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　　美丽的数学王国门口有两根壮硕的大柱子，其中一根为非线性的微积分，而另一根则为线性的线性代数。这两根大柱子射出美丽的光芒，照耀了数学王国的代数、几何、分析、物理、工程和经济，这些光芒不仅提供了它们养分，还帮助它们成长。

　　数学有五要素：实数、欧式空间、函数、不等式和公理。实数和欧式空间为数学的身体，像电脑的硬体一样，而函数、不等式和公理为数学的灵魂，像电脑的软体一样。电脑一定要有 硬体，但是有了硬体，还是不能动，尚需要软体，才能运作，本书详细介绍实数、欧式空间、函数、不等式和公理。

　　这本数学分析基础，涵盖非线性的微积分和线性的线性代数，还涵盖微分方程，此书共计有1,164页。书中含有目录、索引、Index、图像和各式各样的题目，我们将完整的习题解答，录成CD，附置于书后。

　　本书中除了详细介绍一维微积分外，更详细介绍二维和三维的多变数分析，因为二维和三维最为其体，且最有感觉。了解二维和三维分析，一方面可以检验一维分析，而另一方面则可以学习四维以上之高等微积分，建议先念本书，再念高等微积分。

　　本书对每一定理和重要概念，都指出其原由和应用。本书每一章还会介绍一节数学家有趣的生平，所谓蹲下来为的是要跳得更高，阅读完该节后，相信读者又可以体力充沛地继续学习下面的章节了。

　　这一本数学分析基础，是由着者在国立清华大学教了三十余年的微积分讲义补编而成，希望在台湾能成为一本有意义的教科书和课外读物。

作者简介

王怀权

　　学历
　　国立台湾师范大学数学学士（1964年）。
　　国立清华大学数学硕士（1966年）。
　　美国爱荷华大学数学博士（1971年）。

　　经历
　　国立清华大学教授（1974-2004年）。
　　国立清华大学数学系系主任（1975-1977年）。
　　中华民国数学会理事长（1991-1995年）。
　　玄奖大学讲座教授兼应用数学系系主任（2004-2008年）。

　　着作
　　Homogeneous Banach Algebras, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, No.29, Marcel Dekker, Inc. New York, U.S.A.（1977年）。
　　Nonlinear Analysis, National Tsing Hua University Press, Hsinchu, Taiwan, （2003年）。
　　数学的故乡，成信文化事业股份有限公司出版，台湾台北（2004年）。
　　Palais-Smale Approaches to Semilinear Elliptic Equations in Unbounded  Domains, Electron. J. Diff. Eqns., Monograph 06,（2004年）。

　　荣誉
　　与国立清华大学化学系赖昭正教授组队参加国立清华大学教职员桥牌赛，获得第一名，由桥牌国手沈君山院长颁予奖牌（1982年）。
　　获得1986年度中山学术着作奖，由李远哲院长于国立清华大学月涵堂颁发荣誉校友奖状。
　　国科会甲种奖（1971-2008年）。
　　国科会优等奖（1994年）。
　　国立清华大学杰出教学奖暨教育部教学特优教师（1994年）。
　　国立清华大学杰出教学奖（2003年）。
　　中华民国数学会学会奖（2003年）。

