应用线性代数 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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本书的编写力求深入浅出，结构严谨以及理论与实用的配合，全书分成基础篇（1章~6章）与应用篇（7章~8章）。而本书附有＊号之章节对商管学院各系的学生可以不教。

　　这本「应用线性代数」概括地介绍线性代数入门及其重要应用，此书可作为科技大学工学院及商学院大一或大二程度的学生一年讲授之，同时这本书也可用来当参考教材。虽然作者在例子与习题中使用到有关基本微积分之计算，但微积分在此书中并非很重要，对大一的同学，老师可删除有关微积分的例子。

　　本教科书的重点在于计算与几何方面的观念，而使抽象的观念减少到最低。因此有时我们会省略去一些艰难定理的证明或者删去一些较不重要定理的证明，而以例子来充分说明有关之性质。

　　本书内容介绍

　　第一章:　探讨矩阵之性质及逆方阵，并利用逆方阵求解线性方程组 AX=B 。

　　第二章:　探讨行列式及其性质，并利用克雷莫法则解线性方程组。

　　第三章:　介绍三维及 n 维空间向量与几何，并定义内积与叉积及其应用

　　第四章:　介绍向量空间、基底、维数。

　　第五章:　介绍内积空间与格兰姆－史密特正规正交法。

　　第六章:　介绍线性变换与矩阵的特微值，并应用到二次曲线与二次曲面中之转轴定理。

　　第七章:　介绍矩阵在微分方程组上的应用。

　　第八章:　介绍线性规划

图书简介：精妙的结构与无穷的变换——《矩阵理论与应用》 一部深入剖析线性代数核心概念、揭示其在现代科学与工程中广阔应用潜力的权威著作。 本书旨在为读者提供一个坚实而全面的线性代数基础，超越传统的计算技巧教学，聚焦于其背后的深层理论结构、抽象美感以及无可替代的实用价值。我们相信，线性代数不仅是一门数学分支，更是理解复杂系统、设计先进算法和解析物理世界的关键语言。 本书内容结构精心设计，从基础概念的严谨构建开始，逐步深入到高级主题，确保读者在掌握计算能力的同时，也能领悟其理论的精髓。 --- 第一部分：基础构建——向量空间与线性映射的基石 本部分致力于为后续的深入探讨奠定无可动摇的数学基础。我们首先从向量空间（Vector Spaces）的公理化定义入手，强调其抽象性和普适性。 第一章：域、向量空间与子空间 详细阐述了数域（如实数域 $mathbb{R}$ 与复数域 $mathbb{C}$）对线性代数结构的决定性影响。向量空间的八条公理被细致剖析，确保读者理解为何这些看似简单的规则构成了所有线性结构的骨架。子空间的概念，特别是与原空间的关系，通过一系列几何直观和代数证明被清晰阐明。 第二章：线性组合、生成集与线性无关性 本书将线性组合视为构建空间“方向”的基本操作。重点讨论了线性无关性（Linear Independence）的本质——即信息的不冗余性。随后，引入基（Basis）的概念，不仅是生成空间的最小集合，更是度量空间“维度（Dimension）”的标尺。维度定理（如秩-零化度定理的雏形）在这一阶段被引入，为理解线性映射的结构打下基础。 第三章：线性映射与矩阵表示 线性映射（或称线性变换）是连接不同向量空间的桥梁。我们深入探讨了线性映射的核（Kernel，即零空间）和像（Image，即列空间）的性质，它们决定了变换的“压缩”和“铺展”程度。至关重要的是，本书详细论证了矩阵如何作为特定基下线性映射的规范表示，强调矩阵的本质是变换，而非仅仅是一个数字表格。不同的基下，矩阵表示会发生变化，这自然地引出了相似变换的概念。 --- 第二部分：核心工具——矩阵代数与求解 在构建了抽象框架后，本部分专注于对实际问题至关重要的矩阵运算和方程组的求解。 第四章：矩阵运算与初等矩阵 矩阵的加法、数乘、乘法、转置和迹的定义被详尽介绍。我们特别强调矩阵乘法的非交换性及其几何意义（复合变换）。