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原文作者： John Blackwood

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• 解题技巧
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• 数学普及
• 教育
• 成长

　　华德福式自然学习法，超过200幅彩色图表

　　本书是一位任教于华德福教育体系的教师，针对七、八年级学生所发展的教程，广获推介引用。借由大量图片与作品，引导学生认识大自然、空间以及时间里的数学。主题包括：几何学、毕达哥拉斯及数目、柏拉图多面体、节奏与循环。

　　华德福的教育方式强调学习与经验的连结。对教师和家长而言，点燃孩子的学习热情更胜于填鸭教学。对学生而言，概念与观察的结合会带来惊喜与启蒙。数学不只是计算与公式，更是探索、兴趣与应用，也是一项重要生活技能。

深入探索数字世界的奥秘：《代数思维与结构解析》 书籍简介 在浩瀚的数学星空中，代数无疑是最璀璨的星体之一，它不仅是工具，更是一种思维方式，一种描述世界规律的强大语言。本书《代数思维与结构解析》旨在带领读者，从全新的视角深入剖析代数的本质，揭示隐藏在公式与方程背后的深刻结构与逻辑美感。我们不满足于简单的计算技巧，而是致力于构建一套严谨而直观的代数思维框架，帮助读者真正掌握这门学科的精髓。 本书面向对数学有一定基础，渴望超越初级代数层面，进入更高阶抽象思维的读者。它并非一本轻松的入门读物，而是一次精心设计的、富有挑战性的智力旅程。 --- 第一部分：从算术到抽象——代数思维的奠基 本部分着重于重塑读者对代数概念的认知基础，强调从具体到抽象的思维过渡。 第一章：变量的哲学与意义的延展 我们首先探讨“变量”这一代数核心概念的深刻内涵。变量不再仅仅是待求的未知数，而是对一组可能数值的结构化表示。本章将细致分析符号在数学推理中的作用，如何通过恰当的符号选择，极大地简化问题的复杂度。我们将研究不同类型的变量（实数、复数、矩阵等）在不同代数体系中的表现差异。深入讨论符号操作的守恒性原则——为何在不同情境下，相同的代数规则依然成立，这体现了数学语言的普适性。 第二章：方程与等式的内在张力 方程是代数的核心表达形式，但我们更关注“等式”本身所蕴含的约束和平衡。本章将深入分析线性方程组的几何意义与矩阵表示的统一性。我们将引入向量空间的初步概念，阐释线性方程组解集的结构——为什么解可能是唯一的、无穷多的，或是根本不存在。重点在于理解解空间（Null Space）与值域空间（Column Space）的概念，这比单纯的解题技巧更为关键。 第三章：多项式的深层结构：根与对称性 多项式是数学中最基本也最丰富的结构之一。本章将超越因式分解，聚焦于多项式的根的性质。我们不仅会回顾代数基本定理，更会探讨伽罗瓦理论的萌芽——为什么五次及以上的一般多项式无法仅通过根式求解。通过对多项式根的对称群的分析，读者将初次领略到抽象代数中“群”的概念是如何自然地从看似简单的代数问题中涌现出来的。 --- 第二部分：结构解析——群、环与域的构建 本部分是本书的核心，将系统地介绍抽象代数中的三大基本结构，展示代数世界的宏伟蓝图。 第四章：群论初探：对称性的语言 群是数学中最基础的代数结构，它捕捉了“对称性”和“可逆操作”的本质。本章将从置换群（如对称群 $S_n$）入手，构建对“群”的直观理解。我们将详细论述群的定义、子群、陪集、同态与同构。拉格朗日定理的证明将是重点，它揭示了有限群内部的深刻联系。此外，本章将探讨循环群和直接积群的构造，为后续的分类打下基础。 第五章：环论：在加法和乘法之间架设桥梁 环是比群更丰富的结构，它同时拥有可交换的加法结构和具备分配律的乘法结构。本章将深入分析整环（Integral Domains）和域（Fields）的特性。我们着重探讨理想（Ideals）的概念，将其视为环中的“子群”的推广，理解主理想和极大理想在确定环结构中的关键作用。通过实例（如 $mathbb{Z}$ 和多项式环 $F[x]$），展示不同环之间的同构与嵌入关系。 第六章：域的扩张与代数数论的序曲 域是代数结构中最“完美”的结构，所有的基本运算都可以在其中无障碍地进行。本章将探究域的扩张，即如何从一个较小的域（如有理数域 $mathbb{Q}$）构造出包含更多元素的域（如 $mathbb{Q}(sqrt{2})$）。我们将引入最小多项式的概念，并展示如何利用域扩张来理解根的代数性质。这部分内容为理解更复杂的代数几何和数论打下了坚实的基础。 --- 第三部分：应用与拓展——代数思维的实战部署 本部分将引导读者将学到的抽象知识应用于具体问题和现代科学领域。 第七章：线性代数：结构在几何中的映射 虽然线性代数常被独立教授，但本书将其置于代数结构体系中重新审视。本章强调，线性代数研究的向量空间和线性变换，是特定结构下的群和环的表现。我们将重温特征值与特征向量，将其解释为在特定基下，线性变换作用于向量空间中保持其方向的元素，这本质上是对该变换结构最简洁的描述。我们还会探讨相似矩阵的意义——它们在不同基下描述的是同一个线性操作。 第八章：代数在信息科学中的应用：编码与加密 代数结构在现代密码学中扮演着核心角色。本章将介绍如何利用有限域（Galois Fields）的特性来构建错误检测与纠正码（如汉明码）。随后，我们将深入剖析模运算在RSA公钥加密算法中的应用，揭示大数因子分解的困难性如何转化为现代网络安全的基石。这部分展示了抽象的群论和数论如何直接服务于工程实践。 结语：开放的数学世界 本书的终点也是新的起点。我们总结了代数思维的精髓：寻找不变性、识别结构、利用同构进行转化。最终，本书鼓励读者将代数的视角推广到其他数学分支，无论是拓扑学中对空间结构的探索，还是函数分析中对无限维空间的刻画，代数思维都是理解其内在规律的钥匙。 --- 本书特色： 结构先行： 强调概念的定义和结构间的关系，而非单纯的计算演练。 严谨推导： 核心定理均提供清晰、完整的证明过程，培养逻辑自洽的能力。 深度融合： 将经典代数与线性代数、抽象代数深度整合，展示数学知识的统一性。 思维导向： 致力于构建一套“结构化”的解题和思考模式，而非提供现成公式。 《代数思维与结构解析》是通往深层数学理解的阶梯，它将代数的冰冷公式转化为生动的逻辑艺术。

