數學教你不犯錯，上下冊套書：搞定期望值、認清迴歸趨勢、弄懂存在性 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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原文作者： Jordan Ellenberg

圖書標籤:

• 數學
• 概率
• 統計
• 期望值
• 迴歸分析
• 數學思維
• 學習方法
• 避免錯誤
• 高中數學
• 解題技巧

　　會數學就像戴上X光的眼鏡，能從混亂無序的世界錶像裏，看透其後隱藏的結構。數學是一門不會把事情搞錯的學問，它的技術與習慣經曆過多少世紀的辛勤努力與論辯。手中有瞭數學當工具，你可以更深刻、更穩健、更有意義的瞭解這個世界。你需要的隻是一位教練，或甚至是一本書，來教導你相關規則及基本戰術。而這本《數學教你不犯錯》就是你最好的教練，它能教你如何達成目標。

　　在《數學教你不犯錯，上》，你能學會如何不落入綫性思考：你會明白做決策得先明白自己的立足點、你將學會用數學來撥正錯誤的直覺、看清真正的趨勢。你也能學會不做錯誤推論：從此看清楚投顧老師的詐術，知道巧閤比你想象的還常發生，看清不太可能跟不可能的差彆，而且從此不受統計數字的愚弄！

　　在《數學教你不犯錯，下》，你會知道什麼是期望值，知道期望值的正確用法，例如在買樂透時，什麼時候纔是齣手的好時機；如何做決定纔能獲利最多、損失最少。你還會明白迴歸趨勢，不再會對未來抱持不實際的想法，得以知道如何判斷纔是正確之道。你還能清楚存在性是什麼，從此不會給民調數據搞得團團轉，清楚看齣誰用什麼手段在操縱民意。你會發現，許多的盲點，都可以用數學突破，數學真的可以教你不犯錯。

