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本书是依据笔者十多年来在大学教授微积分之经验与心得编写而成，编写方式由浅入深，适合不同程度之读者研读。由各章节之单元微观之，每个定理均有完整之推导、详尽之观念分析、并阐述其应用；由整个微积分巨观之，分析各章节与单元之关连性与差异性，使读者能有系统的掌握微积分之学习要诀及分析方法。

　　此外，本书广泛收录国内各大学转学考及研究所入学考微积分之考古题，可用以评量学习成效，笔者在解题时尽量呈现所有可能的解法，使读者得以融会贯通。对于有志于从事科学研究，及报考理、工、商领域研究所之读者，本书是绝对是一本极佳的工具书。

《高级代数与抽象结构》 导言 本书旨在为具有扎实微积分和线性代数基础的学生提供进入更深层次纯数学领域的阶梯。它不仅是对传统代数概念的拓展，更是对数学结构本质的深入探索。我们专注于代数中的核心概念，如群、环和域，并辅以必要的集合论和逻辑基础，以构建严谨的数学证明体系。本书的编写风格力求清晰、逻辑严密，并通过丰富的例题和习题，引导读者从计算导向的思维模式转向结构导向的抽象思维。 第一部分：预备知识与基础逻辑 第一章：集合论基础与逻辑推理 本章首先回顾并深化了集合论的基本概念，包括集合的表示法、子集、幂集、笛卡尔积以及集合之间的运算（并、交、差、对称差）。我们详细探讨了关系与函数，特别是等价关系和偏序关系，并引入了良基集和良序定理的概念。 在逻辑推理方面，本章着重于形式化证明的构建。我们将区分直接证明、反证法、数学归纳法（强形式和弱形式），以及构造性证明。此外，我们还将介绍命题演算和谓词演算的基本结构，强调在高等数学中，严谨的逻辑是构建任何理论的基石。通过对集合论的深入理解，为后续抽象结构的学习打下坚实的语言基础。 第二章：自然数与整数的代数构造 虽然自然数（$mathbb{N}$）和整数（$mathbb{Z}$）在初等数学中是已知的，但本章从集合论的视角对其进行形式化构造。我们将使用皮亚诺公理体系（Peano Axioms）来定义自然数，并利用集合论中的构造方法（如使用序对）来定义加法和乘法运算，并严格证明其满足结合律、交换律和分配律。 随后，我们转向整数的构造。通过定义整数为自然数对的等价关系，我们正式定义了整数的加法和乘法，并证明了这些运算的唯一性和性质。本章的重点在于理解我们习以为常的算术系统是如何从最基本的逻辑公理中“生长”出来的，培养读者对数学对象起源的深刻认识。 第二部分：群论基础 第三章：代数结构与二元运算 在正式引入群之前，本章首先定义了更一般的代数结构——具有二元运算的集合。我们探讨了运算的性质，如封闭性、结合律、交换律，以及单位元和逆元的定义。通过对这些基本性质的分析，引出半群（Semigroup）和幺半群（Monoid）的概念。 本章通过一系列例子来区分这些结构，例如矩阵乘法与矩阵加法在一般环或域中的表现。特别地，我们引入了同态（Homomorphism）的概念作为结构保持的映射，并定义了结构之间的同构（Isomorphism），这是衡量两个结构本质上是否相同的关键工具。 第四章：群的定义与基本性质 本章的核心是群（Group）的严格定义：一个集合$G$以及一个满足封闭性、结合律、存在单位元和存在逆元这四个条件的二元运算。我们将通过大量例子来检验一个结构是否构成群，包括整数加法群、非零有理数乘法群、可逆矩阵群等。 随后，我们深入探讨群的基本性质，例如单位元和逆元的唯一性，以及逆元之间的关系。我们引入了子群（Subgroup）的概念，并利用子群判别法来验证特定子集的群结构。本章还涵盖了有限群的阶（Order）的概念，以及元素阶的性质，包括阶与群阶的关系。 第五章：正规子群、商群与群同态 本章是群论从基础到应用的关键过渡。我们引入了陪集（Coset）的概念，区分左陪集与右陪集。在此基础上，我们定义了正规子群（Normal Subgroup）——即左陪集等于右陪群的特殊子群。正规子群的性质是构造商群的必要条件。 商群（Quotient Group）的构造是通过将群的元素集划分为正规子群的陪集，并在陪集集上定义一个自然运算。我们将严格证明商群运算的良定义性。 最后，本章聚焦于群同态（Group Homomorphism），即保持群运算的映射。我们证明了同态定理（第一同构定理），它揭示了任一群$G$与其商群$G/ker(phi)$之间的同构关系，这是抽象代数中最基本和最重要的结构定理之一。 第三部分：环与域 第六章：环的定义与基本性质 本章将代数结构从一元运算推广到二元运算，即环（Ring）。环由两个运算构成：通常称为加法和乘法。我们详细列举了环的十个公理，包括加法构成阿贝尔群，乘法满足结合律，以及分配律的连接。 我们区分了交换环和非交换环，有单位元（乘法单位元）的环和无单位元的环。本章分析了环中零元素、单位元的性质，并引入了零因子（Zero Divisor）的概念，这是区分不同类型环的关键特征。 第七章：理想与商环 如同群中的子群和正规子群，环中具有特殊性质的子集被称为理想（Ideal）。我们定义了左理想、右理想和双边理想，并论证了双边理想是构造商环的“正规”子结构。 商环（Quotient Ring）的构造与商群类似，是通过对环元素关于一个理想进行陪集划分，并在陪集上定义加法和乘法。我们证明了商环的运算是良定义的，并探讨了理想的性质与商环结构之间的对应关系。 第八章：整环与域 本章专注于研究具有特定性质的环：整环（Integral Domain）和域（Field）。整环被定义为具有单位元且没有零因子的交换环。我们将详细分析整数环 $mathbb{Z}$ 和多项式环 $F[x]$ 作为典型的整环例子。 域被定义为所有非零元素在乘法下构成群的交换环。域是进行除法的基本环境，是分析有理数、实数、复数等结构的基础。本章将证明所有有限整环一定是域，并探讨域的重要性质，如特征（Characteristic）。 附录：复数域的构造（选讲） 附录简要回顾了复数域 $mathbb{C}$ 的构造，通过有理数对 $(a, b)$ 来定义复数 $a + bi$，并展示了如何利用环的结构来理解复数域的完备性及其代数封闭性。 总结 《高级代数与抽象结构》旨在提供一个严谨、深入的代数基础。本书强调结构间的内在联系，从集合论的精确性出发，通过群的对称性分析，最终过渡到环和域的算术框架。读者在完成本书学习后，将能够熟练掌握现代代数的核心工具，为进一步学习拓扑学、几何学或数论打下坚实的理论基础。

