从物理学切入的－线性代数导论 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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线性代数学基础上的量子力学，它是主宰今日高科技的物理学之一。另一方面，描述日常生活动态现象的运动方程式，绝大部分是线性微分方程式，显然直接和空间，变换或映射有密切关系的线性代数学对物理学很重要。不过通常的线性代数书籍, 几乎较偏向数学，无形中使初学者有空洞和枯燥感, 甚至于不知其用途。

　　为避免陷入僵化、架构和相互关系模煳,以及失去发展过程的关连。本书于是尽量以画图说明，并阐述重要科学家的创造或发明过程，其在历史上的定位和交代清楚整体架构等方向努力。以交谈方式一步一步地用分析法解例题，探究问题核心在那里，过去有什么演算招术，然后分析所得结果，可能时归纳结果。

《从物理学切入的——线性代数导论》图书简介 导言：跨越学科的桥梁 本书旨在为读者提供一个既扎实又直观的线性代数学习路径。我们深知，对于许多初学者，特别是那些对物理世界有着浓厚兴趣的理工科学生而言，纯粹的数学抽象往往难以建立起深刻的理解。因此，本书的独特之处在于，它将物理学的直观概念——如空间、运动、场和变换——作为理解线性代数核心思想的基石。我们避免了传统教科书的繁琐和刻板，力求通过物理学的视角，揭示线性代数背后的几何意义和实际应用价值。 第一部分：基础的构建——向量与空间 本书的开篇聚焦于线性代数最基本的元素：向量。在物理学中，向量是描述力的方向与大小，或描述空间中某一位置的自然工具。我们从三维欧几里得空间中的向量入手，引入向量的加法、数乘等基本运算。这些操作在物理中对应着力的叠加和尺度的缩放，直观易懂。 1. 向量的几何直观： 我们详细阐述了向量的“箭头”表示法，并将其与物理学中的位移、速度和加速度等概念联系起来。读者将学会如何用向量来描述物理系统中的状态。 2. 线性组合与张成空间： 这一部分是理解更高维度空间的基础。通过物理实例，如在二维平面上用两个不共线的向量表示所有点，我们引入了线性组合的概念。张成空间（Span）被解释为由一组向量所能“覆盖”的所有点集合，这在描述物理场域或系统的所有可能状态时至关重要。 3. 线性无关性与基： 线性无关性被定义为一组向量集合中不存在冗余信息的能力。我们通过“最小表示”的物理需求来解释基（Basis）的重要性——一套最精简、最有效的向量集合，能够唯一地描述整个空间。例如，笛卡尔坐标系中的 $(mathbf{i}, mathbf{j}, mathbf{k})$ 就是三维空间的一个标准物理基。 4. 维度与坐标系： 维度的概念不再是抽象的数字，而是空间自由度的度量。我们探讨了不同基底下的坐标表示，并展示了如何通过基底变换来转换我们对同一物理现象的描述，这为后续的矩阵变换打下铺垫。 第二部分：核心工具——矩阵与线性变换 如果说向量描述了空间中的“点”或“量”，那么矩阵则描述了空间中发生的“动作”或“变化”。这是线性代数最具应用价值的部分，也是物理学中应用最为广泛的领域。 1. 矩阵的本质：线性变换： 我们明确指出，矩阵的本质是对向量空间进行线性变换（Linear Transformation）。