深入浅出：现代高等代数与几何的交织 本书旨在为读者构建一个坚实而全面的高等代数与几何学基础，它聚焦于抽象代数的核心概念、线性代数在多维空间中的应用，以及几何学在不同度量下的结构性探讨。全书以严谨的逻辑和清晰的论证为骨架，力求在保持数学严密性的同时，兼顾学习者的直观理解。 --- 第一部分：抽象代数的基石 本部分从集合论的基本概念出发，逐步引入代数结构中最核心的元素：群、环与域。我们避免陷入过分繁琐的初等数论细节，而是将重点放在结构的本质和相互联系上。 第一章：群论的结构与应用 本章首先定义群、子群、陪集与商群。我们深入探讨了群同态与同构的概念，特别是关于同构定理的精妙之处。为了展示抽象概念的具体实例，本章花费大量篇幅讲解了有限群的结构，包括拉格朗日定理及其在元素阶数确定上的关键作用。 随后，我们转向更具结构的分析。循环群、二面体群（$D_n$）以及对称群（$S_n$）作为范例，被用来阐释共轭类、正规子群和半直积的构造。我们详尽地讨论了Sylow定理，将其作为理解有限非阿贝尔群结构的最有力工具，并辅以实例说明其在判断群是否为简单群上的重要性。最后的章节将群作用引入，连接了代数结构与集合上的变换，这是后续深入研究的基础。 第二章：环与域的构造 从群到环的过渡是自然而然的，本章的核心在于理解加法与乘法的双重结构。我们定义了环、单位环以及交换环，并着重区分了整环与域。在子环、理想的讨论中，我们引入了主理想、唯一因子分解整环（UFD）和诺特环的概念。 本章的重点在于域的扩张理论。我们从分式域的构造开始，逐步引向域扩张的次数、代数数和超越数。伽罗瓦理论是本章的难点与高潮，虽然我们不会深入到黎曼面或复杂的复分析应用，但我们将完整地阐述伽罗瓦群的定义，并证明代数基本定理（即有限域扩张与其伽罗瓦群之间的对偶性）。这为理解多项式方程的可解性提供了全新的代数视角。 --- 第二部分：线性代数的几何化视角 本部分将抽象的向量空间提升至几何直观层面，强调线性变换、度量结构以及矩阵理论的统一性。 第三章：向量空间与线性映射 本章从公理化的角度重新审视向量空间，将其定义为数域上的代数结构。我们侧重于基、维数的概念，以及坐标变换的本质。 线性映射的讨论聚焦于核空间与像空间，并以秩-零化定理将两者联系起来。本章的关键在于矩阵的引入并非作为计算工具，而是作为线性映射在特定基下的表示。我们深入剖析了相似变换，并论证了相似矩阵的等价性，强调了其在改变观测视角时保持不变的内在属性。 第四章：特征值、特征向量与对角化 特征值问题被视为线性代数中最核心的分析工具之一。我们细致地讨论了特征多项式、最小多项式的概念及其关系。 本章的核心在于 Jordan 标准形的理论构建。我们不仅讲解了如何计算 Jordan 块，更重要的是阐明了 Jordan 标准形作为矩阵在复数域上“最简化”表示的几何意义。这对于理解微分方程组的长期行为至关重要。随后，我们探讨了特征值与矩阵函数（如矩阵指数）的计算，并将其应用到线性常微分方程组的求解中。 第五章：欧几里得空间与二次型 在引入内积结构后，向量空间升级为内积空间。本章强调了正交性的几何重要性。Gram-Schmidt 正交化过程被用来展示如何从任意基构造一组正交基，这是傅里叶分析的代数前驱。 随后，我们将目光投向对称双线性型。我们详细论证了谱定理，即实对称矩阵恒可正交对角化，并将其几何解释为坐标轴的旋转，使得二次型可以被简化为轴线上的简单平方和。本章的收尾部分将介绍正定矩阵的判据，这在优化问题和稳定性分析中具有实际的指导意义。 --- 第三部分：拓扑与微分几何的初步接触 本部分旨在为读者提供一个关于“空间结构”更广阔的视野，超越了欧几里得空间的限制，引入必要的拓扑语言。 第六章：度量空间与收敛性 本章从拓扑学的基础概念入手，定义了度量空间。我们侧重于开集、闭集、邻域的概念，并使用这些工具来精确定义收敛性、连续性和紧致性。 我们证明了完备性的重要性，即完备度量空间上的巴拿赫不动点定理。这个定理不仅是泛函分析的基石，也为理解迭代方法的收敛性提供了坚实的理论保障。我们还探讨了连续函数在紧致空间上的性质，如最大值原理的拓扑基础。 第七章：流形与切空间的概念 本章的视角从点集转向了光滑的“表面”。我们引入了流形的局部欧几里得性概念，并以此定义了微分结构。 在流形上，我们重点讲解了切空间的构造。切空间被定义为在局部坐标系下的向量空间，这是将线性代数工具（如切向量）“粘贴”到弯曲空间上的关键步骤。我们初步讨论了向量场和李导数的概念，为后续理解微分几何中的曲率张量奠定了概念框架。 --- 总结： 本书力求在严谨的证明和清晰的解释之间找到平衡点。它不是一本旨在覆盖所有高级分支的百科全书，而是一本精心设计的“桥梁之书”，它将代数结构的抽象美感与几何空间的直观可操作性有机地结合起来，为学生在进入更专业的领域——无论是代数拓扑、微分几何、还是现代物理中的场论——时提供不可或缺的理论准备和思维训练。读者在学完本书后，将具备用代数语言描述几何对象，并用几何直觉指导抽象推理的能力。