作者简介

武维疆

　　学历：国立清华大学电机所博士
　　现职：大叶大学电机工程学系教授

许介彦

　　台湾彰化人，成功大学电机学士，美国印第安纳大学(Indiana Univ.)电脑科学硕士，普渡大学(Purdue Univ.)电脑科学博士候选人，目前任教于大叶大学电机系。

1微积分的预备知识
1-1　不等式与绝对值
1-2　几何之基础概念
1-3　函数
1-4　常用的函数
1-5　合成函数与反函数
综合练习
附录A：常用的数学公式
附录B：面积与体积

2函数的极限与连续
2-1　函数的极限
2-2　函数的连续
综合练习

3微分与变化率
3-1　曲线的切线与变化率
3-2　导函数
3-3　微分法则
3-4　三角函数的微分
综合练习

4连锁律与隐函数的微分
4-1　连锁律
4-2　隐函数的微分
4-3　反函数的微分
4-4　线性逼近与微分量
综合练习

5递增递减与极值
5-1　均值定理
5-2　递增与递减
5-3　区域极值
5-4　函数的凹性与渐近线
5-5　最佳化问题
综合练习

6积分的基本概念
6-1　反导函数
6-2　定积分
6-3　微积分基本定理
6-4　奇函数与偶函数的积分
综合练习

7指数对数函数与罗必达法则
7-1　对数函数的微分与积分
7-2　指数函数的微分与积分
7-3　反三角函数的微分与积分
7-4　罗必达法则
综合练习

8积分的技巧
8-1　变数代换法
8-2　分部积分
8-3　三角函数的积分
8-4　有理函数的积分
8-5　三角代换法
综合练习
附录：常用的积分公式

9定积分的应用
9-1　定积分求面积
9-2　定积分求体积
9-3　瑕积分
9-4　特殊函数
综合练习

10无穷数列与级数
10-1　数列
10-2　常数级数
10-3　函数级数与幂级数
10-4　泰勒级数与马克劳林级数
综合练习
附录：级数公式与常用之幂级数

11多变数函数与偏微分
11-1　多变数函数
11-2　多变数函数的极限
11-3　偏微分
11-4　连锁律
11-5　隐函数的微分
综合练习

12多重积分
12-1　双重积分
12-2　变数变换
12-3　三重积分
综合练习

13向量分析
13-1　向量的运算
13-2　空间直线与平面方程式
13-3　向量函数的微分性质
13-4　散度、旋度与梯度
综合练习

14极座标与参数方程式
14-1　极座标
14-2　曲线的参数方程式
14-3　弧长
综合练习

15梯度与方向导数
15-1　梯度与方向导数
15-2　切平面与线性逼近
15-3　双变数函数的极值
15-4　Lagrange Multipliers
综合练习