初等矩阵被引入作为理解行简化和矩阵逆运算的理论工具，而不是仅仅作为一种计算手段。 第五章：线性方程组的求解与行列式 高斯消元法（Gaussian Elimination）的几何与代数解释被置于核心地位。我们不仅展示了如何使用行阶梯形（Row Echelon Form）来判断解的存在性和唯一性，还探讨了LU分解的实用价值。行列式（Determinant）的概念，从代数定义（莱布尼茨公式）到几何解释（体积缩放因子），进行了双重论证。行列式的性质被用于判定矩阵的可逆性，并与线性方程组的解的唯一性建立起深刻联系。 --- 第三部分：结构深入——特征值、对角化与正交性 这是本书理论深度的核心体现，探讨了线性空间内部和空间间的内在结构关系。 第六章：特征值与特征向量 特征值问题是分析动态系统、理解矩阵行为的关键。本书详细推导了特征方程的建立过程，并探讨了特征子空间的概念。重点在于理解特征向量所代表的“不变方向”，以及特征值所代表的“缩放因子”。 第七章：相似性与对角化 我们探讨了相似性（Similarity）的概念——即在不同基下，同一个线性变换的不同矩阵表示之间的关系。本书详尽分析了对角化（Diagonalization）的条件（包括充足条件：n个线性无关的特征向量），以及它在简化矩阵幂运算和求解微分方程组中的巨大威力。对于不可对角化的情况，若尔当标准型（Jordan Canonical Form）的理论框架也被清晰地介绍，以保证对所有方阵的结构分析都能得到完备的描述。 第八章：内积空间与正交性 内积（Inner Product）的引入，将线性代数从纯粹的抽象结构拓展到可以度量长度和角度的几何环境中。我们详细定义了欧几里得空间和内积空间，并推导出施密特正交化过程（Gram-Schmidt Orthogonalization）。正交基和正交投影的概念在信息论和最小二乘问题中具有核心地位，在本章得到充分阐述。 第九章：对称矩阵与谱定理 对称矩阵在线性代数中占据特殊地位。本章的重中之重是谱定理（Spectral Theorem）的证明与应用。谱定理不仅保证了实对称矩阵总是可正交对角化的，还揭示了特征向量构成一组完备的正交基的深刻意义，这直接服务于数据分析中的主成分分析（PCA）的理论基础。 --- 第四部分：高级应用与扩展 本部分将理论应用于更广泛的数学和工程领域，展示线性代数的普适性。 第十章：奇异值分解（SVD）与伪逆 本书将SVD提升到与特征分解同等重要的地位。SVD不仅是分析非方阵的强大工具，也是现代数据科学的基石。我们详细解释了SVD的几何意义（三个基本变换：旋转、缩放、旋转）以及它在低秩近似、图像压缩和推荐系统中的关键作用。基于SVD的伪逆（Pseudoinverse）的计算和应用，为所有线性方程组提供了普适的最小二乘解。 第十一章：应用实例：线性迭代方法与数值稳定性 在线性系统维度极高时，直接求解（如高斯消元法）的计算成本难以承受。本章引入迭代法，如雅可比法和高斯-赛德尔法，并讨论了收敛性判据。同时，对数值稳定性和条件数的讨论，提醒读者在实际计算中理论解与近似解之间的差异和挑战。 --- 目标读者： 计算机科学、物理学、工程学（电子、机械、航空航天）、经济学、统计学等领域的高年级本科生、研究生，以及希望系统回顾和深化线性代数理论的专业人士。 本书特色： 理论的严谨性与计算的实用性完美结合，通过大量的定理证明、清晰的几何解释和与实际问题的紧密联系，将“应用线性代数”的内涵落实到每一个章节。读者读完此书，将不仅会计算，更能“思考”线性代数。

Chapter 01 矩阵与线性方程组
Chapter 02 行列式
Chapter 03 三维空间与 n 维空间上的向量
Chapter 04 向量空间
Chapter 05 内积空间
Chapter 06 线性变换与矩阵的特征值
Chapter 07 矩阵在微分方程上之应用
Chapter 08 线性规划