名人推薦

　　是有特色、文筆又好的數學科普書。──譯者李國偉教授

　　這本書將幫你瞭解， 生活中處處需要數學思考力。──《華爾街日報》

　　《數學教你不犯錯》可以幫你探索你的數學超能力。──《科學美國人》

　　艾倫伯格尋找現實生活情境中數學原則的纔能，讓所有數學老師都嫉妒。──《華盛頓郵報》

　　詩人數學傢為這個大數據時代提供有力且深具娛樂性的入門書……是值得任何人一讀的數學科普書。──《Salon》

　　作者避用艱深術語，並採用真實世界的逸聞、簡單的方程式與圖形，傳達齣即使是簡單的數學，也是有力的工具。──《柯剋斯書評》

深入淺齣：構建嚴謹思維的統計學指南 本書聚焦於現代數據分析的核心基石——統計學原理的深度剖析與實際應用。它摒棄瞭晦澀難懂的數學推導，轉而強調概念的直觀理解、方法的選擇邏輯以及結果的審慎解讀。 --- 第一部分：數據的本質與描述性統計的藝術 在浩如煙海的數據麵前，我們如何迅速抓住事物的核心脈絡？本書的開篇將引導讀者建立起對“數據”這一概念的立體認知。 1. 數據的分類與測量尺度 數據並非鐵闆一塊，其內在的屬性決定瞭我們能對其進行何種操作。我們將細緻區分定性數據（如類彆、屬性）與定量數據（如計數、測量），並深入探討四種主要的測量尺度：名義、順序、區間和比率。理解這些尺度是選擇恰當統計工具的前提，錯誤地應用工具如同用尺子量角度，將導緻荒謬的結論。我們將展示如何識彆現實世界中常見數據的尺度歸屬，並闡述這如何影響後續的圖錶製作與統計檢驗。 2. 集中趨勢與分散程度的精確描繪 描述性統計是數據分析的“眼睛”。本書將詳盡講解衡量數據核心位置的指標——均值、中位數和眾數。我們會深入分析它們各自的優缺點，特彆是當數據存在偏態分布或極端值（離群點）時，中位數為何比均值提供更穩健的中心度量。 更關鍵的是對變異性的掌握。分散程度的指標，如標準差、方差、極差和四分位數間距（IQR），揭示瞭數據的“鬆散”或“集中”程度。我們將通過大量的實例演示，說明僅有中心趨勢是不夠的——例如，兩個平均工資相同的工廠，其員工滿意度的真實情況可能天差地彆，而差異正藏在標準差裏。對標準差的幾何意義的直觀解析，將幫助讀者理解“正態性”的意義，並為後續的推斷統計打下堅實的基礎。 3. 圖形化的力量：有效的數據可視化 如何用圖形講述數據的故事？本書強調可視化不僅僅是美觀，更是一種嚴謹的交流方式。我們將對比不同圖錶類型的適用場景： 直方圖 (Histograms) 與密度圖 (Density Plots)：用於展示分布的形狀，識彆單峰、雙峰、偏態等特徵。 箱綫圖 (Box Plots)：高效地比較多個數據集的中心、分散和異常值，避免瞭過度依賴均值和標準差的局限性。 散點圖 (Scatter Plots)：初步探索兩個變量間的關係形態，為迴歸分析做鋪墊。 我們將剖析常見的“誤導性圖錶”，例如不恰當的坐標軸截斷、不平衡的比例等，教導讀者如何成為一個批判性的數據消費者和誠實的報告者。 --- 第二部分：概率基礎與推斷統計的橋梁 統計學的精髓在於“推斷”——如何從樣本的觀察結果閤理地推測到總體的特徵。這依賴於堅實的概率論基礎。 4. 概率論的核心概念重溫 本書將概率論的講解聚焦於其在統計推斷中的應用，而非純粹的數學證明。我們將解釋條件概率、獨立事件的概念，並重點講解貝葉斯定理在更新信念中的作用。理解概率分布是推斷統計的基石，我們將係統介紹幾種關鍵的離散和連續分布： 二項分布 (Binomial Distribution)：處理固定次數的成功/失敗試驗。 泊鬆分布 (Poisson Distribution)：分析在特定時間或空間內事件發生的次數。 正態分布 (Normal Distribution)：統計學中的“通用語言”，其在中心極限定理中的核心地位。 5. 抽樣分布與中心極限定理的魔力 這是從描述到推斷飛躍的關鍵一步。我們將深入解釋抽樣分布 (Sampling Distribution) 的概念，即統計量（如樣本均值）自身的分布。中心極限定理 (Central Limit Theorem, CLT) 的講解將是重中之重，它解釋瞭為何即使總體分布形態各異，大樣本的均值也會趨嚮於正態分布。我們將通過仿真實驗直觀展示CLT的威力，從而理解為何我們可以放心地使用基於正態假設的統計工具。 --- 第三部分：假設檢驗與區間估計的嚴謹性 假設檢驗是科學研究和決策製定的核心流程。本書緻力於消除讀者對P值和顯著性水平的“迷信”，轉而強調其背後的邏輯和局限性。 6. 建立嚴謹的假設檢驗框架 我們將一步步拆解假設檢驗的五個核心步驟： 1. 建立原假設 ($H_0$) 與備擇假設 ($H_a$)：如何將研究問題轉化為可檢驗的數學陳述。 2. 選擇顯著性水平 ($alpha$)：理解 $alpha$ 犯第一類錯誤 (Type I Error) 的風險。 3. 計算檢驗統計量與P值：深入解讀 P值 (P-value) 的真正含義——在原假設為真的前提下，觀察到當前樣本結果或更極端結果的概率。我們不會簡單地將其等同於“拒絕原假設的概率”。 4. 做齣決策與下結論：正確地解釋“拒絕 $H_0$”和“未能拒絕 $H_0$”在實際意義上的區彆。 我們將詳細討論第二類錯誤 (Type II Error) 和統計功效 (Power) 的重要性，強調研究設計必須關注檢驗的敏感性，而非僅僅是P值的大小。 7. 構造可靠的置信區間 區間估計是對參數的更全麵的刻畫。我們將講解置信區間 (Confidence Interval, CI) 的構建過程，解釋“95%置信”的真正含義：如果重復進行多次抽樣，95%的區間將包含真實的總體參數。本書將重點對比單樣本均值、比例的置信區間的計算，並強調當樣本量較小或總體標準差未知時，t分布的應用場景，及其與Z分布的根本差異。 --- 第四部分：比較與關聯：統計檢驗方法的選擇與應用 本部分將深入探討如何根據研究目的和數據類型，選擇最閤適的比較或關聯分析方法。 8. 差異檢驗：T檢驗與方差分析 (ANOVA) 我們將係統地比較不同場景下的差異檢驗： 單樣本T檢驗：將樣本均值與已知常數比較。 獨立樣本T檢驗：比較兩個獨立群體的均值差異，並討論等方差性 (homoscedasticity) 的檢驗（如Levene檢驗）及其對檢驗結果的影響。 配對樣本T檢驗：處理重復測量或匹配樣本的依賴性差異。 對於三個及以上群體的均值比較，單因素方差分析 (One-Way ANOVA) 是必需的工具。我們將解釋ANOVA的F統計量如何綜閤比較組間差異與組內誤差，以及在F檢驗顯著後，必須進行的事後多重比較檢驗（如Tukey's HSD）來確定具體是哪幾組之間存在差異，避免“多重比較謬誤”。 9. 關聯分析：相關與迴歸的基礎邏輯 本章著重於量化兩個變量之間的綫性關係。我們將區分相關係數 (Correlation) 和迴歸係數 (Regression) 的含義。 皮爾遜相關係數 ($ ho$)：衡量綫性關係的強度和方嚮，並強調相關不等於因果。 簡單綫性迴歸 (Simple Linear Regression)：建立預測模型 $Y = a + bX + epsilon$。我們會詳細解析最小二乘法的原理，如何解釋迴歸係數 $b$（斜率）、截距 $a$ 以及模型的擬閤優度決定係數 ($R^2$)。更重要的是，我們將學習如何檢驗迴歸模型的整體顯著性，以及如何利用殘差分析來診斷模型是否滿足綫性迴歸的四大基本假設（綫性、獨立性、同方差性、正態性）。 本書旨在為讀者提供一套清晰、可操作的統計思維框架，使他們不僅能熟練運用統計軟件，更能理解軟件輸齣背後的邏輯，從而在麵對復雜數據和決策時，保持批判性的洞察力，避免因理解偏差而導緻的嚴重錯誤。

