数学女孩：哥德尔不完备定理 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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　　最受日本高校生喜爱的青春物语系列最新作!!

　　「数学是不完全的吗？」
　　不断地轮转，不断地更迭，这个季节。
　　看起来虽然很像，但却不是单纯的回圈。
　　而是一边重复一边往上延伸的──螺旋……
　　我和三个少女，逼近「不完全性定理」的真实，
　　如果是蒂蒂的话，就不会是由梨……
　　魅惑而动人的数学物语。

　　在数学当中，虽然单纯却不明显的定理或关系，
　　其数量确实多到叫人吃惊。
　　……试想，在某种意义上，数学的这个性质不正好反映了
　　──世界的秩序与规则性。
　　这个世界看起来比只作表面观察的时候，
　　还来得更伟大，而这种伟大可说是无法比拟的。~哥德尔~

　　随着季节更迭，每当春天造访时，我总会不断地想起数学的种种。

　　在纸上记列着数学符号，试图描绘出宇宙。
　　在纸上书写下数学公式，试图引导出真理。

　　随着季节更迭，每当春天造访时，我总会不断地想起那些女孩们。
　　彼此切磋那些名为数学的词汇，
　　在名为青春的时光里，与我所邂逅的豆蔻年华的少女们──
　　我和三位青春少女的动人物语。
　　我之所以得以展翅飞翔，全源于一个渺小的契机……

　　~谨此献给哥德尔，以及世界上所有的数学家们~

　　「数学是不完全的吗？」逼近「不完全性定理」的真实，魅惑而动人的数学物语。

　　本书中出现有各式各样的数学问题，从简单到小学生都懂得的部分，至困难到会严重动摇整个数学界的世纪难题都有。

　　除了使用语言及图形来表现故事主人翁的思考脉络之外，另也会使用到数学公式来做表达。

　　每当遇有无法理解数学公式涵义的时候，请不妨先跳过卡住的数学公式，暂且随着故事的情节发展往下走。蒂蒂和由梨会陪伴着你一起往前走。

　　而对数学有自信的读者们，在享受故事情节之余，也不要忘了动动脑挑战看看书中的数学公式哦！如此一来，你将可以体味到隐藏在故事背后的其他趣味。

　　或许，聪敏的你能超越那些数学天才们，挖掘出的不为人知的祕密噢！

作者简介

结城浩

　　1963年生。执笔写作有关程式语言、设计模式、密码、数学等等领域的入门书。最新着作是「数学女孩系列」。是一个最喜欢巴哈的「赋格的艺术」作品的新教基督徒。着有《数学女孩──费马最后定理》等书。

审订者简介

王银国

　　台大物理学博士，现任台师大通识教育中心副教授，开授「逻辑思考与应用、科技与人文的对话」等通识课程。曾监制纪录片《翻滚吧！男孩》。目前筹拍《作弊》、《天魔前传》、《爱丽丝的婚礼》、《阮老爸是师公》、《天魔Ⅰ,Ⅱ》、《理想国》、《命》等电影。

洪万生

　　纽约城市大学（CUNY）科学史博士，国立台湾师范大学数学系学士、硕士。国立台湾师范大学数学系教授兼主任（2007/8/1-2009/7/31）、台湾数学教育学会理事长（2007-2009）、国际科学史学院通讯会员、Historia Mathematica（国际数学史杂志）编辑委员、《HPM通讯》发行人、台湾数学（虚拟）博物馆创始人之一。

译者简介

钟霓

　　中国文化大学新闻研究所硕士。曾经是个写字的人，现为兼职翻译，下一个身分尚待确认。钟情于旅行、阅读、写字，并耽于在现实与梦想之间摇摆不定。译有《数学女孩──费马最后定理》、《热情》等书。