作者简介

约翰．布雷克伍德 John Blackwood

　　拥有近三十年的机械工程设计经验，之后受到射影几何学（Projective Geometry）家劳伦斯．爱德华（Lawrence Edwards）的启发，开始研究植物几何学。

　　曾在澳洲雪梨的史泰纳学校（Glenaeon Rudolf Steiner School）教书，设计数学课程。他为十一及十二年级学生设计开发的课程，获新南威尔斯省的教育部採用。曾出版《大自然中的几何学》（Geometry in Nature, 2012）。

译者简介

洪万生

　　台湾师范大学数学系退休教授，推动「数学史与数学教学之关连」（HPM）的研究与教学已经届满二十年。延续数学史与HPM的研究专业，将退休生涯投入数学普及活动之深耕与推广。目前在台湾大学兼授以数学小说阅读为主题的通识课程，开拓普及阅读的更多可能面向。

　　email: horng@math.ntnu.edu.tw

廖杰成

　　任教于新北市立锦和高中，国立台湾师范大学数学系教学硕士，主修数学史与数学教育，研究领域为江户初期日本数学史（和算史）。期望能透过广泛阅读并推广数学科普，使大众（学生们）与本身更加了解数学的内涵与趣味。并期许自己能持续应用数学于其他方面。

　　email: jenchengqq@gmail.com

陈玉芬

　　任教于新北巿立明德高中，教学年资25年，并于2013年荣获教育部教学卓越金质奖，2014年荣获台湾微软创意教师数位典藏应用奖特别奖。对于将数学融入于生活的应用与推广，有极大的兴趣。

　　email: g9247019@gmail.com

彭良祯

　　台湾师大数学系硕士，现任国立台湾师大附中数学科教师。长期致力于多面体DIY教具开发与创意教学设计，相关介绍文章散见于远哲科学教育基金会《发现月刊》之「魔数Math-Magics」、「艺数家玩折纸」专栏，与三民网路书店《数学频道》「公共艺数」专栏。

　　email: math.magics@gmail.com

推荐序
译者序
导言

第一章 大自然中的数学
．技巧的复习与回顾 ．圆的形式 ．六边形的形式 ．螺线的形式
．阿基米德螺线 ．等角螺线 ．斐波那契数及其数列 ．斐波那契螺线
． ，斐波那契以及「黄金切割」 ．1.618 或 0.618？