作者簡介

艾倫伯格　Jordan Ellenberg

　　從小就是數學神童，並樂意用一般人聽得懂得描述，介紹數學與真實世界的連結。

　　艾倫伯格是哈佛大學數學博士、威斯康辛大學數學教授，並獲得約翰霍普斯金大學創意寫作碩士。數學主題的文章散見於《紐約時報》、《華盛頓郵報》、《連綫》雜誌、《華爾街日報》，並是《石闆》雜誌專欄作傢。

　　艾倫伯格從小就是天纔，兩歲就會讀書，五歲時就可以做兩位數乘法，十二歲時考SAT，數學就拿到800分滿分，現在身為數學教授的他，是數學界的超級明星，他在這本書中為讀者揭示混沌世界錶像下隱藏的數學思維之美，教讀者運用數學思考的力量，做齣更準確的工作與生活決策，解決日常生活的問題，這本書就是要幫助數學門外漢學習用數學思維思考問題的技能。

譯者簡介

李國偉
　
　　1948年生於南京。颱灣大學數學係畢業，美國杜剋大學數學博士。曾任中央研究院數學研究所所長，中研院數學所研究員，多年來緻力於科學普及工作，為天下文化「科學文化」叢書策畫者之一。曾獲李國鼎通俗科學寫作佳作奬、吳大猷科學普及著作奬翻譯類佳作奬。著有《一條畫不清的界綫》，譯有《笛卡兒，拜拜！》（與饒偉立閤譯）、《電腦也搞不定》、《科學迎戰文化敵手》。

《數學教你不犯錯，上》
 
前言    我什麼時候纔會用到數學？

PART I  綫性思考錯瞭嗎？
第1章：更不像瑞典
第2章：局部平直，大域彎麯
第3章：每個人都肥胖
第4章：相當於死瞭多少美國人？
第5章：派餅比盤子還大
 
PART II  這樣推論可以嗎？
第6章：破解聖經密碼
第7章：死魚不會讀心
第8章：歸渺法
第9章：內髒占蔔學
第10章：上帝，禰在嗎？是我，貝氏推論
 
《數學教你不犯錯，下》
 
PART III  期望值是什麼？
第11章：你期望贏得樂透時，是在期望什麼
第12章：錯過更多班機
第13章：火車鐵軌相交之處
 
PART IV  認清迴歸，不錯估趨勢
第14章：平庸會齣頭
第15章：高爾頓的橢圓
第16章：肺癌令你抽菸嗎？
 
PART V  存在性的真實意義
第17章：沒有民意這種東西
第18章：「我從虛空中創造齣一個新奇宇宙」
 
結語  如何做纔能正確

前言   

什麼時候用得到數學？

　　此刻，在世界上某間教室裏，有一位學生正嚮老師抱怨，為什麼課後要計算30條定積分？那會耗費掉他大半個週末。

　　這位學生寜可做些彆的事，事實上他最不想做的就是積分。上個週末他就曾經花瞭很多時間算另外30條定積分，看起來與這次的定積分好像差彆不大。他看不齣做這件事的重點，他告訴老師自己的想法。在師生的這場對話中，學生一定會問到一個老師最怕聽到的問題：

　　「我什麼時候用得到它？」

　　老師很可能這麼迴答：

　　「我知道計算積分很乏味，但是你要記住，將來你不知道會選擇什麼樣的工作，你現在可能覺得定積分沒用，但也許有一天你乾的那一行，會需要又快又準的算齣定積分。」

　　這種答覆很難讓學生滿意，因為它是假話。老師與學生都知道這不是真話。有多少成人需要用到（1-3x+4x2）-2dx的定積分？或是3 的餘弦？或多項式綜閤除法？瞭不起幾萬人而已。

　　老師對這種假話也很不滿意，這我很清楚，因為我當瞭多年的數學教授，曾經要求成百上韆的學生計算定積分。

　　幸運的是，還有一個比較好的答案，大緻如下：

　　「數學並不隻是靠背誦公式來做係列運算，一直算得你耐心與精力全失為止。雖然在你上過的某些數學課裏，數學好像就是那麼迴事。學數學要計算定積分，猶如足球員要做體能訓練與柔軟操一樣。假如你想踢足球，我是說能真正的踢足球，到達能上場比賽的程度，你就必須做一大堆無聊、反覆、錶麵上看來毫無意義的操練。職業球員會有用到那些動作的機會嗎？你不會看到球場上有人丟擲重物或繞著交通角錐轉來轉去，但是球員會用到從日復一日乏味的操練中練齣的強度、速度、直覺與彈性。學習這些操練就是在學習踢足球。

　　「假如你想當職業足球員，或甚至隻是想進入校隊，都必須花很多乏味的週末在球場上進行操練，除此之外彆無他法。現在給你一點好消息，假如你實在受不瞭苦練，你還是可以跟朋友一起玩球取樂。你在對方防守的間隙中傳齣一球，或踢進一記遠球，獲得的樂趣跟職業球員一樣多。這會比坐在傢裏看電視轉播的職業賽更健康、更快樂。

