基礎數學(含微積分、線性代數)歷屆試題詳解（111～103年） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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劉明昌博士

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經典工程數學核心概念深度解析與應用實例集錦 適用對象： 準備國內外理工科系研究所入學考試（如：台大、清大、交大、成大、陽明交大、中央、中正等頂尖學府），或從事相關工程技術領域的專業人士、大專院校相關科系學生。 書籍特色與內容綱要： 本書集結了近十年來台灣主要頂尖大學工程學研究所入學考試中，橫跨微積分 (Calculus)、線性代數 (Linear Algebra) 及微分方程 (Differential Equations) 三大核心學科的精選試題與詳盡解析。旨在提供讀者一個全面且深入的備考資源，確保讀者不僅能掌握解題技巧，更能理解背後的數學原理與其在工程領域的實際應用。 本書結構嚴謹，依循數學知識體系進行編排，將歷屆試題進行邏輯性的分類與重組，而非僅是單純的年份彙編。 --- 第一部分：微積分 (Calculus) 核心突破 本部分深入探討大學微積分課程中的兩大支柱——單變數與多變數微積分，強調概念的嚴謹性與計算的精準性。 第一章：極限、連續性與導數的基礎應用 極限的嚴謹定義與求解技巧： 涵蓋 L'Hôpital 法則的進階應用、不定型極限的處理，特別是涉及三角函數與指數、對數函數的複合極限問題。 導數的幾何與物理意義： 著重於切線斜率、瞬時變化率的計算，以及曲率、曲率半徑的解析方法。 微分法則的綜合應用： 隱函數微分、反函數微分的複雜情境實戰演練，並結合相關變化率問題的建模分析。 第二章：微分在最佳化與曲線分析中的應用 單變數函數的最佳化問題 (Optimization)： 針對實際工程問題（如材料使用量最小化、生產效率最大化）建立目標函數，並利用一階、二階導數判斷極值。 曲線的繪圖與分析： 詳述漸近線、拐點、凹凸性分析，並結合分段函數的連續性與可微性討論。 中值定理的嚴格檢驗： 羅爾定理、均值定理的理論應用，以及在數值分析中的雛形探討。 第三章：積分學的理論基礎與技巧 定積分與不定積分的計算策略： 涵蓋三角代換、分部積分（包含適用於特定函數型態的迭代法）、部分分式分解等所有標準技巧的實戰演練。 積分的應用： 面積、體積（圓盤法、薄殼法、切片法）的設置與計算，以及重心、轉動慣量的工程計算實例。 反常積分 (Improper Integrals) 的收斂性判斷： 對於積分上下限包含無窮大或被積函數不連續點的積分，提供詳細的收斂性測試方法（比較法、極限比較法）。 第四章：多變數微積分 (Multivariable Calculus) 偏導數與方向導數： 深入解析梯度 (Gradient) 的物理意義，並計算特定方向上的變化率。 鏈式法則的複雜應用： 處理涉及多個中間變量的複合函數微分，這是熱傳導或流體力學中常見的變換問題基礎。 極值問題與拉格朗日乘數法 (Lagrange Multipliers)： 針對帶有等式約束條件的極值問題，提供標準的解題步驟與矩陣表示法。 多重積分 (Double and Triple Integrals)： 著重於直角坐標系、極坐標系、柱坐標系及球坐標系之間的轉換，確保讀者能根據積分區域的形狀選擇最簡潔的計算方式。線積分與面積分（Green's Theorem, Stokes' Theorem, Divergence Theorem）的應用實例。 --- 第二部分：線性代數 (Linear Algebra) 矩陣運算與結構分析 線性代數是現代工程學的基石。本部分聚焦於向量空間、矩陣性質、特徵值問題，以及其在系統穩定性分析中的重要性。 第五章：向量空間與矩陣代數 基本定義與運算： 線性組合、線性獨立性、生成空間的判定。 基底 (Basis) 與維度 (Dimension)： 系統性地找出向量空間的基底，並計算其維度。 子空間的結構分析： 行空間 (Row Space)、列空間 (Column Space)、零空間 (Null Space) 的基底與維度計算，強調四個基本子空間之間的關係。 矩陣的秩 (Rank) 與解空間： 運用高斯消去法 (Gauss-Jordan Elimination) 求解線性方程組 $Ax=b$，並深入探討無窮多解或無解情況的幾何解釋。 第六章：線性變換與相似性 線性變換的表示： 矩陣作為線性變換的具體化表示，探討核 (Kernel) 與像 (Range)。 相似變換 (Similarity Transformation)： 矩陣的相似性定義、性質，以及如何利用相似矩陣簡化計算。 第七章：特徵值、特徵向量與對角化 特徵問題的求解： 系統性地求解特徵多項式、特徵值與特徵向量。 對角化 (Diagonalization) 的條件與方法： 探討矩陣可對角化的充要條件，並熟練使用對角化簡化矩陣的冪運算（如 $A^k$）。 實數對稱矩陣的處理： 深入探討正交對角化 (Orthogonal Diagonalization) 與譜定理 (Spectral Theorem)，這對二次型 (Quadratic Forms) 的分析至關重要。 二次型與正定性分析： 判斷二次型的正定性、半正定性，並結合主成分分析 (PCA) 的概念進行初步介紹。 第八章：內積空間與正交性 內積、長度與角度： 建立在抽象向量空間上的幾何概念。 Gram-Schmidt 正交化過程： 熟練地從一組基底構造出標準正交基 (Orthonormal Basis)，這是傅立葉分析和最小平方法理論的基礎。 正交投影： 在子空間上的向量投影計算，是最小平方法解的理論核心。 --- 第三部分：微分方程 (Differential Equations) 初探 雖然部分考科可能不專門考「微分方程」，但其在工程數學中的地位無可取代，故本書選錄了最基礎且常見的常微分方程 (ODE) 題型。 第九章：一階常微分方程的求解 標準型態的解析： 變數可分離法、一階線性 ODE (積分因子法)、恰當性方程 (Exact Equations)。 Bernoulli 方程與 Clairaut 方程的變換技巧。 第十章：高階線性常微分方程 齊次與非齊次方程的求解： 係數待定法 (Undetermined Coefficients) 與參數變易法 (Variation of Parameters) 的應用與比較。 常係數齊次方程的特徵方程分析： 處理重根、虛根情況下的特解形式。 拉普拉斯變換 (Laplace Transform) 在 ODE 求解中的應用： 著重於求解含有初始條件的邊界值問題，尤其在電路分析中的應用範例。 --- 本書的價值所在： 本書的詳解不僅僅提供數字答案，更著重於「為什麼要這樣解」。對於標準題型，提供最有效率的解題路徑；對於複雜題型，則會剖析隱藏在背後的數學定理，確保讀者在面對變化多端的考題時，能夠靈活應用所學，真正達到「融會貫通」的備考境界。嚴謹的數學推導與清晰的邏輯架構，是追求頂尖名校的考生不可或缺的強力後盾。

