数学教你不犯错，上下册套书：搞定期望值、认清回归趋势、弄懂存在性 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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原文作者： Jordan Ellenberg

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• 数学
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• 高中数学
• 解题技巧

　　会数学就像戴上X光的眼镜，能从混乱无序的世界表像里，看透其后隐藏的结构。数学是一门不会把事情搞错的学问，它的技术与习惯经历过多少世纪的辛勤努力与论辩。手中有了数学当工具，你可以更深刻、更稳健、更有意义的了解这个世界。你需要的只是一位教练，或甚至是一本书，来教导你相关规则及基本战术。而这本《数学教你不犯错》就是你最好的教练，它能教你如何达成目标。

　　在《数学教你不犯错，上》，你能学会如何不落入线性思考：你会明白做决策得先明白自己的立足点、你将学会用数学来拨正错误的直觉、看清真正的趋势。你也能学会不做错误推论：从此看清楚投顾老师的诈术，知道巧合比你想象的还常发生，看清不太可能跟不可能的差别，而且从此不受统计数字的愚弄！

　　在《数学教你不犯错，下》，你会知道什么是期望值，知道期望值的正确用法，例如在买乐透时，什么时候才是出手的好时机；如何做决定才能获利最多、损失最少。你还会明白回归趋势，不再会对未来抱持不实际的想法，得以知道如何判断才是正确之道。你还能清楚存在性是什么，从此不会给民调数据搞得团团转，清楚看出谁用什么手段在操纵民意。你会发现，许多的盲点，都可以用数学突破，数学真的可以教你不犯错。