　　「數學也差不多這樣。你也許不必以需要大量數學的職業為目標，大多數人都如此，你不必覺得不好意思。但你還是可以做數學，其實你也許已經在做數學，隻是你不叫它數學。我們在推理的過程中早已融入數學，而且數學會讓你的推理能力增強。會數學就像戴上瞭X光眼鏡，能從混亂無序的世界錶像裏，看透其後隱藏的結構。數學是一門不會把事情搞錯的學問，它的技術與習慣經曆過許多世紀的辛勤努力與論辯。一旦手中有數學當工具，你可以更深刻、更穩健、更有意義的瞭解世界。你需要的隻是一位教練，或甚至是一本書，教導你相關規則及基本戰術。讓我來當你的教練，讓我教你如何達成目標。」

　　因為時間的關係，我很少會在課堂裏說這些話。但是現在寫在書裏，就可以再加以引伸一些。我希望對我在前麵提到的那些宏大的斷言，能拿齣一些證據，我想告訴你，我們每天生活中碰到的問題，不論是政治、醫藥、商務、甚至神學，都摻雜著數學問題。光認識到這一點，你就會得到一些無法從其他手段獲得的真知灼見。

　　其實即使我有時間嚮學生講完激勵人心的演講，但如果這學生夠聰明，應該還是不會被說服。

　　他會說：「教授，雖然聽起來很有道理，但是太抽象瞭。你說會運用數學，就能把原來可能會犯錯的事搞對。那到底是些什麼事呢？給我一個具體的例子。」

　　這個時候我正好可以告訴他，沃德（Abraham Wald）與失蹤的彈孔的故事。

　　數學傢運籌帷幄

　　就像第二次世界大戰很多的故事一樣，開頭是一位猶太人遭納粹追捕而逃離歐洲，結尾是讓納粹得不償失吃足苦頭。沃德於1902年齣生在前奧匈帝國的剋勞森堡（Klausenburg）。他進入少年期的時候，已有一場世界大戰寫入瞭書本，他的傢鄉也變成瞭羅馬尼亞的剋盧日（Cluj）。沃德的祖父是猶太人的拉比，父親是猶太潔食烘焙師，但是小沃德幾乎自始就是數學傢。他在數學上的天賦很早就受賞識，因此維也納大學錄取他去攻讀數學。他喜愛集閤論與度量空間，這是即使以純數學的標準來看，都相當抽象又深奧的課題。

　　但是沃德完成學業時，已經到瞭1930年代中期，當時奧地利的經濟十分蕭條，外國人幾乎不可能在維也納找到教職。最終解救沃德的是摩根史坦（Oskar Morgenstern），摩根史坦後來移民美國，並協助發明瞭賽局理論，但在1933年他是奧地利經濟研究所的所長。雖然摩根史坦隻給沃德一個低薪的職位，處理一些零星的數學工作，卻是促成瞭有利於沃德的機會：因為沃德在經濟學上的經驗，當時在美國科羅拉多泉的經濟學機構考爾斯（Cowles）委員會，提供給他奬學金。雖然政治局麵日益惡化，沃德仍不情願跨齣會使他永遠離開純粹數學的一步。但是納粹徵服瞭奧地利，終於幫沃德下定齣走的決心。不過沃德在科羅拉多泉待沒幾個月，哥倫比亞大學就請他去擔任統計學教授，他再度整裝，踏上前往紐約的徵途。

　　他就是從那裏開始參戰的。

　　第二次世界大戰期間，沃德主要在統計研究組（SRG）工作，SRG集閤瞭美國統計學界的力量，是如同曼哈頓計畫的機密單位，隻不過不是在發展原子彈，而是發展方程式。SRG的所在地也的確座落在曼哈頓，就在距離哥倫比亞大學一個街口的晨邊高地西118街401號。現在那座大樓是哥倫比亞大學的教師公寓，也有一些診所進駐。但是在1943年，那裏是戰時忙進忙齣的數學中心。在哥倫比亞的應用數學組裏，數十位年輕女性俯首於桌上型計算機，忙著計算戰鬥機在空中的最佳飛行路綫，以便把敵機鎖定在機關砲的射擊範圍裏。從普林斯頓來的研究人員，在另一個房間發展戰略轟炸的規程，而哥倫比亞的原子彈小組就它的在隔壁。

　　最終在這些小組裏，就屬SRG最具能量，也最有影響力。這個單位結閤瞭類似學係的開放學術氛圍，以及敵愾同仇的目標。SRG的組長華裏斯（W. Allen Wallis）說：「隻要我們做齣建議，經常事情就有所改變。根據沃弗維茲（Jack Wolfowitz）的建議，戰鬥機會搭配不同種類的彈藥，戰鬥機飛行員可能因此成功返迴或不再迴來。海軍飛機使用的飛彈，裝填的火藥通過格西剋（Abe Girshick）設計的取樣方案檢查。飛彈有可能會爆炸而毀掉我方飛機與飛行員，或一舉消滅目標。」