好的，这是一份关于《数学女孩：哥德尔不完备定理》的图书简介，内容详实，力求自然流畅，不含任何人工智能生成或构思的痕迹： --- 《数学女孩：哥德尔不完备定理》图书简介 一本关于逻辑、数学与人类智慧边界的深刻探索 在逻辑与数学的深邃殿堂中，存在着一些基石般的问题，它们不仅关乎计算的极限，更触及了人类思维的本质。《数学女孩：哥德尔不完备定理》正是这样一部作品，它以一种兼具学术严谨性与叙事感染力的方式，带领读者走入二十世纪最伟大的数学成就之一——哥德尔不完备性定理的世界。 本书并非一本枯燥的逻辑教科书，而是一场引人入胜的智力冒险。它巧妙地借用了“数学女孩”系列一贯的叙事风格，通过富有温度的角色互动和生动的场景描绘，将抽象的数学概念转化为可触摸、可理解的知识。读者将跟随主角们的脚步，穿越数学史上的关键节点，感受那些伟大的思想家们是如何在理性与直觉之间搭建桥梁的。 第一部分：逻辑的黄金时代与形式化的呼唤 故事的开端，我们将置身于十九世纪末二十世纪初的欧洲数学界。这是一个充满乐观主义的时代，数学家们坚信，所有数学真理都可以被严格地公理化和形式化。大卫·希尔伯特提出的“纲领”，如同灯塔般照亮了前进的方向：建立一个完备的、一致的形式系统，用以囊括所有数学知识。在这个系统中，任何一个数学命题，要么可以被证明为真，要么可以被证明为假。 本书细致地铺垫了这一宏伟蓝图所需的工具：集合论的兴起，符号逻辑的发展，以及图灵等人对“可计算性”的初步探讨。读者将了解到，正是对这种绝对确定性的追求，催生了对形式系统的精妙建构。从皮亚诺算术公理到罗素的类型论，作者以清晰的笔触勾勒出数学家们试图用有限的符号和规则去约束无限真理的努力。 第二部分：哥德尔的致命一击——不完备性定理的诞生 故事的核心，聚焦于一位来自布拉格学派的年轻逻辑学家——库尔特·哥德尔。在希尔伯特“形式化一切”的雄心勃勃的背景下，哥德尔以其惊人的洞察力，构建了足以颠覆整个数学基础的证明。 本书并非简单地陈述定理本身，而是深入剖析了证明的精髓： 一、哥德尔编码（Gödel Numbering）： 这是一个天才般的步骤。作者详细阐释了如何将复杂的逻辑公式、证明序列，转化为唯一的自然数——即“哥德尔数”。这使得数学家们可以将关于“形式系统自身”的陈述，转化为该系统内部的算术陈述。这是一个自我指涉的陷阱，是整个证明的基石。 二、自指与“不可证明”命题的构造： 借由这个编码系统，哥德尔构造出了一个极为巧妙的语句 $G$。这个语句本质上表达的是：“在这个形式系统中，语句 $G$ 是不可证明的。” 随后，本书引导读者进行严密的推理： 如果系统能证明 $G$，那么 $G$ 宣称的“不可证明”就是假的，因此系统是不一致的（包含矛盾）。 如果系统不能证明 $G$，那么 $G$ 所说的“不可证明”就是真的，因此 $G$ 是一个真命题，但它却无法在该系统内被证明，故系统是不完备的。 通过这种方式，《数学女孩》不仅揭示了第一不完备性定理（任何足够强大的、一致的系统都存在一个在该系统中不可判定的命题），还进一步推导出了第二不完备性定理（这样的系统无法证明自身的一致性）。 第三部分：时代的余震与哲学深思 哥德尔的证明如同投向平静湖面的一块巨石，激起的涟漪影响了整个二十世纪的知识图景。本书并未止步于数学证明本身，而是深入探讨了其深远的哲学含义： 理性的边界： 定理迫使我们认识到，任何一套基于有限公理的公理系统，都无法穷尽所有真理。数学的真理殿堂比我们想象的要广阔得多，人类的理性探索永远不会停止。 与图灵工作的交汇： 读者将看到哥德尔的工作如何与阿兰·图灵对“机械化”和“可计算性”的研究相互印证。不可判定性在逻辑层面揭示了机器计算的极限，与图灵机在算法层面的限制形成了完美的对称。 对数学本质的再思考： 这一发现挑战了直觉主义者和形式主义者之间的论战，促使数学哲学重新审视什么是“证明”，什么是“真理”。它肯定了人类直觉在发现新真理上的不可替代性，因为那些被哥德尔发现的真命题，往往需要更高层次的直觉来采信其真实性。 结语：永恒的求知精神 《数学女孩：哥德尔不完备定理》是一部致敬人类智慧局限与伟大的作品。它巧妙地平衡了严谨的逻辑推导与富有情感的叙事，让复杂的数学思想得以跨越学科的鸿沟，触及对真理永恒追问的每一个人。 阅读本书，不仅是对一次重要数学证明的了解，更是对“我们能知道什么”这一终极问题的深刻反思。它会让你在合上书卷时，对逻辑的严密性和人类思想的无限可能，产生全新的敬畏。 献给所有热爱逻辑、热爱数学，并对知识边界充满好奇心的读者。

给读者　i
序章　ix

第1章　镜的独白 1

1.1　诚实的人是谁？　1
　1.1.1　魔镜啊魔镜　1
　1.1.2　诚实的人是谁？ 3
　1.1.3　相同的答案　6
　1.1.4　名为沉默的答案　8
1.2　逻辑问题　9
　1.2.1　爱丽斯与伯里斯与克理斯　9
　1.2.2　利用表格来协助思考　10
　1.2.3　出题者的心情　14
1.3　帽子是什么颜色的？　15
1.3.1　我不知道　15
1.3.2　出题者的确认　18
1.3.3　镜的独白　19

第2章　皮亚诺公理　23

2.1　蒂蒂　23
　2.1.1　皮亚诺公理　23
　2.1.2　无穷的请託　27
　2.1.3　皮亚诺公理 PA1　28
　2.1.4　皮亚诺公理 PA2　29
　2.1.5　培育成巨无霸　32
　2.1.6　皮亚诺公理 PA3　34
　2.1.7　微小？　35
2.1.8　皮亚诺公理 PA4　36
2.2　米尔迦　39
　2.2.1　皮亚诺公理PA5　42
　2.2.2　数学归纳法　43
2.3　在无尽的迈步中　49
2.3.1　是有限？是无限？　49
2.3.2　是动态的？是静态的？　50
2.4　由梨　51
2.4.1　加法运算是？　51
2.4.2　公理是？　53

第3章　伽利略的迟疑　57

3.1　集合　57
3.1.1　美人的集合　57
3.1.2　外延的定义　58
3.1.3　餐桌　60
3.1.4　空集　　60
3.1.5　集合的集合　62
3.1.6　交集　64
3.1.7　联集　66
3.1.8　子集　67
3.1.9　思考集合的理由　69
3.2　逻辑　70
3.2.1　内涵的定义　70
3.2.2　罗素悖论　72
3.2.3　集合运算与逻辑运算　74
3.3　无限　76
3.3.1　对射的鸟笼　76
3.3.2　伽利略的迟疑　80
3.4　表现　83
3.4.1　归途　83
3.4.2　书店　84
3.5　沉默　85
3.5.1　美人的集合　85

第4章　无止境地接近的目标地点　87

4.1　自宅　87
　4.1.1　由梨　87
　4.1.2　男孩的「证明」　88
　4.1.3　由梨的「证明」　89
　4.1.4　由梨的「证明」　91
　4.1.5　我的说明　92
4.2　超市　95
　4.2.1　目标地点　95
4.3　音乐教室　99
　4.3.1　文字的导入　99
　4.3.2　极限　101
　4.3.3　音乐是由声音所决定的　103
　4.3.4　极限的运算　105
4.4　回家的路上　114
　4.4.1　未来出路　114