16散度与旋度定理
16-1　线积分
16-2　在保守场中的线积分
16-3　曲面积分
16-4　散度定理
16-5　旋度与平面Green定理
综合练习
参考资料

评分☆☆☆☆☆

读《实用微积分》的过程，对我而言，更像是一次智力探险，每一次翻页都充满了惊喜和新发现。这本书的魅力在于，它能将那些看似遥不可及的数学原理，巧妙地融入到我们日常生活的方方面面，让我忍不住惊叹：“原来是这样！”。举个例子，书中在讲解“曲线的切线”时，并没有直接套用复杂的数学公式，而是通过描绘一个过山车的轨道，解释了在任意一点上的速度和方向是如何被确定的。我当时脑海里就浮现出坐过山车时那种肾上腺素飙升的感觉，作者正是通过这种生动形象的类比，让我对“瞬时变化率”这个核心概念有了直观的理解。更让我佩服的是，书中对“积分”的讲解同样如此。它没有一开始就用定积分、不定积分的概念来轰炸我，而是通过计算不规则图形的面积，或者估算一段河流的水量，来引导我一步步理解“累加”和“逼近”的思想。这种循序渐进、由浅入深的讲解方式，让我这个数学基础相对薄弱的读者，也能够轻松跟上，并且逐渐建立起对微积分的信心。

评分☆☆☆☆☆

这本书，我实在是太喜欢了！我一直以来都对数学，尤其是那些听起来很高大上的学科，抱着一种既好奇又畏惧的态度。《实用微积分》这本书，恰恰就点燃了我内心深处对微积分的渴望，并且用一种非常接地气的方式，把我从那个“听起来很吓人”的学科拉回了现实。我记得我拿到这本书的时候，还对微积分一无所知，脑海里只有一些模糊的概念，比如“导数”、“积分”之类的词汇，但具体是做什么的，又是如何应用到我们生活中的，我是一窍不通。但是，从翻开第一页开始，我就被深深吸引住了。作者并没有一开始就抛出艰涩的公式和定理，而是从一些非常贴近生活，甚至是我们每天都能遇到的现象开始讲起。比如，书中一开始讲到物体运动的速度变化，或者一个工厂生产效率的曲线，用非常形象的比喻和图示，把抽象的“变化率”这个概念讲得明明白白。我当时就觉得，哇，原来微积分并不是只存在于教科书和考试里的抽象概念，它其实就隐藏在我们身边！

评分☆☆☆☆☆

《实用微积分》这本书，真的是一次非常奇妙的学习体验。作者的写作风格非常注重启发性，他不是简单地告诉你“是什么”，而是引导你思考“为什么会是这样”，以及“它有什么用”。我印象最深刻的是，在讲解“积分”的时候，作者并没有直接给出定积分的计算公式，而是通过一个场景：一个人在爬山，你需要计算他爬升的总高度。作者引导我们把整个登山过程分割成无数个小段，然后将每一段的高度累加起来。这个过程让我对积分的“累加”本质有了非常深刻的理解，并且体会到它如何能够用来计算累积效应。这种循序渐进、由易到难的讲解方式，让我觉得学习过程充满成就感。

评分☆☆☆☆☆

读完《实用微积分》，我感觉自己像是开启了一扇新的大门，看到了一个充满无限可能的世界。这本书最让我受益匪浅的地方在于，它不仅仅教会了我微积分的知识，更培养了我一种解决问题的思维方式。作者的讲解非常细致，他总是能够从最基础的概念讲起，然后一步步地引导我们理解更复杂的原理。我记得书中在讲解“函数”的时候，并不是上来就讲f(x)，而是用一些生活中的“投入-产出”关系来比喻，比如你投入时间，然后得到学习成果。这种生活化的引入，让我能够轻松地理解函数的本质。更重要的是，书中对“导数”的讲解，让我明白了如何分析事物的变化趋势，以及如何找到最优解。

评分☆☆☆☆☆

我一直对那些能够解释世界运行规律的学科充满好奇，《实用微积分》正好满足了我的这一需求。这本书不仅仅是关于数学公式的堆砌，更是一种看待世界、分析问题的全新视角。作者的讲解方式非常独特，他擅长用一些非常生活化的例子来解释复杂的数学概念。比如，在讲解“变化率”时，他会用观察云朵的飘动速度，或者一棵树苗的生长速度来比喻，让我瞬间就明白了导数的概念。更让我惊叹的是，书中对“积分”的阐释，他用计算不规则形状的面积来类比，让我深刻理解了积分的“累加”和“逼近”的思想。这种将抽象概念与具体形象联系起来的方式，极大地激发了我学习的兴趣。

