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　　数学符号怎么来的？没有数学符号的世界是什么样子？
　　数学符号涉及人类文明的起源、东西文化的交融、心理学的解释、历史的定义，这个人类共通的语言如何演变为今日的形式？
　　这些符号为我们的世界带来何种天翻地覆的变化，让我们得到什么、失去什么？

　　◎ 符号简史
　　2 + 3 = 5，一个完美的数学句子，有主词、连接词和动词。只要一秒就能读懂。
　　尽管我们所有人都经常使用基本运算符号，例如「+」、「−」、「=」，却很少人知道大多数的数学符号是16世纪之后才开始出现的。
　　在这些符号诞生之前，数学家如何进行他们的工作？
　　没有符号的「数学」对现代人来说显然难以想像，「数学语言符号化」如何改变我们的思虑？
　　符号是不是我们认识外在世界、建立知识的必要条件？而数学符号作为一种特殊的知识，与其他知识有什么不同？

　　从数千年前的美索不达米亚平原到17世纪科学革命至今，从丝路到波斯御道，从中国到西方，本书叙述了数学符号系统发展背后引人入胜的故事，说明符号刚开始是如何
被运用的，一个符号如何逐渐取代另一个符号，最终成为独立而放诸四海皆准的语言系统。

　　数学作为一种符号文字，在潜意识与心理等方面深深影响我们的思考、情绪和理解。数学符号是我们在面对看不见、摸不着的「未知」探索时，唯一具有形体的依据。

　　从文字、缩写到记法，数学符号的演化，是人的思维的演进。

　　数学符号的力量，改变我们思考这个世界的方式。

　　◎ 符号三部曲
　　本书分为三部，第一部探讨「数」的历史和它与不同语言文化的关系；第二部的主角是「代数」，从符号的角度解析数学知识与自然知识之间的关联；第三部深究符号的力量，讨论「数学」作为一门知识、一种符号文字，跟我们的心理状态、我们生为「人」的关系。

　　本书作者马祖尔是着名数学科普作家，他在书中叙述了我们的数学符号系统发展曲折诡谲的历程，检视过去两百年间史学家对数系起源的争论，详查细究各文化中关于数的数学史和基本原理。他从修辞学乃至符号的角度推导代数的变化过程，论证在16世纪之前，多是运用书写的方式来表述数的名称，写成像散文或诗一样的文体。

　　他也研究了数学符号在潜意识上和心理学上对数学思考、意义、表达方式、理解力的作用，并且探究这些符号如何透过「相似」、「结合」、「恆等」、「类似」、「重复意象」来影响我们，它们如何借由潜意识的结合推得新概念，它们如何在经验与未知之间建立连结，还有它们如何裨益基本数学的传达。

　　当数学的语言渐渐开始符号化（加减乘除、等于、无限、未知数等符号出现），脱离口语文字的束缚，也象征了人类的抽象知识提升到一个完全不同的层次。

对本书的赞誉

　　本书极富洞察力地综观历史与心智上的革命，这些革命创造了人类最有用的符号――数学式。――史坦尼斯勒斯•狄汉（Stanislas Dehaene），《大脑与阅读》（Reading in the Brain）作者

　　本书追溯塑造今日数学教学、研究和思考方式的曲折过程……马祖尔以谐趣的笔法探究这个主题，使本书提供兴味盎然的阅读经验。――盖娅‧杜娜提（Gaia Donati），《科学》杂志（Science）

　　本书深入介绍数学界一则独有特色的发展史，同时让我们更进一步了解数学的本质。――爱德华‧葛拉斯（Eduard Glas），《数学评论剪报》（Mathematical Reviews Clippings）

　　加号和等号等符号早已根深柢固，很难想像没有这些符号的数学会是什么样子。――凯文‧哈奈特（Kevin Hartnett），《波士顿环球报》（Boston Globe）

　　马祖尔追溯符号如何发展及逐步取得主导地位，统合算术、代数和几何，为我们提供隐喻，而这些隐喻的力量与诗歌的隐喻一样强大。一段引人入胜的历史。――菲利普‧霍尔姆斯（Philip Holmes），《天遇》（Celestial Encounters）作者

　　本书充满有趣的故事、使人着迷的资料，以及让人欣喜的观察，使读者更了解数学的本质，并概观令人惊奇的数学史。――多明尼克‧克莱弗（Dominic Klyve），中央华盛顿大学（Central Washington University）