名人推荐

　　是有特色、文笔又好的数学科普书。──译者李国伟教授

　　这本书将帮你了解， 生活中处处需要数学思考力。──《华尔街日报》

　　《数学教你不犯错》可以帮你探索你的数学超能力。──《科学美国人》

　　艾伦伯格寻找现实生活情境中数学原则的才能，让所有数学老师都嫉妒。──《华盛顿邮报》

　　诗人数学家为这个大数据时代提供有力且深具娱乐性的入门书……是值得任何人一读的数学科普书。──《Salon》

　　作者避用艰深术语，并採用真实世界的逸闻、简单的方程式与图形，传达出即使是简单的数学，也是有力的工具。──《柯克斯书评》

深入浅出：构建严谨思维的统计学指南 本书聚焦于现代数据分析的核心基石——统计学原理的深度剖析与实际应用。它摒弃了晦涩难懂的数学推导，转而强调概念的直观理解、方法的选择逻辑以及结果的审慎解读。 --- 第一部分：数据的本质与描述性统计的艺术 在浩如烟海的数据面前，我们如何迅速抓住事物的核心脉络？本书的开篇将引导读者建立起对“数据”这一概念的立体认知。 1. 数据的分类与测量尺度 数据并非铁板一块，其内在的属性决定了我们能对其进行何种操作。我们将细致区分定性数据（如类别、属性）与定量数据（如计数、测量），并深入探讨四种主要的测量尺度：名义、顺序、区间和比率。理解这些尺度是选择恰当统计工具的前提，错误地应用工具如同用尺子量角度，将导致荒谬的结论。我们将展示如何识别现实世界中常见数据的尺度归属，并阐述这如何影响后续的图表制作与统计检验。 2. 集中趋势与分散程度的精确描绘 描述性统计是数据分析的“眼睛”。本书将详尽讲解衡量数据核心位置的指标——均值、中位数和众数。我们会深入分析它们各自的优缺点，特别是当数据存在偏态分布或极端值（离群点）时，中位数为何比均值提供更稳健的中心度量。 更关键的是对变异性的掌握。分散程度的指标，如标准差、方差、极差和四分位数间距（IQR），揭示了数据的“松散”或“集中”程度。我们将通过大量的实例演示，说明仅有中心趋势是不够的——例如，两个平均工资相同的工厂，其员工满意度的真实情况可能天差地别，而差异正藏在标准差里。对标准差的几何意义的直观解析，将帮助读者理解“正态性”的意义，并为后续的推断统计打下坚实的基础。 3. 图形化的力量：有效的数据可视化 如何用图形讲述数据的故事？本书强调可视化不仅仅是美观，更是一种严谨的交流方式。我们将对比不同图表类型的适用场景： 直方图 (Histograms) 与密度图 (Density Plots)：用于展示分布的形状，识别单峰、双峰、偏态等特征。 箱线图 (Box Plots)：高效地比较多个数据集的中心、分散和异常值，避免了过度依赖均值和标准差的局限性。 散点图 (Scatter Plots)：初步探索两个变量间的关系形态，为回归分析做铺垫。 我们将剖析常见的“误导性图表”，例如不恰当的坐标轴截断、不平衡的比例等，教导读者如何成为一个批判性的数据消费者和诚实的报告者。 --- 第二部分：概率基础与推断统计的桥梁 统计学的精髓在于“推断”——如何从样本的观察结果合理地推测到总体的特征。这依赖于坚实的概率论基础。 4. 概率论的核心概念重温 本书将概率论的讲解聚焦于其在统计推断中的应用，而非纯粹的数学证明。我们将解释条件概率、独立事件的概念，并重点讲解贝叶斯定理在更新信念中的作用。理解概率分布是推断统计的基石，我们将系统介绍几种关键的离散和连续分布： 二项分布 (Binomial Distribution)：处理固定次数的成功/失败试验。 泊松分布 (Poisson Distribution)：分析在特定时间或空间内事件发生的次数。 正态分布 (Normal Distribution)：统计学中的“通用语言”，其在中心极限定理中的核心地位。 5. 抽样分布与中心极限定理的魔力 这是从描述到推断飞跃的关键一步。我们将深入解释抽样分布 (Sampling Distribution) 的概念，即统计量（如样本均值）自身的分布。中心极限定理 (Central Limit Theorem, CLT) 的讲解将是重中之重，它解释了为何即使总体分布形态各异，大样本的均值也会趋向于正态分布。我们将通过仿真实验直观展示CLT的威力，从而理解为何我们可以放心地使用基于正态假设的统计工具。 --- 第三部分：假设检验与区间估计的严谨性 假设检验是科学研究和决策制定的核心流程。本书致力于消除读者对P值和显著性水平的“迷信”，转而强调其背后的逻辑和局限性。 6. 建立严谨的假设检验框架 我们将一步步拆解假设检验的五个核心步骤： 1. 建立原假设 ($H_0$) 与备择假设 ($H_a$)：如何将研究问题转化为可检验的数学陈述。 2. 选择显著性水平 ($alpha$)：理解 $alpha$ 犯第一类错误 (Type I Error) 的风险。 3. 计算检验统计量与P值：深入解读 P值 (P-value) 的真正含义——在原假设为真的前提下，观察到当前样本结果或更极端结果的概率。我们不会简单地将其等同于“拒绝原假设的概率”。 4. 做出决策与下结论：正确地解释“拒绝 $H_0$”和“未能拒绝 $H_0$”在实际意义上的区别。 我们将详细讨论第二类错误 (Type II Error) 和统计功效 (Power) 的重要性，强调研究设计必须关注检验的敏感性，而非仅仅是P值的大小。 7. 构造可靠的置信区间 区间估计是对参数的更全面的刻画。我们将讲解置信区间 (Confidence Interval, CI) 的构建过程，解释“95%置信”的真正含义：如果重复进行多次抽样，95%的区间将包含真实的总体参数。本书将重点对比单样本均值、比例的置信区间的计算，并强调当样本量较小或总体标准差未知时，t分布的应用场景，及其与Z分布的根本差异。 --- 第四部分：比较与关联：统计检验方法的选择与应用 本部分将深入探讨如何根据研究目的和数据类型，选择最合适的比较或关联分析方法。 8. 差异检验：T检验与方差分析 (ANOVA) 我们将系统地比较不同场景下的差异检验： 单样本T检验：将样本均值与已知常数比较。 独立样本T检验：比较两个独立群体的均值差异，并讨论等方差性 (homoscedasticity) 的检验（如Levene检验）及其对检验结果的影响。 配对样本T检验：处理重复测量或匹配样本的依赖性差异。 对于三个及以上群体的均值比较，单因素方差分析 (One-Way ANOVA) 是必需的工具。我们将解释ANOVA的F统计量如何综合比较组间差异与组内误差，以及在F检验显著后，必须进行的事后多重比较检验（如Tukey's HSD）来确定具体是哪几组之间存在差异，避免“多重比较谬误”。 9. 关联分析：相关与回归的基础逻辑 本章着重于量化两个变量之间的线性关系。我们将区分相关系数 (Correlation) 和回归系数 (Regression) 的含义。 皮尔逊相关系数 ($ ho$)：衡量线性关系的强度和方向，并强调相关不等于因果。 简单线性回归 (Simple Linear Regression)：建立预测模型 $Y = a + bX + epsilon$。我们会详细解析最小二乘法的原理，如何解释回归系数 $b$（斜率）、截距 $a$ 以及模型的拟合优度决定系数 ($R^2$)。更重要的是，我们将学习如何检验回归模型的整体显著性，以及如何利用残差分析来诊断模型是否满足线性回归的四大基本假设（线性、独立性、同方差性、正态性）。 本书旨在为读者提供一套清晰、可操作的统计思维框架，使他们不仅能熟练运用统计软件，更能理解软件输出背后的逻辑，从而在面对复杂数据和决策时，保持批判性的洞察力，避免因理解偏差而导致的严重错误。