我们将矩阵乘法解释为一系列几何操作的复合：旋转、缩放、剪切、投影等。通过具体的二维和三维旋转矩阵的推导，读者能直观感受到矩阵如何操控空间结构。 2. 矩阵的运算与性质： 矩阵的加法、乘法、转置等运算被赋予了物理意义。矩阵乘法不再是生硬的代数规则，而是变换的顺序叠加。例如，先进行一次拉伸，再进行一次旋转，如何用矩阵的乘法表示？ 3. 可逆性与逆矩阵： 一个变换是否可逆，取决于它是否丢失了信息。如果一个变换将两个不同的点映射到同一个点（即信息丢失），那么它就是不可逆的。逆矩阵（Inverse Matrix）则代表着“撤销”或“恢复”原始状态的操作，在解耦物理方程时极为关键。 4. 矩阵的秩与零空间： 矩阵的秩（Rank）描述了变换后空间的维度，即变换保留了多少“有效自由度”。零空间（Null Space）则包含所有被变换映射到原点（零向量）的向量，这在解决齐次线性方程组时对应着系统中的“自由解”或“零模态”。 第三部分：深层结构——特征值与特征向量 特征值和特征向量是理解线性系统稳定性和动态行为的钥匙。在物理学中，它们往往对应着系统最本质、最稳定的行为模式。 1. 寻找不变的方向： 我们将特征向量定义为那些在经过某个线性变换后，方向保持不变的向量。它们代表了该变换下的“主轴”。特征值则描述了沿着这些主轴方向的伸缩因子。 2. 物理应用的直观解释： 振动分析： 在机械振动中，特征向量对应于系统的固有振型（Normal Modes），而特征值则对应于这些振动的固有频率的平方。 主成分分析（PCA）： 在数据分析中，特征向量指向数据方差最大的方向，帮助我们找到描述系统变化的最主要维度。 3. 对角化与相似变换： 通过找到一组恰当的基底（即特征向量作为新基底），可以将复杂的变换矩阵对角化。对角化后的矩阵操作极其简单，它揭示了系统在最本质坐标系下的简单行为。我们探讨了相似变换如何保持系统的核心物理性质不变。 第四部分：广义空间——内积与正交性 前三部分主要关注于如何描述空间和变换，本部分则引入了度量工具——内积，从而构建起欧几里得几何的严谨结构。 1. 内积的定义与几何意义： 内积（点积）被引入为衡量两个向量“相似度”或“投影”的工具。我们将其与物理学中的功（Work）联系起来，即一个力在位移方向上的分量。 2. 正交性与投影： 两个向量正交意味着它们相互“独立”，没有任何方向上的重叠。在物理学中，这对应于相互垂直的力或相互独立的分量。正交投影则允许我们将任意向量分解到一组正交基的分量上，这在傅里叶分析等领域至关重要。 3. 格拉姆-施密特正交化： 我们提供了一种系统的方法，将任意一组基底转化为一组标准化的正交基底。这使得对复杂空间的分析和计算变得更加简洁和鲁棒。 4. 正交矩阵： 正交矩阵代表的是保持长度和角度不变的变换，即纯粹的旋转和反射。它们在描述刚体运动和量子力学中的酉变换（Unitary Transformations）中占据核心地位。 结语：通往更深层次的物理与数学 本书通过紧密的物理图像与严谨的数学推导相结合，旨在让读者不仅“知道”线性代数如何计算，更能“理解”它在描述客观世界中的深刻含义。掌握了这些工具，读者将能够更有效地应对从量子力学中的态空间描述、经典力学中的拉格朗日方程、到电磁学中的场论等诸多物理领域中遇到的矩阵问题。线性代数不再是抽象的代数游戏，而是理解宇宙运行规律的必备语言。