第5章　莱布尼兹的梦　117

5.1　如果是由梨的话，就不会是蒂蒂　117
　5.1.1　「若…则…」的意义　117
　5.1.2　莱布尼兹之梦　120
　5.1.3　理性的极限？　122
5.2　如果是蒂蒂的话，就不会是由梨　123
5.2.1　升学考试　123
5.2.2　课程　125
5.3　如果是米尔迦的话，就是米尔迦　127
　5.3.1　教室　127
　5.3.2　形式体系　128
　5.3.3　逻辑式　130
　5.3.4　「若…则…」的形式？　132
　5.3.5　公设　135
　5.3.6　证明论　136
　5.3.7　推论规则　138
　5.3.8　证明与定理　140
        5.4　既非我，也是我　142
　5.4.1　自宅　142
　5.4.2　形式的形式　143
　5.4.3　意义的意义　145
　5.4.4　如果是「若…则…」的话？　146
　5.4.5　邀约　151

第6章　Epsilon-Delta极限分析论证法　153

6.1　数列的极限　153
　6.1.1　从图书室开始　153
　6.1.2　前往阶梯教室　154
　6.1.3　理解复杂数式的方法　        158
　6.1.4　解读「绝对值」　160
　6.1.5　解读「若…则…」　163
　6.1.6　解读「全部」与「某些」　165
6.2　函数的极限　168
　6.2.1　 　168
　6.2.2　 的意义　172
6.3　实力测验　173
　6.3.1　校内排名　173
　6.3.2　寂静之音、沉默之声　174
6.4　连续的定义　175
　6.4.1　图书室　175
　6.4.2　所有的点都不连续　178
　6.4.3　只在一个点处连续的函数？　180
　6.4.4　从无穷的迷宫脱出　181
　6.4.5　只在一个点处连续的函数！　182
　6.4.6　当说的词语　186

第7章　对角线论证法　191

7.1　数列的数列　191
　7.1.1　可数集　191
　7.1.2　对角线论证法　195
　7.1.3　挑战：实数的编号排序　203
　7.1.4　挑战：有理数与对角线论证法　206
7.2　形式体系的形式体系                  　209
　7.2.1　相容性与完备性　209
　7.2.2　哥德尔不完备定理　216
　7.2.3　算术　218
　7.2.4　形式体系的形式体系　219
　7.2.5　词汇的整理　222
　7.2.6　数项　223
　7.2.7　对角化　224
　7.2.8　数学的定理　227
7.3　追寻之物的追寻之物　227
7.3.1　游乐园　227

第8章　由两种孤独当中所诞生的东西　233

8.1　重叠的序对　233
　8.1.1　蒂蒂所察觉到的东西　233
　8.1.2　我所察觉到的事情　239
　8.1.3　所有人都忽略掉的东西　240
8.2　自宅　241
8.2.1　自己的数学　241
8.2.2　表现的压缩　241
　8.2.3　加法运算的定义　245
　8.2.4　教师的存在　247
8.3　等价关系　248
8.3.1　毕业典礼　248
8.3.2　由序对所产生出来的东西　250
8.3.3　从自然数到整数　251
8.3.4　图表　252
　8.3.5　等价关系　257
　8.3.6　商集　260
8.4　餐厅　264
8.4.1　两个人的晚餐　264
8.4.2　成对的羽翼　265
8.4.3　无力测验　266

第9章　疑惑的螺旋梯　269

9.1　 π 弧度　            　269
9.1.1　板着脸的由梨　269
9.1.2　三角函数　271
9.1.3　sin45。　274
9.1.4　sin60。　278
9.1.5　正弦曲线　282
9.2　 π弧度　287
9.2.1    弧度　287
9.2.2　教学　289
9.3　 π弧度　290
9.3.1　停课　290
9.3.2　剩余　291
9.3.3 　灯塔　293
9.3.4　海边　294
9.3.5 　消毒　297

第10章　哥德尔不完全性定理　299

10.1　双仓图书馆　299
10.1.1　入口处　299
10.1.2　氯之间　300
10.2　希尔柏特计画　302
10.2.1　希尔柏特　302
10.2.2　测验　304
10.3　哥德尔不完全性定理　308
10.3.1　哥德尔　308
10.3.2　讨论　309
10.3.3 　证明的纲要　311
10.4 　「春」形式系统P　312
10.4.1　基本符号　312
10.4.2　数项与符号　313
10.4.3　逻辑式　314
10.4.4　公设　315
10.4.5　推论规则　317
10.5　午餐时间　318
10.5.1　元数学　318
10.5.2　用数学做数学　319
10.5.3　甦醒　319
10.6　「夏」哥德尔数　321
10.6.1　基本符号的哥德尔数　 321
10.6.2　数列的哥德尔数　322
10.7　「秋」原始递归　324
10.7.1　原始递归函数　324
10.7.2　原始递归函数（谓语）的性质　326
10.7.3　可表达性定理　328
10.8　「冬」到达证明可能性的漫漫旅程　　330
10.8.1　整装待发　330
10.8.2　整数论　331
10.8.3　数列　333
10.8.4　变数．符号．逻辑式　335
10.8.5　公理．定理．形式证明　343
10.9　「新春」不能判定的哥德尔句　347
10.9.1　「季节」的确认　347
10.9.2　「种子」由意义的世界进入形式的世界　348
10.9.3　「新芽」p的定义　351
10.9.4　「枝」r的定义　351
10.9.5　「叶」从A1开始的流程　352
10.9.6　「花蕾」从B1开始的流程　353
10.9.7　能判定的语句的定义　353
10.9.8　「梅」 IsProvable(g)的证明　319
10.9.9　「桃」 IsProvable(not(g))的证明    　355
10.9.10　「樱」形式体系P为不完全的证明　357
10.10　不完全性定理的意义　359
10.10.1　「我是无法证明的」　359
10.10.2　第二不完全性定理的证明概略　363
10.10.3　由不完全性定理之中萌生的东西　365
10.10.4　数学的极限？　366
10.11　乘载着梦想　368
10.11.1　并非是结束　368
10.11.2　我的东西　369