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我在学习自然语言处理（NLP）的过程中，经常会遇到一些关于文本表示和相似度计算的问题，《应用线性代数》这本书为我提供了坚实的理论基础。我之前对“词向量”的概念有所耳闻，但总是不明白它们是如何产生的，以及它们是如何代表词语的含义的。这本书详细介绍了“词嵌入”技术，并将其与线性代数的概念紧密联系起来。它解释了如何利用矩阵来表示大量的词语，以及如何通过“词向量”来捕捉词语之间的语义关系。例如，书中对“余弦相似度”的讲解，让我明白为什么可以通过计算两个词向量之间的夹角余弦值来衡量它们之间的相似程度。这在文本检索、问答系统等应用中都非常重要。而且，书中对“矩阵分解”在NLP中的应用，比如潜在语义分析（LSA）和潜在狄利克雷分配（LDA），也让我受益匪浅。LSA利用SVD来发现文本中隐藏的主题，而LDA则是一种概率主题模型，它也大量运用了矩阵的运算。这些模型能够帮助我们从海量的文本数据中提取出有用的信息，并进行主题分类和文档聚类。我之前在处理一个大型文本数据集时，经常会遇到维度灾难的问题，这本书对“降维技术”的讲解，特别是PCA在NLP中的应用，为我解决这个问题提供了有效的思路。它让我能够将高维的词向量映射到低维空间，同时保留词语之间的语义关系，这极大地提高了模型的效率和准确性。

评分☆☆☆☆☆

我是一名学生物信息学的学生，在分析基因序列、蛋白质结构等生物数据时，我经常需要处理大规模的矩阵和向量。《应用线性代数》这本书为我提供了非常有用的工具和思路。我之前对“矩阵”的认识，大多停留在简单的计算层面，但这本书让我看到了矩阵在生物学建模中的强大力量。比如，在基因表达分析中，我们经常会得到一个表达矩阵，行代表基因，列代表不同的实验条件。这本书对“主成分分析（PCA）”的讲解，让我能够利用PCA来识别出哪些基因的表达模式在不同实验条件之间具有最大的差异，从而找出关键的生物标志物。而且，书中对“聚类分析”的介绍，也为我理解如何将具有相似表达模式的基因分组提供了理论依据。无论是K-means聚类还是层次聚类，都离不开对向量之间距离和相似度的计算，而这些计算都深深植根于线性代数。我之前在分析蛋白质相互作用网络时，常常会遇到如何描述网络结构和节点中心性的问题，这本书对“图论”和“邻接矩阵”的介绍，为我理解这些问题提供了新的视角。我可以将蛋白质网络表示为一个矩阵，然后利用矩阵的运算来分析网络的拓扑结构，找出关键的蛋白质节点。此外，书中对“非负矩阵分解（NMF）”的讲解，在生物学领域也有广泛的应用，比如基因调控网络推断和生物医学图像分析。NMF能够帮助我们从数据中发现具有加性解释意义的潜在因子，这对于理解复杂的生物过程非常有帮助。

评分☆☆☆☆☆

我是一名金融行业的分析师，日常工作中需要处理大量的数据，并且需要对市场进行预测和风险评估。《应用线性代数》这本书为我提供了一套强大的分析工具。我之前对线性代数只是浅尝辄止，但这本书让我看到了它在金融建模中的巨大价值。书中对“矩阵分解”的应用，比如奇异值分解（SVD）在因子分析和资产组合优化中的作用，让我眼前一亮。我之前在构建投资组合时，常常会遇到相关性矩阵的奇异性问题，而SVD能够有效地解决这个问题，并帮助我识别出影响资产收益率的关键因子。此外，书中对“线性回归”和“多元回归”的详细讲解，让我能够更深入地理解这些模型在预测资产价格、评估信用风险等方面的应用。我之前只是会使用一些统计软件来实现这些模型，但这本书让我理解了其底层的数学原理，以及如何通过调整模型参数来优化预测精度。书中的“马尔可夫链”和“状态转移矩阵”的讨论，也为我理解金融市场的动态变化提供了新的思路。我能够利用这些工具来模拟市场情绪的变化，预测股票价格的波动，并评估不同策略的长期收益。这本书的案例分析也非常贴近金融实践，比如股票定价模型、期权定价模型等，让我能够将学到的理论知识直接应用到工作中。它让我意识到，许多复杂的金融现象，都可以通过线性代数的语言来简洁而有效地描述和分析。