作者简介

艾伦伯格　Jordan Ellenberg

　　从小就是数学神童，并乐意用一般人听得懂得描述，介绍数学与真实世界的连结。

　　艾伦伯格是哈佛大学数学博士、威斯康辛大学数学教授，并获得约翰霍普斯金大学创意写作硕士。数学主题的文章散见于《纽约时报》、《华盛顿邮报》、《连线》杂志、《华尔街日报》，并是《石板》杂志专栏作家。

　　艾伦伯格从小就是天才，两岁就会读书，五岁时就可以做两位数乘法，十二岁时考SAT，数学就拿到800分满分，现在身为数学教授的他，是数学界的超级明星，他在这本书中为读者揭示混沌世界表像下隐藏的数学思维之美，教读者运用数学思考的力量，做出更准确的工作与生活决策，解决日常生活的问题，这本书就是要帮助数学门外汉学习用数学思维思考问题的技能。

译者简介

李国伟
　
　　1948年生于南京。台湾大学数学系毕业，美国杜克大学数学博士。曾任中央研究院数学研究所所长，中研院数学所研究员，多年来致力于科学普及工作，为天下文化「科学文化」丛书策画者之一。曾获李国鼎通俗科学写作佳作奖、吴大猷科学普及着作奖翻译类佳作奖。着有《一条画不清的界线》，译有《笛卡儿，拜拜！》（与饶伟立合译）、《电脑也搞不定》、《科学迎战文化敌手》。

《数学教你不犯错，上》
 
前言    我什么时候才会用到数学？

PART I  线性思考错了吗？
第1章：更不像瑞典
第2章：局部平直，大域弯曲
第3章：每个人都肥胖
第4章：相当于死了多少美国人？
第5章：派饼比盘子还大
 
PART II  这样推论可以吗？
第6章：破解圣经密码
第7章：死鱼不会读心
第8章：归渺法
第9章：内脏占卜学
第10章：上帝，祢在吗？是我，贝氏推论
 
《数学教你不犯错，下》
 
PART III  期望值是什么？
第11章：你期望赢得乐透时，是在期望什么
第12章：错过更多班机
第13章：火车铁轨相交之处
 
PART IV  认清回归，不错估趋势
第14章：平庸会出头
第15章：高尔顿的椭圆
第16章：肺癌令你抽菸吗？
 
PART V  存在性的真实意义
第17章：没有民意这种东西
第18章：「我从虚空中创造出一个新奇宇宙」
 
结语  如何做才能正确

前言   

什么时候用得到数学？

　　此刻，在世界上某间教室里，有一位学生正向老师抱怨，为什么课后要计算30条定积分？那会耗费掉他大半个週末。

　　这位学生宁可做些别的事，事实上他最不想做的就是积分。上个週末他就曾经花了很多时间算另外30条定积分，看起来与这次的定积分好像差别不大。他看不出做这件事的重点，他告诉老师自己的想法。在师生的这场对话中，学生一定会问到一个老师最怕听到的问题：

　　「我什么时候用得到它？」

　　老师很可能这么回答：

　　「我知道计算积分很乏味，但是你要记住，将来你不知道会选择什么样的工作，你现在可能觉得定积分没用，但也许有一天你干的那一行，会需要又快又准的算出定积分。」

　　这种答覆很难让学生满意，因为它是假话。老师与学生都知道这不是真话。有多少成人需要用到（1-3x+4x2）-2dx的定积分？或是3 的余弦？或多项式综合除法？了不起几万人而已。

　　老师对这种假话也很不满意，这我很清楚，因为我当了多年的数学教授，曾经要求成百上千的学生计算定积分。

　　幸运的是，还有一个比较好的答案，大致如下：

　　「数学并不只是靠背诵公式来做系列运算，一直算得你耐心与精力全失为止。虽然在你上过的某些数学课里，数学好像就是那么回事。学数学要计算定积分，犹如足球员要做体能训练与柔软操一样。假如你想踢足球，我是说能真正的踢足球，到达能上场比赛的程度，你就必须做一大堆无聊、反覆、表面上看来毫无意义的操练。职业球员会有用到那些动作的机会吗？你不会看到球场上有人丢掷重物或绕着交通角锥转来转去，但是球员会用到从日复一日乏味的操练中练出的强度、速度、直觉与弹性。学习这些操练就是在学习踢足球。

　　「假如你想当职业足球员，或甚至只是想进入校队，都必须花很多乏味的週末在球场上进行操练，除此之外别无他法。现在给你一点好消息，假如你实在受不了苦练，你还是可以跟朋友一起玩球取乐。你在对方防守的间隙中传出一球，或踢进一记远球，获得的乐趣跟职业球员一样多。这会比坐在家里看电视转播的职业赛更健康、更快乐。