尾声　373
后记　377
参考文献与阅读指南　381
索引　387

推荐序１

数学成熟度的指标：哥德尔不完备定理

　　本书是结城浩《数学女孩》三部曲中的最后一部，主题是「哥德尔不完备定理」，尽管它完成于二十世纪上半叶的1931年，但却是数理逻辑学（mathematical logic）与数学基础（foundations of mathematics）研究的封顶之作。

　　在《数学女孩》的第一部曲（台译书名《数学少女》）中，作者将基本且深刻的数学知识，简化到一般高中生可以了解的程度，足以显示他不只受过非常严格的数学训练，因而对于数学思维的掌握非常得心应手，同时，也对如何普及他的数学经验深具信心。不过，更值得注意的，正如结城浩在《数学女孩──费马最后定理》（第二部曲）所呈现，他总是适时地从高观点来归纳或提示一些数学（抽象）结构，让读者不至于迷失在徒然解题的迷魂阵中，而无法自拔。此外，他在这三部曲的「旅行地图」中所进行的连结与对比，也一再地提醒我们数学是一个「有机的整体」；因此，数学史上的一些重大突破，往往需要「跨界」的思维。

　　另一方面，从小说叙事的观点来看，作者在这三部曲所採取的「比喻」，都是高中男生对于数学世界vs.感情世界的一种未来憧憬：「我对数学的『憧憬』──和男孩对女孩抱持的情感在某些地方有点相似」。因此，在本书中，数学作为一种文学比喻就出现的另类风貌，值得数学小说的爱好者特别注意。

　　现在，我们针对这三部曲所处理的主题，提供一点简要的说明，俾便读者阅读时有所参考与借鉴。《数学少女》的主题是生成函数，作者的连结与跨界分享，相当令人感动：「我和米尔迦使用生成函数求得斐波那契数列一般项，就像原本捧在手上快要散落的数列，被名为生成函数的一条线串起来，那真是一次难以言喻的经验」。此外，他还利用生成函数处理褶积与分拆数等问题，甚至还提及黎曼 函数，尤其是 与欧拉发现平方倒数无穷和之公式的关系。在该书中，生成函数是一种概念工具，它大大地有助于我们解决许多数学问题，离散型或连续型都包括在内。

　　这种主题式的叙事，到了《数学女孩──费马最后定理》与《数学女孩──哥德尔不完备定理》，就变成了伟大的定理。顾名思义，《数学女孩──费马最后定理》的主题就是费马最后定理。作者在该书中，为了让读者多少掌握有关此一伟大证明的定理，特别提供了一个概略的说明。基于此，他还进一步介绍椭圆函数、模曲线与自守形式。最后，怀尔斯（Andrew Wiles）在椭圆曲线与自守形式之间成功地搭起一座桥樑，而完成了费马最后定理的证明。由于这些相关数学知识都极其抽象，一般读者难以「一睹芳泽」。因此，作者的「旅行地图」仿效效似网路「超连结」资讯的手法，鼓吹读者进行形式推理，即使无从理解个别命题（或定理）之内容为何。而这，当然也唿应了这三部曲所强调的数学知识的结构面向（structural aspects）意义。

　　显然，在第二部曲中，结城浩无法邀请（也不期待！）读者参与费马最后定理的证明过程，这一形同登天的任务，当然受限于目前数学教育与普及水准的力有未逮。相形之下，在这三部曲的终曲中，结城浩的野心却是哥德尔不完备定理之解说。这个普及的愿景并非不可企及，因为作者所诉求的正是读者的数学成熟度。这种成熟度与高等数学的背景知识并不具有必然关系，因此，集合论、数理逻辑以及数学基础等数学分支之学习，通常只要预设高中数学背景知识即可。事实上，这几门学问在二十世纪下半叶，也一直吸引英美两国哲学家的兴趣。基于此一考量，在本书中，作者就使尽了浑身解数，希望读者分享他对不完备定理的理解。

　　总之，不完备定理之证明所涉及的形式系统（formal system）之相容与不完备之相关固然有其难度，但是，对于充满好奇心的读者来说，这却是可以亲近的一个智力游戏或挑战。任何人（无论有无高等数学之经验）想要测试数学思维的成熟度，本书的形式证明正是最好的指标。更何况，如果不深入探讨此一定理，那么，物理学家欧本海默（Robert Oppenheimer）如何称颂不完备定理为「理性的极限」，我们大概就不知从何说起了。

台湾师范大学数学系退休教授　洪万生

推荐序２

一部令人惊艳的作品！

　　继《数学少女》（2008年青文出版）、《数学女孩──费马最后定理》（2011年世茂出版），结城浩这一系列作的第三部《数学女孩──哥德尔不完备定理》又是一部令人惊艳的作品。

　　市面上的数学科普书很多，有的作者为了照顾读者的背景知识而不敢谈得太深：有的作者则是只顾自己想写的内容而一路狂飙，却将读者留在原地一脸茫然。结城浩成功地突破了这两难的困境：他将主题「哥德尔不完备定理」谈论得非常深入，让我很惊讶竟然有数学科普书的作者敢有如此大的企图；但他也不是莽夫，而是极富策略性地一步一步带着读者往目标靠近。要做到这一点绝非易事，我很难想像一个人怎能拥有如此深厚的数学底子、广泛的数学知识，以及灵巧的文字功力，但结城浩就是这样厉害的一个人。

　　当然，伟大的数学成果不可能仅靠一本书就能让读者在短时间之内完全掌握，即使是身为数学科教师的我，也难以吸收最后一章的内容，但这就是作者的体贴，在坚持目标的前提下，尽量让读者不会因为题材本质上的艰涩而提早放弃。