评分☆☆☆☆☆

这本书《应用线性代数》带给我的是一种全新的视角来看待工程领域的问题。我从事的是控制系统设计，长期以来，我们依赖的数学工具大多是微分方程和拉普拉斯变换。然而，随着系统变得越来越复杂，尤其是多输入多输出（MIMO）系统，传统的分析方法变得捉襟见肘。《应用线性代数》正好填补了这一空白。书中对状态空间方程的详细阐述，以及如何利用矩阵运算来分析系统的可控性和可观性，对我来说简直是如获至宝。我一直觉得那些抽象的数学符号代表着现实世界中某些系统的行为，但具体如何联系，总是感觉隔了一层。这本书通过大量的实例，比如机器人手臂的运动控制、飞行器的姿态调整等，将线性代数的工具与这些复杂的物理过程紧密地联系起来。我能够清晰地看到，如何用向量来描述系统的状态，用矩阵来表示系统的动力学特性，并通过分析这些矩阵的性质，来预测和控制系统的行为。书中的“矩阵指数”的概念，对于理解线性时不变系统的解至关重要，它将一个复杂的微分方程组的解，转化为了一个相对易于处理的矩阵函数。这极大地简化了我的分析过程。另外，书中对“多线性代数”的介绍，虽然略显前沿，但它为我打开了理解更高级控制策略的大门，比如模型预测控制（MPC），这些策略往往需要处理更高维度的张量数据。我感觉这本书不仅仅是传授知识，更是培养一种数学建模和解决复杂工程问题的能力。它让我意识到，许多看似难以理解的系统，在用线性代数的语言去描述时，会变得异常清晰和有条理。

评分☆☆☆☆☆

作为一名软件工程师，我一直在寻找能够提升我解决复杂问题的能力的书籍，《应用线性代数》无疑给了我巨大的惊喜。这本书的切入点非常巧妙，它并没有一开始就抛出艰深的理论，而是从实际应用场景入手，比如数据压缩、推荐系统、甚至是自然语言处理中的一些基础概念。这让我立刻产生了强烈的共鸣，因为这些都是我日常工作中会接触到的问题。书中对矩阵的讲解，特别是其各种运算和性质，与我处理大规模数据集时遇到的挑战息息相关。例如，在数据分析中，我们经常需要对高维数据进行降维，以便于可视化和模型训练。书中的主成分分析（PCA）章节，以线性代数的视角，将这个过程解释得淋漓尽致。我能够清晰地看到，PCA是如何通过寻找数据方差最大的方向，也就是特征向量，来实现降维的。这种从原理上理解技术的能力，远比仅仅记住一个库函数要来得有价值。此外，书中还详细介绍了线性方程组的求解方法，以及它们在网络流、图算法等领域的应用。这对于我理解和优化算法效率至关重要。我曾经在优化一个图遍历算法时遇到了瓶颈，现在回想起来，如果当时能运用书中关于图的矩阵表示方法，或许能找到更高效的解决方案。这本书还有一个我非常欣赏的地方，就是它对“矩阵分解”的深入探讨，比如奇异值分解（SVD）。SVD在信息检索、推荐系统等领域有着广泛的应用，而书中对SVD的分解过程、几何意义以及应用场景的讲解，都让我豁然开朗。我之前对SVD的应用有过一些零散的了解，但这本书将它系统地串联起来，让我对它的理解上升到了一个新的高度。这本书的学习曲线也设计得比较平缓，每一步都建立在前一章的基础上，让学习过程更加扎实。

