具體描述
著者信息
Timothy Gowers
為英國劍橋大學Rouse Ball數學教授、「數學界諾貝爾奬」菲爾奬（Fields Medal）獲奬者。
譯者簡介
劉熙
專業譯者
圖書目錄
鳴謝
前 言
第一章 模型
第二章 數與抽象
第三章 證明
第四章 極限與無窮
第五章 維度
第六章 幾何
第七章 估計與近似
第八章 常見問題
推薦閱讀書目
圖書序言
20世紀初，偉大的數學傢大衛．希爾伯特（David Hilbert） 發現，有很多數學中的重要論點在結構上十分類似。他意識到，在適當的廣義範疇下，這些論點事實上可以視為等同。與此類似的一係列發現為一個嶄新的數學分支開啓瞭大門。而這一新領域中的一個核心概念——希爾伯特空間——正是以希爾伯特的名字來命名的，這一概念使許許多多的現代數學研究變得清晰，範圍之廣包括瞭從數論直到量子力學各個分支，以至於如果你對希爾伯特空間的基本理論一無所知，你就根本不能算是一名受過良好教育的數學傢。
那麼，甚麼是希爾伯特空間呢？在典型的高校數學課程中，它被定義為「完備的內積空間」。修讀這樣一門課程的學生，理應從先修課程中瞭解到，所謂「內積空間」是指配備瞭內積的嚮量空間，而所謂「完備」是指空間中任意柯西列都收斂。當然，要想理解這樣的定義，學生還必須知道「嚮量空間」、「內積」、「柯西列」和「收斂」的定義。就拿其中一個舉例來說（ 這還並不是最長的一個） ：序列x1，x2，x3，⋯⋯若滿足對於任意正數ɛ，總存在整數N，使得對於任意大於N的整數 p 和 q，xp 與 xq 間的距離不大於ɛ，則稱這個序列為柯西列。
簡言之，如果你希望瞭解希爾伯特空間是甚麼，你就必須首先學習並且消化一係列由低到高、等級分明的較低級概念。毫無疑問這需要耗費時間和精力。對於許多最重要的數學思想來說都是這樣。有鑑於此，要寫一本書提供對數學的簡單易懂的介紹，其所能達到的目標就極為有限，更何況這本書還需要寫得很短。
我沒有選擇用更聰明的辦法繞著這個難題走，而是集中關注數學交流中另一重完全不同的障礙。這重障礙並非技術性的，而更多屬於哲學性質的。它區分開瞭兩種人：一種人樂於接受諸如無窮大、負一的平方根、第二十六維和彎麯空間這樣的概念，另一類人則覺得這些概念荒誕不經。其實無須沉浸在技術細節中，依然有可能坦然接受這些思想，我將努力錶明如何做到這一點。
如果說這本書要嚮你傳達甚麼信息的話，那就是——我們應當學習抽象地思考，因為通過抽象地思考，許多哲學上的睏難就能輕易地消除。在第二章裏，我將詳細說明甚麼是抽象的方法。第一章中則考慮我們更熟悉、與日常更相關的抽象：從現實世界的問題中提取核心特徵，從而將其轉化為數學問題的過程。第三章中我將討論甚麼叫作「嚴格的證明」。這前三章是關於一般性的數學的。之後我將討論一些更加具體的課題。最後一章與其說是關於數學的，不如說是關於數學傢的，因此會跟前幾章有些不同。我建議你在讀過第二章後再閱讀後續章節。除此以外，這本書已經盡量做到不受先後順序影響——在任何章節中，我並沒有假定讀者已經理解並記住瞭先前的內容。
讀這本書並不需要太多的預備知識，英國GCSE課程或同等水平即可。不過我假定讀者具有一些興趣，而不是需要靠我去大力宣揚。因此，我在書中沒有用到趣聞軼事、漫畫、驚嘆號、搞笑的章節標題或者曼德布羅特集閤的圖片。我同樣避免瞭混沌理論、哥德爾定理等內容：與它們在當前數學研究中的實際影響相比，這些內容在公眾的想像中所佔的比例已經過大，而且其他圖書已經充分地闡釋瞭這些內容。我所選擇的內容都是很普通的，詳細地去討論，以說明怎樣通過一種更深刻的方式來理解它們。換言之，我的目標在深不在廣，在於嚮讀者傳達主流數學的魅力，讓讀者體會到它的不言而喻。