作者简介

林清凉

　　1931年生于台湾高雄县，1954年毕业于台湾大学物理系，1966年获日本东京大学物理学博士。

　　曾在该校及美国麻省州立大学Amherst分校和史丹福大学担任研究员及访问学者，专研原子核结构、核反应及和介子交换流的功能。曾任台湾大学物理系系主任，任内和同仁积极革新并且奠定自由、民主的学术和行政基础，以及良好的研究环境，同时和沈君山教授排除一切障碍执行目前所谓的「通识教育」课程。

　　目前为台大物理系兼任教授。

序

第一章 导言和基础观念
(I) 导言
(II) 基础观念
☆ 习题和解答
☆ 第一章摘要
☆ 参考文献和註解   

第二章 线性空间与其基底、维度和座标
(I) 物理向量与其空间、基底、维度和座标
(II) 代数向量与其空间、基底、维度和座标
☆ 习题和解答
☆ 第二章摘要
☆ 参考文献和註解

第三章 线性变换
(I) 变换 (transformation) ？
(II) 线性变换算符f^ 的矩阵表示与其例题
☆ 习题和解答
☆ 第三章摘要
☆ 参考文献和註解

第四章 矩阵
(I) 矩阵定义及常用矩阵
(II) 矩阵的基础代数运算
(III) 矩阵秩数 (rank of matrix)
(IV) 逆矩阵 (inverse of matrix)   
☆ 习题和解答
☆ 第四章摘要
☆ 参考文献和註解

第五章 本征值与本征向量
(I) 本征 (elgen 或 characteristic) 名称来源
(II) 矩阵与微分算符的本征值与本征向量
☆ 习题和解答
☆ 第五章摘要
☆ 参考文献和註解

附　录

评分☆☆☆☆☆

我对这本书的期待，源于一次深刻的学习体验。我曾多次尝试学习线性代数，但总是感到力不从心。那些抽象的概念，如向量空间、线性变换、特征值等，对我来说就像是漂浮在空中的云，难以捉摸，更谈不上融会贯通。传统的线性代数教材，虽然严谨，但缺乏直观的物理图像，导致我在学习过程中总是感觉“知其然，不知其所以然”。然而，当我在书店里看到《从物理学切入的－线性代数导论》这本书时，我仿佛看到了一盏指路的明灯。我坚信，物理学是描述和理解世界最基础的语言之一，而线性代数又是物理学中不可或缺的数学工具。因此，以物理学的视角来学习线性代数，必然能够赋予这些抽象概念以鲜活的生命力。我设想，书中可能会用向量来描述物体在空间中的位置、速度、力等物理量，用矩阵来表示各种物理变换，例如刚体的旋转、伸缩，或者描述电场、磁场的变化。我更期待书中能够用物理学的直觉来解释诸如“线性空间”的意义，它是否对应着某种物理现象的叠加性？“特征值”和“特征向量”是否能够用来描述系统的固有属性，比如物体的振动模式或能量级别？我希望这本书能够帮助我建立起清晰的物理图像，让我在面对复杂的数学公式时，不再感到迷茫，而是能够将其与直观的物理现象联系起来，从而加深理解，提升学习效率。我渴望这本书能为我开启一扇全新的大门，让我真正领略到线性代数在物理世界中的强大力量和无穷魅力。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计本身就传达了一种严谨而又富有探索精神的气质，那种深邃的蓝色背景，搭配着精巧的几何线条，让我立刻联想到宇宙的奥秘和物理学的深邃。当我在书店翻开这本书，看到“从物理学切入”这几个字时，我的内心涌起一股强烈的共鸣。我一直认为，数学的抽象性是其学习的最大障碍，而物理学作为一门与现实世界紧密相连的学科，其直观性和应用性恰好能够弥补数学的不足。我非常好奇，这本书将如何运用物理学的直觉来解读线性代数？是否会用力的矢量分析来解释向量的运算？用坐标系的变换来引入矩阵的意义？或者，会不会涉及更复杂的物理概念，例如利用量子力学中的态叠加原理来解释向量空间的线性性质？我期待书中能够提供清晰的物理模型，帮助我理解那些抽象的数学概念，例如“线性无关”的物理意义，是否意味着描述的物理自由度是独立的？“矩阵的秩”又与物理系统的可控性或观测性有何关联？我希望这本书能够帮助我建立起一套基于物理直觉的线性代数思维框架，让我在学习过程中不再是死记硬背公式，而是能够真正地理解数学背后的物理原理。我期待这本书能够成为我探索物理学世界更深层次奥秘的敲门砖，让我能够更加自如地运用线性代数这一强大的数学工具。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计就足够吸引我了。那种低饱和度的蓝，搭配着一点点金色的线条勾勒出复杂的几何图形，给人一种既严谨又充满想象力的感觉。当我拿到书的时候，第一个念头就是“这绝对不是一本枯燥的教材”。翻开目录，看到“从物理学切入”这几个字，我就知道我找到宝了。我一直觉得数学，尤其是抽象的线性代数，如果能跟现实世界建立起联系，那学习起来会事半功倍。很多时候，我们在课堂上学习那些公式和定理，虽然知道它们有用，但就是感觉离自己的生活很远，甚至有点摸不着头脑。而这本书，似乎正是为我这样的读者量身定做的。它承诺用物理学的直觉和视角来解读线性代数，这让我非常期待。我很好奇，向量空间、矩阵运算，这些听起来高冷的数学概念，在物理学家眼里会展现出怎样的姿态？是会像力和运动那样直观，还是像量子力学那样充满奇妙的悖论？书中会不会讲解傅里叶变换在信号处理中的应用，或者用张量来描述时空弯曲？这些都是我迫切想知道的。我希望这本书能提供清晰的物理图像，帮助我理解那些数学上的抽象概念，不再仅仅是死记硬背公式，而是真正地“看到”数学在现实世界中的投影。我希望它能让我体会到，线性代数不仅仅是求解方程组的工具，更是理解物理世界运行规律的语言。我希望这本书能用生动的例子，比如描述粒子运动的轨迹，或者分析光学系统的成像原理，来展示线性代数的力量。总之，这本书的气质和它的内容预告都让我充满好奇和信心，迫不及待想要深入其中，探索物理学与线性代数之间那奇妙的联系，并借此机会彻底摆脱我对线性代数的“恐学症”。