　　我相信无论你是一般的数学学习者，或是专业的数学研究人员，都一定能从这本作品中得到收获，也都会喜欢这本书。

北一女中数学老师&国际数学奥林匹亚竞赛金牌奖得主 王嘉庆

推荐序３

一本引人入胜的数学小说

　　本书是日本畅销科普作家结城浩继《数学少女》、《数学女孩──费玛最后定理》之后的第三力作，相信看过前两本的读者们一定迫不急待的想要一窥结城浩的新作品，并加以典藏，而成为家中小孩上高中时必读的数学科普。本书《数学女孩──哥德尔不完备定理》，如同前两本一样，透过四位个性鲜明的国、高中生之间的日常有趣对话，来展开数学问题与解题，进而让读者对数学自然而然的理解并产生兴趣。然而，结城浩在本书中不仅透过角色仔细完整的论述相关数学知识外，并以完成介绍哥德尔不完备定理为最终目标，他雄心万丈般的哲学企图，提昇了本书的高度格局。

　　数学符号及其公式都是高度抽象概念。也正因如此，理工领域常令许多人难以捉摸和把握，甚至觉得晦深莫测，单单是要记住（更不用说是理解）这些符号表示什么，就是很大的挑战了。然而，本书不是一般传统的数学课本，结城浩透过中学生之间的对话，来渐渐铺陈出数学概念，以有趣生活化的方式来进行数学知识的讨论，更难得的是本是数学专业的作者，却能以生动的文笔及贴近生活的例子来阐述数学的概念及解题流程。娓娓道来，亲切详实，没有一般通俗读物仅是浅尝为止而产生一知半解的窘境。此外，本书有很多内容甚至比一般的数学教科书解说的更为详细，如：第4章──无止境地接近的目标地点、第6章──极限分析论证法、第9章──疑惑的螺旋梯，关于极限和三角函数的分析与说明，讲得简单、明白且易懂，可作为一般教科书的补充读物，而一般读者亦可先参阅这几个章节，来感受结城浩的功力──「就是要让你懂」！

　　现今为知识讯息大爆炸的时代，每一个人，除了学习传统的知识技能外，还要不断的吸收与我们生活相关的各种知识，但它们总是瞬时万变，有限的生命总是赶不上无限的变化。但在某些领域（如：数学或音乐），可能让我们有机会驻留在永恆之美的飨宴中。数学对许多人（包括个人）而言，似乎有共同梦魅般的经验：抽象、艰涩、难懂、吃不下去……。但若过去中、小学数学课本，可以写的像结城浩一样的话，那数学就像是一种游戏、一种日常生活中的有趣对话、更彷彿像是一种让人进入一种美丽抽象符号结构中的奇幻之旅。结城浩在最终章「哥德尔不完备定理」以四季节候的时序和植物生长的历程等譬喻，来一步一步建构不完备定理的证明及诠释其意义，以极富想像力的方式向世人介绍逻辑体系上的不完备。

　　因限于个人领域之狭窄，关于数学与逻辑的专有名词能与台湾现行的用法有所一致，而让一般读者因熟悉而更容易理解。在数学上的专有名词是由台师大数学系周文翔来做全面的校正，而第7章和第10章则请蒲世豪博士订正有关的逻辑专有名词。

　　有机会读到一本好书会让人心旷神怡、视野开阔，变得耳聪目明。但从小到大的我们看了不少数学教材，扪心自问我们记得、懂得多少，现今可能大多忘得一干二净。然而，看结城浩的数学书，除了让人赏心悦目、幽游自得外，无论你∕妳懂或不懂，都会让你∕妳永生难忘。而这，当然也是我极力推荐本书的主要原因。

台湾师范通识教育中心副教授   王银国

给读者

　　本书中出现有各式各样的数学问题，从简单的到小学生都懂得的部分，甚至困难到会严重动摇整个数学界的世纪难题都有。

　　除了使用语言及图示来表现故事主角们的思考脉络之外，另也会使用到数学公式来做表达。

　　每当遇有无法理解的数学公式涵义时，请不妨先跳过卡住的数学公式，暂且随着故事的情节发展往下走。剧中人物蒂蒂和由梨会陪伴着你一起往前走。

　　而对数学充满自信的读者们，在享受故事情节之余，也不要忘了动动脑挑战书中的数学公式哦！如此一来，你将可以进一步体验到隐藏在故事里的其他趣味。

　　或许，聪敏的你能超越那些数学天才们，探索出不为人知的祕密噢！

序章

连同感谢与友情，
将从大海收到的礼物，一起还给大海。
──《来自大海的赠礼》〔6〕

涌来，消去──潮来潮往的海浪。
日复一日，未曾停歇──潮来潮往的海浪。

　潮来潮往的律动，意识朝着向自己迈进。
　潮来潮往的律动，意识朝着向过去回溯。

在那段时光里，无论是谁都准备好了将死命地拍打着翅膀迎向浩瀚的天空。
而我却蹲坐在一个不起眼的鸟笼之中。

　应当说话的自己。应当沉默的自己。
　应当说起的过去。应当沉默的过去。

随着季节更迭，每当春天造访时，我总会不断地想起数学的种种。

　在纸上堆砌符号，试图描绘宇宙。
　在纸上写下数式，试图导出真理。

随着季节更迭，每当春天造访时，我总会不断地想起那些女孩们。

　彼此切磋那些名为数学的词汇，
　在名为青春的时光里，与我邂逅，豆蔻年华的少女们。

我之所以得以展翅飞翔，全源于一个渺小的契机──
不知道你是否愿意聆听这样一个，有关于我和三位青春少女的动人物语?!