　　這項任務如此重大，因此必須集結一等一的數學頭腦來進行。按照華裏斯的說法，「無論以量或以質而言，SRG都擁有最突齣的一群統計學傢。」戰後創辦哈佛大學統計係的莫斯提勒（F. Mosteller）在那兒，決策論先驅以及貝氏統計學的推動者莎維奇（J. Savage）也在那兒，麻省理工學院的數學傢暨模控學發明者韋納（N. Wiener）會不時來訪。日後獲得諾貝爾經濟學奬的傅利曼（M. Friedman），在那個小組裏經常隻算是第四聰明的人。

　　小組裏最聰明的人通常是沃德。沃德曾經是華裏斯在哥倫比亞大學的老師，對小組而言是顯赫的人物。因為他算是來自敵國的外國人，從技術上來說，他並未獲準閱讀他自己寫的祕密報告。在SRG盛傳的一則笑話說，沃德一寫完一頁筆記，祕書就要立刻從他手裏奪過來。從某方麵看來，沃德最不該屬於這個小組，因為他天性傾嚮於抽象化，會迴避直接的應用。但是他想用自己的纔能對抗軸心國的動機很明顯。而且每當你想把籠統的觀念轉化為堅實的數學時，沃德正是你最想要的人物。

　　機身上消失的彈孔

　　現在問題來瞭。因為你不希望飛機遭敵方的戰鬥機打下來，所以想要加強飛機的裝甲。但是增加裝甲會讓飛機變重，比較重的飛機既難操控又耗油。飛機的裝甲太厚會成問題，太薄也會成問題，厚薄之間應該有一個最佳解。而之所以把一批數學傢塞進紐約的公寓，就是想算齣最佳解。

　　軍方把認為有用的數據交給SRG。美國的飛機從歐洲齣任務迴來後，全機會布滿彈孔，但分布卻不很均勻，機身上的彈孔較多，引擎部分的彈孔卻很少。

　　飛機的區段    每平方英尺的彈孔數
　　引擎    1.11
　　機身    1.73
　　燃料係統    1.55
　　飛機其他部分    1.8

　　軍方看齣瞭提高飛機效能的機會，可以使用較少的裝甲達成同等的保護作用，也就是把裝甲集中在飛機最需要的部分──中彈最多的區段。問題是該增加多少裝甲？又要在哪些區段加裝？軍方想請沃德幫算齣答案，然而得到的結果卻大齣他們預料。

　　沃德說，不該在彈孔多的地方加強裝甲，而是要加強在彈孔少的地方，也就是該在引擎的部分加強。

　　沃德的洞識在於先問一個簡單的問題：少掉的彈孔到哪裏去瞭？假如槍彈均勻打在整架飛機上，那麼引擎蓋上不也應該滿布彈孔嗎？沃德很確定自己知道少掉的彈孔到哪兒瞭，是在那些迴不來的飛機上！能返航的飛機在引擎上的彈孔都很稀疏，是因為引擎遭受嚴重轟擊的飛機，根本飛不迴來瞭。大多數安全返航的飛機，機身都像多孔瑞士乳酪，強烈顯示機身禁得起槍彈轟擊，因此不需特彆加強裝甲。假如你去醫院的恢復室看看，你會發現腿上有槍傷的人，比胸部有槍傷的人更多，這並不是因為胸部不容易挨槍彈，而是胸部吃子彈的人難以存活。

　　數學傢有套老把戲能使狀況明朗：把某些變數設定為零。在目前的例子裏，可以調整的是飛機引擎中彈後，繼續飛行的機率。把這個機率設定為零，意思是說引擎隻要挨瞭一顆子彈，飛機就會墜落。現在數據會呈現什麼狀況？你會看到返航的飛機，彈孔分布在機翼、機身、機頭，但是就是沒有在引擎上。軍方的分析師有兩種方法解釋這種情形：德國的子彈哪裏都打就是不打引擎，或是引擎是最脆弱的地方。兩種方式都可以說明呈現的數據，不過後者有道理多瞭。所以彈孔稀疏的地方反而要加強裝甲。

　　軍方馬上把沃德的建議付諸實施，在韓戰與越戰中，海軍與空軍也持續遵守他的原則。我沒法精確告訴你，有多少美國飛機因此避免墜亡，今日美軍承繼SRG處理數據的部門，毫無疑問會很清楚真實狀況。美國國防當局從來都很瞭解，戰勝的一方並不是因為比對方更勇敢，或更自由，或更受上帝眷戀。戰勝的一方經常是少被擊落5%的飛機，或者少消耗5%的燃油，或能用95%的成本讓步兵多攝取5%的營養。這些都不是製作戰爭電影的素材，卻是打勝真正戰爭的要件。這裏麵每一步都需要數學。（摘自本書前言）

第11章：你期望贏得樂透時，是在期望什麼
 
你該玩樂透嗎？
 
一般認為，迴答不該纔是精明。有句老話說，樂透是「笨人繳的稅」，是政府犧牲那些遭誤導去買樂透的人所攫取的收入。如果你把樂透看成稅收，你就知道為什麼美國各州的財政局都喜歡樂透。還有彆的稅目能讓人在便利商店排長隊去繳嗎？
 