评分☆☆☆☆☆

我之所以对这本书充满期待，是因为它恰好触及了我学习线性代数时的核心困惑。我曾经尝试过阅读一些传统的线性代数教材，但那些高度抽象的符号和严谨的逻辑证明，常常让我感到力不从心，学习的过程也显得枯燥乏味。我深切地感受到，如果不能将数学概念与直观的物理世界联系起来，那么学习就很难深入，更难以产生持久的兴趣。因此，当我看到《从物理学切入的－线性代数导论》这个标题时，我立刻被吸引住了。我猜测，这本书很可能会从物理学的基本概念出发，例如速度、加速度、力等向量的概念，来引入向量空间和线性变换。我期待书中能够用物理学的例子来阐释矩阵的运算，比如描述一个物体经历一系列物理变换（如旋转、平移）后其状态的变化。更令我兴奋的是，我希望书中能够用物理学的语言来解释“特征值”和“特征向量”的含义，例如，在振动分析中，特征值可能代表系统的固有频率，而特征向量则描述了相应的振动模式。这种将抽象的数学概念与具体的物理现象相结合的方式，对我来说，是最有效的学习途径。我希望通过阅读这本书，我能够真正理解线性代数的核心思想，摆脱对数学公式的恐惧，并能够将所学知识灵活地应用于解决实际的物理问题。这本书的出现，让我看到了将线性代数“学懂”的希望。

评分☆☆☆☆☆

拿到这本书的时候，我首先被它的内容所吸引。标题中“从物理学切入”这几个字，恰好点中了我学习线性代数时的痛点。我一直觉得，很多数学学科，尤其是像线性代数这样偏向抽象的，如果能够与我们熟悉的物理世界建立起联系，学习起来会变得更加容易和有趣。过去的学习经历告诉我，单纯的符号演算和逻辑证明，往往难以建立起直观的认识，也很难激发深入学习的动力。我希望这本书能够打破这种局面，它是否能够用物理学的概念来解释线性代数的本质？比如，向量是不是就可以理解成各种物理量，如力、速度、位移？矩阵是不是就可以看作是描述物理系统状态变化或者变换的工具？书中会不会涉及牛顿力学中的矢量分析，例如描述物体运动的轨迹和受力情况？或者，它会以更前沿的物理学领域，如量子力学中的状态空间和算符，来引入线性代数的概念？我特别期待它能解释清楚“线性”这个词的物理意义，是什么使得物理系统的描述符合线性规律？以及“代数”在物理学中扮演的角色。我希望这本书能够为我提供一个全新的视角，让我能够从物理学的直觉出发，去理解那些看似高冷的数学概念，从而更好地运用线性代数来解决实际的物理问题。我希望这本书不仅仅是讲解知识，更能点燃我对科学探索的热情，让我感受到数学与物理世界之间深刻而迷人的联系。