　　「数学也差不多这样。你也许不必以需要大量数学的职业为目标，大多数人都如此，你不必觉得不好意思。但你还是可以做数学，其实你也许已经在做数学，只是你不叫它数学。我们在推理的过程中早已融入数学，而且数学会让你的推理能力增强。会数学就像戴上了X光眼镜，能从混乱无序的世界表像里，看透其后隐藏的结构。数学是一门不会把事情搞错的学问，它的技术与习惯经历过许多世纪的辛勤努力与论辩。一旦手中有数学当工具，你可以更深刻、更稳健、更有意义的了解世界。你需要的只是一位教练，或甚至是一本书，教导你相关规则及基本战术。让我来当你的教练，让我教你如何达成目标。」

　　因为时间的关系，我很少会在课堂里说这些话。但是现在写在书里，就可以再加以引伸一些。我希望对我在前面提到的那些宏大的断言，能拿出一些证据，我想告诉你，我们每天生活中碰到的问题，不论是政治、医药、商务、甚至神学，都掺杂着数学问题。光认识到这一点，你就会得到一些无法从其他手段获得的真知灼见。

　　其实即使我有时间向学生讲完激励人心的演讲，但如果这学生够聪明，应该还是不会被说服。

　　他会说：「教授，虽然听起来很有道理，但是太抽象了。你说会运用数学，就能把原来可能会犯错的事搞对。那到底是些什么事呢？给我一个具体的例子。」

　　这个时候我正好可以告诉他，沃德（Abraham Wald）与失踪的弹孔的故事。

　　数学家运筹帷幄

　　就像第二次世界大战很多的故事一样，开头是一位犹太人遭纳粹追捕而逃离欧洲，结尾是让纳粹得不偿失吃足苦头。沃德于1902年出生在前奥匈帝国的克劳森堡（Klausenburg）。他进入少年期的时候，已有一场世界大战写入了书本，他的家乡也变成了罗马尼亚的克卢日（Cluj）。沃德的祖父是犹太人的拉比，父亲是犹太洁食烘焙师，但是小沃德几乎自始就是数学家。他在数学上的天赋很早就受赏识，因此维也纳大学录取他去攻读数学。他喜爱集合论与度量空间，这是即使以纯数学的标准来看，都相当抽象又深奥的课题。

　　但是沃德完成学业时，已经到了1930年代中期，当时奥地利的经济十分萧条，外国人几乎不可能在维也纳找到教职。最终解救沃德的是摩根史坦（Oskar Morgenstern），摩根史坦后来移民美国，并协助发明了赛局理论，但在1933年他是奥地利经济研究所的所长。虽然摩根史坦只给沃德一个低薪的职位，处理一些零星的数学工作，却是促成了有利于沃德的机会：因为沃德在经济学上的经验，当时在美国科罗拉多泉的经济学机构考尔斯（Cowles）委员会，提供给他奖学金。虽然政治局面日益恶化，沃德仍不情愿跨出会使他永远离开纯粹数学的一步。但是纳粹征服了奥地利，终于帮沃德下定出走的决心。不过沃德在科罗拉多泉待没几个月，哥伦比亚大学就请他去担任统计学教授，他再度整装，踏上前往纽约的征途。

　　他就是从那里开始参战的。

　　第二次世界大战期间，沃德主要在统计研究组（SRG）工作，SRG集合了美国统计学界的力量，是如同曼哈顿计画的机密单位，只不过不是在发展原子弹，而是发展方程式。SRG的所在地也的确座落在曼哈顿，就在距离哥伦比亚大学一个街口的晨边高地西118街401号。现在那座大楼是哥伦比亚大学的教师公寓，也有一些诊所进驻。但是在1943年，那里是战时忙进忙出的数学中心。在哥伦比亚的应用数学组里，数十位年轻女性俯首于桌上型计算机，忙着计算战斗机在空中的最佳飞行路线，以便把敌机锁定在机关砲的射击范围里。从普林斯顿来的研究人员，在另一个房间发展战略轰炸的规程，而哥伦比亚的原子弹小组就它的在隔壁。

　　最终在这些小组里，就属SRG最具能量，也最有影响力。这个单位结合了类似学系的开放学术氛围，以及敌忾同仇的目标。SRG的组长华里斯（W. Allen Wallis）说：「只要我们做出建议，经常事情就有所改变。根据沃弗维兹（Jack Wolfowitz）的建议，战斗机会搭配不同种类的弹药，战斗机飞行员可能因此成功返回或不再回来。海军飞机使用的飞弹，装填的火药通过格西克（Abe Girshick）设计的取样方案检查。飞弹有可能会爆炸而毁掉我方飞机与飞行员，或一举消灭目标。」