评分☆☆☆☆☆

这本书带给我的，不仅仅是知识的增长，更是一种思维方式的转变。我之前学习数学，总觉得是在被动地接受，而《实用微积分》则鼓励我主动去思考、去探索。作者在讲解每一个概念的时候，都会引导读者去思考“为什么是这样？”、“它能解决什么问题？”。比如，在讲到“积分”的时候，他并没有直接给出公式，而是通过一个非常形象的场景：想象你在给一个形状不规则的花园浇水，你如何计算需要多少水？作者引导我们一步步地将花园分割成无数个小块，然后将这些小块的体积累加起来，从而得出整体的体积。这个过程让我深刻理解了积分的本质——“累加”和“逼近”。这本书让我感觉到，数学不再是冰冷的符号，而是一种强大的工具，一种解决问题的思维模型。

评分☆☆☆☆☆

这本书的精彩之处，在于它能够将那些高深的数学理论，用一种极其通俗易懂的方式呈现出来，让我这个数学“小白”也能够轻松领略微积分的魅力。我记得书中在讲解“函数”的概念时，并没有上来就抛出f(x)这样的符号，而是从生活中的“输入-输出”关系入手，比如你输入一个温度，系统输出一个对应的湿度。这种生活化的引入，让我迅速地理解了函数的本质，以及它在描述事物之间关系的重要性。更让我印象深刻的是，书中对“导数”的讲解，作者通过一个汽车的仪表盘，来解释速度和加速度的变化，让我瞬间明白了这些抽象概念在现实生活中的具体体现。这种“用生活解释科学”的方式，让我觉得学习微积分不再枯燥，反而充满乐趣。

评分☆☆☆☆☆

老实说，在拿起《实用微积分》之前，我对微积分的印象一直停留在高中时期那些让人头疼的计算题上，总觉得它离我遥不可及。然而，这本书彻底颠覆了我的认知。作者的写作风格非常独特，他似乎有一种魔力，能把最抽象的概念，用最生动、最形象的方式呈现出来。我记得书中有一个关于“极限”的讲解，他没有直接给出数学定义，而是用一个越来越靠近目标的过程来比喻，比如你一步步地靠近墙壁，理论上你可以无限接近，但永远无法真正“到达”那个无限小的距离。这种比喻让我一下子就明白了“趋近”和“无限”的概念。更让我惊喜的是，这本书不仅仅是理论讲解，它还穿插了大量的实际案例，从物理学中的运动学，到经济学中的边际分析，再到工程学中的曲面建模，无处不体现微积分的身影。

评分☆☆☆☆☆

我必须承认，我拿到《实用微积分》这本书的时候，内心是有点忐忑的。毕竟“微积分”这个词，对于我这种文科背景的人来说，简直就是天书。但令我意外的是，这本书的难度远没有我想象的那么高，甚至可以说是非常友好。作者的叙述非常流畅，逻辑清晰，仿佛一位经验丰富的老师，耐心地引导着我一步步走进微积分的世界。我特别喜欢书中对于“导数”的讲解，它不仅仅是告诉我们如何计算变化率，更是解释了为什么这个变化率如此重要。例如，在讲解“斜率”时，作者并没有直接给出公式，而是通过描述一个山坡的陡峭程度，让我们直观地感受到斜率的变化。这种将抽象概念与具体事物联系起来的方式，极大地降低了我的理解门槛。

评分☆☆☆☆☆

这本书的书名就很吸引人，“实用”两个字，让我觉得它不是那种死板、脱离实际的理论堆砌，而是真正能解决问题、能派上用场的知识。我一直觉得，学习知识的目的，终究是要为生活服务，而《实用微积分》恰恰做到了这一点。我尤其喜欢书中关于“优化问题”的章节，它通过分析各种实际场景，比如如何最大化利润、最小化成本，甚至是如何设计一个最高效的快递配送路线，让我看到了微积分在商业和工程领域的巨大潜力。我记得书中举了一个例子，关于如何选择一个最佳的广告投放策略，以达到最高的广告回报率。作者通过建立一个简单的模型，然后利用导数来寻找函数的最大值点，这个过程被描绘得既严谨又易于理解。我当时就觉得，原来数学不仅仅是计算，它还能帮助我们做出更明智的决策，解决更复杂的问题。