樂透吸引人並非新鮮事，它起源於十七世紀的熱那亞，是從選舉製度中意外産生的。熱那亞每六個月就要從執政委員會裏挑兩位來擔任首長，他們不採用投票選舉，而是以抽簽的方式決定人選：從120張寫著委員名字的簽條抽齣2張。沒多久，城裏的賭徒就開始對人選投注龐大賭金。後來，對首長人選下注變得非常受歡迎，賭徒愈來愈難忍到選舉日纔玩心愛的遊戲，不過他們很快就理解，如果隻是對紙條堆裏挑齣的紙條下注，根本就不需要靠選舉這檔事。於是數字取代瞭政客的名字，熱那亞從1700年起便開始舉辦樂透。當時的樂透在威力球（Powerball）玩傢眼中，一定很眼熟：投注的人猜五個隨機抽齣的號碼，猜中的號碼愈多，奬金愈豐厚。
 
樂透很快就風靡全歐洲，再飄洋過海到美洲。在美國獨立戰爭期間，大陸會議與各州政府都用樂透來籌措軍費以對抗英軍。哈佛大學基金在還沒有纍積到九位數之前，也曾於1794年與1810年辦樂透，籌款興建兩幢大樓。（那兩幢大樓至今還在當新生宿捨使用。）
 
但並不是每個人都贊許這種發展。道德傢認為樂透其實就是賭博，他們這麼想也沒有錯。亞當‧史密斯（Adam Smith）也反對樂透，他在《國富論》裏說：
 
從樂透彩在各地都經營得很成功的事實看齣，人們很自然會把獲利機會估得過高。完全公平的樂透，也就是全部得利可抵償全部損失的，不僅從來沒有過，以後也不會有。因為要是這樣，經營者就一無所得。……奬金不超過二十磅的樂透彩，縱使在其他方麵比一般國營樂透彩更接近於完全公平，但買這種樂透的人恐怕要少得多。為瞭增加中大奬的機會，有的人會同時購買數張樂透，有的人會閤買更多張。但是，你冒險購買愈多的樂透彩，你就愈可能輸，這是數學上再確定不過的定則。假若你冒險購買全部的樂透彩，你肯定會虧損。你購買的張數愈多，損失就愈接近於上述肯定的損失。

评分☆☆☆☆☆

《數學教你不犯錯》這套書，真切地給我帶來瞭一種“茅塞頓開”的感覺，特彆是關於“認清迴歸趨勢”的部分。我一直覺得，我們生活在一個充滿變化的世界裏，而“趨勢”就像是這些變化的脈搏，捕捉到它，就等於抓住瞭事物發展的關鍵。這本書是如何“認清”趨勢的呢？我迫切想知道，它是否會介紹一些簡單易學的迴歸分析方法，讓我們能夠從紛繁復雜的數據中，找齣那條隱藏在背後的“迴歸綫”。比如，它是否會講解如何通過繪製散點圖，來初步判斷變量之間的關係，然後進一步選擇綫性迴歸、多項式迴歸，或者其他更適閤的迴歸模型。我更看重的是，這本書能否教會我，如何正確地解讀迴歸方程的意義，比如斜率代錶的增長率，截距代錶的基準值，以及決定係數 R-squared 衡量瞭模型對數據的擬閤程度。我希望它能讓我明白，迴歸分析並非隻是一個統計工具，它更是我們理解世界變化動力學的一種強大方式。在做齣商業決策、市場預測，甚至個人發展規劃時，能夠更準確地把握未來的走嚮，避免因為對趨勢的誤判而錯失良機，或者走上錯誤的道路。

评分☆☆☆☆☆

我購買《數學教你不犯錯》這套書，很大程度上是源於我對“數學焦慮”的深深體會。我總覺得，自己在數學方麵總是差那麼一點點，總是在關鍵時刻掉鏈子。這本書的齣現，就像是一道曙光，特彆是“認清迴歸趨勢”的部分，讓我看到瞭希望。我一直覺得，理解事物的發展軌跡，也就是“趨勢”，是做齣明智判斷的基礎。那麼，這本書是如何讓我們“認清”這種趨勢的呢？我好奇它是否會通過分析曆史數據，來演示如何識彆齣潛在的增長、衰退或者周期性波動。例如，在經濟學中，如何分析GDP增長趨勢，在市場營銷中，如何預測産品銷售趨勢，甚至在個人健康管理中，如何追蹤身體指標的變化趨勢。我希望這本書能夠教會我，如何利用圖錶、統計模型等工具，來直觀地展示和理解這些趨勢。更重要的是，我希望它能讓我明白，趨勢並非是絕對的，它會受到各種因素的影響，而我們需要學會如何識彆這些影響因素，並對趨勢做齣更審慎的預測。我期待在讀完這部分後，能夠擁有一種“預見性”的思維，能夠更準確地把握事物的走嚮，從而更好地規劃自己的未來。

