具体描述
史上最强、科普界全能鬼才皮寇弗力作
趣味故事＋详解数理公式＋实际应用法则
从阅读中体会数学妙用无穷
一本图文并茂的数学百科∕一本博古通今的数学历史
一本趣味横生的数学故事∕一本条理分明的数学资料库
关于数学世界里最重要、最有趣的故事尽在其中
本书特色
1.丰富条目：250项数学史上重大里程碑一次收录。
2.编年百科：条目依年代排序，清楚掌握数学发展演变。相关条目随页交叉索引，知识脉络立体化。
3.浓缩文字：每篇700字左右，快速阅读、吸收重要数学观念和大师理论。
4.精美插图：每项条目均搭配精华全彩图片，帮助记忆，刺激想像力。
5.理想收藏：全彩印刷、图片精美、收藏度高，是科普爱好者必备最理想的数学百科。
数学如何解释夕阳余晖的色泽？各文明的算术系统有何分别？魔术方块是如何诞生的？数学历史上各项重大的数学原理如何帮助我们探索世界？
知名的计算公式及数学观念总是伴随许多数学家一生中各种奇妙的故事，特别是在现实世界里实际运用这些数学定理时。跟着皮寇弗的这趟旅程，我们将一同穿梭数学史上二百五十个重大成就，像是蚂蚁身上的计数「里程表」、人类史上的第一把算盘、发现电脑创造的碎形以及探索新空间维度的过程。这趟旅程将拜访古代名闻遐迩的思想大师如毕达哥拉斯跟欧几里德，也将见识到贾德纳能及宇宙论大师马泰格马克这些近代的数学巨擘。
依照时间先后顺序排列，每个条目都简短到能在几分钟内消化吸收，一旁更附上令人炫目的全彩图案。
本书作者皮寇弗表示：「对我而言，不论是心智的特质、思想的极限，或者是人类相对于浩瀚宇宙当中的所处环境，都可以用数学来发掘当中永无止尽的惊奇奥祕。」
作者简介
柯利弗德．皮寇弗（Clifford A. Pickover）
他是一位多产作家，涉猎主题从科学、数学一路涵盖到宗教、艺术及历史，累计发行已超过四十本书，并被翻译成数十种语言。皮寇弗在耶鲁大学取得分子生物理化博士学位，在美国拥有四十多项专利，并担任数本科学期刊的编辑委员。他的研究内容获得CNN、《连线》（WIRED）、《纽约时报》（New York Times）等诸多媒体重视。着有《数字的异想世界：125个有趣的数学游戏》、《光锥．蛀孔．宇宙弦》等书。个人网页（www.pickover.com）的造访人次更是数以百万计。
译者简介
陈以礼
交大应数系、贸协国企班、里昂二大经济史硕士班毕业，曾任电子时报研究中心、中经院国际经济所及燃料电池推动办公室研究员，现为德拉邦（Deux Lapins）文化工作室成员，并担任台湾安保协会特约译者暨厚泽美术研究会季刊专栏作家，译有《听彼得杜拉克的课》、《我们为什么老是犯错》（时报出版）。
著者信息
图书目录
图书序言
导读
洪万生∕台湾师范大学数学系退休教授
这是一本类似百科全书的数学普及读物。全书共有250个数学发展之里程碑条目，作者按照年代编写，试图勾勒人类数学发展的整体风貌。同时，作者在各个条目之后，纳入相关的参照条目（都本书所包含），方便读者交叉阅读与参引。还有，凡是条目涉及数学家等等之贡献者，都清楚表彰姓名于条目之下，冀收见贤思齐之效！
就条目的规划来说，除了纯数学、（传统）应用数学领域与计算机科学之外，本书还纳入具有意义深长的生物数学、游戏背景的谜题，以及一般读者深感兴趣的悖论。当然，从人类文化关怀的角度切入，作者也非常努力全面关照各个种族在历史长河中，所曾经创造或参与的数学知识活动。尽管力有未逮，譬如他对中国与日本算学发展的说明，就显得心有余而力不足，但是，他的用心还是值得肯定。另一方面，作者为1900年之后的数学保留了近半的篇幅，则充分反映二十世纪数学的飞耀发展，也见证了计算机如何介入数学研究的各个层面。
就书写的叙事来说，由于作者并非数学本科毕业，以致于他在描述近现代的数学专业知识时，手法难免比较生涩，而这一「不足」在数学史脉络的适当烘托下，有时候反倒显得朴拙可以亲近。至于作者对于数学与数学史之理解，或许主要得自于他自身的博雅阅读经验，于是，他在某些脉络中，依赖少数几位科普作家的观点或评论，应该也是情有可原。