感謝剋雷數學研究所和普林斯頓大學在我寫作此書期間對我的支持和熱情接待。感謝吉爾伯特．阿代爾（Gilbert Adair） 、麗貝卡．高爾斯（Rebecca Gowers）、埃米莉．高爾斯（Emily Gowers）、帕特裏剋．高爾斯（Patrick Gowers） 、喬書亞．卡茨（Joshua Katz）和埃德濛．托馬斯（Edmund Thomas） 閱讀瞭本書的初稿。他們非常聰明，知識豐富，實在不能算作普通讀者，不過還是能夠讓我放心，至少某些非數學專傢是能夠讀懂我的作品的。基於他們對此書的評論，我作齣瞭許多改進。我把這本書獻給埃米莉，希望她能夠藉此瞭解一點點我整天都在做的是些甚麼事情。
圖書試讀
扔石頭問題
風輕雲淡的一天，你站在水平地麵上，手裏拿著一塊石頭，想要扔得越遠越好。已知你能用多大的力氣扔齣去，那麼最重要的決策就是選擇石頭齣手時與地麵的夾角。如果夾角太小，那麼盡管石頭在水平方嚮的速度分量很大，也會很快落到地麵上，因而飛不齣太遠；反之，若夾角過大，石頭能在空中停留較久，但掠過的水平距離卻不遠。很明顯我們需要在這中間作一些權衡。
利用牛頓物理學和微積分的一些初步知識，可以計算得到最佳的摺中方案——石頭離手時應與地麵呈45度夾角。就這個問題而言，這基本上是最簡潔優美的答案瞭。同樣的計算還可以告訴我們石頭在空中的飛行軌跡是個拋物綫，甚至還能得齣脫手後在空中任意時刻的速度有多大。
看起來，科學與數學相結閤能夠使我們預測石塊飛齣去直至落地之前的一切行為。然而，隻有在我們作瞭許多的簡化假設之後纔能夠如此。其中最主要的假設是，作用在石頭上的隻有一種力，即地球的引力，而且這種力的大小及方嚮在各處總是一樣的。但實際上並非如此，因為它忽略瞭空氣阻力、地球自轉，也沒有計入月球的微弱引力，而且越到高處地球引力越小，在地球錶麵上「垂直嚮下」的方嚮也隨著具體位置的不同而逐漸變化。即使你能夠接受上述計算，45度角的結果也基於另一個隱含假設：石頭離手的初始速度與夾角無關。這也是不正確的：實際上夾角越小，人能使上的力氣越大。
上述這些缺陷的重要性各有不同，我們在計算和預測中應該採取怎樣的態度來對待這些偏差呢？把所有因素全部考慮在內進行計算固然是一種辦法，但還有一種遠為明智的辦法：首先決定你需要達到甚麼樣的精確度，然後用盡可能簡單的辦法達到它。如果經驗錶明一項簡化的假設隻會對結果産生微不足道的影響，那就應當採取這樣的假設。
例如，空氣阻力的影響相對來說是比較小的，因為石頭很小很硬，密度大。假如在齣手角度上有較大的誤差，那麼通過計入空氣阻力來將計算復雜化就沒有多大意義。如果一定要考慮進去的話，以下這條經驗法則就足矣：空氣阻力變大，則通過減小齣手角度來彌補。
用戶評價
這本《數學》在我眼中，更像是一本關於“思維方式”的指南。我並非沉迷於它的計算技巧，也不是要去熟記那些復雜的公式。更多的時候，我是在品味它所傳達的那種邏輯的力量，那種從普遍規律中提煉齣特定結論的嚴謹過程。我常常在閱讀它的某個章節時，會不由自主地將現實生活中的問題與之聯係起來。比如，書中關於概率的討論，讓我開始重新審視生活中的各種“運氣”和“可能性”。我開始意識到，許多看似隨機的事件，其實都遵循著某種潛在的概率分布。這種認知上的轉變，讓我在麵對一些不確定性的時候，能夠更加冷靜和理性。我發現，這本書所教導的，並不僅僅是數學本身，更是一種分析問題、解決問題的方法論。它教會我如何將復雜的問題分解成更小的部分，如何一步步地尋找證據和依據，如何避免主觀臆斷，從而得齣更可靠的結論。我喜歡它那種不帶感情色彩的客觀性，那種隻關注事實和邏輯的純粹。在信息爆炸的時代，這種清晰的思維方式顯得尤為珍貴。我會在工作之餘，或者是在思考某個睏擾已久的問題時，翻開它。我不是為瞭找到直接的答案，而是為瞭藉書中那套嚴謹的邏輯體係，來幫助我梳理思路，理清頭緒。它就像一把鋒利的解剖刀，能夠剖析事物的本質，揭示隱藏在錶象之下的真相。我有時會感到，這本書的價值，遠遠超齣瞭它所包含的那些數字和符號，它是在塑造一種思考的靈魂。
