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　　最受日本高校生喜爱的青春物语系列最新作!!

　　「数学是不完全的吗？」
　　不断地轮转，不断地更迭，这个季节。
　　看起来虽然很像，但却不是单纯的回圈。
　　而是一边重复一边往上延伸的──螺旋……
　　我和三个少女，逼近「不完全性定理」的真实，
　　如果是蒂蒂的话，就不会是由梨……
　　魅惑而动人的数学物语。

　　在数学当中，虽然单纯却不明显的定理或关系，
　　其数量确实多到叫人吃惊。
　　……试想，在某种意义上，数学的这个性质不正好反映了
　　──世界的秩序与规则性。
　　这个世界看起来比只作表面观察的时候，
　　还来得更伟大，而这种伟大可说是无法比拟的。~哥德尔~

　　随着季节更迭，每当春天造访时，我总会不断地想起数学的种种。

　　在纸上记列着数学符号，试图描绘出宇宙。
　　在纸上书写下数学公式，试图引导出真理。

　　随着季节更迭，每当春天造访时，我总会不断地想起那些女孩们。
　　彼此切磋那些名为数学的词汇，
　　在名为青春的时光里，与我所邂逅的豆蔻年华的少女们──
　　我和三位青春少女的动人物语。
　　我之所以得以展翅飞翔，全源于一个渺小的契机……

　　~谨此献给哥德尔，以及世界上所有的数学家们~

　　「数学是不完全的吗？」逼近「不完全性定理」的真实，魅惑而动人的数学物语。

　　本书中出现有各式各样的数学问题，从简单到小学生都懂得的部分，至困难到会严重动摇整个数学界的世纪难题都有。

　　除了使用语言及图形来表现故事主人翁的思考脉络之外，另也会使用到数学公式来做表达。

　　每当遇有无法理解数学公式涵义的时候，请不妨先跳过卡住的数学公式，暂且随着故事的情节发展往下走。蒂蒂和由梨会陪伴着你一起往前走。

　　而对数学有自信的读者们，在享受故事情节之余，也不要忘了动动脑挑战看看书中的数学公式哦！如此一来，你将可以体味到隐藏在故事背后的其他趣味。

　　或许，聪敏的你能超越那些数学天才们，挖掘出的不为人知的祕密噢！

作者简介

结城浩

　　1963年生。执笔写作有关程式语言、设计模式、密码、数学等等领域的入门书。最新着作是「数学女孩系列」。是一个最喜欢巴哈的「赋格的艺术」作品的新教基督徒。着有《数学女孩──费马最后定理》等书。

审订者简介

王银国

　　台大物理学博士，现任台师大通识教育中心副教授，开授「逻辑思考与应用、科技与人文的对话」等通识课程。曾监制纪录片《翻滚吧！男孩》。目前筹拍《作弊》、《天魔前传》、《爱丽丝的婚礼》、《阮老爸是师公》、《天魔Ⅰ,Ⅱ》、《理想国》、《命》等电影。

洪万生

　　纽约城市大学（CUNY）科学史博士，国立台湾师范大学数学系学士、硕士。国立台湾师范大学数学系教授兼主任（2007/8/1-2009/7/31）、台湾数学教育学会理事长（2007-2009）、国际科学史学院通讯会员、Historia Mathematica（国际数学史杂志）编辑委员、《HPM通讯》发行人、台湾数学（虚拟）博物馆创始人之一。

译者简介

钟霓

　　中国文化大学新闻研究所硕士。曾经是个写字的人，现为兼职翻译，下一个身分尚待确认。钟情于旅行、阅读、写字，并耽于在现实与梦想之间摇摆不定。译有《数学女孩──费马最后定理》、《热情》等书。

给读者　i
序章　ix

第1章　镜的独白 1

1.1　诚实的人是谁？　1
　1.1.1　魔镜啊魔镜　1
　1.1.2　诚实的人是谁？ 3
　1.1.3　相同的答案　6
　1.1.4　名为沉默的答案　8
1.2　逻辑问题　9
　1.2.1　爱丽斯与伯里斯与克理斯　9
　1.2.2　利用表格来协助思考　10
　1.2.3　出题者的心情　14
1.3　帽子是什么颜色的？　15
1.3.1　我不知道　15
1.3.2　出题者的确认　18
1.3.3　镜的独白　19