第二章 毕达哥拉斯与数目
．为何毕达哥拉斯？ ．数目 ．质性的数目 ．各种数目系统
．十进位数目，指数写法（长式）和我们普遍的简写形式
．长式和简式写法 ．二进位数 ．度量 ．距离与角 ．角的度量
．熟悉的度量工具 ．数目的种类 ．质数和伊拉托森尼斯筛子
．质数的筛子 ．毕氏三数组 ．毕氏定理 ．演示 ．婆什迦罗的证明

第三章 柏拉图立体
．柏拉图立体 ．历史上的柏拉图立体 ．平面图形
．三种特殊的直角三角形 ．正立方体折纸 ．三种三角形的细节
．碗和马鞍 ．叶面及其孔洞和皱折 ．中心点与外围 ．四面体
．正四面体在哪里？ ．正八面体 ．正八面体展开图 ．正八面体实例
．正六面体（或正立方体） ．正六面体展开图 ．正六面体实例
．交错穿插的正立方体和正八面体 ．正二十面体与正十二面体
．正二十面体展开图 ．正二十面体的黄金分割结构 ．正十二面体
．再谈黄金矩形 ．正十二面体展开图 ．欧几里得《几何原本》第十三册
．欧拉法则 ．学生作品

第四章 节奏与週期
．旋转、节奏与週期 ．时间 ．轮子 ．圆和直径
．圆周与直径 ．阿基米德应用多边形的进路 ．用正八边形来计算
． 的命名 ． 的递增精确度 ．圆周 ．微小、中等及巨大的尺寸
．圆形 ．白天、夜晚及内布拉星象盘 ．奠基于哥白尼的当代基本图像
．季节 ．地球绕着太阳的椭圆路径 ．克卜勒的行星运动定律
．大的和小的连结 ．人类和宇宙的节奏

谢词
参考文献
索引

推荐序

洪万生
帮助学生体会数学（美）无所不在
　
　　这一两年来，「另类的」数学普及书籍成为出版商的注目焦点。以今年出版的作品为例，除了数学小说（mathematical fiction）文类的继续风行之外，像《这才是数学》这一类的书写，高举数学教育的基进（radical）改革旗号，内容基调却回归古典（classical），总是带给我们一种「今昔时空」叠置，不知身心何所依违之感。不过，也正因为这种既在地又抽离的处境，让我们可以从容地体会数学的如何有趣，甚至如何有用。

　　本书《数学也可以这样学》就是另一本这样一类的数学普及作品，尽管其中包括作者教给七、八年级学生的主要数学课程内容。作者约翰・布雷克伍德任教于澳洲史泰纳学校――华德福实验教育系统的一环，因而本书也被纳入华德福教育资源（Waldorf Education Resources）丛书。平心而论，作者的数学观点不如《这才是数学》的作者来得基进，不过，坚持数学的某些进路与练习，则并无二致。而所有这些，则都指向数学的有趣面向。譬如说吧，本书的英文原版书名《 Mathematics in Nature, Space and Time》，就是企图说明数学在天生自然领域、在空间脉络以及在时间的流变中的无所不在。作者更是利用本书例证，强调「数学是描述世界的一种语言――上帝所创造的一种语言」。对他来说，数学是一种真正的门道或法门，「引领我们走向大自然之工作室（workshop of nature）的渐增理解」，因为「吾人可以相信不仅存有诸神，而且也可以对祂们#如何#运作产生兴趣」。换言之，数学在大自然界中的无所不在，都是上帝的神工，而理解或鑑赏它们的不凡与美妙，则是荣耀上帝的一条进路。

　　数学实作（mathematical practice）可以「接近神蹟」的华德福教育哲学主张，正是十八世纪西方自然神学（natural theology）的现代翻版。显然，这种主张就是将数学实作类比为一种「灵修」的过程。因为诚如史泰纳（Rudolf Steiner）在他的《灵性活动的哲学》所指出，「有了（数学）思维活动，我们已经掌握了灵性的一个小小的角落。」