　　数学符号绝不是鬼画符，而是深入了解一种复杂绝妙语言的敲门砖。马祖尔在本书中带领我们踏上惊奇之旅，探究这些符号的起源。你找不到更好的向导了。――马里欧‧李维欧（Mario Livio），《黄金比例》（The Golden Ratio）、《无解方程式》（The Equation That Couldn't Be Solved）作者

　　一段乐趣十足又富教育性的数学史之旅，本书描述我们现代的记法系统如何形成我们今日使用的抽象概念。这则故事重要又有趣。――安娜‧皮耶哈伯（Anna Pierrehumbert），纽约市圣三一学院（Trinity School）

　　马祖尔让我们了解，数学记法的历史就是人类文明史。――肯尼斯‧黎贝（Kenneth A. Ribet），加州大学柏克莱分校数学家

　　富教育性又深入浅出。――布莱恩‧罗特曼（Brian Rotman），《文学评论》（Literary Review）

　　叙事引人入胜……这是一部精心构思的细腻编年史，蒐罗许多奇珍异文……简言之，极具启发性。――乔治‧史皮娄（George Szpiro），《自然期刊》（Nature）

　　马祖尔增添了新的发现和见解，使本书更富趣味。――《欧洲数学学会》（European Mathematical Society）

　　马祖尔详实解说在数学史中举足轻重的数学元素。――《图书馆学期刊》（Library Journal）

　　马祖尔为读者娓娓道来数学符号背后令人着迷的发展历程，我们天天使用这些符号，视为理所当然。数学记法把数变成叙述――或是对门外汉来说一种神祕又难以理解的密码。……马祖尔生动易读的文字将枯燥难懂的历史转变成趣味横生且资讯丰富的故事。――《出版人週刊》（Publishers Weekly）

　　马祖尔追溯除号、平方根、π、指数的历史，以及其他在认知、信息传达和分析的脉络中的符号史。――《华盛顿邮报》（Washington Post）

　　★台湾师范大学数学系退休教授 洪万生老师 领军翻译
　　★专业报刊、着名学者、畅销科普作家一致好评推荐！
　　《出版人週刊》、《华盛顿邮报》、《图书馆学期刊》、欧洲数学学会
　　《数字的祕密生命》作者乔治‧史皮娄（George Szpiro）
　　《黄金比例》作者马里欧‧李维欧（Mario Livio）
　　《大脑与阅读》作者史坦尼斯勒斯•狄汉（Stanislas Dehaene）
　　加州大学柏克莱分校数学家肯尼斯‧黎贝（Kenneth A. Ribet）

作者简介

约瑟夫•马祖尔　Joseph Mazur

　　美国马尔波罗学院（Marlboro College）荣誉数学教授，教授课程涵盖与数学相关的各领域，包括数学史和数学哲学。

　　MIT数学博士，古根汉奖助金得主（Guggenheim Fellow）。

　　着作包括《雨林中的欧几里德》（Euclid in the Rainforest，入选笔会╱玛莎•阿尔布兰德奖﹝PEN/Martha Albrand Award﹞决选名单）、《运动悖论》（The Motion Paradox）、《运气有什么用？》（What’s Luck Got to do With it?）等书，致力于普及科学。

　　其兄长为哈佛大学着名数学教授巴瑞•马祖尔（Barry Mazur）。

译者简介

洪万生

　　美国纽约市立大学（CUNY）博士，主修数学史、科学史，辅修数学哲学、科学哲学。曾任职台湾师范大学数学系，讲授数学（社会）史、数学哲学与HPM（数学史与数学教育之关连）专题，并主持「台湾数学博物馆」（science.math.ntnu.edu.tw/museum）网站，透过网路结合科普同好，分享国内外数学普及活动的学术与教育资源，对于推广数学普及读物的书写、出版及阅读不遗余力。

洪赞天

　　美国纽约州立大学水牛城分校英文系毕业，现专职翻译工作。

英家铭

　　台湾师范大学博士，现任台北医学大学人文暨社会科学院助理教授。曾任中学教师、台湾师范大学助教与中原大学讲师。研究兴趣与教学专长为数学史与科学史，及其在教育上的应用。对数学、天文、历史、哲学、科幻，以及棒球运动等有广泛的兴趣。