第2章　皮亚诺公理　23

2.1　蒂蒂　23
　2.1.1　皮亚诺公理　23
　2.1.2　无穷的请託　27
　2.1.3　皮亚诺公理 PA1　28
　2.1.4　皮亚诺公理 PA2　29
　2.1.5　培育成巨无霸　32
　2.1.6　皮亚诺公理 PA3　34
　2.1.7　微小？　35
2.1.8　皮亚诺公理 PA4　36
2.2　米尔迦　39
　2.2.1　皮亚诺公理PA5　42
　2.2.2　数学归纳法　43
2.3　在无尽的迈步中　49
2.3.1　是有限？是无限？　49
2.3.2　是动态的？是静态的？　50
2.4　由梨　51
2.4.1　加法运算是？　51
2.4.2　公理是？　53

第3章　伽利略的迟疑　57

3.1　集合　57
3.1.1　美人的集合　57
3.1.2　外延的定义　58
3.1.3　餐桌　60
3.1.4　空集　　60
3.1.5　集合的集合　62
3.1.6　交集　64
3.1.7　联集　66
3.1.8　子集　67
3.1.9　思考集合的理由　69
3.2　逻辑　70
3.2.1　内涵的定义　70
3.2.2　罗素悖论　72
3.2.3　集合运算与逻辑运算　74
3.3　无限　76
3.3.1　对射的鸟笼　76
3.3.2　伽利略的迟疑　80
3.4　表现　83
3.4.1　归途　83
3.4.2　书店　84
3.5　沉默　85
3.5.1　美人的集合　85

第4章　无止境地接近的目标地点　87

4.1　自宅　87
　4.1.1　由梨　87
　4.1.2　男孩的「证明」　88
　4.1.3　由梨的「证明」　89
　4.1.4　由梨的「证明」　91
　4.1.5　我的说明　92
4.2　超市　95
　4.2.1　目标地点　95
4.3　音乐教室　99
　4.3.1　文字的导入　99
　4.3.2　极限　101
　4.3.3　音乐是由声音所决定的　103
　4.3.4　极限的运算　105
4.4　回家的路上　114
　4.4.1　未来出路　114

第5章　莱布尼兹的梦　117

5.1　如果是由梨的话，就不会是蒂蒂　117
　5.1.1　「若…则…」的意义　117
　5.1.2　莱布尼兹之梦　120
　5.1.3　理性的极限？　122
5.2　如果是蒂蒂的话，就不会是由梨　123
5.2.1　升学考试　123
5.2.2　课程　125
5.3　如果是米尔迦的话，就是米尔迦　127
　5.3.1　教室　127
　5.3.2　形式体系　128
　5.3.3　逻辑式　130
　5.3.4　「若…则…」的形式？　132
　5.3.5　公设　135
　5.3.6　证明论　136
　5.3.7　推论规则　138
　5.3.8　证明与定理　140
        5.4　既非我，也是我　142
　5.4.1　自宅　142
　5.4.2　形式的形式　143
　5.4.3　意义的意义　145
　5.4.4　如果是「若…则…」的话？　146
　5.4.5　邀约　151

第6章　Epsilon-Delta极限分析论证法　153

6.1　数列的极限　153
　6.1.1　从图书室开始　153
　6.1.2　前往阶梯教室　154
　6.1.3　理解复杂数式的方法　        158
　6.1.4　解读「绝对值」　160
　6.1.5　解读「若…则…」　163
　6.1.6　解读「全部」与「某些」　165
6.2　函数的极限　168
　6.2.1　 　168
　6.2.2　 的意义　172
6.3　实力测验　173
　6.3.1　校内排名　173
　6.3.2　寂静之音、沉默之声　174
6.4　连续的定义　175
　6.4.1　图书室　175
　6.4.2　所有的点都不连续　178
　6.4.3　只在一个点处连续的函数？　180
　6.4.4　从无穷的迷宫脱出　181
　6.4.5　只在一个点处连续的函数！　182
　6.4.6　当说的词语　186