有关本书之阅读与参考使用，我要特别针对中学数学教师与学生，提出一些建议。对教师来说，本书条目有益于教学的内容，可以粗略分为两大类：(1) 生活经验中的趣味数学；(2) 历史文化（含人类学面向）中的数学。前者主要源自人类的热爱游戏谜题的好奇心，后者则是基于数学的美感与效用之双重动机。当教师有意将本书某些素材引进课堂，并借以分享数学知识活动的趣味时，则不妨将它们包装成为一个游戏，让抗拒学习的学生无法自外于此一活动。譬如说，本书1702年条目〈绕地求一圈的彩带〉，十分简单，人人都可以参与讨论，但结果却是大大地令人感到不可思议的谜题。
另一方面，教师也可利用本书条目，来组织一个教学单元，比如说初等代数发展的轮廓，让学生在不断演练求解方程式之余，也能多少领会代数认知与方法演化的趣味与意义。针对此一主题，我推荐的条目有如下列：〈莱因德纸草文件〉、〈戴奥芬特斯的《数论》〉、〈数字0〉、〈阿尔．花拉子密的《代数》〉、〈摩诃吠罗的算术书〉、〈印度数学璀璨的章节〉、〈奥玛、海亚姆的《代数问题的论着》〉、〈阿尔、萨马瓦尔的《耀眼的代数》〉、〈费波那契的《计算书》〉、〈特维索算术〉、〈卡丹诺的《大术》〉、〈简明摘要〉、〈虚数〉以及〈笛卡儿的《几何学》〉等等。上述这些条目的内容已经相当丰富，足以说明西方代数发展之大概，以及三、四次方程解法之意义。当然，如能补上十三世纪中国的天元术，乃至于十七世纪日本的点窜术与旁书法这些东方代数进路，那么，我们对于代数思维的演化，就可以掌握全面的结构了。
总之，这是一本非数学专家所写的相当大部头的数学普及读物。作者的学术专长在于生物物理与生物化学，不过，他显然非常聪明干练，而且求知若渴，因而可以成功介入一些与数学有关的谜题之研究。此外，由于他拥有远较于其他科学作家更加丰富的写作经验（以每年出版一版书为准），因此，本书叙事多于论证，既凸显了它的文类（科普）定位，也见证了作者的通识素养。至于有关本书作者的有些史识的「一家之言」，我们就不必过度在意了。
作者序
数学之美与效用
数学已经渗入每一个需要费尽心思的科学领域，并且在生物学、物理、化学、经济、社会学跟工程等方面取得无法替代的角色。我们可以用数学说明夕阳色彩分佈的情况，也可以用来说明人类的大脑结构。数学帮助我们打造超音速飞机跟云霄飞车，模拟地球天然资源流转的方式，进入次原子的量子世界探索，甚至让我们得以想像遥远的银河系。数学可以说是改变了我们看待宇宙的方式。
在本书中，我希望运用少量数学公式提供一点数学品味，而鼓励读者发挥想像力。对大多数读者而言，这本书所谈论的应该不只是能满足好奇心却缺乏实用价值的单元，根据美国教育部实际调查的结果显示，能够顺利完成高中数学课程的学生升上大学后不论选读哪一个科系，都能够展现出比较优秀的学习能力。
数学的实用性让我们可以建造太空船，探索所处宇宙的几何结构。数字也可能是我们跟有智能的外星生物间所採用的第一种沟通手段。有些物理学家认为在掌握更高空间维度和拓朴学（topology，探索形状与彼此间相互关系的一门学问）或许有一天当现在这个宇宙处于在极热或极冷的末日之际，我们就能逃出，在所有不同的时空环境下安身立命。
数学史上不乏许多人同步有重大发现的例子，就以这本书里面的莫比乌斯带（The Mobius Strip）为例。德国数学家莫比乌斯（August Mobius）和当时另一位德国数学家利斯廷（Johann Benedict Listing）同时在西元1858年各自发现莫比乌斯带（一个只有单面，神奇的扭曲物体）。这种同步发现的现象就跟英国博学多闻的牛顿（Isaac Newton）与德国数学家莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibniz）各自同时发现微积分的例子相似。这些例子让我不禁怀疑科学领域为何经常有不同人，在相同时间，独立发现同一件事情的情况？其他例子还包括英国博物学家达尔文（Charles Darwin）和华莱士（Alfred Wallace）都在相同时间各别提出演化论的观点，匈牙利数学家鲍耶（Janos Bolyai）和俄罗斯数学家罗巴切夫斯基（Nikolai Lobachevsky）似乎也是在同一时间各别提出双曲几何的想法。