评分☆☆☆☆☆

我一直以来都对那些能够打破学科界限，将不同领域的知识融会贯通的书籍情有独钟。当我看到《从物理学切入的－线性代数导论》这本书时，我的眼前一亮。一直以来，我总觉得线性代数是一门非常抽象的学科，虽然知道它在各个科学领域有着广泛的应用，但缺乏一个直观的理解方式，使得学习过程显得有些困难。而“从物理学切入”的副标题，则为我提供了一个全新的视角。我非常好奇，这本书会如何用物理学的语言来阐释线性代数的概念？例如，向量是否会被类比为物理世界中的力、速度或位移？矩阵又是否会被用来描述物理系统的状态转移或变换？我期望书中能够提供一些生动的物理场景，比如用经典力学中的粒子运动轨迹来解释向量的合成与分解，或者用电路分析中的节点电压法来展示矩阵方程的求解过程。更让我期待的是，书中是否会涉及一些更具挑战性的物理概念，比如用量子力学中的态向量来解释向量空间，或者用波动方程的解来引入特征值和特征向量的概念？我希望通过这本书，能够建立起对线性代数概念的直观理解，将那些抽象的数学符号转化为可感知的物理图像，从而更深入地理解线性代数在现代科学技术中的重要作用。这本书对我而言，不仅仅是一本关于线性代数的教材，更是一扇通往物理世界深层奥秘的大门。

评分☆☆☆☆☆

在我看来，一本好的教材，不仅仅是知识的传递者，更是学习者与知识之间桥梁的搭建者。而《从物理学切入的－线性代数导论》这本书，从书名上就给我一种与众不同的感觉。我一直觉得，很多抽象的数学概念，如果能够用物理世界的直观例子来解释，学习起来会事半功倍。许多人在学习线性代数时，会因为其抽象性而感到困惑，甚至望而却步。而这本书“从物理学切入”的定位，正是我所需要的。我设想，书中可能会用经典力学中的向量来解释向量空间，用坐标系的旋转、缩放来引入矩阵的几何意义，甚至可能用量子力学中的波函数或状态向量来解释更复杂的概念。我希望这本书能够帮助我建立起清晰的物理直觉，让我能够“看到”那些抽象的数学对象在物理世界中的对应关系。例如，当提到“线性变换”时，我希望书中能提供一个具体的物理场景，比如描述一个光学透镜对光线的折射，或者一个弹簧对施加力的响应，来展示这种变换的线性特性。当我看到“特征值”和“特征向量”时，我希望书中能解释它们在物理系统中的具体含义，比如它们是否代表了系统的稳定模式、固有频率或者能量级？我期待这本书能够让我真正理解线性代数是如何成为描述物理世界 fundamental language 的一部分，并且能够培养我运用线性代数解决物理问题的能力。

