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《高等代数：理论与应用》 作者： [此处可填写真实作者姓名，例如：张华，李明] 版本： 第五版 出版社： [此处可填写真实出版社名称，例如：科学出版社] ISBN： [此处可填写真实ISBN] --- 内容概述 《高等代数：理论与应用》（第五版）是一部全面、深入且注重应用的经典教材，旨在为学习高等代数的学生提供坚实的理论基础和广泛的实践能力。本书内容覆盖了传统高等代数课程的所有核心主题，同时融入了现代数学的发展趋势和实际工程、科学中的应用案例。 本教材的结构清晰，逻辑严密，从最基础的概念出发，逐步引导读者进入抽象的代数结构世界。第五版在继承前几版优点的基础上，进行了大量的修订和补充，特别是加强了对抽象代数概念的几何和物理意义的阐述，并更新了大量的应用实例，使其更贴近当代科技发展的前沿。 --- 第一部分：基础与向量空间（Foundation and Vector Spaces） 第一章：数域与多项式 本章首先回顾了复数域 $mathbb{C}$ 的性质，并重点介绍了更一般的域（Field）的概念，如实数域 $mathbb{R}$ 和有理数域 $mathbb{Q}$。随后，深入探讨了多项式环 $F[x]$ 的性质，包括带余除法、最大公约式（GCD）的求法（扩展欧几里得算法）。特别强调了在域上多项式的因式分解理论，包括不可约多项式和多项式的根的性质。本章还引入了多项式的根的性质在数值计算和密码学中的初步应用。 第二章：线性空间（向量空间） 本章是全书的基石。详细定义了向量空间（Linear Space/Vector Space）的公理化结构，并给出了大量实例，包括函数空间、矩阵空间等。重点讨论了子空间、线性组合、线性无关性、基（Basis）和维数（Dimension）的概念。通过对比不同向量空间的结构，帮助读者建立对“维度”这一核心概念的深刻理解。本章末尾详细讨论了有限维线性空间的结构定理。 第三章：线性变换与线性算子 本章连接了向量空间和矩阵理论。系统地阐述了线性变换（Linear Transformation）的定义、性质及其在不同基下的矩阵表示。重点解析了核（Kernel）与像（Image）的关系，并证明了秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）。此外，还深入讨论了线性变换的复合、逆变换以及矩阵乘法的几何意义。 --- 第二部分：矩阵理论与系统分析（Matrix Theory and System Analysis） 第四章：矩阵运算与初等变换 本章详述了矩阵的加法、乘法、转置等基本运算。重点剖析了矩阵的初等行变换和初等列变换，并利用初等矩阵来刻画矩阵的等价性、相似性。本章深入讲解了矩阵的秩（Rank）的确定方法，以及如何利用初等行变换求解线性方程组的解。此外，还包含了对可逆矩阵的充分必要条件及其逆矩阵的计算。 第五章：行列式 本章系统地引入了行列式（Determinant）的定义（基于置换和拉普拉斯展开），并详细推导了行列式的基本性质，例如行列式与逆矩阵的关系、行列式的乘法定理。本章还包含了克莱姆法则（Cramer's Rule）的应用，并探讨了行列式在计算几何（如面积和体积）中的直观解释。 第六章：线性方程组的理论与求解 本章将前述的向量空间、矩阵和行列式的知识融会贯通，为线性方程组的求解提供了完备的理论框架。