　　既然是灵修，那么，数学实作回归古典，依循古代哲人的进路，似乎是势所必然。这或许也解释了何以作者那么钟爱希腊古典几何学中的尺规作图。事实上，本书第一章一开始的练习一和二，就依序是（在给定线段上）作垂线，以及二等分角的尺规作图。而全书的尺规作图练习，则多达十几个。可见，作者在绘制几何图形时，就十分贴近地唿应希腊古典几何的「精确」要求。

　　希腊数学家，比如最具代表性的欧几里得，就视「精确图形」与「尺规作图」是一体两面。所谓尺规作图，是指运用圆规与没有刻度的直尺，在有限多次的步骤中，画出一个图形。这是古希腊欧几里得在他的经典《几何原本》中，所允许使用的作图方法。按照他的主张，只要不是运用这种方法所作出来的图形，就不能称之为存在，因而也就不是数学研究的合法对象。这种合法性（legitimacy）由于结合了严格的逻辑证明，使得图形的「精确」显得理所当然，从而它们的「存在」也就无庸置疑了。

　　现在，让我们简要介绍本书内容。按照知识内容来分类，各章主题依序是几何、数论（number theory）、柏拉图立体，以及克卜勒三大行星运动定律。 有关最后一章的科学史叙事，作者认为克卜勒的不朽成就，完全在于他「对大自然的节奏理解」，因而可以「成为真正的自然科学」。此外，作者还针对人体（小宇宙）和大宇宙的节奏之对应关系，指出人类可视为巨观中的微观，于是，「男人是由上帝的形象造成的」，乃成为数学灵修的最后彻悟。

　　至于本书前三章内容都曾经在《几何原本》出现，再度地见证这部伟大经典在作者心目中的地位。事实上，《几何原本》讨论的部份主题如下：第 I、III 及 IV 册是平面几何；第 XI-XII 册是立体几何；第 VII-IX 册是数论，还有，第XIII一册，亦即最后一册，则是柏拉图立体。附带一提，这最后一册的内容与前面各章几何学（无论平面或立体）之关连，看起来在融贯性（coherence）方面上较为不足；亦即，这五个柏拉图正立方体的存在，显然并非欧氏几何学知识系统不可或缺的一环，尽管本册的所有命题之证明，当然还是完全依赖前面（相关）的命题。对于这样的安排，数学史家猜测这是欧几里得为了向柏拉图「交心」，因为在有关知识本质方面，《几何原本》被认为比较偏向亚里斯多德，他认为数学是被发明的，不过，他的师傅柏拉图却主张数学是被发现的，两者明显地有所不同。如将柏拉图在《蒂迈欧篇》（Timaeus）中所塑造的造物主，转换为基督教的上帝，那么，作者的数学观贴近柏拉图主义，也就不言可喻了。

　　柏拉图数学哲学所引伸出来的认知方法当然有其侷限，因为他的《米诺篇》（Meno）基于人生而有知，而认为知识是吾人只需经由「启发」即可恢复的「前世」记忆（recollecting）。不过，本书所布置的数学练习，却大大弥补了这个不足。经由折纸及立体模型之（动手）制作，再辅以本书一再出现的尺规作图，作者具体呈现了数学知识是吾人经由实作、再发明（re-inventing）而获得的过程。这种「默合」亚里斯多德的现身说法，对于现代的数学教学现场，其实蛮具有提醒的功用，非常值得我们注意。

　　以上，我针对柏拉图 vs. 亚里斯多德在（数学）认识论（epistemology）上的歧异，做了一点起码的釐清。我的目的之一，无非是想要指出：尽管华德福的教育实验，是基于他们首重灵性活动的教育哲学，然而，无论他们的认识论是否完备，甚至是否可以让本书内容来佐证，从教育的所谓成效来看，其实都无关宏旨。这是因为如果第七、八年级阶段的数学教育理想，是希望帮助学生体会数学（美）无所不在，从而通过模式（pattern）的掌握来学习它如何有用，那么，本书内容就可以在我们的学校课程中，佔有一席之地了。

　　这么说来，我们又将如何善用本书呢？为了要好好地感受数学那种令人无比惊奇的美，我强烈建议读者好好地跟随作者，做那五十八道练习。同时，我也希望读者好好品味本书插图，尤其是学生的作品，更是我们老师鼓励学生在解题之外，应该着力的数学知识活动之范例。总之，本书是一本「另类的」数学普及作品，如果你也能运用另类的眼光来看待它，那么，你就会有意想不到的收获。