黄俊玮

　　国立台湾师范大学数学研究所博士，现任教于台北市立和平高中，主修数学史与数学教育，主要研究领域为江户时期日本数学史（和算史）。曾合译《数学侦探物语》、《掉进牛奶里的e和玉米罐头上的π》、《这个问题，你用数学方式想过吗？》、《苏菲的日记》等书，并与洪万生教授等合着《折折称奇：初登大雅之堂的折纸数学》。期望透过数学普及阅读与数学教育之结合，以更加丰富、多元而开放的面向，裨益学生的数学思维与素养。

黄美伦

　　国立台湾师范大学数学系硕士，主修数学史与数学教育，研究领域为台湾数学教育史。现职为数学教育研究助理。

郑宜瑾
　　
　　国立台湾师范大学数学系硕士，主修数学史与数学教育，研究领域为数学科普作品。现职国立台湾师大附中国中部数学教师。

导言
定义
插图註记

第一部 数码
1 引人好奇的开端
2 一些古代数系
3 丝路与波斯御道
4 印度的礼物
5 抵达欧洲
6 阿拉伯的礼物
7 《计算书》
8 起源之辩

第二部 代数
9 没有符号
10 丢番图的《数论》
11 大技术
12 符号婴儿期
13 羞怯的符号
14 尊严的阶级制度
15 母音与子音
16 爆发
17 符号目录
18 符号大师
19 最后一位魔术师

第三部 符号的力量
20 在心灵交会之处
21 优良符号
22 看不见的大猩猩
23 心智图像
24 结语

附录A 莱布尼兹的记法
附录B 牛顿的xn流数
附录C 实验
附录D 将复数视觉化
附录E 四元数
谢辞

第1章
 
引人好奇的开端
 
没有人确切知道人类从何时开始有意地留下记号来与他人沟通。可以确定的是那是在蒙昧不明的时期，成群毛勐犸无拘无束地在欧洲大陆游荡，各种各样的生物循着食物和植被，从非洲平原向北分布。随着史上最大的气候变迁之一缓慢地结束，欧洲的冰原已消退了数世纪。多数人类族群仍分布在南亚。
 
五万年前至三万年前间，当时人类必须日复一日思索生存所需。深层的本体论思想——诸如我从哪里来？我究竟为什么存在？——这些只能透过语言的力量和潜在的隐喻来形塑的思想，不可能存在。尽管没有充分发展的语言，他们必定出于我们的天性本能来诉说故事，那是一种将心灵中存留的那些图像传达给他人的冲动。这些图像可能是关于暴风雨、黑暗、野兽的想像或甚至对梦境的困惑，但这些是推动语言进一步发展所需的养分。
 
随着语言发展，对于活着的体验的深思亦如是发展。20世纪杰出民俗学者坎伯（Joseph Campbell）告诉我们，人类总是「追求一种活着的体验，使得我们对纯物质层面上的生活体验产生共鸣，那些体验正是我们自身内心深处的存有与真实，以让我们实实在在感受到活着的狂喜」。
 
人类借由本能与智慧的某种结合，能够在他们险峻又充满威胁的环境中生存，正如多数哺乳动物曾做过且至今依然採行的做法，无须触发自然的人类语言迅速发展。他们可以在没有书写纪录的情况下，在没有记号、标志、符号或绘画的世界，于一个口述的世界中度过严冬酷夏。猴子如此，驯鹿亦同。
 
什么原因让那些新石器时代的洞穴画家着了魔似地忽视日常生活的危险，坐在那里铭刻、涂写或画画？四万多年前，西班牙城堡洞窟（Cave of El Castillo）附近的居民把手贴在穴壁上，对着手吹颜料，大费周章地模印出手的图案。数万年来，人类在周遭留下有意义的记号，在树上凿挖，在硬泥地上留下脚印，在皮肤上刻画，甚至在岩石上着色。
 
一个简单的记号可以代表一种思想、说明一个计画或记录一桩历史事件。然而，关于人类的语言和书写最重要的事，莫过于说话者和书写者可以从有限多组记号和符号，创造出实际上无限多组读音、说明、观念和想法。动物或许有自己的语言，但牠们无法从有限数量的声音和姿态，创造出无限数量的沟通意符（signifier）。

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