　　这项任务如此重大，因此必须集结一等一的数学头脑来进行。按照华里斯的说法，「无论以量或以质而言，SRG都拥有最突出的一群统计学家。」战后创办哈佛大学统计系的莫斯提勒（F. Mosteller）在那儿，决策论先驱以及贝氏统计学的推动者莎维奇（J. Savage）也在那儿，麻省理工学院的数学家暨模控学发明者韦纳（N. Wiener）会不时来访。日后获得诺贝尔经济学奖的傅利曼（M. Friedman），在那个小组里经常只算是第四聪明的人。

　　小组里最聪明的人通常是沃德。沃德曾经是华里斯在哥伦比亚大学的老师，对小组而言是显赫的人物。因为他算是来自敌国的外国人，从技术上来说，他并未获准阅读他自己写的祕密报告。在SRG盛传的一则笑话说，沃德一写完一页笔记，祕书就要立刻从他手里夺过来。从某方面看来，沃德最不该属于这个小组，因为他天性倾向于抽象化，会回避直接的应用。但是他想用自己的才能对抗轴心国的动机很明显。而且每当你想把笼统的观念转化为坚实的数学时，沃德正是你最想要的人物。

　　机身上消失的弹孔

　　现在问题来了。因为你不希望飞机遭敌方的战斗机打下来，所以想要加强飞机的装甲。但是增加装甲会让飞机变重，比较重的飞机既难操控又耗油。飞机的装甲太厚会成问题，太薄也会成问题，厚薄之间应该有一个最佳解。而之所以把一批数学家塞进纽约的公寓，就是想算出最佳解。

　　军方把认为有用的数据交给SRG。美国的飞机从欧洲出任务回来后，全机会布满弹孔，但分布却不很均匀，机身上的弹孔较多，引擎部分的弹孔却很少。

　　飞机的区段    每平方英尺的弹孔数
　　引擎    1.11
　　机身    1.73
　　燃料系统    1.55
　　飞机其他部分    1.8

　　军方看出了提高飞机效能的机会，可以使用较少的装甲达成同等的保护作用，也就是把装甲集中在飞机最需要的部分──中弹最多的区段。问题是该增加多少装甲？又要在哪些区段加装？军方想请沃德帮算出答案，然而得到的结果却大出他们预料。

　　沃德说，不该在弹孔多的地方加强装甲，而是要加强在弹孔少的地方，也就是该在引擎的部分加强。

　　沃德的洞识在于先问一个简单的问题：少掉的弹孔到哪里去了？假如枪弹均匀打在整架飞机上，那么引擎盖上不也应该满布弹孔吗？沃德很确定自己知道少掉的弹孔到哪儿了，是在那些回不来的飞机上！能返航的飞机在引擎上的弹孔都很稀疏，是因为引擎遭受严重轰击的飞机，根本飞不回来了。大多数安全返航的飞机，机身都像多孔瑞士乳酪，强烈显示机身禁得起枪弹轰击，因此不需特别加强装甲。假如你去医院的恢复室看看，你会发现腿上有枪伤的人，比胸部有枪伤的人更多，这并不是因为胸部不容易挨枪弹，而是胸部吃子弹的人难以存活。

　　数学家有套老把戏能使状况明朗：把某些变数设定为零。在目前的例子里，可以调整的是飞机引擎中弹后，继续飞行的机率。把这个机率设定为零，意思是说引擎只要挨了一颗子弹，飞机就会坠落。现在数据会呈现什么状况？你会看到返航的飞机，弹孔分布在机翼、机身、机头，但是就是没有在引擎上。军方的分析师有两种方法解释这种情形：德国的子弹哪里都打就是不打引擎，或是引擎是最脆弱的地方。两种方式都可以说明呈现的数据，不过后者有道理多了。所以弹孔稀疏的地方反而要加强装甲。

　　军方马上把沃德的建议付诸实施，在韩战与越战中，海军与空军也持续遵守他的原则。我没法精确告诉你，有多少美国飞机因此避免坠亡，今日美军承继SRG处理数据的部门，毫无疑问会很清楚真实状况。美国国防当局从来都很了解，战胜的一方并不是因为比对方更勇敢，或更自由，或更受上帝眷恋。战胜的一方经常是少被击落5%的飞机，或者少消耗5%的燃油，或能用95%的成本让步兵多摄取5%的营养。这些都不是制作战争电影的素材，却是打胜真正战争的要件。这里面每一步都需要数学。（摘自本书前言）

第11章：你期望赢得乐透时，是在期望什么
 
你该玩乐透吗？
 
一般认为，回答不该才是精明。有句老话说，乐透是「笨人缴的税」，是政府牺牲那些遭误导去买乐透的人所攫取的收入。如果你把乐透看成税收，你就知道为什么美国各州的财政局都喜欢乐透。还有别的税目能让人在便利商店排长队去缴吗？
 