第1章
镜的独白

「魔镜啊，魔镜！谁是这世界上最美的人？」
「尊贵的皇后啊！这世界上最美的人，当然就是妳啊！」
听到这个回答，皇后十分满意。因为她知道魔镜只说实话。
──《白雪公主》

1.1 诚实的人是谁？

1.1.1 魔镜啊，魔镜！

「哥哥，你知道白雪公主的故事吧!?」由梨问我。

「这还用问吗！……就是寻找掉了玻璃鞋公主的故事啊！」我回答道。

「那个是灰姑娘！不是白雪公主啦！……真是的。」

「是这样吗？」

看到我一脸装傻的表情，由梨嚷着开什么玩笑啦！说着说着便笑了起来。


这里是我的房间。现在是隆冬一月。很快地，岁末年初的新年假期也要结束了。虽然假期一结束马上就要实力测验，但整个人就是懒懒的，怎么都提不起劲来。
由梨今年国中二年级。而她总是叫高中二年级的我「哥哥」。尽管由梨总是哥哥 「哥哥」、「哥哥」地叫个不停，但由梨和我并不是亲兄妹。我的母亲和由梨的母亲是亲姊妹。换句话说，我和由梨是表兄妹。由梨从小就叫我「哥哥」，叫习惯了也改不过来，所以到现在还是继续叫我哥哥。

我的房间里摆满了许多由梨喜欢看的书。也因此，每逢假日，住在附近的由梨一定会到我家玩。每当我用功的时候，她便在一旁看书消磨时间。


由梨开口说道。

「白雪公主那位恶毒的后母，只要一面向魔镜，就会像这样颂唸呢！」

「魔镜啊！魔镜！谁是这世界上最美丽的人？」

「嗯！『作为美人判定机的镜子』吗?!」我回答由梨。
「皇后之所以能够说出这一番话，正代表了她认为自己很美丽，不是吗？由梨我啊！每次只要一照镜子，就会忍不住唉声叹气。我不仅发色很糟，发尾还分岔严重呢！」

由梨说着说着，开始用手指把玩着自己栗褐色的马尾。

我重新审视着由梨整个人。虽然由梨对自己的评价甚苛，但是我却不这么认为。望着脸上表情不断变化的由梨，我的眼神无法移开。伶牙俐齿的由梨给我的印象总像日本搞笑团体爆米花（Pop corn）般那样地能言善道。脑筋动得快、点子多，能举一反三，和由梨说话一点都不会感到无聊。

「啊～啊！好想染头发喔！好想变漂亮喔！」

「不行的，不行！由梨！」我开口阻止由梨道。

听我这么一说，由梨停下卷动发尾的手，朝我望来。

「不行的，不行！指的是什么事啊？」

「我说的是──由梨现在这样子很好，不用做任何改变就、嗯、非常好了……」
「……非常好了？」

「所以就是……」

「孩子们！要不要来吃贝果啊──？」从厨房里传来妈妈的叫喊声。
「我要──吃！」

刚刚还一本正经的由梨，脸上的表情立刻有了转变，大声地回答。
站起身来，伸手强拉我起身走的由梨，非常适合穿窄管牛仔裤，明明体型那么窈窕纤细，却有一身的蛮力。

「喂！喂！哥哥，你动作快一点嘛！快来去吃点心啦！」

评分☆☆☆☆☆

“数学女孩”系列一直是我获取数学知识的首选，而《数学女孩：哥德尔不完备定理》更是将我带入了一个全新的思维维度。以往我对哥德尔不完备定理的理解，停留在“任何系统中都存在无法证明的真理”这个笼统的概念上，而这本书则将这个概念的来龙去脉，讲得淋漓尽致。我特别喜欢书中对“形式系统”的细致刻画，它让我明白了数学的严谨性是如何构建起来的，也为理解哥德尔定理奠定了坚实的基础。作者巧妙地通过女孩们的视角，将她们的疑惑和数学家的解答融为一体，这种叙事方式让我始终保持着高度的阅读兴趣。书中对“自指”的阐释，是我理解哥德尔证明的关键，作者用生动形象的例子，将这个抽象的概念变得易于理解，仿佛我真的能看到那个“我无法被证明”的命题是如何被构造出来的。这种逻辑上的精妙，让我惊叹不已。更重要的是，这本书不仅仅是传递知识，它更是一种思维的训练。它让我看到了数学的局限性，看到了逻辑的边界，也让我对“真理”和“证明”有了更深刻的思考。它拓宽了我对世界的认知，让我开始以一种更开放、更审慎的态度去面对未知。

评分☆☆☆☆☆

从我拿到《数学女孩：哥德尔不完备定理》开始，就感觉自己被一股神秘而智慧的力量所吸引。这本书，与其说是一本讲解数学定理的书，不如说是一场关于逻辑与思想的奇妙旅程。作者以一种极其细腻和富有人情味的方式，将通常被认为是晦涩难懂的哥德尔不完备定理，化解成了一连串引人入胜的对话和场景。我特别喜欢书中对数学家和女孩们之间互动的描绘，那种既有尊敬又有探索精神的交流，让整个阅读过程充满了活力。女孩们的提问，往往直击问题的核心，而数学家的回答，则循序渐进，层层深入，仿佛为我打开了一扇扇通往理解之门。书中对“形式系统”的概念阐释，让我第一次清晰地认识到，任何数学体系都建立在有限的公理和规则之上。而哥德尔的伟大之处，就在于他用一种极其精妙的方式，证明了这些形式系统都无法做到“完备”。我被书中对于“自指”和“编码”的解释深深吸引，这些看似抽象的概念，在作者的笔下，变得生动形象，甚至带有一丝戏剧性。我仿佛看到了一个数学家，如何通过巧妙的构造，让一个命题“指代”了它自身的不可证明性。这种逻辑的精妙，让我赞叹不已。这本书不仅仅是传递知识，它更是一种思维的启迪。它让我开始思考，什么是“真理”？什么是“证明”？一个系统的局限性，是否也恰恰证明了其存在的价值？它拓展了我对数学的理解，也让我对知识的边界有了更深刻的认识。

