离散数学(三版) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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本书特色

　　在第三版中，我们补充了不少新的内容：例如，在每一章章末，我们增加了近年研究所入学试题为习题并附上详解。针对部份章节 ，我们加强了相关解释与范例说明。

组合数学基础与应用 本书旨在系统而深入地探讨组合数学的核心概念、方法与经典模型，为读者构建坚实的理论基础，并展示其在计算机科学、运筹学、概率论及离散结构分析中的广泛应用。 第一部分：计数原理与生成函数 第一章：计数学的基石 本章伊始，我们将对计数学的基本工具进行回顾与深化。重点阐述容斥原理（Principle of Inclusion-Exclusion, PIE）的理论推导及其在解决复杂集合计数问题上的高效性，包括错排问题的精确解法。随后，对鸽巢原理（Pigeonhole Principle）进行推广，从基本的有限情况推广到更具结构性的无限情景分析，并辅以大量与图论、数论相关的实例。 第二章：排列、组合及其推广 本章细致剖析排列与组合的定义，区分有重与无重情况下的计算公式。着重介绍二项式系数的性质，包括范德蒙恒等式（Vandermonde's Identity）的证明及其组合意义的阐释。此外，我们将引入多项式系数和多重集排列组合的概念，为后续讨论非负整数解问题打下基础。特别是对Stirling数（第一类和第二类）的递归关系、生成函数形式及其在划分问题中的应用进行详细讨论。 第三章：生成函数——数列的代数表达 生成函数是组合数学中最为强大的工具之一。本章首先介绍普通生成函数（Ordinary Generating Functions, OGF）的构造方法，并深入探讨如何利用生成函数来求解线性递推关系，特别是求解常系数齐次与非齐次线性递推关系的封闭形式解。随后，引入指数生成函数（Exponential Generating Functions, EGF）及其在处理带有标签的排列和序列问题中的独特优势。本章的难点部分将集中在处理涉及无穷乘积和无穷和的技巧，如对数导数和拉普拉斯变换在生成函数中的应用。 第二部分：图论——离散结构的几何表示 第四章：图论基础与连通性 本章构建图论的理论框架。从最基本的图的定义、表示（邻接矩阵、关联矩阵）出发，系统介绍各种特殊图类，如完全图、二分图、正则图。着重分析图的连通性概念，包括路径、环、割点、桥的存在性判定及其在网络可靠性分析中的意义。对于无向图，将详细探讨欧拉路径和哈密顿回路的充要条件（如Ore定理、Dirac定理）的证明与应用。 第五章：树结构及其算法 树作为一种特殊的无环连通图，在数据结构和网络拓扑中占有核心地位。本章首先定义树的性质，并讨论生成树的存在性。重点介绍构造最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）的经典算法：Prim算法和Kruskal算法，并从算法复杂度角度进行分析。随后，探讨树的遍历（先序、中序、后序）及其在表达式求值中的应用。 第六章：图的染色与平面图 本章探讨图的代数不变量。图的染色问题是组合优化中的经典难题，本章将详细介绍四色定理的历史背景，并重点讨论图的色多项式（Chromatic Polynomial）的计算方法（如删除-收缩法），以及如何利用色多项式来判定图是否为k-可着色。平面图部分，将引入欧拉公式（Euler's Formula）及其推论，并讨论库拉托夫斯基定理（Kuratowski's Theorem）及其在判断图是否为平面图时的实际应用。 第三部分：代数结构与编码理论 第七章：群论基础在组合学中的应用 本章引入抽象代数的基本概念，如群、子群、同态与同构。重点关注置换群（Symmetric Group $S_n$）的概念，以及伯恩赛德引理（Burnside's Lemma）的精确表述与证明。该引理是解决周期性计数问题的关键，我们将通过实际例子（如项链计数、涂色计数）展示如何将抽象的群作用转化为具体的计数公式。 第八章：组合设计与有限域 本章介绍组合设计（Combinatorial Designs）的基础理论，特别是平衡不完全区组设计（BIBD）的定义、参数和构造方法。着重分析平衡性、完备性等性质。随后，引入有限域（Galois Fields, GF($p^k$)）的概念及其在构造正交阵列（Orthogonal Arrays）和平衡设计中的作用。 第九章：编码理论简介 将组合学的计数思想应用于信息论领域。本章介绍分组码的基本概念，如码字、距离、最小距离。重点讨论汉明码（Hamming Codes）的构造原理和纠错能力，以及它如何利用有限域上的线性代数结构来实现可靠的信息传输。本章旨在展示离散结构在解决实际工程问题中的精确性。 第四章：递归关系与离散概率 第十章：高阶线性递推关系的高级解法 本章回归递推关系，但着眼于更复杂的情况。深入探讨常系数线性递推关系在特征方程根为重根时的解法，以及如何利用母函数法处理非齐次项为多项式或指数函数的递推关系。最后，介绍求解非线性递推关系（如Catalan数相关的二次递推）的技巧。 第十一章：离散概率与随机过程初步 本章将组合数学与概率论相结合。首先复习条件概率、贝叶斯公式在离散事件上的应用。重点分析随机变量的期望、方差的组合学计算方法。对于马尔可夫链（Markov Chains），本章将介绍其转移矩阵的性质，并讨论稳态分布的存在性及其在系统稳定性分析中的应用，强调稳态分布的组合意义。 附录：常见组合数表与进阶阅读推荐