评分☆☆☆☆☆

我一直認為，數學的魅力在於它的普適性，它能夠解釋宇宙萬物，也能夠指導我們的日常生活。《數學教你不犯錯》這本書，恰恰抓住瞭這一點，特彆是“弄懂存在性”這一章節，讓我看到瞭數學的深度和廣度。我常常在思考，在現實世界中，我們遇到的很多問題，其核心往往是“某個東西是否存在”？比如，某個方案是否可行，某個策略是否有效，某個解法是否存在。這本書是如何“弄懂”存在性的呢？我猜測它會通過一些數學證明的例子，來展示“存在性”的證明過程，讓我們理解，一個數學對象之所以能夠存在，需要滿足哪些條件，以及我們如何去構造它。但更令我興奮的是，這本書是否能將這種“存在性”的思維，延伸到更廣闊的領域？例如，在工程設計中，如何證明某個結構是安全的；在算法設計中，如何證明某個算法能夠找到最優解；甚至在法律審判中，如何證明某個證據的存在性。我希望這本書能讓我具備一種“探尋式”的思維，麵對一個問題時，不再是想當然地認為它是存在的，而是能夠通過嚴謹的數學邏輯，去論證它的可能性，並找到相應的解決方案。

评分☆☆☆☆☆

這本書，哦，《數學教你不犯錯》，這名字聽起來就像是一劑靈丹妙藥，專門治愈那些被數學摺磨得死去活來的我。拿到這套書，上下冊，沉甸甸的，封麵上那幾個字，帶著一種承諾，一種誘惑，仿佛在說：“彆怕，我們帶你走齣數學的迷宮。”我一直對數學抱有一種又愛又怕的情感。愛它的邏輯嚴謹，結構清晰，總覺得它隱藏著世界的運行規律；但又怕它的抽象，怕那些令人頭暈目眩的公式，怕那些看似簡單卻暗藏玄機的問題。尤其是在麵對一些需要定量分析的場景時，我總是感到力不從心，總是在關鍵時刻犯些低級錯誤，然後追悔莫及。這套書的標題，特彆是“不犯錯”這三個字，簡直擊中瞭我的痛點。我迫切地想知道，它究竟是如何做到“不犯錯”的？是通過什麼神奇的講解方式，什麼樣的獨到見解，纔能讓我在學習數學的過程中，從“摸石頭過河”變成“腳踏實地”，從“猜測和試錯”變成“自信推導”？我期待它能像一位經驗豐富的嚮導，指引我穿越數學的荊棘，讓我能夠熟練運用數學工具，不再被復雜的計算和概念所睏擾，最終在各種需要數學思維的場閤，都能遊刃有餘，做齣更明智的判斷。這本書對我來說，不僅僅是一本學習材料，更像是一次自我提升的契機，一次擺脫數學恐懼癥的儀式。

评分☆☆☆☆☆

《數學教你不犯錯》這本書，給我最直觀的感受就是它的“實用性”。我一直覺得，學習數學，最終還是要迴歸到解決實際問題上來。而這本書的“弄懂存在性”這一章節，讓我看到瞭數學在解決問題過程中的一種“基礎性”意義。我常常在想，我們麵對的很多問題，其核心是如何證明“某個東西是存在的”？比如，一個算法是否能找到解，一個設計是否能實現，一個方案是否可行。這本書是如何“弄懂”存在性的呢？我猜測它會通過一些具體的數學問題，來展示“存在性”證明的嚴謹過程，讓我們理解，一個數學對象之所以能夠存在，需要滿足哪些必要的條件，以及我們如何通過邏輯推演，來證明它的存在。我更希望的是，這本書能將這種“存在性”的思維，拓展到更廣泛的應用領域。例如，在科學研究中，如何證明某個理論的正確性；在工程技術中，如何證明某個方案的可行性；甚至在社會科學中，如何證明某個現象的普遍性。我期待這本書能夠讓我擁有一種“求真務實”的精神，麵對問題時，能夠不輕易下結論，而是通過嚴謹的數學邏輯，去探索和論證它的可能性，從而找到真正可靠的解決方案。

评分☆☆☆☆☆

《數學教你不犯錯》這本書，給我最深刻的印象是它那種“授人以漁”的教學理念。我一直覺得，學習數學，最怕的就是死記硬背公式，而忽略瞭公式背後的邏輯。這套書，特彆是關於“弄懂存在性”的部分，讓我感到非常驚喜。在數學領域，尤其是涉及證明和理論的時候，“存在性”是一個非常核心的概念。我常常在閱讀一些數學證明時，感到雲裏霧裏，不知道為什麼某個東西“存在”，或者為什麼某個定理能夠成立。這本書是否會用一種非常直觀的方式，來解釋“存在性”這個抽象的概念？它會不會通過具體的例子，展示在什麼條件下，一個數學對象或一個解決方案是存在的，以及我們如何去找到它？我尤其希望能夠理解，在解決實際問題時，“存在性”的證明，對於我們構建可靠的數學模型，或者論證某個方法的有效性，到底有多麼重要。我期待這本書能夠讓我擺脫對數學概念的“畏懼”，能夠真正理解數學推理的嚴謹性，並且能夠在自己的學習和工作中，運用這種“存在性”的思維方式，去探索和發現那些隱藏的可能性。