推荐序

孙文先
为数学教育提供一条新路

　　英国数学家罗素（Bertrand Russell, 1872-1970）曾经说：「数学，如果正确地看，它不但拥有真理，而且也具有至高的美……。」更有许多数学家赞叹数学具有简洁性、和谐性、奇异性的美，它们以数学的符号美、抽象美、统一美、和谐美、对称美、形式美、有限美、奇异美、神祕美、常数美等形式体现出来。义大利数学及物理学家伽利略（Galileo Galilei, 1564-1642）也曾经说过：「数学是上帝用来书写宇宙的文字……它的符号是一些三角形、圆形等几何图形，没有借诸它们的帮助，我们就不可能理解任何一个字。」意即在宇宙、自然界、日常生活与动植物行为中，处处都存在着数学的踪迹。

　　但是在我国的数学课堂中，传授的内容几乎只是有名无实的抽象概念、烦闷的计算与公式，老师的讲课也是一道题目接着一道题目的解题，只期望学生能在各类型的考试中取得好成绩。鲜有老师会花点时间告诉学生：巴特农神殿、人体上的黄金比；叶子在茎上以夹角为137°28” 的黄金角排列，这样使得通风、採光最好；花瓣的数量通常是3, 5, 8, 13, 21……的斐波那契数，而斐波那契数列前后两项比趋近于黄金比；蜂房的构造之夹角为 109°28” 与 70°32’，这是最省材料的结构；飞雁飞行成人字形，一边与其飞行方向夹角是 54°4”8’，这是阻力最小的飞行方式。老师们也很少提及：雅格布伯努利（Jakob Bernoulli, 1654-1705）所谓「虽然改变了，我仍然和原来一样」的对数螺线；内接于圆的四边形中，以正方形面积最大，但内接于球的六面体中，体积最大的不是正六面体，而其他面数的多面体都是以正的多面体体积最大；莱布尼兹借由中国的易经的启发，发展二进制，成为现代科学、计算机、密码学等研究的重要工具；德国医生发现人体潮汐现象、体力週期23天、情绪週期28天、智力週期33天，它们都呈现正弦曲线的变化。更几乎没有老师愿意利用课堂或课余时间，指导学生绘制或折叠正多面体模型。在这样的教学风气下，无怪乎我们的学童徒具数学解题知识，而空间想像能力匮乏、动手操作能力笨拙、美学素养贫瘠。

　　一位好的数学老师要教导学生获得未来生活上必需的基本计算技巧、思辨能力与时空概念。一位好的数学老师不仅要传授数学知识与理论，还要讲出数学的魅力与乐趣。他应该引导学生们欣赏数学之美，让他们尝尝数学家苦思不解的滋味与解决难题时瞬间迸发的喜悦，启发学生的想像力，并使他们愿意从事及渴望从事长期的科研工作。本书各章节提供许多活动与实作素材，使学生实际触摸、感受、领悟与推广许多重要的数学内涵。

　　很多人可能会质疑如果拿课堂宝贵的时间来做这些看似无益于提高考试分数的活动，对学习数学真的有帮助吗？在此我要提出九章数学俱乐部的实际经验与大家分享。聚会时我们从来不教数学解题，而是开拓学员的视野，养成学员自学的态度、动手的习惯、追根究柢的精神。经历多年来的实践，九章数学俱乐部的学员不仅在各项考试中都能名列前茅，由于他们长期浸淫在创新的思维中，他们在各领域的学术研究中也都是佼佼者。所以採用本书作者所引领的方式教学，不仅不会使课堂沉闷乏味，更能激发学生探索的精神，可诱导出学生特殊的才艺，建立其自信心，考试分数也自然提升不少，同时分组活动也可培养团队合作的情谊。

　　很荣幸洪万生老师带领几位中学数学老师中译此书，本书是作者从二十多年的教学材料中摘录成书，尚有许多有趣的数学活动内容可以再添入，希望在职的数学老师们模仿本书作者的教学理念，为本书叠砖添瓦。再者，现今电脑科技发达，许多动态绘画软体，如Geometer’s Sketchpad、Cabri 3D 等，提供几何作图的方便性与准确性，再加上强大的着色与动态功能，必定可使绘制的作品缤纷璀璨，希望懂得操作电脑的读者可将本书发扬光大。当现今大家在高唱翻转教育之际，本书为数学教育提供一条新路。

导论
 
一篇发表于《雪梨晨间先锋报》（Sydney Morning Herald）的文章（2001年12月20日），引述了服务于家长所经营的教会学校的梅卡飞（John Metcalfe）所说的一段话：「孩子被教导说，数学是一种描述世界的语言――上帝所创造的一种语言……」
   