评分這本書《數學》給我帶來的震撼，並非源於它的晦澀難懂，而是它所展現齣的世界的另一種維度。我習慣瞭用感官去認識世界，用情感去理解事物，而這本書，卻用一種純粹理性的語言，構建瞭一個與我日常經驗截然不同的體係。起初，我隻是好奇，想看看傳說中的“數學”究竟是什麼模樣。我以為會看到一堆冰冷的數字和公式，但它卻展示瞭數字背後的生命力。它講述瞭點、綫、麵是如何構成我們所見的形體，比例和函數又是如何描述運動的軌跡。我開始嘗試著去理解那些證明過程，那些嚴謹的邏輯鏈條，仿佛在看著一棟精密的建築是如何一磚一瓦搭建起來的。每一次邏輯的飛躍，都讓我感受到思維的快感。這本書讓我開始注意到生活中的許多細節，比如建築的結構，音樂的節拍，甚至是大自然中植物的生長模式，似乎都蘊藏著數學的規律。它讓我明白，我們所處的世界，並非隻是混沌一片，而是充滿瞭可以被理解的秩序和美。我會在深夜，當萬籟俱寂之時，點亮颱燈，攤開這本書，讓那些符號在我眼前跳躍。我並非總能完全理解，但這種努力的過程本身，就已足夠迷人。它沒有明確的“結局”，沒有“章迴”的劃分，它更像是一個無盡的探索空間，等待著我去一點點地挖掘。我常常會帶著些許的睏惑，也帶著些許的豁然，閤上書本，思考那些它所揭示的道理。這本書，讓我開始用一種全新的視角去觀察和理解周圍的一切，仿佛打開瞭一扇通往更高智慧的門。
评分這本《數學》在我手上已經顛簸瞭好幾個月，它就像一本沉默的旅伴，靜靜地躺在我的床頭櫃、背包深處，甚至是辦公室的抽屜裏。我常常在午後的陽光裏，或是深夜的颱燈下，翻開它，卻又常常在某個似懂非懂的章節前停滯不前。它沒有那些跌宕起伏的情節，沒有扣人心弦的懸念，也沒有人物之間錯綜復雜的情感糾葛。然而，它卻以一種獨特的方式，悄無聲息地吸引著我。我喜歡它那種純粹的邏輯之美，那種嚴謹的推演過程，仿佛是在建造一座座宏偉而精密的數學大廈。每一次成功理解一個概念，每一次解開一個習題，都給我帶來一種智力上的滿足感，就像攻剋一座高山，或是解開一個古老的謎團。這本書讓我重新審視瞭這個世界的運作方式，那些隱藏在錶象之下的規律和秩序，原來都可以用數字和符號來描繪。我會在通勤的地鐵上，在等待咖啡的間隙，甚至是在排隊繳費的時候，偷偷拿齣它來，哪怕隻是匆匆一瞥。它就像一個智者，用一種古老而深刻的語言，嚮我揭示宇宙的奧秘。我曾嘗試嚮朋友推薦它，但他們大多皺著眉頭，說看不懂，覺得枯燥。我隻能聳聳肩，我知道，這是一種緣分，一種隻有少數人纔能真正領略的魅力。它不是用來娛樂的，它是用來啓迪的，用來挑戰的。我喜歡它封麵上那種深邃的藍色，仿佛包含瞭宇宙的星辰大海，也包含瞭無數未知的可能。我會在某個安靜的夜晚，將自己完全沉浸在書中的世界裏，讓那些抽象的符號在我腦海中跳躍、組閤、演化，最終匯聚成一幅清晰的畫麵，一處智慧的光芒。這本書，對我而言，已不僅僅是一本書，它更像是一種修行，一種對自我智力極限的不斷探索。
评分在我看來，《數學》這本書，更像是一場思維的“遠足”。它不像那種輕鬆愉快的度假，而是需要你做好準備，迎接挑戰。我被它所吸引的，並非是那些具體的解題技巧，而是它所構建的那個嚴謹而自洽的邏輯體係。我常常會在閱讀的過程中，産生一種“頓悟”的感覺，仿佛看到瞭事物之間隱藏的聯係。例如，書中關於“維度”的探討，讓我開始重新審視我們所處的空間，並想象超越三維的可能。這種抽象的思考，雖然沒有直接的實用性，但它極大地拓展瞭我思維的邊界。我會在安靜的夜晚，點亮颱燈，讓書中的世界在腦海中展開。我並不是在“記憶”那些公式，而是在“理解”它們是如何被構建齣來的。這種理解的過程，就像在建造一座精密的模型，每一步都至關重要。它讓我開始注意到生活中的一些細節，比如物體的形狀、運動的軌跡，甚至是一些看似隨機的事件，似乎都遵循著某種數學的規律。這本書，教會瞭我如何用一種更加客觀、更加理性的方式去看待世界。它沒有販賣焦慮，也沒有提供廉價的解決方案，它隻是提供瞭一種強大的思維工具，讓我能夠去探索和理解更廣闊的知識領域。它是一本值得反復閱讀的書，每一次翻開，都能從中發現新的啓示。
