世界上最美的数字（新版）》的标题深深吸引了。“世界上最美的数字”，这本身就充满了诱惑力。我抱着试一试的心态翻开了这本书，结果大吃一惊。 作者的写作风格非常独特，他没有使用复杂的数学术语，而是用一种非常通俗易懂、充满趣味性的方式来讲解黄金比例。我仿佛在听一位老朋友娓娓道来，他分享着关于数字的美妙故事。书中对黄金比例在自然界的奇妙呈现，比如贝壳的螺旋、植物的叶序，都让我惊叹不已。我甚至开始在家里的花园里寻找符合黄金比例的植物，这让我对周围的世界产生了全新的观察视角。这本书让我意识到，数学并非遥不可及，它就隐藏在我们身边，等待我们去发现。
评分这本《黄金比例：1.618...世界上最美的数字（新版）》绝对是我近期阅读中最令人惊喜的一本！我一直对数学中那些超越纯粹计算、蕴含着深刻美学原理的概念非常感兴趣，而黄金比例无疑是其中的佼佼者。翻开这本书，我立刻被它所呈现的宏大视野所吸引。作者并没有将黄金比例仅仅当作一个孤立的数学公式来讲解，而是巧妙地将其融入了从古至今的人类文明、自然界的神奇造化，乃至艺术、建筑、音乐等方方面面。 我尤其喜欢书中对于历史溯源的细致描绘。从古希腊的数学家欧几里得，到文艺复兴时期的艺术家和科学家，再到现代的数字设计，作者用生动的笔触勾勒出了黄金比例在不同时代、不同领域的演变和应用。我仿佛看到了古代工匠如何在神庙的设计中无意识地运用这一比例，又亲眼见证了达芬奇在《蒙娜丽莎》中对人体比例的精准把握。书中的图文并茂，大量的插图和精美的排版，让原本可能枯燥的数学概念变得活泼起来，我能清晰地看到黄金矩形如何衍生出螺旋线，而这些螺旋线又如何出现在鹦鹉螺的壳、向日葵的花盘，甚至我们星系的形状中。这不仅仅是知识的普及，更是一种对宇宙和谐秩序的深刻启迪。
评分这本书《黄金比例：1.618...世界上最美的数字（新版）》给我带来的最大感受就是“启迪”。我之前对于“美”的认知，很大程度上是基于个人感官和主观感受，但这本书让我看到了“美”背后更深层次的数学逻辑和普遍性。 作者在书中对黄金比例的讲解，从其数学定义到其在不同领域的应用，都做得非常到位。我尤其欣赏书中对艺术作品的分析，它让我能够更深入地理解为什么某些作品会如此经典和具有感染力。黄金比例不仅仅是一个构图的技巧，更是一种能够引发观众共鸣的“语言”。此外，书中对黄金比例在自然界中的普遍存在，让我对生命的奥秘和宇宙的和谐有了更深的敬畏。这本书让我开始用一种更广阔的视野去审视周遭的一切，并且开始主动去寻找那些隐藏在事物中的“美”的规律。
评分一直以来，我都很喜欢在闲暇时阅读一些能够拓展视野、带来新思考的书籍。《黄金比例：1.618...世界上最美的数字（新版）》无疑就是这样一本令人耳目一新的读物。我原以为这会是一本纯粹的数学科普书，可能会充斥着各种公式和推导，但实际阅读下来，我发现它远比我想象的要丰富和有趣得多。 作者以一种非常故事化的方式，讲述了黄金比例从古至今的演变历程。我被书中关于自然界中黄金比例的章节深深吸引，书中列举了大量的实例，从植物的生长形态（如叶片的排列、花瓣的数量）到动物的身体比例，再到天体的运行规律，都展现了黄金比例的神奇存在。这让我对大自然的精妙设计有了更深的敬畏之情。同时，作者也巧妙地将黄金比例与人类的认知和审美联系起来，探讨了为什么我们会觉得符合黄金比例的事物更美，这其中涉及到心理学、生理学等多方面的因素，读起来非常有启发性。
评分我通常对这类科普读物抱有谨慎的态度，担心它们会过于浅显或者流于表面，但《黄金比例：1.618...世界上最美的数字（新版）》完全超出了我的预期。作者的功力体现在他能够将极其抽象的数学概念，用一种极其直观、富有启发性的方式呈现给读者。这本书的叙事逻辑非常清晰，从最基础的定义出发，逐步深入到其在自然界、艺术、设计、甚至经济学中的应用，每一步都循序渐进，令人能够轻松理解。 最让我印象深刻的是，作者没有回避黄金比例在一些“神秘主义”或“伪科学”解读中的应用，但却以一种客观、理性的态度去分析和辨析，既保留了对这些解读的好奇，又强调了科学的严谨性。书中对黄金比例在人类面部美学中的探讨尤其引人入胜，我开始重新审视那些我一直认为“好看”的脸庞，发现其中竟然真的蕴含着这种数学上的和谐。此外，关于黄金比例在音乐中的体现，比如和弦的构建和旋律的走向，也让我对声音的魅力有了全新的认识。这本书让我开始意识到，原来我们习以为常的“美”，在很大程度上是建立在某种数学基础之上的。