评分☆☆☆☆☆

我最近刚翻完《应用线性代数》，说实话，这本书的内容简直是颠覆了我对数学的认知，也为我打开了一扇通往工程和数据科学新世界的大门。我一直觉得数学，尤其是高等数学，离我的实际工作太远了，抽象又枯燥。但这本书不一样，它用一种非常直观、贴近现实的方式，把我一直以来对线性代数的模糊概念一一打通。比如，书里讲到图像处理中的矩阵变换，原本以为只是冷冰冰的数字游戏，结果发现它们竟然能让图片旋转、缩放、倾斜，甚至进行复杂的滤镜效果，这简直太神奇了！让我忍不住回想起那些我平时玩的游戏，背后的图形渲染技术，是不是就用了类似的原理？而且，书中对机器学习的讲解，更是让我眼前一亮。那些复杂的算法，比如主成分分析（PCA），在书中被拆解得非常清晰，从线性代数的角度去理解，那些降维、特征提取的步骤，突然变得生动起来。我之前一直对AI的“黑箱”感到困惑，现在感觉自己窥见了它的一些核心的运作逻辑，这让我对未来科技充满了更强的信心。书中的例子也足够丰富，从经济学中的投入产出模型，到物理学中的电路分析，再到计算机科学中的图论，几乎涵盖了你能想到的所有领域。每一章的案例分析都非常详实，不仅仅是给出公式，而是深入剖析了模型背后的思想，以及如何利用线性代数的工具来解决实际问题。我尤其喜欢书中关于“向量空间”的讨论，它把抽象的概念具象化，让我能够更好地理解向量之间的线性组合、张成空间等概念，为后面更复杂的算法打下了坚实的基础。这本书的语言风格也很友好，即使是一些比较高深的理论，也能用相对易懂的方式呈现，不会让人望而生畏。我感觉自己不仅仅是在学习数学，更是在学习一种解决问题的思维方式，一种用数学语言描述和分析世界的强大工具。

评分☆☆☆☆☆

我是一名刚刚入门数据科学的学生，在学习过程中，我接触了各种各样的统计学和机器学习的课程，但总感觉对底层的数学原理有些模糊。《应用线性代数》这本书就像是我在迷雾中的一盏明灯，它用一种非常系统和清晰的方式，把线性代数与我正在学习的许多概念联系起来。比如，我一直在学习如何构建和训练各种模型，像是线性回归、逻辑回归，甚至是更复杂的神经网络。这本书让我明白，这些模型本质上都是在处理向量和矩阵的运算。线性回归可以看作是求解一个线性方程组，而神经网络中的权重和偏置，不就是构成了一个个大型的矩阵吗？这本书对“向量空间”和“线性变换”的讲解，让我对这些抽象的概念有了直观的认识。例如，它用几何的方式解释了特征值和特征向量的含义，这对于理解主成分分析（PCA）这样的降维技术至关重要。我之前在学习PCA时，只是知道它能减小数据的维度，但对为什么能做到这一点，以及背后的数学原理一直感到困惑。这本书的讲解，让我彻底理解了PCA是如何找到数据最重要的“方向”，也就是数据的“主成分”。此外，书中关于“矩阵的行列式”和“逆矩阵”的讨论，也为我理解线性方程组的解的唯一性以及方程的可解性提供了坚实的理论基础。这对于我后面学习优化算法，理解参数的更新过程非常有帮助。书中的例子也十分贴近数据科学的实际应用，比如利用线性代数进行数据去噪、图像识别中的特征提取等等。这些真实的案例，让我看到了线性代数在解决现实问题中的强大威力，也大大增加了我的学习兴趣。