乐透吸引人并非新鲜事，它起源于十七世纪的热那亚，是从选举制度中意外产生的。热那亚每六个月就要从执政委员会里挑两位来担任首长，他们不採用投票选举，而是以抽签的方式决定人选：从120张写着委员名字的签条抽出2张。没多久，城里的赌徒就开始对人选投注庞大赌金。后来，对首长人选下注变得非常受欢迎，赌徒愈来愈难忍到选举日才玩心爱的游戏，不过他们很快就理解，如果只是对纸条堆里挑出的纸条下注，根本就不需要靠选举这档事。于是数字取代了政客的名字，热那亚从1700年起便开始举办乐透。当时的乐透在威力球（Powerball）玩家眼中，一定很眼熟：投注的人猜五个随机抽出的号码，猜中的号码愈多，奖金愈丰厚。
 
乐透很快就风靡全欧洲，再飘洋过海到美洲。在美国独立战争期间，大陆会议与各州政府都用乐透来筹措军费以对抗英军。哈佛大学基金在还没有累积到九位数之前，也曾于1794年与1810年办乐透，筹款兴建两幢大楼。（那两幢大楼至今还在当新生宿舍使用。）
 
但并不是每个人都赞许这种发展。道德家认为乐透其实就是赌博，他们这么想也没有错。亚当‧史密斯（Adam Smith）也反对乐透，他在《国富论》里说：
 
从乐透彩在各地都经营得很成功的事实看出，人们很自然会把获利机会估得过高。完全公平的乐透，也就是全部得利可抵偿全部损失的，不仅从来没有过，以后也不会有。因为要是这样，经营者就一无所得。……奖金不超过二十磅的乐透彩，纵使在其他方面比一般国营乐透彩更接近于完全公平，但买这种乐透的人恐怕要少得多。为了增加中大奖的机会，有的人会同时购买数张乐透，有的人会合买更多张。但是，你冒险购买愈多的乐透彩，你就愈可能输，这是数学上再确定不过的定则。假若你冒险购买全部的乐透彩，你肯定会亏损。你购买的张数愈多，损失就愈接近于上述肯定的损失。

评分☆☆☆☆☆

我拿到《数学教你不犯错》这套书的时候，内心是带着一丝忐忑的。毕竟，“不犯错”这个词，对于我这样一个常在数学海洋里“溺水”的人来说，听起来有点像天方夜谭。然而，当我翻阅到“搞定期望值”的那部分时，所有的疑虑都烟消云散了。我一直觉得，期望值这个概念，就像是一把双刃剑，用得好，能指引我们做出明智的决策，用不好，则可能让我们陷入更大的困境。这本书是怎么“搞定”它的呢？我好奇它是否会通过大量的真实案例，比如概率统计中的经典问题，又或者是金融投资中的风险评估，来展示期望值的计算和应用。我希望它能告诉我，在面对多个不确定的选项时，如何通过计算期望值，来选择那个最优解。更重要的是，我希望它能让我明白，期望值并非万能，它也有其局限性，例如，它忽略了风险的分布，以及个体对风险的偏好。这本书会不会从更深层次，去探讨如何结合期望值，以及其他统计工具，来做出更全面、更稳健的决策？我期待它能教会我，如何真正地“驾驭”期望值，而不是被它所“迷惑”。

评分☆☆☆☆☆

《数学教你不犯错》这套书，给我最直观的感受就是它的“接地气”。我一直觉得，很多数学书过于理论化，脱离了我们日常生活中所面临的实际问题。而这本书的三个核心主题——“搞定期望值”、“认清回归趋势”、“弄懂存在性”——都紧密地联系着我们的生活和工作。我特别想知道，这本书是如何“搞定期望值”的。是不是它会通过一些生动的比喻，或者有趣的实验，来解释期望值的计算原理，让我们能够理解，在面对多个不确定的结果时，如何计算出平均的可能性？我期待它能教会我，如何在日常的决策中，比如购物、旅游，甚至是职业选择，都能运用期望值的概念，来做出更理性的判断。例如，当我面临多个选择时，我是否能够通过计算每个选择的期望收益，来决定哪一个选项最有可能带来最大的价值？这本书是否会强调，期望值计算的准确性，很大程度上依赖于我们对概率的估计，以及对结果的判断，从而引导我去思考，如何提高自己对这些因素的认知和判断能力，让我的决策更加精准和有效。

