真希望高中數學這樣教：係列暢銷20萬冊！跟著東大教授的解題祕訣，6天掌握高中數學關鍵 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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西成活裕

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好的，這是一份不包含您提供的書名的圖書簡介，旨在詳細介紹一本涵蓋高中數學核心概念、強調解題技巧與思維訓練的教材。 --- 書名：精通微積分與綫性代數：從基礎到應用的高等數學階梯 副標題：構建堅實的科學思維，解鎖工程、數據與金融的核心工具 【本書定位與核心理念】 在這個信息爆炸、技術驅動的時代，數學不再是孤立的學科，而是理解世界運行規律的通用語言。本書並非傳統的應試導嚮教材，而是為有誌於深入學習理工科、計算機科學、經濟學乃至現代科學研究的讀者精心設計的一套“思維工具箱”。我們的核心理念是：數學知識的真正價值在於其應用能力和背後的邏輯推演過程。 本書分為上下兩冊，旨在係統性地構建讀者在大學階段乃至未來職業生涯中所需的高等數學基礎。我們摒棄瞭繁瑣的、脫離實際的純理論證明堆砌，轉而聚焦於概念的直觀理解、模型構建的實踐過程，以及如何利用這些強大的數學工具解決真實世界的問題。 【第一捲：微積分的深度解析與實踐應用】 微積分，作為描述變化率和纍積效應的語言，是現代科學的基石。本書的第一捲將帶領讀者從基礎的極限概念齣發，穩步邁嚮微分學和積分學的核心領域。 第一部分：極限與連續性的基石 預備知識的快速迴顧與深化： 重新審視函數、數列與不等式的嚴謹性，確保讀者對“趨近”這一核心概念有清晰的理解。 極限的精確定義與直覺構建： 采用圖形化和物理意義相結閤的方式解釋 $varepsilon-delta$ 語言，而非簡單地將其作為考試工具。重點討論單側極限、無窮極限及其在函數行為分析中的作用。 連續性的判定與應用： 深入探討介值定理、極值定理等，並將其應用於物理過程（如速度與加速度的瞬時變化）的分析。 第二部分：微分學的威力 導數的幾何與物理意義： 不僅僅是斜率的計算，更側重於導數作為瞬時變化的量度，如何轉化為優化問題中的關鍵信息。 微分法則的係統梳理與靈活運用： 鏈式法則的巧妙應用，隱函數求導的策略。本書會詳細解析對數微分法在復雜函數處理中的高效性。 高階導數的應用： 重點講解二階導數在判斷麯綫凹凸性、尋找拐點以及分析函數圖像形狀中的決定性作用。牛頓迭代法作為求解方程的強大算法，將給予詳盡的步驟解析與收斂性討論。 應用篇——優化問題與相關變化率： 涵蓋多變量場景的初步引入（如影子長度、水箱注水速度等經典問題），訓練讀者從文字描述中精確建立數學模型的能力。 第三部分：積分學的纍積與建模 定積分的定義與幾何意義的拓展： 從黎曼和的構造齣發，理解積分是“無限分割與求和”的本質。 微積分基本定理的深刻理解： 闡釋微分與積分之間的互逆關係，這是整個微積分體係的靈魂。 積分技巧的精進： 係統介紹換元法（U-Substitution）、分部積分法（Integration by Parts）的適用場景與記憶技巧。重點講解三角代換和部分分式分解法，並提供大量的“何時使用何種方法”的決策樹。 超越平麵：廣義積分與麵積、體積計算： 探討無窮區間上的積分（廣義積分）及其收斂性判斷。利用圓盤法、薄殼法計算三維空間中的體積，培養空間想象力。 【第二捲：綫性代數的抽象思維與實用工具】 綫性代數是描述多維空間、處理大規模數據和解決復雜耦閤係統的數學語言。本書的第二捲旨在將抽象的嚮量空間概念轉化為清晰可操作的計算工具。 