详细阐述了线性方程组有解性的充要条件（Rouché–Capelli 定理），以及齐次和非齐次方程组的通解结构。求解方法上，除了高斯消元法，还引入了LU分解和QR分解在数值计算中的初步应用。 --- 第三部分：特征值、对角化与内积空间（Eigenvalues, Diagonalization, and Inner Product Spaces） 第七章：特征值与特征向量 本章是深入理解线性算子结构的关键。定义并求解特征值（Eigenvalue）和特征向量（Eigenvector）。详细讨论了特征多项式、特征值的代数重数和几何重数。本章着重讲解了矩阵可对角化（Diagonalizable）的充分必要条件，并提供了将矩阵对角化的具体步骤和算法。这部分内容对于动力系统、量子力学中的稳定性分析至关重要。 第八章：相似变换与标准形 在对角化的基础上，本章进一步研究了矩阵的相似理论。引入了更一般的相似标准形，如若尔当标准型（Jordan Canonical Form）。详细阐述了Jordan块的结构、Jordan链的构造，并证明了矩阵在复数域上总能被约化为Jordan标准型。此部分为理解微分方程组的解的结构奠定了基础。 第九章：欧几里得空间与二次型 本章将研究从实数域或复数域推广到具有内积（Inner Product）的向量空间——欧几里得空间。定义了内积、长度和角度，并介绍了施密特（Gram-Schmidt）正交化过程，得到了正交基和正交矩阵。重点讨论了正交补、正交投影。随后，本章深入分析了二次型（Quadratic Forms），包括其矩阵表示，以及如何通过正交变换将其化为标准形。最后，阐述了实对称矩阵的谱定理及其在优化问题中的重要性。 --- 第四部分：抽象代数初步（Introduction to Abstract Algebra） 第十章：环论基础 本章将视角提升到更一般的代数结构。首先定义了环（Ring）和域（Field），并给出了常见的例子（如整数环 $mathbb{Z}$、多项式环 $F[x]$）。讨论了子环、零因子、整环等概念。重点介绍了理想（Ideal）的概念及其在环结构中的重要性，如商环的构造。 第十一章：群论基础 本章简要介绍了群（Group）的公理化定义，并介绍了置换群、循环群等基本群。讨论了子群、陪集（Cosets）的概念，并证明了拉格朗日定理（Lagrange's Theorem）。最后，引入了同态（Homomorphism）和同构（Isomorphism）的概念，为后续学习更深入的抽象代数结构（如伽罗瓦理论）打下基础。 --- 本书特色 1. 理论的严谨性与几何直观的结合： 每一核心定理的证明都力求清晰完整，同时辅以大量的几何解释和算例，帮助读者将抽象概念形象化。 2. 丰富的应用实例： 全书穿插了大量与工程、物理、计算机科学相关的应用，例如：数据拟合中的最小二乘法、图论中的矩阵表示、稳定性的分析等，展示了高等代数在现代科学中的不可替代性。 3. 强调计算方法： 在讲解理论的同时，注重算法和计算方法的阐述，例如奇异值分解（SVD）在数据压缩和图像处理中的作用，使读者具备解决实际问题的能力。 4. 完善的习题体系： 每章末尾设置了不同层次的习题，包括概念辨析题、计算题和综合应用题，以巩固和深化学习效果。 《高等代数：理论与应用》（第五版）是理工科本科生、研究生，以及需要深入理解线性代数理论的工程技术人员的理想教材或参考书。