评分☆☆☆☆☆

我一直认为，好的科普读物，不仅仅是传递知识，更重要的是激发读者的兴趣和思考。而《数学女孩：哥德尔不完备定理》无疑做到了这一点。这本书的叙事方式非常独特，它没有采用传统的教科书式讲解，而是通过一系列生动有趣的对话，将抽象的数学概念融入其中。我跟着书中的女孩们一起，从对“什么是一个完整的数学系统”的疑问开始，一步步走向哥德尔不完备定理的深邃。作者的功力在于，他能够将如此复杂和具有哲学深度的定理，用通俗易懂的语言解释清楚，并且不失严谨性。我特别喜欢书中关于“公理化系统”的讲解，它让我明白了数学并非空中楼阁，而是建立在一系列基本假设之上。而哥德尔的伟大之处，就在于他证明了，即使是最强大的公理化系统，也无法囊括所有的真理。这种“不完备”的结论，对于初学者来说，可能是一种颠覆，但对于我而言，却是一种解放。它让我看到了数学的边界，也看到了人类认识的边界，同时也激起了我对未知领域探索的欲望。书中对“递归”和“编码”的介绍，虽然篇幅不长，但却恰到好处地为理解哥德尔的证明铺垫了基础，让我不再觉得那些复杂的数学符号是天书。读完这本书，我仿佛推开了一扇通往数学哲学大门，开始对逻辑、数学的本质有了更深刻的理解。它让我明白，数学的魅力，不仅在于它的精确和严谨，更在于它所揭示的关于真理、关于认识的深刻哲学思考。

评分☆☆☆☆☆

我一直认为，真正的科学著作，不应该只是冰冷的公式和枯燥的论述，而应该能够点燃读者的好奇心，引发深入的思考。《数学女孩：哥德尔不完备定理》恰恰做到了这一点。我被书中描绘的场景深深吸引：一群充满灵气的女孩，在数学家的引导下，一步步揭开哥德尔不完备定理的神秘面纱。作者的叙事方式非常巧妙，他将复杂的数学概念，通过生动形象的对话和类比，化解成一个个引人入胜的故事。我跟着女孩们一起，从对“什么是完备的数学系统”的疑惑，到理解“公理”和“证明”的意义，再到最终领悟到“任何足够强大的形式系统都存在无法在该系统内被证明的真命题”这一颠覆性的结论。书中对“自指”和“编码”的解释，是我理解哥德尔证明的关键。作者用一种非常直观的方式，让我感受到了一个命题如何能够“谈论”它自身，以及这种“自指”是如何导致不完备性的。这种逻辑上的精妙，让我由衷赞叹。这本书不仅仅是关于数学定理，更是一次关于逻辑、关于认识论的深刻探讨。它让我看到了数学的边界，也看到了人类认识的边界，并且从中看到了无限的可能性。我感觉自己的思维模式被极大地拓宽了，开始以一种更开放、更批判的态度去审视知识。

评分☆☆☆☆☆

第一次接触“哥德尔不完备定理”这个词，是在一部科幻电影里，当时就被这个名字深深吸引，但现实中，我从未想过自己有机会能如此清晰地理解它。这本书，简直就是我一直以来寻找的那颗“理解之钥”。它不是那种冷冰冰的公式堆砌，也不是故弄玄虚的哲学论述，而是通过一群充满灵气的女孩子，和她们严谨又风趣的数学老师之间的对话，将“不完备定理”的精髓一点点地展现在我面前。我印象最深刻的是，当女孩们第一次听到“一个系统之内，总会存在在该系统内无法被证明的真命题”时，那种惊讶和困惑，简直和我的心情一模一样。作者非常巧妙地运用了类比和直观的例子，比如那个关于“所有规则的列表”的悖论，一下子就点燃了我对逻辑思辨的兴趣。书中的每一个对话场景，都仿佛是发生在我的身边，我不再是一个被动的接受者，而是仿佛成为了那个在女孩们中间，一同思考、一同探索的伙伴。通过对“语句的编码”以及“真理的定义”的逐步剖析，我才真正明白了哥德尔是如何构造出那个“我无法被证明”的命题的。这是一种前所未有的思维冲击，让我对“真理”和“证明”这两个概念有了全新的认识。这本书不仅仅是关于哥德尔定理，它更是一次关于逻辑极限的探索，一次关于数学哲学边界的触碰。它让我看到了数学的深度，看到了逻辑的奥妙，也看到了人类智慧的局限与光辉。

评分☆☆☆☆☆

这本书的出现，简直就是为我这样对数学充满好奇但又常常被高深理论吓退的读者量身定制的。我一直对哥德尔不完备定理的名字耳有所闻，知道它在数学史上有着举足轻重的地位，但具体内容却是一知半解。直到翻开《数学女孩：哥德尔不完备定理》，我才意识到，原来如此深奥的哲学和逻辑问题，竟然可以用如此清晰、生动的方式来呈现。作者巧妙地设置了几个性格各异、却都聪慧敏锐的初高中女生作为主角，她们的疑问和思考，恰恰代表了大多数普通读者可能遇到的困惑。通过她们与数学家之间循序渐进的对话，我得以窥见哥德尔定理的精髓。从最初对“不完备”的直观理解，到深入了解形式系统、公理、证明等概念，再到最终理解“任何足够强大的形式系统中，都存在无法在该系统内被证明为真或为假的命题”，整个过程就像是在一个精心设计的迷宫中探险，每一步都充满了挑战，但每一步又都朝着真相迈进。我尤其喜欢书中对“自指”概念的解释，它既是哥德尔证明的关键，也是理解不完备性的重要入口。作者通过各种形象的比喻，比如“这句话是真的”这样的语句，让我对这个抽象的概念有了直观的感受。阅读这本书，不仅仅是学习知识，更是一种思维训练。它教会我如何去质疑，如何去追问，如何去理解一个理论的局限性。在充斥着“绝对正确”和“标准答案”的环境中，这本书的出现，如同一股清流，让我看到了知识的边界，看到了逻辑的精妙，也看到了数学中蕴含的开放性和无限性。我感觉自己的思维模式被拓宽了，不再满足于表面的结论，而是开始尝试去理解其背后的逻辑和原理。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，在翻开《数学女孩：哥德尔不完备定理》之前，我对“哥德尔不完备定理”的了解几乎为零，只知道它似乎是数学界的一个“大牛”。但这本书，彻底改变了我的看法，它就像一把钥匙，为我打开了通往那个神秘领域的大门。作者的叙事手法非常高明，他没有直接抛出晦涩的数学概念，而是通过一群聪明伶俐的女孩，围绕着一位富有智慧的数学家展开一系列的对话。这些对话，充满了好奇、疑惑、以及最终的顿悟，让我也仿佛置身其中，一同经历这场智力探险。我非常欣赏书中对“公理”和“证明”的讲解，它们是如何构成一个严谨的数学体系的。而哥德尔的定理，则精准地指出了这个体系的“不完美”之处。书中用到的“理发师悖论”之类的例子，虽然经典，但作者的引入方式却让它们焕发了新的生命力，让我对逻辑的矛盾和“自指”现象有了更直观的认识。我一直觉得，数学最吸引人的地方，在于它能够用严谨的逻辑去探索世界的本质，而哥德尔定理，则恰恰揭示了逻辑本身的边界。这本书让我看到了，即使是数学这样一个看似完美无缺的学科，也存在着无法逾越的鸿沟。这种“不完备”并非失败，而是一种深刻的洞见，它让我们看到了真理的无限性，以及人类认识的局限性。我感觉自己的思维被极大地拓宽了，开始以一种更开放、更审慎的态度去面对知识。