最有可能解释同步重大发现的理由，是因为人类在那些时间点对于即将诞生的发现，已经累积足够的知识，这些想法自然也就瓜熟蒂落地被提出来；可能两位科学家都受到当代其他研究人员同一篇先导研究论文的影响。另一种带有神祕色彩的解释，会从较深层的观点说明这种巧合。奥地利生物学家卡梅纳（Paul Kammerer）曾表示：「或许我们可以说，尽管打散、重组的过程在现实世界繁华的表面下与宇宙无垠的千变万化中不断重复发生，但是物以类聚的现象也会同时在这些过程中产生」；卡梅纳把现实世界的重大事件比喻成海洋波涛的顶端，彼此间看起来各自孤立，毫无瓜葛，不过根据他充满争议性的理论，我们其实只看到上层的波浪，却没注意到海面下可能存在某种同步机制，诡谲地把世上各种重大事件串在一起，才显现出这种一波又一波的风潮。
易法拉（Georges Ifrah）在《数目溯源》（The Universal History of Numbers）一书中谈论马雅数学时，顺便论及了这种同步情况：
我们因此又再一次地见证到，散居在广大时空环境的下互不认识的人...也会有非常类似甚至是一模一样想法。...有些例子的解释；是因为他们接触了另一群不一样的人并受到对方的影响，...真正的有效解释是因为前面提过的深层文化融合：智人这种生物的智力具有共通性，把世界各个角落统整串连的潜力非常可观。
古代的希腊人深深受到数目字的吸引。在这个不停变动世界的艰困年代，会不会只有数目字才是唯一恆常不变的？对于源自一门古希腊学派、毕达哥拉斯理念的追随者而言，数目字是具体不变、和缓永恆的－比所有朋友更值得信赖，却不像阿波罗或宙斯般让人无法亲近。
本书中有很多条目都跟整数有关，聪颖的数学家艾狄胥（Paul Erdos）醉心于数论－有关于整数课题－的研究，他经常能轻易使用整数提出问题，尽管问题的陈述很简单，但是每一题却都是出了名的难解。艾狄胥认为如果有任何数学问题提出后经过一个世纪依然无解的话，那一定是个跟数论有关的问题。
有很多宇宙万物可以用整数表达之，譬如用整数描述菊花花瓣构成的方式、兔子的繁衍、行星的轨道、音乐的合弦，以及週期表元素间的关系。德国代数学家暨数论大师克罗内克（Leopold Kronecker）曾经说过：「只有整数来自于上帝，其他都是人造的。」这句话也暗示整数是一切数学的最主要根源。
自从毕达哥拉斯的年代以来，按照整数比例演奏出的音乐，就相当受到欢迎，更重要的是，在人类理解科学的演进过程中，整数也扮演着相关关键的角色，像是法国化学家拉瓦节（Antoine Lavoisier）就是依照整数比调配组成化合物的元素，显示出原子存在的强烈证据。西元1925年，激态原子放射出一定整数比的光谱波长，也是当时发现原子结构的一项证据。几乎按照整数比呈现的原子量，显示原子核是由整数个数的相似核子（质子跟中子）所组成，与整数比的误差则促成同位素（基本元素的变形体，拥有几乎一样的化学特性，只在中子数的个数上有所差异）的发现。
纯同位素（pure isotope）原子量无法完全以整数比呈现的微小差异，确认了爱因斯坦（Albert Einstein）着名方程式 E ＝ mc2是成立的，也显示出生产原子弹的可能。在原子物理领域随处可见整数的存在。整数关系是组成数学最基本的一股势力－或者引用高斯（Carl Friedrich Gauss）的说法：「数学是所有科学的女王－而数论则是数学中的天后。」
用数学描述宇宙这门学科成长迅速，但是，我们的思考方式跟语言表达能力却还有待好好加强。我们一直发现或创造出新的数学，但是，我们还需要用更先进的思维才能加以理解。譬如最近这几年已经有人针对数学史上几个最着名问题提出证明，可是，他们的论证方式非常冗长又复杂，就连专家们也都没办法确定这些论证是否正确。数学家哈里斯（Thomas Hales）将一篇几何学论文投稿到《数学会志》（Annals of Mathematics）期刊后，整整花了五年的时间等待专家审查意见－专家们最后的结论是找不到这篇论文哪里有错，建议该期刊加以发表，可是必须加上免责声明－他们无法肯定这个证明是对的！另一个例子来自数学家德福林（Keith Devlin），他在《纽约时报》（New York Times）刊出的文章中承认：「数学已经进展到一个相当抽象的程度，甚至就连专家有时都无法理解最新的研究课题到底在讲什么。」如果就连专家都有这样的困扰，想要把这些资讯传递给普罗大众当然更是困难重重，我们只好竭尽所能，尽力而为。虽然数学家们在建构理论、执行运算这些方面很在行，不过他们在融会贯通、解说传达先进观念的能力恐怕还是有所不足。