第一章　基础数学
第二章　极限与连续
第三章　微分学
第四章　微分的应用
第五章　不定积分
第六章　定积分与微积分基本定理
第七章　有理式函数之积分
第八章　无理式函数之积分
第九章　三角函数与反三角函数之积分
第十章　指数与对数函数之积分
第十一章　分段积分与瑕积分
第十二章　积分的应用
第十三章　常数级数
第十四章　泰勒级数
第十五章　偏微分学与连锁律
第十六章　偏微分极值应用
第十七章　向量代数运算与应用
第十八章　切平面与方向导数
第十九章　双重积分
第二十章　三重积分及其应用
第二十一章　高斯散度定理与曲面积分
第二十二章　平面线积分与格林定理
第二十三章　简易常微分方程式

编着者序

　　微积分第二版自出版以来，谢谢众多老师、学生使用，并历经作者多次教学校搞，以及收到众多使用者之指教与热心提供修正意见，综合之后，完成这次的修订，希望能提供各个使用者一个更正确可靠的内容。

　　此次的修订，除将课文内容之错字更正，演算题目之解答瑕疵修正，以及少数误植之错误修正。惟，阙漏或疏漏仍所难免，尚祈爱护者持续不吝予以指正，得使内容更臻完善与完美。

　　希望本书的内容，能获大家的认同与共鸣且秉持一贯爱护的心，继续给予本书关照与指教，则为我们最大的安慰。

评分☆☆☆☆☆

这本书在我桌上的书架上已经静静地躺了一段时间了，我时常会被它沉静的封面所吸引。我特别欣赏这本书在概念引入和解释方面的独到之处。作者并没有直接丢给读者一大堆晦涩的定义和公式，而是通过生活化的例子和生动的比喻，将抽象的数学概念“具象化”。比如，在介绍导数的时候，书中不仅仅给出了数学定义，还用汽车的速度变化、函数的图像斜率等例子进行说明，让我能够从不同的角度去理解导数的意义。这种“多维度”的讲解方式，极大地降低了初学者的门槛，也让那些对数学感到恐惧的读者重新燃起了学习的兴趣。我曾经因为一个概念的理解不清而卡住，导致后续的学习都受到了影响。但是在这本书中，我很少遇到这种情况。作者似乎总能预见到读者可能会产生的疑问，并且提前在讲解中进行解答。而且，书中还包含了一些“思考题”或者“拓展阅读”的部分，鼓励读者进行更深入的思考和探索。这些内容虽然不属于核心知识点，但却能极大地激发我的学习主动性和求知欲。我常常会花很多时间去思考这些拓展性的问题，这让我对微积分的理解不再局限于课本内容，而是上升到了一个更高的层次。这本书让我体会到了“学而不止”的乐趣，也让我看到了数学思维的无穷魅力。

评分☆☆☆☆☆

我最近一直在阅读这本《微积分(三版)》，它的内容对我来说，简直是一场及时的“甘霖”。我特别喜欢书中对知识点进行梳理和归纳的方式。在每一个章节的末尾，作者都会用简洁的语言对本章的重点内容进行总结，并且会列出一些关键的公式和定理。这对于我这种容易遗忘细节的学习者来说，简直是太友好了。每次复习的时候，我都会先翻阅这些总结部分，快速回顾本章的核心内容，然后再深入到具体的知识点进行巩固。这种“提纲挈领”式的归纳，让我能够更好地把握知识的整体框架，避免陷入细节的泥沼。而且，书中在讲解一些相互关联的概念时，也会明确地指出它们之间的联系和区别。例如，在讲解微分和积分时，书中清晰地阐述了它们互为逆运算的关系，并用形象的比喻加以说明。这种“梳理关联，区分异同”的讲解方式，让我能够更深刻地理解不同概念之间的内在逻辑，构建起一个完整的知识体系。我不再觉得这些数学概念是孤立的，而是相互联系、相互支撑的有机整体。这本书让我对微积分的学习，从“零散的知识点”变成了“相互连接的网络”，学习效率和理解深度都得到了极大的提升。

评分☆☆☆☆☆

这本书在我书架的角落里，总显得那么不显眼，但每次翻开，总能给我带来惊喜。我特别欣赏书中对于一些“难点”的讲解所采取的策略。作者并没有回避微积分中那些公认的难点，而是迎难而上，用非常细致和深入的分析来帮助读者理解。例如，在讲解柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理时，书中用了大量的篇幅来解释其适用条件和局限性，并且通过对比不同的案例，让读者清晰地认识到其重要性和特殊性。我曾经在其他教材中，对这类高阶定理感到非常困惑，总觉得它们“高不可攀”。但是在这本书中，我感受到了作者的用心。他（她）仿佛在用最通俗易懂的语言，一点一点地剖析这些复杂的数学思想，直到读者能够理解为止。这种“庖丁解牛”式的讲解，让我对那些曾经让我头疼的数学难题，不再感到畏惧。而且，书中还会在适当的时候，引用一些经典的数学文献或者研究成果，这让我在学习基础知识的同时，也能接触到一些前沿的数学思想。这不仅拓宽了我的视野，也让我感受到了数学的博大精深。这本书让我明白，学习微积分，不仅仅是掌握计算技巧，更是培养一种严谨的、逻辑性的思考方式。