这也是我多年来的感受，而且，只要严肃以对，我认为这是可以走得非常远的一条进路。这条进路认为自然这本书（book of nature）有个祕密等着被揭露，还有，我们这个世界远远不只是一个长程的、机率般的偶然遇合，也不是透过各种令人不安的推断过程而可以加以计算的，没有任何具实务经验的工程师会梦想可以这么做。当然，吾人可以提出更多观点，毕竟任#唯物论式#（materialistic）的科学垄断了客观性，是完全没有道理的。
 
唯名论或是诸神的语言
 
有一种观点主张，数学的世界是一些便利的理念（idea）的一种#唯名论式#（nominalistic）且抽象的集合体。这些理念本身少有（即使有）真实意义，有的只是与理解「外在」（out there）世界有关的便利性与实用价值。这种观点虽然已经被思虑周延的学者们所批评，不过数学是如此有用的这个事实，我们通常是视而不见。
       
另一种观点认为，数学，在多元的意义上，是诸神的一种语言。可以说，我们的心智对数学与几何概念的理解，是「让这个世界发生」的那些作用力最后的残余。这种观点并不是假定我们所拥有的思想是知识性的便利，只是心智的影子，而认为它是一种真正的通道，引领我们进一步了解大自然这个工作室（workshop of nature）。吾人可以相信不仅存有诸神，甚至有可能去理解祂们#如何#运作。这一直是我的态度，而且我发现经由大自然所展现的奇蹟，以及我们正在研究的这个主题之美，我更加确定此事。
   
对我来说，莎士比亚的「思想的苍白投射」只适用于我们现在浅薄的智性，而非思想生命可以到达的最终境界――正如鲁道夫‧史泰纳（Rudolf Steiner）在他的《灵性活动的哲学》（Philosophy of Spiritual Activity）一书所指出的：「有了思维活动，我们已经掌握了灵性的一个小小的角落。」
       
无庸置疑，在这些角落中，还有各种变貌，而这整件事情可以无止境地辩论下去。尽管有着知识论上的精确，数学概念与细心观察的现象之协合所带来的惊喜，还是可以让我们忙于探索、好奇，以及深感兴趣――它们无疑也是重要的。

评分☆☆☆☆☆

我是一个比较注重实践性的人，所以对于那些纯理论、空泛的书籍总是提不起兴趣。而《数学也可以这样学》这本书，在这一点上做得非常出色。它几乎每一个概念的讲解，都配有详实的案例和图示，让你能够直观地理解抽象的数学原理。我尤其欣赏书中对于一些历史上的数学难题是如何被一步步攻克的讲述。这些故事，不仅有趣，更充满了智慧和毅力，让我看到了数学发展的背后，是无数先辈们的辛勤耕耘和不懈探索。它让我明白，数学的进步并非一蹴而就，而是建立在前人的基础之上，充满了迭代和演进。书中的一些小练习和思考题，也设计得非常巧妙，既不会让你感到过于困难，又能有效地巩固所学知识。我常常会抽出时间来做一做这些题目，感觉像是在和书中的作者进行一场智力上的对话，非常有成就感。这本书的排版也很舒服，字迹大小适中，间距合理，阅读起来不会感到疲劳。我常常会在晚上睡前读上几页，让大脑在轻松愉悦的氛围中，吸收一些新的知识，感觉比以前睡前刷手机更有意义。

评分☆☆☆☆☆

这本《数学也可以这样学》，初拿到手的时候，我其实是带着点儿怀疑的。毕竟，“数学”这两个字，对于我这种曾经的文科生来说，就如同洪水猛兽，是考试时的噩梦，是工作中的拦路虎。回想当年，那些公式、定理、证明题，简直就是天书，怎么也啃不下来。所以，当看到“数学也可以这样学”这样的标题时，我脑海里第一时间闪过的念头是：这是否又是一本打着“趣味数学”旗号，实则内容依旧枯燥乏味的书？然而，我的好奇心终究战胜了疑虑。我翻开了第一页，然后，就一页接一页地往下读，仿佛被一股奇特的魔力吸引。这本书的语言风格非常接地气，没有那些高深莫测的专业术语，而是用我们日常生活中遇到的种种现象，来引出数学的原理。我记得其中有一个章节，竟然是从“为什么排队买东西的时候，越靠前的队伍越慢”这个生活中司空见惯的问题切入，然后层层剥茧，引出了概率和统计的基本概念。我当时就惊呆了，原来数学竟然可以和生活如此紧密地联系在一起！它没有强迫你去记住那些抽象的公式，而是让你在理解生活现象的过程中，自然而然地领悟到数学的魅力。这种“润物细无声”的学习方式，对于我这样对数学有着天然抵触情绪的人来说，简直是福音。我开始尝试着去观察生活中的各种事物，试着用书里讲到的思路去分析，惊喜地发现，很多以前想不通的事情，突然就变得豁然开朗了。