在此引用物理作为类比。当海森堡（Werner Heisenberg）担心一般人可能永远也无法真正理解原子是怎么一回事时，波耳（Niels Bohr）显得相对乐观。西元1920年代，波耳在一封回给海森堡的信中提到：「我认为这是有可能的，但是要配合我们重新认识『理解』这个词汇真正意涵的过程。」我们现在使用电脑进行研究的真正原因，是因为我们直观能力有限，透过电脑实验实际上已经让数学家们取得更进一步的发现与洞见，这是在电脑普及以前作梦也想不到的结果。电脑及其绘图功能，让数学家们早在有办法正式完成证明之前，就先看到结果，也开启了一项全新的数学研究领域，就连试算表这种简单的电脑工具，也能让现代数学家拥有高斯、欧拉（Leonhard Euler）、牛顿等人渴望的数学功力。随便举个例子，西元1990年代末由贝利（David Bailey）跟佛格森（Helaman Ferguson）两人设计的电脑程式用一条新公式把圆周率π、log 5跟其他两个常数串在一块，如同克拉瑞克（Erica Klarreich）在《科学新知》（Science News）上的报导，只要电脑能把公式先找出来，事后完成证明的工作就简单多了，毕竟在完成数学证明的过程中，简单地知道答案这项工作，通常也是最难以跨越的障碍。
我们有时候会用数学理论预测某些要经过好几年后才能确认的现象，譬如以物理学家麦斯威尔（James Clerk Maxwell）命名的麦斯威尔方程式（Maxwell equation）预测了无线电波的存在；爱因斯坦场论方程式（fields equation）指出重力可以折弯光线及宇宙扩张论。物理学家狄拉克（Paul Dirac）曾说过，今天研究的数学课题可以让我们偷偷瞄见未来的物理理论，事实上，狄拉克的方程式预测了之后才陆陆续续发现的反物质（antimatter）存在。数学家罗巴切夫斯基也说过类似的话：「就算再抽象的数学分支，也总有一天会运用在诠释现实世界的物理现象上。」
在这本书里，读者们将会碰上许多被认为掌握宇宙之钥、相当有趣的几何学家。伽利略（Galileo Galilei）曾说过：「大自然的鬼斧神工不外乎是数学符号写成的篇章。」克卜勒（Johannes Kepler）曾使用正十二面体之类的柏拉图正多面体，建构太阳系的模型。西元1960年代的物理学家维格纳（Eugene Wigner）对于「数学在自然科学中具有超乎常理的效用」感到印象深刻；像是E8这种大李群（large Lie Group）－请参照条目：探索特殊E8李群的旅程（西元2007年）－则可能在某一天协助我们创造一统物理学的终极理论。西元2007年，瑞典裔的美国宇宙学家泰格马克（Max Tegmark）发表一篇相当受到欢迎、谈论数理宇宙假说的科学文章，指出我们看到的物理实体其实都是数学结构；也就是说，我们不只可以用数学描述所处的宇宙，甚至可以说－宇宙本身就是数学。
图书试读
蝉是在大约一百八十万年前、当覆盖北美大陆的冰河消退后，于更新世时期，演化而成的有翅昆虫，其中有一种叫做週期蝉（Magicicada）的品种，会在地底度过生命中绝大多数的时间，靠吸吮树根的汁液为生，随后会以很快的速度经历成长、交配及死亡的过程。这种生物有一种令人吃惊的特性：牠们变成成虫的时间，通常会跟13或17这样的质数年份同步（质数就是11、13或17这类只能被1跟本身两个数字整除的整数）。当在地底度过13或17年后，这些对时间週期有感应的週期蝉，会在那年春天一起挖掘一条通往地面的通道，此时一英亩的面积里大概会有一百五十万只以上的成蝉。这些週期蝉就是採取以量制胜的方式，面对鸟类这样的掠食天敌，只要鸟类没办法把牠们一次全部吃光，剩下的週期蝉就能存活下去。