评分☆☆☆☆☆

《应用线性代数》这本书，让我从一个完全不同的角度理解了计算机图形学。作为一名独立游戏开发者，我一直致力于创造逼真且具有视觉吸引力的游戏世界，而这本书无疑是我的一把利器。我之前对于3D模型是如何在屏幕上呈现，以及光照、阴影是如何计算的，都感到非常困惑。这本书的“向量空间”、“矩阵变换”和“投影”等章节，将这些复杂的概念一一拆解。我能够看到，每一个3D顶点都可以表示为一个向量，而模型的移动、旋转、缩放，都可以通过乘以相应的变换矩阵来实现。这让我明白了为什么游戏中物体的变换如此流畅。尤其让我印象深刻的是关于“齐次坐标”的介绍，它解决了在3D图形中，如何将平移操作也统一到矩阵乘法范畴的问题，这极大地简化了计算流程。而且，书中对“光照模型”的讲解，也让我明白，为什么不同的光源会对物体产生不同的影响，以及如何利用向量的点积运算来计算光照强度。这对于我实现逼真的材质和光影效果至关重要。此外，书中还介绍了“曲线和曲面”的表示方法，比如Bézier曲线，这些都是在游戏中创建平滑的物体轮廓和地形的常用技术。通过理解这些数学原理，我能够更精细地控制模型的形状和变形，从而创造出更具表现力的视觉效果。这本书不仅仅是传授知识，更是教会我如何用数学的语言来描述和创造视觉世界，这对我未来的游戏开发带来了无限的可能。

评分☆☆☆☆☆

作为一名图形设计师，我一直觉得数学和艺术似乎是两个完全不相干的领域，直到我读了《应用线性代数》。这本书完全颠覆了我的想法，它让我看到了数学是如何赋予视觉艺术生命力的。书中的“二维和三维空间中的向量变换”部分，让我彻底理解了Photoshop、Illustrator等软件中那些基础的操作，比如缩放、旋转、倾斜、透视等，原来背后都蕴含着精妙的线性代数原理。书中对“矩阵”的讲解，不仅仅是数字的组合，更是对空间进行操作的“变换器”。我能够清晰地看到，一个特定的矩阵是如何将一个图形进行一次特定的变换。这让我对图形的生成和处理有了更深刻的认识。而且，书中对“齐次坐标”的介绍，解决了我在处理三维图形时遇到的“平移”和“旋转”不能直接合并的问题，这简直是太实用了！它让我明白，通过将二维或三维向量“提升”到四维或五维空间，就可以将所有仿射变换（包括平移）统一为矩阵乘法。这极大地简化了图形变换的计算过程。此外，书中还介绍了“投影”的概念，这对于理解三维图形如何渲染到二维屏幕上至关重要。它解释了为什么我们看到的物体会有远近大小的区别，以及如何模拟真实的视觉效果。这本书让我对“算法美学”有了全新的认识，它让我看到了数学的严谨和逻辑如何能够创造出如此美妙的视觉效果，也激发了我未来在设计中运用更多数学原理的灵感。

评分☆☆☆☆☆

作为一个对物理学，特别是量子力学充满好奇的普通读者，《应用线性代数》给了我一次深入探索的机会。我一直知道量子力学中充满了各种矩阵和向量，但始终不明白它们到底意味着什么，以及它们是如何描述微观世界的。这本书用一种非常循序渐进的方式，将线性代数的基本概念，如向量、矩阵、线性变换等，与量子力学的核心思想联系起来。它解释了如何用希尔伯特空间中的向量来表示量子态，如何用厄米矩阵来表示可观测量，以及这些矩阵的特征值和特征向量又代表着什么物理意义。我读到关于“量子叠加态”和“量子纠缠”的部分时，感觉之前那些晦涩难懂的概念一下子变得生动起来。书中的例子，比如狄拉克符号（bra-ket notation）的使用，让我能够更直观地理解量子态的表示和算符的作用。它让我明白，为什么量子世界中的粒子可以同时处于多种状态，以及为什么测量一个粒子会影响到另一个粒子。这本书的讲解方式非常注重直观性和几何意义，它试图用读者能够理解的方式，将抽象的数学概念转化为可想象的物理图像。我尤其喜欢书中对“算符”的讨论，它不仅仅是矩阵，更是对量子系统进行操作的工具，理解算符的性质，也就理解了量子系统是如何演化的。虽然我不是专业人士，但这本书让我对量子计算和量子通信等前沿领域有了更深刻的认识，也激发了我进一步学习的兴趣。