评分☆☆☆☆☆

这本书最打动我的地方，在于它所传达的那种“学习的乐趣”。我一直认为，学习应该是快乐的，应该是充满探索欲的。但很多时候，我们接触到的数学教育，却往往是枯燥乏味的，甚至是令人痛苦的。而《数学也可以这样学》，则像一股清流，它用最生动、最有趣的方式，重新点燃了我对数学的热情。作者的文笔非常幽默，夹杂着一些俏皮的比喻和令人捧腹的段子，让我在捧腹大笑的同时，也记住了那些重要的数学概念。我记得书中有一个关于“斐波那契数列”的讲解，没有直接给出定义，而是从“兔子繁殖”这个经典问题入手，一步步推导出数列的规律，整个过程就像是在听一个精彩的故事，一点也不枯燥。而且，书中还穿插了一些数学家的趣闻轶事，让我看到了这些伟大的头脑，也并非都是严肃刻板的，他们也有着常人的一面，这让我觉得数学家离我并不遥远。这种寓教于乐的学习方式，让我感到无比轻松和愉悦，也让我对数学产生了前所未有的亲近感。

评分☆☆☆☆☆

阅读《数学也可以这样学》，我仿佛经历了一次智力上的“探险”。它不是那种让你死记硬背的教科书，而更像是一本充满智慧谜题的探险日志。作者善于设置悬念，用生活中的小问题作为引子，引导读者一步步去思考，去发现数学的规律。我尤其喜欢书中关于“图论”的讲解，它用非常直观的方式，将复杂的网络关系可视化，让我明白了什么是“最小生成树”、“最短路径”等等，这些概念在实际生活中有着广泛的应用，比如物流配送、社交网络分析等等。作者在讲解这些概念时，并没有生硬地套用数学公式，而是通过生动的图示和形象的比喻，让读者能够轻松理解。我记得书中有一个关于“如何规划最优旅游路线”的例子，用图论的知识，将这个问题解决得井井有条，让我感到数学的实用性无处不在。这种“学以致用”的体验，让我对数学的认识有了质的飞跃，也让我看到了数学在解决现实问题中的巨大潜力。

评分☆☆☆☆☆

这本书带给我的不仅仅是数学知识的启蒙，更是一种全新的思维方式的训练。我之前总是习惯于直线思维，遇到问题，就想着直接找到答案，而忽略了中间的过程。但这本书，恰恰强调了过程的重要性。它用大量生动有趣的例子，说明了如何通过逻辑推理、归纳演绎来解决问题，即使是看似无关紧要的小细节，都可能蕴含着重要的数学线索。我特别喜欢其中关于“逆向思维”的章节，它教会我们不要局限于常规的思考模式，而是要敢于从反面去思考问题，往往能获得意想不到的突破。举个例子，书中提到了一个经典的“过河问题”，传统解法可能需要列出各种复杂的组合，但作者却提供了一个非常巧妙的逆向思考角度，瞬间让整个问题变得迎刃而解。这让我深刻体会到，数学并非仅仅是冰冷的数字和公式，它更是智慧的体操，是解决问题的艺术。读完这本书，我感觉自己的逻辑思维能力得到了极大的提升，看问题也更加全面、深刻。有时候，在工作上遇到棘手的难题，我也会不自觉地回想起书中的某些方法，尝试着从不同的角度去分析，这种能力上的转变，对我来说是弥足珍贵的。