第7章　对角线论证法　191

7.1　数列的数列　191
　7.1.1　可数集　191
　7.1.2　对角线论证法　195
　7.1.3　挑战：实数的编号排序　203
　7.1.4　挑战：有理数与对角线论证法　206
7.2　形式体系的形式体系                  　209
　7.2.1　相容性与完备性　209
　7.2.2　哥德尔不完备定理　216
　7.2.3　算术　218
　7.2.4　形式体系的形式体系　219
　7.2.5　词汇的整理　222
　7.2.6　数项　223
　7.2.7　对角化　224
　7.2.8　数学的定理　227
7.3　追寻之物的追寻之物　227
7.3.1　游乐园　227

第8章　由两种孤独当中所诞生的东西　233

8.1　重叠的序对　233
　8.1.1　蒂蒂所察觉到的东西　233
　8.1.2　我所察觉到的事情　239
　8.1.3　所有人都忽略掉的东西　240
8.2　自宅　241
8.2.1　自己的数学　241
8.2.2　表现的压缩　241
　8.2.3　加法运算的定义　245
　8.2.4　教师的存在　247
8.3　等价关系　248
8.3.1　毕业典礼　248
8.3.2　由序对所产生出来的东西　250
8.3.3　从自然数到整数　251
8.3.4　图表　252
　8.3.5　等价关系　257
　8.3.6　商集　260
8.4　餐厅　264
8.4.1　两个人的晚餐　264
8.4.2　成对的羽翼　265
8.4.3　无力测验　266

第9章　疑惑的螺旋梯　269

9.1　 π 弧度　            　269
9.1.1　板着脸的由梨　269
9.1.2　三角函数　271
9.1.3　sin45。　274
9.1.4　sin60。　278
9.1.5　正弦曲线　282
9.2　 π弧度　287
9.2.1    弧度　287
9.2.2　教学　289
9.3　 π弧度　290
9.3.1　停课　290
9.3.2　剩余　291
9.3.3 　灯塔　293
9.3.4　海边　294
9.3.5 　消毒　297

第10章　哥德尔不完全性定理　299

10.1　双仓图书馆　299
10.1.1　入口处　299
10.1.2　氯之间　300
10.2　希尔柏特计画　302
10.2.1　希尔柏特　302
10.2.2　测验　304
10.3　哥德尔不完全性定理　308
10.3.1　哥德尔　308
10.3.2　讨论　309
10.3.3 　证明的纲要　311
10.4 　「春」形式系统P　312
10.4.1　基本符号　312
10.4.2　数项与符号　313
10.4.3　逻辑式　314
10.4.4　公设　315
10.4.5　推论规则　317
10.5　午餐时间　318
10.5.1　元数学　318
10.5.2　用数学做数学　319
10.5.3　甦醒　319
10.6　「夏」哥德尔数　321
10.6.1　基本符号的哥德尔数　 321
10.6.2　数列的哥德尔数　322
10.7　「秋」原始递归　324
10.7.1　原始递归函数　324
10.7.2　原始递归函数（谓语）的性质　326
10.7.3　可表达性定理　328
10.8　「冬」到达证明可能性的漫漫旅程　　330
10.8.1　整装待发　330
10.8.2　整数论　331
10.8.3　数列　333
10.8.4　变数．符号．逻辑式　335
10.8.5　公理．定理．形式证明　343
10.9　「新春」不能判定的哥德尔句　347
10.9.1　「季节」的确认　347
10.9.2　「种子」由意义的世界进入形式的世界　348
10.9.3　「新芽」p的定义　351
10.9.4　「枝」r的定义　351
10.9.5　「叶」从A1开始的流程　352
10.9.6　「花蕾」从B1开始的流程　353
10.9.7　能判定的语句的定义　353
10.9.8　「梅」 IsProvable(g)的证明　319
10.9.9　「桃」 IsProvable(not(g))的证明    　355
10.9.10　「樱」形式体系P为不完全的证明　357
10.10　不完全性定理的意义　359
10.10.1　「我是无法证明的」　359
10.10.2　第二不完全性定理的证明概略　363
10.10.3　由不完全性定理之中萌生的东西　365
10.10.4　数学的极限？　366
10.11　乘载着梦想　368
10.11.1　并非是结束　368
10.11.2　我的东西　369