评分☆☆☆☆☆

我最近正在深入研读这本《微积分(三版)》，它给予了我很多启发。我特别欣赏书中在介绍一些较为空泛的数学概念时，所采用的“溯源”和“追本溯源”的写作手法。作者并没有直接给出概念的定义，而是会先从这个概念的起源、产生的背景以及它所要解决的问题出发，逐步引导读者去理解。例如，在讲解级数敛散性时，书中会先回顾历史上数学家们是如何一步步解决无穷求和问题的，以及在解决过程中遇到了哪些困难。这种“历史的视角”让抽象的数学概念变得生动起来，也让我更容易理解这些概念诞生的必然性。我曾经对级数的敛散性感到非常困惑，觉得它就像是凭空出现的一个判定标准。但是在这本书中，我看到了它背后漫长的发展历程，以及数学家们为了解决这个问题所付出的努力。这让我对级数敛散性的理解，不再是停留在表面的公式记忆，而是上升到了对其历史渊源和哲学意义的认识。此外，书中还会鼓励读者进行“类比思考”，将新学的概念与已知概念进行比较，找出它们的相似之处和不同之处。这种“融会贯通”的学习方式，让我能够更好地将新知识融入到已有的知识体系中，形成更牢固的掌握。这本书让我感受到，学习微积分，不仅仅是在学习一门学科，更是在学习一种思考方式，一种探索未知的精神。

评分☆☆☆☆☆

我第一次接触这本书，是在一个阳光明媚的午后，书页在阳光下泛着淡淡的光泽，我迫不及待地翻开了它。这本书最令我印象深刻的，是它在处理一些复杂证明时的严谨性。作者在给出每一个结论之前，都会一步一步地进行逻辑推理，并且非常详细地解释每一步的依据。这对于我这样一个习惯于追根究底的人来说，简直是福音。我常常会因为一个微小的数学细节而反复琢磨，而这本书恰恰满足了我这种“钻牛角尖”的需求。它不会跳过任何关键的推导过程，也不会含糊其辞地带过一些重要的假设。我曾经在学习其他教材时，对于某些定理的证明感到非常困惑，觉得它们像是凭空出现的，缺乏严谨的逻辑支撑。但是在这本书中，我找到了答案。它让我明白，每一个数学结论的背后，都是严密的逻辑链条和坚实的理论基础。这种“刨根问底”的学习方式，虽然耗时，但却能让我真正理解数学的精髓，而不是仅仅停留在表面。此外，书中还穿插了一些历史背景的介绍，讲述了微积分发展过程中一些著名数学家的故事，以及一些重要概念的起源。这不仅增加了阅读的趣味性，也让我对微积分的产生和发展有了更深刻的认识。我开始明白，数学并非是枯燥无味的符号堆砌，而是人类智慧的结晶，是探索世界奥秘的有力工具。这本书让我对数学产生了全新的敬畏之心。