评分☆☆☆☆☆

《数学教你不犯错》这本书，给我最直观的感受就是它的“实用性”。我一直觉得，学习数学，最终还是要回归到解决实际问题上来。而这本书的“弄懂存在性”这一章节，让我看到了数学在解决问题过程中的一种“基础性”意义。我常常在想，我们面对的很多问题，其核心是如何证明“某个东西是存在的”？比如，一个算法是否能找到解，一个设计是否能实现，一个方案是否可行。这本书是如何“弄懂”存在性的呢？我猜测它会通过一些具体的数学问题，来展示“存在性”证明的严谨过程，让我们理解，一个数学对象之所以能够存在，需要满足哪些必要的条件，以及我们如何通过逻辑推演，来证明它的存在。我更希望的是，这本书能将这种“存在性”的思维，拓展到更广泛的应用领域。例如，在科学研究中，如何证明某个理论的正确性；在工程技术中，如何证明某个方案的可行性；甚至在社会科学中，如何证明某个现象的普遍性。我期待这本书能够让我拥有一种“求真务实”的精神，面对问题时，能够不轻易下结论，而是通过严谨的数学逻辑，去探索和论证它的可能性，从而找到真正可靠的解决方案。

评分☆☆☆☆☆

我购买《数学教你不犯错》这套书，很大程度上是源于我对“数学焦虑”的深深体会。我总觉得，自己在数学方面总是差那么一点点，总是在关键时刻掉链子。这本书的出现，就像是一道曙光，特别是“认清回归趋势”的部分，让我看到了希望。我一直觉得，理解事物的发展轨迹，也就是“趋势”，是做出明智判断的基础。那么，这本书是如何让我们“认清”这种趋势的呢？我好奇它是否会通过分析历史数据，来演示如何识别出潜在的增长、衰退或者周期性波动。例如，在经济学中，如何分析GDP增长趋势，在市场营销中，如何预测产品销售趋势，甚至在个人健康管理中，如何追踪身体指标的变化趋势。我希望这本书能够教会我，如何利用图表、统计模型等工具，来直观地展示和理解这些趋势。更重要的是，我希望它能让我明白，趋势并非是绝对的，它会受到各种因素的影响，而我们需要学会如何识别这些影响因素，并对趋势做出更审慎的预测。我期待在读完这部分后，能够拥有一种“预见性”的思维，能够更准确地把握事物的走向，从而更好地规划自己的未来。

评分☆☆☆☆☆

我一直认为，数学的魅力在于它的普适性，它能够解释宇宙万物，也能够指导我们的日常生活。《数学教你不犯错》这本书，恰恰抓住了这一点，特别是“弄懂存在性”这一章节，让我看到了数学的深度和广度。我常常在思考，在现实世界中，我们遇到的很多问题，其核心往往是“某个东西是否存在”？比如，某个方案是否可行，某个策略是否有效，某个解法是否存在。这本书是如何“弄懂”存在性的呢？我猜测它会通过一些数学证明的例子，来展示“存在性”的证明过程，让我们理解，一个数学对象之所以能够存在，需要满足哪些条件，以及我们如何去构造它。但更令我兴奋的是，这本书是否能将这种“存在性”的思维，延伸到更广阔的领域？例如，在工程设计中，如何证明某个结构是安全的；在算法设计中，如何证明某个算法能够找到最优解；甚至在法律审判中，如何证明某个证据的存在性。我希望这本书能让我具备一种“探寻式”的思维，面对一个问题时，不再是想当然地认为它是存在的，而是能够通过严谨的数学逻辑，去论证它的可能性，并找到相应的解决方案。

评分☆☆☆☆☆

刚翻开《数学教你不犯错》的扉页，一股清流扑面而来，那是一种久违的，对知识的纯粹渴望被唤醒的感觉。我一直在思考，为什么我们学习数学，有时候会感觉像是在背诵一本天书？是不是很多教材的编排方式，或者讲解的切入点，并没有真正触及到我们作为普通学习者，在实际生活中会遇到的数学困境？这套书的题目，特别是“搞定期望值”、“认清回归趋势”、“弄懂存在性”，这些词汇本身就带着一种解决实际问题的力量。我特别好奇，“搞定期望值”到底是怎么样的“搞定”法？难道它会像拆解一个复杂装置一样，把期望值这个概念层层剥开，让我们看到它最核心的原理，并且能够准确地计算它，甚至预测它？在很多决策场景下，比如投资、风险评估，甚至是日常生活中的选择，对事物结果的期望值都是一个至关重要的参考。但往往，我们在估算期望值的时候，充满了主观臆断，缺乏科学的依据。这本书会不会提供一种系统性的方法，让我们能够更理性、更准确地评估各种可能性带来的平均收益或损失？我希望能从这本书中学到，如何在一个不确定性的世界里，找到那个最可靠的“平均数”，让我们的决策不再是盲目的碰运气，而是基于严谨的数学分析。