有些学者推测这种对应质数的生命週期，是为了避免被寿命较短的掠食者及寄生虫吞噬、增加成蝉存活率的演化成果，就好比以12年的生命週期为例，则所有寿命介于2、3、4、6年的掠食者都能更轻易地把蝉吞进五脏庙里。德国多特蒙德马克斯普朗克研究所分子生理学家马库斯（Mario Markus）及其研究团队，发现这种质数化的生命週期，可以从掠食者与猎物间互动演化的数学模型中自然地得到解释；他们先随机设定生命週期年份不等的成蝉构成母体，经过电脑模拟一段时间的演变后，几乎所有实验结果，都会导出这种稳定质数化生命週期的现象。
这个研究还处于初步发展阶段，当然还有很多可被质疑之处，譬如说，为什么恰好是13跟17这两个质数？到底又是哪些掠食者跟寄生虫促成蝉演化出这样的生命週期？而另外一个仍旧无解的谜题则是—在全球1,500多种分类中，为什么只有週期蝉这样少数的品种，才具备质数化生命週期的特性？
约西元前600年／毕氏定理与三角形
波利亚（George Pólya，西元1887年~西元1985年）
有些小朋友可能是在西元1939年米高梅（MGM）电影《绿野仙踪》（The Wizard of Oz）中，当稻草人终于有了自己的大脑并开口覆诵毕氏定理时，头一次听到这个赫赫有名的定理。唉！可是剧中的稻草人却将这么有名的定理给背错了！
毕氏定理指的是在每一个直角三角形中，斜边长c的平方必定等于其余较短两边a跟b的平方和—算式写成a2 ＋ b2 ＝ c2。这是一个被用最多方法证明过的定理，在卢米斯（Elisha Scott Loomis）那本《毕氏命题》（Pythagorean Proposition）中就举例了367种不同的证明方式。
毕氏三角形（Pythagorean Triangle, PT）指的是三边均为整数的直角三角形。「3-4-5」毕氏三角形—即两短边边长分别是3跟4，斜边长为5—是唯一一个由连续三个整数构成三边的毕氏三角形，也是唯一一个三边长总和数（12）恰为面积数（6）两倍的直角三角形。排在「3-4-5」之后、下一个由连续数字构成边长的毕氏三角形是「21-20-29」；以此类推到第10个这样的三角形可就大得多了：「27304197-27304196-38613965」。
法国数学家费马（Pierre de Fermat）在西元1643年问了一个问题：请找出一个不论斜边c或者是两短边总和(a ＋ b)都是平方数的毕氏三角形，令人吃惊的是，符合这个条件的最小三个数字分别是：4,565,486,027,761、1,061,652,293,520以及4,687,298,610,289。显然下一个符合上述条件的毕氏三角形将大到若以呎为单位的话，其边长将超过太阳与地球之间的距离！
虽然我们都把毕氏定理的构成归功给毕达哥拉斯，不过，却有证据显示在更早几世纪的印度数学家波达亚纳（Baudhayana）约在西元前800年左右就在其所着《波达亚纳绳法经》（Baudhayana Sulba Sutra）上发展这个定理，甚至历史更久远的巴比伦人也早就知道毕氏三角形的特性了。
约西元前445年／季诺悖论
伊利亚的季诺（Zeno of Elea，约西元前490年~约西元前430年）
哲学家跟数学家花了超过一千年的时间想要了解季诺悖论（Zeno’s Paradoxes）—关于某些运动若非应该办不到就根本是个幻觉的一组谜题。季诺是居住在南义大利、早于苏格拉底的一位希腊哲学家，最有名的季诺悖论谈及希腊英雄阿基里斯（Achilles）与一只迟缓的乌龟赛跑时，只要乌龟在起点拥有些许领先优势的话，阿基里斯就绝不可能在赛跑途中超越乌龟。事实上，这个悖论还可以蕴涵我们绝对无法离开所处房间—当朝房门走去要离开房间时，我们必须先走完这段距离中的一半，接下来得走完剩余那半段距离中的再一半，再接着一直重复把剩余距离减半的动作；结果，我们将永远不可能在有限的跨步中抵达房门！在数学上，我们可以把这种无穷序列的动作之极限透过（1/2＋1/4＋1/8…）的无穷级数总和来表现。一个近代的想法，是坚持这个无穷级数的总和为1，以解决季诺悖论。只要每一跨步都耗去前一步所需的时间之一半，则完成这一连串无止境跨步所花费的时间，就跟现实生活中走出房间所需耗费的时间一样。
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