1实数、函数和数列的定义、不等式和经典公理1
11实数1
12函数和数列的定义18
13不等式25
14经典公理30
15历史上第一个大数学家毕达格拉斯38
16习题40

2函数的极限43
21函数的运算43
22函数极限的定义45
23函数极限的定理48
24右极限和左极限56
25函数极限存在和不存在的例子63
26苏格拉底、柏拉图和亚里士多德81
27习题84

3函数的连续87
31函数连续的定义87
32连续函数三大优异定理93
33连续函数六大经典定理97
34连续和不连续函数的例子105
35大数学家阿基米德113
36习题
ix115

4函数的导数119
41函数导数的概念119
42函数导数的定义120
43函数导数三大基本定理124
44均值定理130
45可微函数与其导函数之间彼此关系密切137
46可微和不可微函数的例子141
47数学家笛卡儿之网路故事151
48数学家笛卡儿152
49习题156

5导函数的应用161
51曲线的切线斜率、切线方程和法线方程161
52均值定理的应用163
53函数的增灭、极值、凹凸、反曲点和渐近线166
54画函数的图形185
55法国大数学家费马188
56瑞士马特洪峰191
57习题192

6函数的积分195
61可积函数198
62积分运算定理210
63积分均值定理222
64微积分基本定理224
65积分的应用—求面积和体积226
66数学家巴斯卡232

7初等函数237
71反函数定理238
72三角函数和反三角函数241
73对数函数253
74指数函数261
75双曲函数和反双曲函数266
76通世数学家牛顿273
77习题275

8积分法277
81分部积分法277
82变数变换积分法281
83部份分式积分法284
84三角函数积分法286
85三角函数替换积分法292
86数学大师欧伊勒295
87习题297

9数列301
91收敛数列定理301
92发散数列运算定理314
93上极限和下极限319
94一笔画326
95习题327

10级数331
101收敛级数和发散级数331
102正项级数340
103广义交错级数348
104绝对收敛级数352
105数学王子高斯356
106习题359

11泰勒理论361
111泰勒定理的自来361
112泰勒定理363
113泰勒级数369
114马克劳林级数370
115泰勒定理救人一命。379
116天才数学家歌洛怡380
117习题382

12数值方法383
121牛顿求根法385
122压缩映射定理求定点法390
123n次逼近求函数值法393
124弦梯积分法395
125辛浦森积分法397
126千山独行，壁创宇宙大业─爱因斯坦400
127习题404

13函数极限的推广、不定型、瑕积分和Γ函数405
131函数极限的推广405
132不定型407
133瑕积分414
134Γ函数428
135法国庞加莱和德国希尔伯特432

14函数列和函数级数437
141函数列437
142函数级数450
143数学家在哪里思考数学？461
144习题463

15线性空间、线性变换与矩阵空间和欧氏空间467
151线性空间467
152线性变换空间与矩阵空间483
153欧氏空间504
154黄金比例数524
155习题526

16二变数纯量函数的极限和连续529
161二变数纯量函数的极限529
162二变数纯量函数的连续538
163数学家陈省身555
164习题556

17向量函数的极限和连续557
171一变数向量函数的极限557
172一变数向量函数的连续562
173向量场的极限567
174向量场的连续570
175国际数学联合会和国际数学家会议575
176习题580

18二变数纯量函数的微导583
181全导数、方向导数、偏导数、梯度和微分583
182全导数链法则600
183均值定理601
184隐函数定理602
185高阶偏导数和泰勒定理604
186极值和鞍点611
187拉格宏机乘子定理618
188鸟和青蛙621
189习题627

19向量函数的微导629
191单变数向量函数的微导629
192向量场的微导640
193美国普林斯顿大学。652
194习题654

20重积分655
201二重可积函数655
202二重积分运算定理669
203二重积分均值定理680
204微分与积分682
205有界集上的二重积分687
206三重积分687
207开发新领域693
208习题694