Chapter 1 排列、组合与应用
Chapter 2 机率论与应用
Chapter 3 集合与排容原理
Chapter 4 关系、函数与有序集
Chapter 5 复杂度符号与数列和
Chapter 6 递回式与求解
Chapter 7 生成函数与应用
Chapter 8 逻辑与推论
Chapter 9 正规形式与逻辑设计
Chapter 10 图论基础
Chapter 11 图论应用
Chapter 12 自动机与正规语言
Chapter 13 数论基础
Chapter 14 数论应用
Chapter 15 代数与应用

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关于递归和递推关系的部分，是我在学习过程中感觉挑战比较大的一个章节。虽然递归的思想在编程中非常常见，但要将其转化为严谨的数学模型，并找到其通项公式，需要一定的技巧和耐心。书中有详细讲解如何将递推关系转化为递归关系，以及如何求解线性常系数递推关系。对于一些复杂的递推关系，书本提供了多种求解方法，包括特征方程法、母函数法等等。我花了很多时间来理解这些方法的推导过程，并通过大量的练习来巩固。特别是对于一些涉及Fibonacci数列和Catalan数的递推关系，书中的讲解非常透彻，让我对这些重要的数列有了更深入的认识。

评分☆☆☆☆☆

接下来是关于关系和函数的章节，这部分内容与集合论紧密相连，又进一步深化了对抽象结构的认识。除了之前提到的等价关系和偏序关系，书中还详细介绍了函数的性质，如单射、满射、双射，以及函数的复合。理解这些概念对于理解更复杂的数学模型和算法至关重要，比如在数据库理论中，关系模型就建立在集合论和关系代数的基础上。书本在讲解这些概念时，并没有停留在理论层面，而是通过与实际问题的联系，例如用户权限管理、数据分组等，来阐述其应用价值，这使得学习过程更加生动有趣。

评分☆☆☆☆☆

最近终于下定决心，开始啃《离散数学(三版)》这块硬骨头。说实话，拿到书的那一刻，沉甸甸的质感就让我感受到了它的厚重。作为一名计算机专业的学生，离散数学简直就是绕不开的坎，之前的版本也曾尝试过，但总觉得抓不住重点，或者说，理解起来总是云里雾里。这次入手了三版，听说内容更新了不少，也更贴合当前的教学需求，抱着一种“这次一定要拿下”的决心，我开始了我的阅读之旅。 翻开第一章，关于集合论的基础概念，我回忆起高中时期对集合的初步认识，但这里面的严谨程度和引入的逻辑符号，立刻让我感觉到了学术的深度。特别是那些关于关系的性质，比如自反性、对称性、传递性，以及它们组合起来形成的等价关系和偏序关系，刚开始真的有点烧脑。书里给的例子很多，从简单的数字集合到更抽象的概念，我一遍遍地读，一边在笔记本上画着关系图，试图将那些符号和定义内化。印象深刻的是一个关于“可达性”的例子，它在图论中有着广泛的应用，理解了它，后面图论部分的很多概念就变得顺理成章了。