评分這本《數學》給我最深刻的感受，是一種“秩序”的啓示。在我眼中，它不僅僅是數字和公式的堆砌，更是一種對宇宙間潛在秩序的描繪。我曾以為數學是枯燥乏味的，但這本書徹底顛覆瞭我的認知。它通過精妙的推演和邏輯，展示瞭事物之間內在的聯係和規律。我記得書中關於“斐波那契數列”的部分，它如何巧妙地齣現在自然界的許多現象中，從花瓣的排列到鸚鵡螺的生長，都遵循著同一個數學法則。這種“巧閤”背後隱藏的深刻原理，讓我著迷。它讓我開始用一種更加係統和結構化的眼光去看待世界。我不再滿足於停留在事物的錶麵，而是試圖去探究它們背後的生成機製。這本書就像一麵鏡子，照齣瞭我思維中的盲區，也拓寬瞭我對“理性”的理解。我會在夜深人靜的時候，捧讀它，讓那些嚴謹的論證在腦海中迴響。它沒有跌宕起伏的情節，沒有引人入勝的對話，但它有一種沉靜的力量，能夠讓你進入一種專注的思考狀態。它教會我如何去“分解”問題，如何去“歸納”規律，如何去“驗證”結論。這種思維訓練，對我而言，比任何具體的知識點都重要。它是一種“軟技能”，卻能幫助我在生活的各個方麵都受益匪淺。它不是一本讓你“知道”的書，而是一本讓你“學會思考”的書。
评分我與這本《數學》的緣分，始於一份純粹的好奇。我曾以為，它會是一本冰冷而乾燥的學術著作，但它所展現齣的，卻是一種充滿生命力的智慧。我最喜歡的部分，是它如何將那些抽象的數學概念，與現實世界緊密聯係起來。比如，書中關於“微積分”的討論，讓我明白瞭什麼是變化率，以及它如何在物理、工程甚至金融領域發揮作用。這種“理論與實踐”的結閤，讓我對數學的價值有瞭更深的認識。我會在周末的午後，泡上一杯茶，靜靜地閱讀。我不是在為瞭考試而學習，而是在享受這個學習的過程。它就像在品味一杯陳年的美酒，需要時間和耐心，纔能體會到其中的醇厚。它教會我如何去“觀察”，如何去“分析”，如何去“預測”。這種思維的訓練，讓我能夠更清晰地認識到事物的發展規律。我會在遇到一些復雜的決策時，迴想起書中提到的某個原理，嘗試著用數學的邏輯去推演。這種跨領域的應用，讓我能夠做齣更明智的選擇。它不是一本讓你“記住”的書，而是一本讓你“學會思考”的書。它像一位循循善誘的老師，用最樸素的語言，講述著宇宙最深刻的道理。
评分我不得不承認，最初拿到這本《數學》純屬意外。它躺在一個被打包的舊物堆裏，沾染著歲月的塵埃，我幾乎把它遺忘瞭。直到前些日子，在一個慵懶的下午，我隨手翻開，纔被它獨特的魅力所吸引。這書的質感很好，紙張微黃，散發著一種古老而沉靜的氣息。我並不是一個科班齣身的數學愛好者，很多時候，那些符號和公式對我來說就像天書。然而，這本書的敘述方式卻齣乎意料的平易近人。它並沒有一開始就拋齣復雜的定理，而是從一些最基本的概念入手，用生動形象的比喻和案例，將抽象的數學思想具象化。我記得有一個章節，講的是無窮的概念，作者通過一個非常巧妙的“旅館悖論”，讓我對這個看似不可思議的概念有瞭初步的理解。這種循序漸進的引導方式，讓我這個“門外漢”也感到一絲信心。我開始嘗試著去理解那些公式背後的邏輯，去探究它們是如何被推導齣來的。有時候，我會花上好幾個小時，僅僅是為瞭弄懂一個公式的含義，一個定理的證明。這種緩慢而艱辛的學習過程，雖然充滿瞭挑戰，但每當醍醐灌頂的時刻到來，那種成就感是無與倫比的。這本書讓我想起瞭中學時代，那時候對數學的好奇和探索欲，如今被重新點燃。它沒有花哨的插圖，沒有引人入勝的故事，但它有一種樸素而強大的力量，能夠喚醒你內心深處對知識的渴望。我會在周末的早晨，泡上一杯咖啡，坐在窗邊，讓陽光灑在書頁上，慢慢地品讀。這本書陪伴我度過瞭許多寜靜而充實的時光，它就像一位循循善誘的老師，又像一位沉默的朋友，在默默地引導我前行。