21重积分之计算与应用697
211二重积分之计算与应用697
212三重积分之计算与应用729
213数学的严谨与抽象737

22纯量场和向量场的线积分与面积分741
221纯量场、向量场、散度、旋度和梯度741
2222维纯量场和向量场的线积分746
2233维纯量场和向量场的线积分780
224纯量场和向量场的面积分785
225多变数微积分基本定理803
226解决持久问题809
227习题810

23微分方程813
231初值微分方程和积分方程813
232一阶微分方程815
233初值微分方程组和向量积分方程823
234二阶微分方程825
235数学的力与美839
236习题841
索引842

Index861

评分☆☆☆☆☆

翻开《数学分析基础》，我首先关注的是它的“求真”精神。数学分析之所以为“分析”，在于它对事物本质的深入探究，对不确定性的清晰界定。我希望这本书能够展现出这种严谨的“求真”态度，不仅仅是给出结论，更重要的是展现得出结论的过程，以及对结论成立条件的明确说明。我期待作者能够通过清晰的逻辑推理，层层递进地引导我理解每一个数学定理的由来。我尤其关心书中对“证明”的阐释。我希望它能够详细解释一个证明的结构，包括已知条件、待证明结论、推理步骤以及每一步推理的依据。我希望作者能够通过举例说明，帮助我理解不同证明技巧的应用，比如反证法、数学归纳法等。我希望这本书能够让我理解，数学的严谨性是如何建立起来的，以及为什么这些严格的证明是至关重要的。如果书中能够穿插一些数学史上的“证明之争”，或者数学家如何通过不懈的努力来克服证明中的难题，那将是非常有启发性的。这本书对我来说，将是一场关于“真理”的探寻之旅，我希望它能够培养我一种对事实的尊重，对逻辑的信赖，以及对真理的追求。

评分☆☆☆☆☆

我拿到《数学分析基础》这本书，首先关注的是它的章节结构和内容安排。我希望这本书能够系统地、有条理地梳理数学分析的知识体系，从最基本的概念如实数系、集合论出发，逐步深入到序列、极限、连续、微分、积分等核心内容。我希望它的逻辑链条能够清晰明了，前后呼应，让读者能够感受到知识的层层递进，而不是零散的知识点堆砌。我非常在意作者在讲解过程中，是否能够充分地解释每一个概念的定义、性质以及它们之间的相互关系。比如，在讲到极限时，是否详细解释了 $epsilon-delta$ 语言的含义和应用，以及它在证明中的重要性；在讲解连续性时，是否清晰地说明了函数在一点连续、在区间连续以及一致连续的区别和联系。我希望书中能够提供大量的例题和习题，并且这些例题能够覆盖不同难度和不同侧重点，帮助我巩固所学知识，并训练我独立解决问题的能力。如果习题后面能附带一些提示或者解答，那就更好了，能够在我遇到困难时提供及时的帮助，避免我陷入思维的死胡同。这本书对我来说，更像是一本“工具书”，我希望它能够成为我在学习和研究过程中，随时可以查阅、可以依赖的宝藏。

评分☆☆☆☆☆

我对《数学分析基础》这本书的期望，是它能够帮助我建立起一种“数学怀疑精神”。我知道，数学分析的核心在于严谨的逻辑和严格的证明，而这种严谨性，恰恰需要我们对每一个概念、每一个结论都保持审慎的态度。我希望这本书能够引导我，不要轻易接受现成的结论，而是要思考“为什么会这样？”，并且去尝试自己去证明。我尤其关注作者在讲解过程中，是否会主动地提出一些“反例”，或者一些需要深入思考的“边界情况”，来挑战我的固有认知。例如，在讨论连续性时，能否给出一些看似连续但实际上并非处处连续的函数，或者在讨论收敛时，给出一些收敛速度的比较。我希望这本书能够教会我如何像一个数学家一样去思考，去质疑，去探究。我希望它能够培养我一种“刨根问底”的精神，不仅仅满足于知道“是什么”，更要去探究“为什么是”。如果书中能够提供一些开放性的问题，鼓励读者去思考和探索，那将是极具价值的。这本书对我来说，不仅仅是知识的传递，更是一种思维方式的塑造，我希望它能够让我受益终身。