评分☆☆☆☆☆

我對這本書最大的期待，其實是在於它對「近十年」資料的處理能力。數學的考法其實一直在演進，尤其是在工具性計算方面，現代的數學教育越來越鼓勵學生利用工具來處理繁瑣的運算，轉而專注於概念的理解和模型的建立。因此，這本詳解所涵蓋的 103 年到 111 年的試題，剛好跨越了台灣高等教育體制改革的一個重要階段。我很好奇，編者在處理那些可能已經比較少出現在當前考卷上的「老派」計算題時，會採用什麼樣的解法？是延用舊式的繁瑣計算，還是會巧妙地用現代觀點來簡化？如果它能適度地加入「現代解法提示」或者「舊題新解」的角度，那就非常棒了，這表示編者對教學脈絡的掌握度很高，而不僅僅是把過去的解答資料庫搬過來而已。這種與時俱進的編纂心態，才能讓一本詳解書真正發揮它的教育價值。

评分☆☆☆☆☆

光看書名就覺得這套書的企圖心不小，「基礎數學」涵蓋微積分和線性代數，這幾乎是所有理工科系新生大一、大二的共同噩夢。我記得我當年因為線性代數被搞得很慘，矩陣對角化、特徵值、特徵向量那些抽象的概念，光是想像就頭痛。如果這本詳解能把線性代數的幾何意義講得更透徹一點，而不是只停留在純粹的代數運算，那對我這種偏重直覺理解的人來說，簡直是福音。再說到微積分，那種涉及極限和連續性的嚴謹性證明，台灣的教科書有時候會處理得比較保守。我希望這本詳解在處理那些邊界情況的題目時，能展現出足夠的嚴謹度，但又不至於讓讀者光看詳解就覺得氣餒。總之，對於想在短期內快速建立起對這兩科基礎概念的整體掌握度，並透過實戰演練來強化記憶的人來說，這本書的定位顯然非常精準。

评分☆☆☆☆☆

這本書的封面設計得還蠻樸實的，拿在手上沉甸甸的，感覺內容一定很扎實。我記得我那時候準備研究所考試時，光是找考古題就花了不少時間，而且有些參考書的解答寫得模稜兩可，看了解釋還是一頭霧水。這本彙整了將近十年的試題，光是這點就非常吸引人，畢竟數學這種東西，光看課本是練不出手感的，一定要多做考古題才能掌握出題老師的出題方向跟陷阱。而且，它既然涵蓋了微積分跟線性代數，這兩科在理工科系和商學院的研究所考試中都是必考的魔王級科目，能有一本詳解齊全的參考書，真的能省下很多找解答和跟同學討論的時間。我個人覺得，這種詳解書的價值不在於它教你新的觀念，而在於它能幫助你驗證自己對觀念的理解是否到位，以及在面對複雜計算時，有沒有一套邏輯清晰的解題 SOP。希望這本書的排版和解析步驟能像它厚度給我的感覺一樣，紮實且清晰明瞭，能讓我這個數學底子有點弱的考生，也能安心應戰。

评分☆☆☆☆☆

最近我幫家裡那個準備學測分科測驗的表弟在找資料，他對數學的抽象概念吸收速度比較慢，常常卡在觀念的轉化上。看到這本涵蓋了過去九年（111到103年）的試題，我第一個念頭是：這等於是把近十年來所有主流出題方向都摸透了。重點是，它是否能針對那些「每年都會考但每年都會讓人失分」的固定題型，提供一套標準化的解題流程？例如，在線性代數中如何快速判斷空間的基底，或者在微積分中如何應用羅必達法則來處理不定式極限。如果這本書能像一本字典一樣，讓讀者快速翻到對應的章節，找到那種「萬用解法」，那它的CP值就會非常高。畢竟，考試時間有限，不能在一個題目上糾結太久，一套成熟的 SOP 系統比死記硬背重要的多。

评分☆☆☆☆☆

老實說，我對這種「歷屆試題詳解」的書一向抱持著一種又愛又恨的心情。愛的是，它確實是考試前的「武功秘笈」，能讓你迅速掌握戰場的樣貌；恨的是，很多市面上的詳解書，詳解寫得比題目還難懂，根本是「看了解釋更不懂」的等級。我特別關注的是微積分部分，尤其是那些關於級數收斂、多變數函數的偏微分和積分計算，往往是送分題變送命題的關鍵。如果這本書的解法能針對台灣學生的學習脈絡來設計，例如多用國立台灣大學、清華大學這些頂尖學校的解題風格，那它的實用性就大大加分了。我希望它不只是把答案列出來，而是能深入剖析「為什麼要這樣選方法」，這才是真正能提升解題層次的關鍵。畢竟，考試看的不是誰算得快，而是誰的邏輯鏈最穩固。這種「詳解的品質」才是決定它能否從眾多參考書中脫穎而出的核心競爭力。