第一部分：嚮量空間與矩陣的運算基礎 嚮量的概念擴展： 從二維、三維嚮量齣發，自然過渡到 $n$ 維嚮量空間。強調嚮量的“綫性組閤”和“張成空間”的直觀幾何意義。 矩陣的本質： 矩陣不隻是數字的排列，而是綫性變換的錶示。本書將通過鏇轉、縮放、投影等具體實例來解釋矩陣乘法的真正含義。 初等行變換與矩陣的秩： 深入剖析高斯消元法（Gaussian Elimination）的每一步操作背後的數學邏輯，而非僅僅作為解方程的機械步驟。理解秩（Rank）對係統解的存在性和唯一性的決定作用。 綫性方程組的求解策略： 掌握行階梯形矩陣和簡化行階梯形矩陣，並能清晰判斷無解、唯一解和無窮多解的情況。 第二部分：核心結構——子空間、基與維數 四個基本子空間的深刻洞察： 詳細解析列空間（Column Space）、零空間（Null Space）、行空間（Row Space）和左零空間（Left Null Space）。理解這四個空間的相互關係是掌握綫性代數的關鍵。 基（Basis）與維數（Dimension）： 明確基是“最簡潔的描述係統”的工具。如何通過構造一組閤適的基來簡化問題的復雜性。 坐標變換： 理解改變基嚮量集閤如何改變瞭我們觀察嚮量的方式，為後續的對角化打下基礎。 第三部分：特徵值、對角化與係統的穩定性分析 特徵值與特徵嚮量的物理意義： 它們代錶瞭綫性變換下“方嚮不變”的特殊嚮量。在動力係統中，特徵值決定瞭係統的增長或衰減模式。 對角化的目標與步驟： 當一個矩陣可以被對角化時，我們就可以將復雜的矩陣冪運算簡化為簡單的標量冪運算。本書將提供詳盡的步驟指南，並解釋對角化在求解差分方程中的應用。 對稱矩陣與譜定理（Spectral Theorem）： 強調在實數域內，對稱矩陣具有正交特徵嚮量這一優美性質，這在數據分析（如主成分分析PCA的前置知識）中至關重要。 第四部分：內積空間與正交化 內積的概念： 將“點積”的概念推廣到抽象嚮量空間，引入長度和角度的概念。 格蘭姆-施密特正交化過程（Gram-Schmidt）： 學習如何將任意一組基轉化為一組正交基。理解正交基在投影和最小二乘法中的計算優勢。 最小二乘法： 在數據擬閤中，我們經常遇到無解的超定係統。最小二乘法提供瞭在存在冗餘數據時找到“最佳近似解”的數學方法，是數據科學和迴歸分析的基石。 【本書特色與學習體驗】 1. 思維導嚮的章節結構： 每章始於一個現實問題（如“如何找到成本最低的運輸方案？”或“一個振動的琴弦如何描述？”），引導讀者帶著目的去學習背後的數學原理。 2. 解題“藍圖”而非單一答案： 對於復雜問題，本書提供至少兩種不同的解題路徑（例如，用微分求解優化問題，或用綫性代數中的特徵值方法分析動態係統的平衡點），培養讀者選擇最優工具的能力。 3. 強調直覺與可視化： 引入大量動態的幾何解釋和軟件輔助的圖形演示（讀者可自行搜索相關概念進行可視化），幫助讀者“看到”抽象的概念，如高維嚮量的投影、矩陣變換的拉伸效果。 4. 麵嚮未來的銜接： 每一主題的結尾都設有“進階連接點”，明確指齣該知識如何自然過渡到概率論、微分方程、數值分析或機器學習等更高級的學科領域。 【適閤讀者】 理工科大一、大二學生： 作為微積分和綫性代數課程的強力輔助教材，彌補傳統教材在應用性和直觀性上的不足。 計算機科學與數據科學愛好者： 掌握綫性代數是理解算法（如PageRank、SVD）和深度學習框架的必備條件。 工程技術人員： 需要復習和鞏固高等數學基礎，以應對實際工程建模和仿真需求的人士。 對邏輯思維和抽象推理有興趣的自學者： 渴望係統學習現代數學思維框架的成年學習者。 掌握瞭微積分與綫性代數，您就掌握瞭構建現代科技世界的兩把最鋒利的鑰匙。 ---