评分☆☆☆☆☆

读到《数学分析基础》这个书名，我立刻联想到那些曾经让我头疼不已的数学概念。我知道，数学分析是许多高深理论的基石，掌握好它，才能在更高的数学领域游刃有余。我非常期待这本书能够以一种非常“接地气”的方式，来阐述那些抽象的概念。例如，在讲解序列和级数收敛时，我希望它能提供一些可视化的图形，或者一些实际的例子，来帮助我理解“无穷”的概念是如何被“控制”的。我尤其关心作者在讲解导数和积分时，是否能够深入地剖析它们在物理、工程等实际应用中的体现。比如，导数可以用来描述速度和加速度，积分可以用来计算面积和体积，这些应用层面的解读，往往比纯粹的数学推导更能激发我的学习兴趣。我希望这本书能够不仅仅停留在理论层面，而是能够将数学分析与实际应用紧密结合，让我看到数学分析的强大生命力和广泛的应用前景。如果书中能够包含一些著名的数学难题，以及这些难题是如何被数学分析的工具所解决的，那将是极具启发性的。这本书对我而言，是希望能够成为我理解数学分析的“翻译官”，将那些晦涩的理论转化为我能够理解并运用的知识。

评分☆☆☆☆☆

在拿到《数学分析基础》这本书时，我首先想到的是，它是否能够帮助我建立起一种“全局观”。数学分析中的概念并非孤立存在，而是相互关联，构成了一个庞大的知识体系。我希望这本书能够帮助我理解，数学分析的各个部分是如何有机地联系在一起的。例如，序列的极限概念是如何引出函数的极限，函数的极限又是如何引出连续性的，连续性又是如何引出导数和积分的。我希望它能够展现出数学分析的“整体美”，让我能够从宏观的角度把握这门学科。我尤其希望作者在讲解过程中，能够适当地进行“概念的升华”，将一些看似微小的细节，与更宏大的数学思想联系起来。例如，在讲解 $epsilon-delta$ 语言时，能否将其引申到数学的“精确性”和“可靠性”的基石作用。我希望这本书能够帮助我，在学习具体知识点的同时，也能看到它们在整个数学分析框架中的位置和意义。如果书中能够提供一些“思维导图”或者“知识网络图”，来梳理各个概念之间的关系，那将极大地帮助我建立起清晰的全局认识。这本书对我来说，是希望能够成为我理解数学分析的“蓝图”，它能够让我看到学科的全貌，从而更有方向地进行深入学习。

评分☆☆☆☆☆

这本书的书名是《数学分析基础》，这显然是一本理论性极强的学科入门读物。我拿到这本书时，首先被它朴实无华的封面设计所吸引，没有花哨的插图，也没有煽情的标题，一切都围绕着“数学分析”这四个字，预示着它将带我踏上一段严谨而充满挑战的智力探索之旅。我的期待是，它能为我打下坚实的数学分析基础，让我理解那些看似抽象的数学概念是如何构建起来的，以及它们在解决实际问题时所扮演的角色。我知道，数学分析是许多高级数学分支的基石，无论是高等代数、微分几何，还是概率论，都离不开它。所以，我希望这本书能够深入浅出地讲解，用清晰的逻辑和详实的例证，让我领略到数学的魅力，而不是仅仅停留在公式的堆砌上。我特别关注作者在讲解过程中，是否能够引导读者思考，培养独立分析问题的能力，而不仅仅是被动地接受知识。如果这本书能够做到这一点，那么它在我心中的价值将不可估量，它将是我学术生涯中一位不可或缺的良师益友。我期待着这本书能够解答我心中对数学分析的种种疑问，并激发我进一步探索更广阔的数学世界。