评分我不得不說，這本《數學》是一次對智力的“溫柔暴擊”。它不像市麵上那些速成的教程，而是提供瞭一種更加深沉的智慧。我並非一個數學天纔，很多時候，我需要花費大量的時間去理解書中的某個概念。但正是在這種“緩慢”的閱讀過程中，我纔真正體會到瞭數學的魅力。它所展現的，是一種超越感官的邏輯之美。我會在某個午後，帶著一本筆記，坐在窗邊，讓陽光透過書頁。我不會急於跳到下一個章節，而是反復琢磨，直到理解透徹。書中那些看似抽象的符號，在我眼中，逐漸變成瞭構建世界的基石。它讓我看到瞭數字和公式背後，隱藏著的是一種關於“存在”和“關係”的深刻哲學。它沒有提供現成的答案，而是引導我去尋找答案的過程。這種過程本身，就充滿瞭探索的樂趣。我會在遇到生活中的一些睏惑時，迴想起書中提到的某個原理，嘗試著用數學的邏輯去分析。這種跨領域的思維藉鑒，讓我能夠更加清晰地認識問題的本質。這本書，對我而言，是一種長期的投資，是一種對自我認知能力的提升。它不會讓你立刻變成一個數學傢，但它會讓你成為一個更懂得思考、更具邏輯性的人。它像一位睿智的老者，用最純粹的語言，訴說著宇宙最根本的秘密。
评分這本《數學》給我帶來的，是一種“抽象”的魅力。我一直認為，數學是高度抽象的，但這本書卻用一種非常獨特的方式，將這種抽象具象化。我被它所描繪的那個純粹的邏輯世界深深吸引。我記得書中關於“集閤論”的講解，它如何用最基本的概念，構建起一個龐大的數學體係。這種從無到有的創造力，讓我感到驚嘆。它讓我開始用一種全新的視角去看待“定義”和“關係”。我會在工作的間隙，或者是在思考某個問題時，不自覺地想起書中提到的某個概念，並嘗試著用它來分析。這種思維的遷移，讓我在解決問題時，能夠更加高效和有條理。它讓我明白，很多時候，我們之所以會遇到睏難，是因為我們沒有找到正確的“模型”來描述問題。這本書，就像為我打開瞭一扇通往“模型世界”的大門。它讓我看到瞭，那些看似復雜的現象，其實都可以用更簡單的數學模型來解釋。我並不是要成為一個數學傢，但這本書所教授的，是一種普遍適用的思維方式。它教會我如何去“抽象”，如何去“建模”，如何去“推理”。它是一本能夠讓你“成長”的書，一本讓你在不斷學習和探索中，不斷提升自我的書。
评分我與這本書《數學》的“邂逅”，更像是一場對未知領域的探索。它不是一本輕鬆愉快的讀物，也並非是那種能夠讓你瞬間獲得某種技能的實用指南。它所提供的是一種更加深邃的知識，一種需要你付齣時間和耐心去理解的智慧。我最欣賞的是它所展現齣的那種“普遍性”。書中描述的那些數學概念，似乎不受時間和空間的限製，它們是普適的，是構成宇宙基本法則的一部分。當我讀到關於“對稱性”或者“群論”的內容時，我會被那種簡潔而強大的理論所震撼。它能夠用最少的語言，描述最復雜的現象。我會在一個安靜的午後，獨自一人，讓這本書伴隨我。我不會強迫自己一定要完全理解每一個細節，我知道，有些東西需要時間去沉澱，需要多次的閱讀和思考。我更注重的是它所激發的那些“火花”，那些讓我開始質疑、開始思考的瞬間。它讓我意識到，我們所見的現實世界，隻是一個更廣闊、更復雜的數學結構上的一個投影。這本書，給瞭我一種全新的認知工具，一種能夠去“看見”那些肉眼無法看見的規律的眼睛。我會在遇到一些棘手的問題時，迴想起書中的某個原理，嘗試著用數學的視角去分析。這種跨領域的應用，讓我覺得非常有價值。它不是一本“讀完”的書，而是一本“陪伴”的書，一本在你不斷成長和進步的過程中，會不斷給你帶來新啓發的書。
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