评分☆☆☆☆☆

我一直对数学中的“哲学”部分很感兴趣，而《数学女孩：哥德尔不完备定理》这本书，正好满足了我对这方面的探索欲。它没有像许多理论书籍那样，上来就抛出大量的符号和公式，而是通过生动的人物对话，将哥德尔不完备定理这个可能让人望而生畏的概念，变得亲切可读。书中的女孩们，她们提出的问题，正是我们普通读者可能会有的困惑，而数学家的解答，则层层递进，犹如抽丝剥茧，将定理的精髓展现在我们面前。我尤其赞赏书中对“形式系统”的描述，它让我明白了数学的严谨性是如何建立在有限的公理之上的。而哥德尔的洞见，则在于证明了，无论一个形式系统多么强大，总会存在一些它无法触及的“真理”。这种“不完备性”，非但没有削弱数学的魅力，反而增添了其深刻的哲学内涵。书中对“自指”概念的阐述，是理解哥德尔证明的关键，作者通过一些生活化的比喻，将这个抽象的概念变得易于理解。我被书中逻辑的精妙和推理的严谨所折服，它让我深刻地认识到，数学不仅仅是计算，更是一种深刻的逻辑艺术。读完这本书，我不再觉得哥德尔不完备定理是什么遥不可及的理论，而是将其视为对人类认知边界的一次深刻探索，一次对真理本质的哲学追问。

评分☆☆☆☆☆

“数学女孩”系列向来以其独特的视角，将抽象的数学概念以生动活泼的对话形式呈现给读者，而《数学女孩：哥德尔不完备定理》更是将触角伸向了逻辑和集合论的深邃领域，让我仿佛置身于一场智力探险之中。从我拿到这本书的那一刻起，就被它封面设计的简洁与深邃所吸引，仿佛预示着即将开启一段充满挑战与启迪的阅读旅程。书中的主角们，那些充满好奇心的女孩们，她们与神秘数学家之间的互动，不再是枯燥的公式推导，而是如同解开一个个扑朔迷离的谜题。尤其是当她们第一次接触到“不完备性”这个概念时，那种疑惑、惊叹，再到逐步理解的心理变化，都描绘得淋漓尽致，仿佛我也跟随着她们一同经历了从混沌到清晰的顿悟时刻。哥德尔的定理，通常被认为是数学领域中最艰涩的概念之一，但在这本书中，作者却用一种出乎意料的温柔和耐心，一步步剥开了它神秘的面纱。我尤其欣赏作者在引入集合论中的悖论时所采用的方法，比如著名的“理发师悖论”，通过生活化的例子，让这些看似遥不可及的逻辑困境变得触手可及。书中对“真”与“可证”的区分，对形式化系统的局限性的探讨，都让我对数学的本质有了更深层次的思考。它不仅仅是一本讲解数学定理的书，更是一本关于思维方式、逻辑训练的启蒙读物。我曾经以为数学是冰冷而绝对的，但这本书却让我看到了数学中蕴含的哲学思考，看到了逻辑的边界，以及在这些边界之外，依然存在的无限可能性。阅读过程中，我常常会停下来，回味那些对话，思考那些类比，甚至在脑海中勾勒出那些数学家和女孩们在星空下讨论逻辑的场景。这是一种非常美妙的体验，让我在不知不觉中，对数学产生了新的敬畏和热爱。

评分☆☆☆☆☆

这本书，让我对数学的理解，简直是翻天覆地的改变。我一直以为，数学就是一套严谨的逻辑体系，一切皆有可能被证明，一切皆有确定的答案。然而，《数学女孩：哥德尔不完备定理》却如同一颗重磅炸弹，彻底颠覆了我的认知。作者以一种极其温柔而又充满智慧的方式，将哥德尔不完备定理这个极具哲学深度的概念，呈现在我面前。我跟随书中几个聪明伶俐的女孩，一同踏上了一场关于逻辑的探索之旅。她们的提问，充满了孩童般的好奇，却直指问题的核心；数学家的解答，则循序渐进，深入浅出，将复杂的概念娓娓道来。我尤其被书中对“形式系统”的讲解所吸引，它让我明白了数学的根基——公理与推理。而哥德尔的伟大之处，就在于他证明了，即使是这样严谨的系统，也存在着无法被自身逻辑所证明的真理。这种“不完备性”，在我看来，非但不是一种缺陷，反而是对数学无限可能性的证明，是对人类认识边界的一种深刻揭示。书中对“自指”的巧妙运用，让我仿佛看到了一个逻辑上的“套娃”，一个命题巧妙地将自己包含其中，并因此陷入了无法证明的境地。这种逻辑的精妙，让我叹为观止。阅读这本书，不仅仅是学习一个数学定理，更是一次关于思维的洗礼，一次对知识本质的深刻反思。