评分☆☆☆☆☆

我拿到《数学分析基础》这本书，非常好奇作者会以怎样的方式来呈现数学分析的严谨之美。我一直认为，数学分析不仅仅是枯燥的符号和公式，更是一种思维方式，一种对逻辑和精确性的极致追求。我希望这本书能够在我领略到数学分析的严谨性的同时，也能够感受到它背后所蕴含的深刻思想。我期待作者能够用清晰易懂的语言，将那些抽象的概念具象化，或者通过一些生动的比喻来帮助我理解。比如，在讲解函数极限时，能否用“逼近”的概念来帮助我建立直观的认识；在讲解导数时，能否用“变化率”或者“切线斜率”来阐释其几何意义。我特别关注书中对证明的阐述方式，是否能够引导读者理解证明的逻辑脉络，而不是仅仅展示一个现成的证明过程。我希望作者能够教我如何去思考一个数学问题，如何去构建一个严谨的证明，甚至是如何去发现新的数学结论。如果书中能够包含一些历史上著名的数学证明的演变过程，或者一些数学家是如何突破思维定势，最终找到解决问题的关键，那将是我非常愿意看到的。这本书对我来说，不仅仅是一本教材，更是一扇通往数学世界大门的钥匙，我希望它能够引领我，让我能够独立地去探索和发现数学的奥秘。

评分☆☆☆☆☆

当我翻开《数学分析基础》这本书时，我脑海中浮现的是大学时期那些与数学分析缠斗的日日夜夜。那是一段既痛苦又充满发现的时光，充满了对极限、连续、导数和积分的反复理解和实践。我希望这本书能够用一种全新的视角来重新解读这些概念，或许是结合一些现代的视角，或者是一些更贴近直觉的解释。我尤其关心作者如何处理那些经典的“陷阱”和“误区”，比如在讨论连续性时，如何清晰地界定开集、闭集以及它们与函数性质的关系，或者在介绍积分理论时，如何从黎曼积分过渡到更一般的勒贝格积分，以及两者之间的优劣和联系。我希望这本书能够提供一些巧妙的思考路径，让我能够绕过那些常见的思维障碍，真正地掌握数学分析的核心思想。此外，如果书中能够穿插一些数学史上的趣闻轶事，或者是一些著名数学家在探索这些概念时遇到的困难和最终的顿悟，那无疑会极大地增加阅读的趣味性，并帮助我更好地理解这些概念的来龙去脉。总而言之，我期待这本书能够成为我回顾和深化对数学分析理解的一块重要拼图，让我能够以更成熟、更深刻的眼光看待这些基础的数学工具。

评分☆☆☆☆☆

拿到《数学分析基础》这本书，我最关心的是它在数学分析的“语言”和“表达”上是否足够清晰和规范。我知道，数学分析的严谨性很大程度上体现在其精确的符号和严格的定义上。我希望这本书能够用一种严谨而又易于理解的语言，来阐述数学分析的各种概念。例如，在讲解集合论时，是否会清晰地定义各种集合运算；在讲解函数时，是否会详细说明定义域、值域、单射、满射等概念。我特别希望作者能够在使用符号时，保持高度的一致性，并且能够充分解释每一个符号的含义。我希望这本书能够成为我学习数学分析的“字典”，我可以在任何时候查阅，找到我需要的定义和解释。我希望它能够帮助我准确地理解和使用数学分析的术语，避免在学习过程中产生不必要的混淆。如果书中能够包含一个详细的符号索引，或者一个术语表，那将极大地提高它的实用性。这本书对我来说，是希望能够成为我通往数学分析殿堂的“引路人”，它能够为我打下坚实的语言基础，让我能够更自信地去阅读和理解更复杂的数学文献。

评分☆☆☆☆☆

当我看到《数学分析基础》这个书名时，我的脑海中立刻浮现出微积分学发展史上的那些巨匠们，他们是如何一步步奠定这门学科的基石的。我希望这本书能够不仅仅是一本教材，更是一部数学分析的“史诗”。我期待作者能够以一种引人入胜的方式，讲述数学分析中那些核心概念的起源和演变。例如，在介绍极限的概念时，能否回顾一下阿基米德如何通过“逼近法”来计算圆周率，以及后来的数学家如何一步步将这种直观的思想严谨化。同样，在讲解积分时，能否提及牛顿和莱布尼茨的微积分发明，以及他们之间存在的争议和合作。我希望这本书能够帮助我理解，数学分析中的每一个定理、每一个公式，都是经过了无数代数学家前赴后继的探索和检验才得以确立的。我期待通过阅读这本书，能够感受到数学分析的“厚重感”，以及它作为一门古老而又充满活力的学科的魅力。如果书中能够穿插一些数学家的传记片段，或者他们当年写下的笔记，那将是令人兴奋的。这本书对我来说，将是关于数学分析的一场“思想旅行”，我希望它能够带我穿越时空，去感受数学思想的传承和发展。