尾声　373
后记　377
参考文献与阅读指南　381
索引　387

序章

连同感谢与友情，
将从大海收到的礼物，一起还给大海。
──《来自大海的赠礼》〔6〕

涌来，消去──潮来潮往的海浪。
日复一日，未曾停歇──潮来潮往的海浪。

　潮来潮往的律动，意识朝着向自己迈进。
　潮来潮往的律动，意识朝着向过去回溯。

在那段时光里，无论是谁都准备好了将死命地拍打着翅膀迎向浩瀚的天空。
而我却蹲坐在一个不起眼的鸟笼之中。

　应当说话的自己。应当沉默的自己。
　应当说起的过去。应当沉默的过去。

随着季节更迭，每当春天造访时，我总会不断地想起数学的种种。

　在纸上堆砌符号，试图描绘宇宙。
　在纸上写下数式，试图导出真理。

随着季节更迭，每当春天造访时，我总会不断地想起那些女孩们。

　彼此切磋那些名为数学的词汇，
　在名为青春的时光里，与我邂逅，豆蔻年华的少女们。

我之所以得以展翅飞翔，全源于一个渺小的契机──
不知道你是否愿意聆听这样一个，有关于我和三位青春少女的动人物语?!

第1章
镜的独白

「魔镜啊，魔镜！谁是这世界上最美的人？」
「尊贵的皇后啊！这世界上最美的人，当然就是妳啊！」
听到这个回答，皇后十分满意。因为她知道魔镜只说实话。
──《白雪公主》

1.1 诚实的人是谁？

1.1.1 魔镜啊，魔镜！

「哥哥，你知道白雪公主的故事吧!?」由梨问我。

「这还用问吗！……就是寻找掉了玻璃鞋公主的故事啊！」我回答道。

「那个是灰姑娘！不是白雪公主啦！……真是的。」

「是这样吗？」

看到我一脸装傻的表情，由梨嚷着开什么玩笑啦！说着说着便笑了起来。


这里是我的房间。现在是隆冬一月。很快地，岁末年初的新年假期也要结束了。虽然假期一结束马上就要实力测验，但整个人就是懒懒的，怎么都提不起劲来。
由梨今年国中二年级。而她总是叫高中二年级的我「哥哥」。尽管由梨总是哥哥 「哥哥」、「哥哥」地叫个不停，但由梨和我并不是亲兄妹。我的母亲和由梨的母亲是亲姊妹。换句话说，我和由梨是表兄妹。由梨从小就叫我「哥哥」，叫习惯了也改不过来，所以到现在还是继续叫我哥哥。

我的房间里摆满了许多由梨喜欢看的书。也因此，每逢假日，住在附近的由梨一定会到我家玩。每当我用功的时候，她便在一旁看书消磨时间。


由梨开口说道。

「白雪公主那位恶毒的后母，只要一面向魔镜，就会像这样颂唸呢！」

「魔镜啊！魔镜！谁是这世界上最美丽的人？」

「嗯！『作为美人判定机的镜子』吗?!」我回答由梨。
「皇后之所以能够说出这一番话，正代表了她认为自己很美丽，不是吗？由梨我啊！每次只要一照镜子，就会忍不住唉声叹气。我不仅发色很糟，发尾还分岔严重呢！」

由梨说着说着，开始用手指把玩着自己栗褐色的马尾。

我重新审视着由梨整个人。虽然由梨对自己的评价甚苛，但是我却不这么认为。望着脸上表情不断变化的由梨，我的眼神无法移开。伶牙俐齿的由梨给我的印象总像日本搞笑团体爆米花（Pop corn）般那样地能言善道。脑筋动得快、点子多，能举一反三，和由梨说话一点都不会感到无聊。

「啊～啊！好想染头发喔！好想变漂亮喔！」

「不行的，不行！由梨！」我开口阻止由梨道。

听我这么一说，由梨停下卷动发尾的手，朝我望来。

「不行的，不行！指的是什么事啊？」

「我说的是──由梨现在这样子很好，不用做任何改变就、嗯、非常好了……」
「……非常好了？」

「所以就是……」

「孩子们！要不要来吃贝果啊──？」从厨房里传来妈妈的叫喊声。
「我要──吃！」

刚刚还一本正经的由梨，脸上的表情立刻有了转变，大声地回答。
站起身来，伸手强拉我起身走的由梨，非常适合穿窄管牛仔裤，明明体型那么窈窕纤细，却有一身的蛮力。

「喂！喂！哥哥，你动作快一点嘛！快来去吃点心啦！」

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