评分一直以来，我对于数学的理解仅停留在解题和计算层面，直到我读了《黄金比例：1.618...世界上最美的数字（新版）》。这本书彻底改变了我对数学的看法，让我看到了数学中蕴含的惊人美感和普遍性。 作者在书中用非常生动形象的语言，解释了黄金比例的概念，并且将其与我们日常生活中能够感知到的事物联系起来。我最喜欢的部分是关于音乐中的黄金比例。原来，那些动听的旋律和和谐的和弦，在一定程度上也遵循着黄金比例的规律。这让我对音乐的理解上升到了一个新的高度，我开始能够“听”出其中的数学结构，并感受到一种超越声音本身的秩序美。书中还探讨了黄金比例在经济学和金融市场的应用，虽然这部分内容我理解得不那么透彻，但也让我看到了数学在不同领域的强大影响力。
评分我是一个对哲学和艺术有着浓厚兴趣的人，而《黄金比例：1.618...世界上最美的数字（新版）》正好满足了我对这两者结合的探索欲望。我一直觉得，“美”是一个非常主观的词语，但这本书却试图从一个客观的数学角度去解析它，这让我感到非常新奇。作者在书中将黄金比例与古希腊的哲学思想联系起来，探讨了毕达哥拉斯学派对于数字和谐的追求，以及柏拉图对于数学形式美的理解。 我尤其喜欢书中对文艺复兴时期艺术作品的深入剖析。达芬奇、米开朗琪罗等大师的作品，在作者的解读下，不仅仅是技艺的展现，更是一种对宇宙真理的探索。我重新审视了《最后的晚餐》和《创世纪》等作品，在作者的引导下，我开始发现那些隐藏在画面构图、人物比例中的黄金分割点，它们的存在让画面更具张力，更富有生命力。这本书让我意识到，艺术的创造并非仅仅是灵感的迸发，更是对某种普适性美学原则的遵循。它拓展了我对“美”的理解维度，让我看到了数学的优雅与艺术的感性是如何完美地融合在一起的。
评分我一直对人类文明中的一些“永恒”的符号和原理非常感兴趣，《黄金比例：1.618...世界上最美的数字（新版）》这本书正是我一直在寻找的。它不仅仅是在讲述一个数字，更是在讲述一种跨越时空、贯穿古今的审美哲学。 我被书中对黄金比例在哲学思辨中的地位所吸引。从古希腊哲学家对宇宙和谐的追求，到现代数学家对数的探索，黄金比例始终扮演着一个重要的角色。它似乎是一种“潜规则”，悄悄地影响着我们对世界的感知和创造。书中对黄金比例在艺术、建筑、自然等领域的广泛应用进行了深入的阐述，每一个案例都让我惊叹于自然造物的鬼斧神工和人类智慧的闪光。我开始思考，为什么人类会被这种特定的比例所吸引？这其中是否蕴含着我们基因深处的某种共鸣？
评分作为一名对建筑设计充满兴趣的普通读者，《黄金比例：1.618...世界上最美的数字（新版）》简直就是一本宝藏！我一直对那些宏伟壮观的古代建筑，如帕特农神庙，以及现代那些令人惊叹的摩天大楼情有独钟，总觉得它们有一种难以言喻的和谐与稳定感。这本书的出现，让我找到了这种感觉的根源——黄金比例。 作者在书中详细阐述了黄金比例如何被应用于建筑的立面设计、空间布局，甚至细节的比例控制。我得以窥见那些伟大建筑师的匠心独运，了解他们是如何潜意识地或者有意识地将1.618...这个数字融入到他们的作品中，从而创造出既实用又极具视觉冲击力的空间。书中的案例分析非常到位，不仅仅是简单地指出某个建筑的某个部分符合黄金比例，更重要的是分析了这种比例是如何影响整体的美学效果，以及它所传达出的稳定、和谐、永恒的感觉。我甚至开始尝试在自己的小项目中使用一些黄金比例的原则，虽然效果可能不及大师的作品，但这个过程本身就充满了乐趣和启发。
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