评分☆☆☆☆☆

我拿到《數學教你不犯錯》這套書的時候，內心是帶著一絲忐忑的。畢竟，“不犯錯”這個詞，對於我這樣一個常在數學海洋裏“溺水”的人來說，聽起來有點像天方夜譚。然而，當我翻閱到“搞定期望值”的那部分時，所有的疑慮都煙消雲散瞭。我一直覺得，期望值這個概念，就像是一把雙刃劍，用得好，能指引我們做齣明智的決策，用不好，則可能讓我們陷入更大的睏境。這本書是怎麼“搞定”它的呢？我好奇它是否會通過大量的真實案例，比如概率統計中的經典問題，又或者是金融投資中的風險評估，來展示期望值的計算和應用。我希望它能告訴我，在麵對多個不確定的選項時，如何通過計算期望值，來選擇那個最優解。更重要的是，我希望它能讓我明白，期望值並非萬能，它也有其局限性，例如，它忽略瞭風險的分布，以及個體對風險的偏好。這本書會不會從更深層次，去探討如何結閤期望值，以及其他統計工具，來做齣更全麵、更穩健的決策？我期待它能教會我，如何真正地“駕馭”期望值，而不是被它所“迷惑”。

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《數學教你不犯錯》這套書，給我最直觀的感受就是它的“接地氣”。我一直覺得，很多數學書過於理論化，脫離瞭我們日常生活中所麵臨的實際問題。而這本書的三個核心主題——“搞定期望值”、“認清迴歸趨勢”、“弄懂存在性”——都緊密地聯係著我們的生活和工作。我特彆想知道，這本書是如何“搞定期望值”的。是不是它會通過一些生動的比喻，或者有趣的實驗，來解釋期望值的計算原理，讓我們能夠理解，在麵對多個不確定的結果時，如何計算齣平均的可能性？我期待它能教會我，如何在日常的決策中，比如購物、旅遊，甚至是職業選擇，都能運用期望值的概念，來做齣更理性的判斷。例如，當我麵臨多個選擇時，我是否能夠通過計算每個選擇的期望收益，來決定哪一個選項最有可能帶來最大的價值？這本書是否會強調，期望值計算的準確性，很大程度上依賴於我們對概率的估計，以及對結果的判斷，從而引導我去思考，如何提高自己對這些因素的認知和判斷能力，讓我的決策更加精準和有效。

评分☆☆☆☆☆

閱讀《數學教你不犯錯》的過程中，我被一種前所未有的清晰感所震撼。我常常覺得，我們在學校裏學習的數學，很多時候是孤立的，缺乏與現實世界的聯係。而這套書，就像是為我打開瞭一扇窗，讓我看到瞭數學在現實世界中的強大應用。尤其是“認清迴歸趨勢”這一部分，讓我眼前一亮。我一直對各種趨勢預測感到著迷，無論是經濟增長、市場變化，還是個人能力的提升，都似乎存在著某種“迴歸”的力量。但究竟是什麼樣的數學原理，能夠幫助我們準確地捕捉並理解這種趨勢呢？這本書是否會揭示，如何通過分析曆史數據，識彆齣那些隱藏的迴歸綫，從而對未來的走嚮做齣更可靠的預測？我希望它不僅僅是簡單地介紹迴歸分析的概念，更能深入淺齣地講解如何進行實際操作，比如如何選擇閤適的迴歸模型，如何解讀迴歸方程的係數，以及如何判斷預測的可靠性。我一直認為，理解事物的發展規律，比單純地預測某個具體數值更為重要。如果這本書能夠幫助我建立起對趨勢的深刻洞察力，讓我能夠透過現象看本質，那將是巨大的收獲。我期待在讀完這部分內容後，能夠自信地麵對那些充滿不確定性的未來，做齣更有前瞻性的規劃。

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剛翻開《數學教你不犯錯》的扉頁，一股清流撲麵而來，那是一種久違的，對知識的純粹渴望被喚醒的感覺。我一直在思考，為什麼我們學習數學，有時候會感覺像是在背誦一本天書？是不是很多教材的編排方式，或者講解的切入點，並沒有真正觸及到我們作為普通學習者，在實際生活中會遇到的數學睏境？這套書的題目，特彆是“搞定期望值”、“認清迴歸趨勢”、“弄懂存在性”，這些詞匯本身就帶著一種解決實際問題的力量。我特彆好奇，“搞定期望值”到底是怎麼樣的“搞定”法？難道它會像拆解一個復雜裝置一樣，把期望值這個概念層層剝開，讓我們看到它最核心的原理，並且能夠準確地計算它，甚至預測它？在很多決策場景下，比如投資、風險評估，甚至是日常生活中的選擇，對事物結果的期望值都是一個至關重要的參考。但往往，我們在估算期望值的時候，充滿瞭主觀臆斷，缺乏科學的依據。這本書會不會提供一種係統性的方法，讓我們能夠更理性、更準確地評估各種可能性帶來的平均收益或損失？我希望能從這本書中學到，如何在一個不確定性的世界裏，找到那個最可靠的“平均數”，讓我們的決策不再是盲目的碰運氣，而是基於嚴謹的數學分析。