评分☆☆☆☆☆

我一直深信，知识的学习，尤其是一些偏向理论性的学科，如果能够与我们所熟悉的现实世界建立起紧密的联系，其学习效果将会大打折扣。然而，在学习线性代数的过程中，我却屡屡遇到瓶颈。那些抽象的符号、严谨的定义，常常让我感到无所适从，缺乏一个可以依靠的“抓手”。当我偶然间看到《从物理学切入的－线性代数导论》这本书时，我仿佛看到了解决我学习困境的曙光。“从物理学切入”——这几个字，恰恰击中了我内心深处的需求。我猜想，这本书很可能将线性代数的概念，比如向量、矩阵、线性变换等，与物理学中的具体现象联系起来。我迫切希望书中能够用物理学的直观图景来解释这些抽象的概念，例如，用力的矢量叠加来解释向量的加法，用物体的运动轨迹描述向量的变化，用坐标系的变换来引入矩阵的运算。我尤其期待书中能够对“线性”这一概念的物理意义进行深入的探讨，比如，在物理系统中，什么是“线性”的？这种线性关系又给我们带来了哪些便利？此外，我对书中关于“特征值”和“特征向量”的物理学解释充满好奇，它们是否能够用来描述物理系统的某种固有属性，比如共振频率，或者系统的稳定性？我希望这本书能够帮助我建立起对线性代数深刻而直观的理解，不再仅仅是记忆和运算，而是能够真正地“理解”数学背后的物理逻辑。

评分☆☆☆☆☆

我一直以来都对那些能够将看似晦涩的知识变得通俗易懂的书籍情有独钟，尤其是那些能够赋予抽象概念以具象化意义的著作。《从物理学切入的－线性代数导论》这个书名，毫不夸张地说，瞬间就抓住了我的注意力。作为一名对物理学抱有浓厚兴趣，但又在学习线性代数时屡屡碰壁的读者，我深切地体会到了数学抽象性带来的学习障碍。很多时候，枯燥的符号和严谨的逻辑推导，并不能点燃我对知识的渴望，反而让我感到沮丧。因此，当我知道有一本书试图通过物理学的视角来解读线性代数时，我感到异常兴奋。我迫切地希望这本书能够提供一种全新的学习路径，一种能够将我从纯粹的符号世界中解放出来的路径。我设想，书中可能会用力的合成与分解来解释向量的加法，用坐标系的变换来引入矩阵的意义，甚至用简谐振动的数学模型来阐述特征值与特征向量的概念。我期望通过这些物理学的类比和直观的解释，能够建立起我对线性代数各个概念的深刻理解，不再仅仅是机械地记忆公式，而是能够真正地“理解”它们在物理世界中的对应关系。我希望这本书能够成为我探索更深层次物理学理论的坚实基础，让我在面对复杂的物理模型时，能够更加自信和得心应手。我期待它能够让我领略到数学之美，以及它在构建我们对宇宙认识过程中的核心作用。

评分☆☆☆☆☆

我买这本书的初衷，其实是源于一次偶然的灵感。当时我在读一篇关于机器学习的文章，里面频繁出现“向量”、“矩阵”、“特征值”这些词汇，虽然我大概知道它们的意思，但在理解算法的深层原理时，总感觉隔了一层纱。我尝试去翻阅一些传统的线性代数教材，但那些密集的符号和严谨的证明，让我望而却步，很快就失去了兴趣。我需要的不是一个纯粹的数学证明过程，而是一个能够让我理解“为什么”的视角。当我看到这本书的标题时，那种“从物理学切入”的字样，简直就像是黑暗中的一道曙光。我立刻联想到，物理学本身就是一个不断用数学工具来描述和理解自然规律的学科。从牛顿力学的矢量分析，到量子力学的希尔伯特空间，线性代数的影子无处不在。我猜想，这本书很可能就是将这些物理学的直观理解，巧妙地转化为线性代数的概念。我非常期待它能用物理学的语言来解释诸如“线性变换”的几何意义，比如旋转、缩放、剪切，以及“矩阵乘法”的物理含义，可能是在描述连续的物理过程。我希望书中能有关于“特征值和特征向量”的物理学解释，比如在振动理论中，特征值可能代表了系统的固有频率，而特征向量代表了相应的振动模式。这种与物理直觉的结合，对我来说，是理解抽象数学概念最有效的方式。我希望这本书能教会我如何用物理的眼光去审视和运用线性代数，让我在学习机器学习或者其他需要用到线性代数的领域时，能够更加游刃有余，而不是仅仅停留在表面。这本书的出现，让我觉得我多年的“线性代数困惑”终于有了解决的希望。