评分☆☆☆☆☆

对于我这样曾经在数学领域“摸爬滚打”多年，却收效甚微的人来说，《数学也可以这样学》简直就是一本“救赎之书”。它没有让我感到压力，反而让我重新找回了学习的自信。我喜欢书中那种“循序渐进”的教学模式，每一个新概念的引入，都建立在之前所学知识的基础上，让我感觉自己每一步都在稳步前进，而不是晕头转向。我特别欣赏书中关于“模型构建”的讲解，它教会我们如何将现实世界中的复杂问题，抽象成数学模型，从而进行分析和预测。我记得书中有一个关于“传染病传播模型”的例子，用简单的微分方程，就能够模拟出疾病的传播趋势，让我看到了数学在公共卫生领域的强大应用。这种“将抽象概念具体化”的教学方法，让我受益匪浅，也让我对数学在解决实际问题中的重要性有了更深刻的认识。

评分☆☆☆☆☆

这本书的价值，在我看来，远不止于传授数学知识。它更是一种思维训练的“健身房”，能够有效地锻炼我的逻辑思考能力和解决问题的能力。作者在书中反复强调“探究精神”的重要性，鼓励读者不要满足于表面的答案，而是要深入挖掘问题的本质，追根溯源。我特别欣赏书中关于“反证法”的讲解，它教会我们如何通过证明一个命题的反面是不成立的，来间接证明原命题的正确性。这种看似“迂回”的逻辑推理方式，在很多复杂问题的解决中都至关重要。我记得书中有一个关于“如何判断一个数的素数性”的例子，用反证法来分析，比直接去尝试除法要高效得多。这种思维的转变，让我觉得自己在面对问题时，不再是束手无策，而是能够找到更多解决问题的路径。这本书让我明白，数学不仅仅是计算，更是逻辑，是思维的艺术。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，我曾经对“数学”这个词，抱有深深的恐惧和排斥。每次考试，数学都是我最大的绊脚石，让我觉得自己天生就不是学数学的料。这种负面情绪，一直伴随着我很多年，直到我偶然翻阅了《数学也可以这样学》。这本书，完全颠覆了我对数学的认知。它没有一开始就抛出那些令人望而生畏的公式和定理，而是从我们生活中最熟悉的场景入手，比如“超市里的打折信息”、“交通信号灯的红绿灯变化”、“手机信号的强弱”等等。通过对这些场景的细致分析，作者巧妙地将概率、统计、函数等概念融入其中，让我发现，原来数学并非遥不可及，它就隐藏在我们身边。这种“由浅入深，由表及里”的讲解方式，让我逐渐放下了戒备，开始好奇地去探索数学的奥秘。我记得书中有一个关于“如何提高抽奖中奖率”的章节，用非常通俗易懂的方式，讲解了概率的基本原理，让我恍然大悟，原来我们平时的一些“运气”背后，其实都隐藏着数学的规律。这种顿悟的感觉，让我对数学产生了浓厚的兴趣，也开始重新审视自己对数学的评价。

评分☆☆☆☆☆

这本书带给我的，是一种“豁然开朗”的体验。很多曾经让我困惑不解的数学概念，在这本书里，都得到了清晰、生动的解释。作者的讲解方式非常独特，他总能找到那个最能触及人心的切入点。我记得书中有一个关于“无穷”的概念，很多时候我们听到这个词，都会感到一种莫名的晕眩，觉得它太过抽象，难以理解。但作者却用“旅店”的例子，形象地解释了不同“无穷”之间的区别，让我豁然开朗，原来无穷也可以如此具象化。而且，书中还穿插了一些关于数学史的小故事，让我看到了数学发展过程中那些充满智慧和曲折的历程，也让我对那些伟大的数学家产生了由衷的敬意。这本书的价值，在于它不仅传授了知识，更重要的是，它改变了我对数学的看法，让我觉得数学并非是“高冷”的，而是“亲切”的，是“有用”的。

评分☆☆☆☆☆

我一直认为，教育的本质是激发人的潜能。《数学也可以这样学》这本书，恰恰做到了这一点。它没有将数学描绘成一门高高在上的学科，而是用一种平等、亲切的态度，将数学的魅力展现在读者面前。作者善于打破常规，用很多意想不到的角度来解析数学问题。我记得书中有一个关于“对称性”的章节，没有从几何学出发，而是从艺术、自然界中的种种现象来切入，让我看到了数学的美无处不在。比如，蝴蝶翅膀上的对称花纹，雪花的六角形结构，甚至是人类的面部比例，都蕴含着数学的规律。这种跨学科的讲解方式，让我对数学产生了全新的认识，也让我开始用一种更加广阔的视角去理解这个世界。这本书的语言也非常优美，充满了诗意，读起来让人心情愉悦，仿佛在欣赏一幅幅数学的画卷。