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阅读《数学教你不犯错》的过程中，我被一种前所未有的清晰感所震撼。我常常觉得，我们在学校里学习的数学，很多时候是孤立的，缺乏与现实世界的联系。而这套书，就像是为我打开了一扇窗，让我看到了数学在现实世界中的强大应用。尤其是“认清回归趋势”这一部分，让我眼前一亮。我一直对各种趋势预测感到着迷，无论是经济增长、市场变化，还是个人能力的提升，都似乎存在着某种“回归”的力量。但究竟是什么样的数学原理，能够帮助我们准确地捕捉并理解这种趋势呢？这本书是否会揭示，如何通过分析历史数据，识别出那些隐藏的回归线，从而对未来的走向做出更可靠的预测？我希望它不仅仅是简单地介绍回归分析的概念，更能深入浅出地讲解如何进行实际操作，比如如何选择合适的回归模型，如何解读回归方程的系数，以及如何判断预测的可靠性。我一直认为，理解事物的发展规律，比单纯地预测某个具体数值更为重要。如果这本书能够帮助我建立起对趋势的深刻洞察力，让我能够透过现象看本质，那将是巨大的收获。我期待在读完这部分内容后，能够自信地面对那些充满不确定性的未来，做出更有前瞻性的规划。

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《数学教你不犯错》这本书，给我最深刻的印象是它那种“授人以渔”的教学理念。我一直觉得，学习数学，最怕的就是死记硬背公式，而忽略了公式背后的逻辑。这套书，特别是关于“弄懂存在性”的部分，让我感到非常惊喜。在数学领域，尤其是涉及证明和理论的时候，“存在性”是一个非常核心的概念。我常常在阅读一些数学证明时，感到云里雾里，不知道为什么某个东西“存在”，或者为什么某个定理能够成立。这本书是否会用一种非常直观的方式，来解释“存在性”这个抽象的概念？它会不会通过具体的例子，展示在什么条件下，一个数学对象或一个解决方案是存在的，以及我们如何去找到它？我尤其希望能够理解，在解决实际问题时，“存在性”的证明，对于我们构建可靠的数学模型，或者论证某个方法的有效性，到底有多么重要。我期待这本书能够让我摆脱对数学概念的“畏惧”，能够真正理解数学推理的严谨性，并且能够在自己的学习和工作中，运用这种“存在性”的思维方式，去探索和发现那些隐藏的可能性。

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这本书，哦，《数学教你不犯错》，这名字听起来就像是一剂灵丹妙药，专门治愈那些被数学折磨得死去活来的我。拿到这套书，上下册，沉甸甸的，封面上那几个字，带着一种承诺，一种诱惑，仿佛在说：“别怕，我们带你走出数学的迷宫。”我一直对数学抱有一种又爱又怕的情感。爱它的逻辑严谨，结构清晰，总觉得它隐藏着世界的运行规律；但又怕它的抽象，怕那些令人头晕目眩的公式，怕那些看似简单却暗藏玄机的问题。尤其是在面对一些需要定量分析的场景时，我总是感到力不从心，总是在关键时刻犯些低级错误，然后追悔莫及。这套书的标题，特别是“不犯错”这三个字，简直击中了我的痛点。我迫切地想知道，它究竟是如何做到“不犯错”的？是通过什么神奇的讲解方式，什么样的独到见解，才能让我在学习数学的过程中，从“摸石头过河”变成“脚踏实地”，从“猜测和试错”变成“自信推导”？我期待它能像一位经验丰富的向导，指引我穿越数学的荆棘，让我能够熟练运用数学工具，不再被复杂的计算和概念所困扰，最终在各种需要数学思维的场合，都能游刃有余，做出更明智的判断。这本书对我来说，不仅仅是一本学习材料，更像是一次自我提升的契机，一次摆脱数学恐惧症的仪式。

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《数学教你不犯错》这套书，真切地给我带来了一种“茅塞顿开”的感觉，特别是关于“认清回归趋势”的部分。我一直觉得，我们生活在一个充满变化的世界里，而“趋势”就像是这些变化的脉搏，捕捉到它，就等于抓住了事物发展的关键。这本书是如何“认清”趋势的呢？我迫切想知道，它是否会介绍一些简单易学的回归分析方法，让我们能够从纷繁复杂的数据中，找出那条隐藏在背后的“回归线”。比如，它是否会讲解如何通过绘制散点图，来初步判断变量之间的关系，然后进一步选择线性回归、多项式回归，或者其他更适合的回归模型。我更看重的是，这本书能否教会我，如何正确地解读回归方程的意义，比如斜率代表的增长率，截距代表的基准值，以及决定系数 R-squared 衡量了模型对数据的拟合程度。我希望它能让我明白，回归分析并非只是一个统计工具，它更是我们理解世界变化动力学的一种强大方式。在做出商业决策、市场预测，甚至个人发展规划时，能够更准确地把握未来的走向，避免因为对趋势的误判而错失良机，或者走上错误的道路。