评分☆☆☆☆☆

接着深入到逻辑部分，命题逻辑和谓词逻辑是离散数学的基石，重要性不言而喻。书中的推理规则、证明方法，比如直接证明、反证法、数学归纳法，我都需要花大量的时间去消化和练习。特别是数学归纳法，虽然听起来简单，但真正应用到证明复杂的命题时，常常会在基础步骤或者归纳步骤上栽跟头。我尝试着做书后的习题，刚开始错误率很高，有时候是因为对定义的理解不够透彻，有时候是因为逻辑思维不够严谨。但是，每当我通过反复思考和查阅资料，终于攻克一道难题时，那种成就感是无与伦比的。这本书在这方面的讲解，虽然一开始有些晦涩，但循序渐进，通过大量的例题演示，一点点地引导读者建立起严谨的逻辑思维。

评分☆☆☆☆☆

关于关系代数和数据库理论的初步介绍，虽然只是离散数学的一个应用方向，但它让我看到了离散数学在信息技术领域扮演的关键角色。书中通过介绍关系模型、SQL查询语言的基本原理，以及如何用集合论和关系代数来描述数据库操作，让我对如何将数学概念应用于实际的数据库设计和管理有了初步的认识。这部分内容让我更加体会到，离散数学不仅仅是抽象的数学概念，更是构建现代计算机科学理论体系的重要基石。它将理论与实践巧妙地结合起来，让我对未来学习数据库和相关技术充满了期待。

评分☆☆☆☆☆

数论是离散数学中一个相对独立的但又极其重要的分支。关于整除性、同余、素数、欧几里得算法、扩展欧几里得算法等等，这些概念和算法在密码学、编码理论等领域有着不可替代的作用。我对书中关于模运算和同余方程的讲解印象深刻，它们是理解很多数论定理的基础。特别是欧几里得算法，其简洁高效的设计让我赞叹不已，而扩展欧几里得算法在求解线性同余方程和计算乘法逆元方面的应用，更是让我看到了数学理论的强大实际价值。这本书对数论部分的介绍，既有理论的深度，也有算法的实践性。

评分☆☆☆☆☆

总而言之，《离散数学(三版)》是一本内容丰富、逻辑严谨、理论与实践相结合的优秀教材。它不仅为我打下了坚实的离散数学基础，更重要的是，培养了我严谨的数学思维和解决问题的能力。虽然在学习过程中遇到了一些挑战，但正是这些挑战，让我对离散数学这门学科有了更深刻的认识和更浓厚的兴趣。我坚信，这本书将是我未来学习计算机科学过程中一份宝贵的财富。它不仅仅是一本教科书，更是一本帮助我理解世界运行规律的启蒙读物。

评分☆☆☆☆☆

对于初学者来说，离散数学的抽象性和严谨性是主要的学习难点。这本书的优点在于，它在保证严谨性的同时，尽可能地通过丰富的例题和图示来降低理解门槛。很多时候，一个清晰的图例比长篇大论的文字更能帮助我理解一个抽象的概念。而且，书后大量的习题，覆盖了从基础概念到综合应用的各个层面，是检验学习成果和巩固知识的绝佳途径。我发现，很多时候，理解一个概念最好的方法就是不断地去应用它，在解决问题的过程中，才能真正地内化知识。

评分☆☆☆☆☆

组合数学是另一个让我印象深刻的领域。排列、组合、二项式定理、容斥原理……这些概念在解决计数问题时发挥着巨大的作用。我发现，很多看似复杂的问题，一旦套用到这些基本的组合公式上，就能迎刃而解。书中的例子非常贴切，比如分配问题、抽样问题等等，都让我对这些抽象的公式有了更直观的认识。然而，如何准确地判断一个问题属于哪种类型的计数问题，是需要大量练习才能掌握的技巧。有时候，一个细微的词语差异，就可能导致计算方法的根本性改变。这本书在这方面的训练，是通过大量的变式题目来实现的，让我不断地在实践中加深对概念的理解。

评分☆☆☆☆☆

图论部分无疑是离散数学中最吸引我的章节之一。从最基础的图的定义、表示方法（邻接矩阵、邻接表），到各种特殊的图（完全图、二分图、树），再到图的遍历（DFS、BFS）、连通性、最短路径算法（Dijkstra、Floyd）等等，内容非常丰富。我尤其喜欢书中关于树的讲解，无论是无根树、有根树还是森林，它们在数据结构和算法设计中的应用都非常广泛。书中对各种图算法的讲解，都配有清晰的图示和伪代码，这让我能够很直观地理解算法的执行过程。虽然算法本身需要一定的理解门槛，但书中的逻辑清晰，即使是像Kruskal和Prim这样的最小生成树算法，在书本的引导下，也能逐步掌握其精髓。