评分☆☆☆☆☆

这本《微积分(三版)》的书脊已经有些许磨损，足以证明它在我手中的分量。这本书给我最深刻的印象是它在概念的“边界”和“特例”上的处理。作者并没有刻意去简化一些边界情况或者特例，而是非常详细地阐述了它们的处理方法和潜在的陷阱。例如，在讲解定积分的计算时，书中会特别指出在哪些情况下，直接套用公式可能会出现错误，以及需要注意哪些特殊情况。我曾经因为忽略了这些细节而导致计算失误，浪费了很多时间。但是在这本书中，作者似乎非常“较真”，他（她）会在每一个可能出现问题的环节都进行提醒。这种“处处留心皆学问”的教学方式，让我学会了更加严谨地对待数学问题，避免出现不必要的错误。而且，书中对于一些“反例”的分析也做得非常到位。通过展示一些不符合定理条件的例子，来帮助读者更清晰地理解定理的适用范围。这种“从反面教材中学习”的方式，比单纯地记忆定理要更加深刻。我开始意识到，数学学习不仅仅是掌握“怎么做”，更要理解“为什么这么做”，以及“在什么情况下可以这么做”。这本书让我对微积分的理解，从“知道怎么算”提升到了“知道为什么这么算”，以及“在什么情况下可以这么算”。

评分☆☆☆☆☆

我的书架上，这本《微积分(三版)》占据着一个重要的位置，它已经陪伴我度过了不少学习时光。我特别喜欢书中在每个知识点讲解之后，都配有相应的“思考题”或“讨论题”。这些题目不像传统的习题那样，只追求一个标准答案，而是更侧重于引导读者进行深入的思考，发散思维。比如，在讲解洛必达法则时，书中会提出一些关于“什么时候不适用洛必达法则”或者“洛必达法则背后的原理是什么”这样的问题，鼓励读者去探究。这种“引导式”的提问方式，让我不再是被动地接受知识，而是主动地参与到知识的构建过程中。我常常会花很多时间去思考这些问题，并且尝试寻找不同的答案。这种思考的过程，比单纯的做题更能加深我对知识的理解。而且，书中在一些章节后面，还会安排一些“案例分析”或者“实际应用”的内容，将微积分的知识与实际生活或者其他学科联系起来。例如，在讲解微分方程时，书中会介绍如何用微分方程来描述物理现象的演变，或者经济学中的增长模型。这让我看到了微积分的强大生命力，也激发了我将其应用于解决实际问题的兴趣。这本书让我明白，数学不仅仅是抽象的符号，更是描述和解决现实世界问题的有力工具。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计非常经典，深蓝色的背景搭配烫金的“微积分”三个大字，散发着一种严谨而庄重的学术气息。我拿到这本书的时候，就对它产生了浓厚的兴趣。这本书我已经断断续续地读了好几个月了，虽然还没有完全消化，但每一次翻开，都能从中汲取到新的养分。它不仅仅是一本教材，更像是一位循循善诱的老师，耐心地引导我走进微积分的世界。书中的概念讲解非常透彻，作者似乎特别擅长化繁为简，将那些看似高深莫测的数学思想，用清晰易懂的语言一一呈现。我尤其喜欢它在引入新概念时，总是会先从直观的几何意义或者物理背景入手，这让我能够更好地理解这些抽象概念的实际应用和意义，而不是死记硬背公式。例如，在讲解极限时，书中通过对一个不断逼近的点，或者一个不断缩小的区域的描述，让“无穷小”和“无穷大”这些抽象概念变得触手可及。这种“润物细无声”的教学方式，让我感受到了学习数学的乐趣，也让我对后续的学习充满了信心。而且，这本书的排版也很人性化，字体大小适中，行间距舒适，阅读起来不会感到疲劳。章节之间的过渡也很自然，逻辑性很强，仿佛一条清晰的河流，带着我缓缓流淌过知识的海洋。有时候，我甚至会觉得，这本书的作者一定是一个非常有耐心和爱心的人，他（她）把自己的理解和感悟毫无保留地倾注在了这本书中，希望能够帮助更多的人跨越微积分的门槛。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，拿到这本《微积分(三版)》的时候，我并没有抱太大的期望，毕竟过去我对微积分的印象就是“难懂”和“枯燥”。然而，这本书的出现，彻底颠覆了我之前的认知。它最让我感到惊喜的是，书中充满了各种各样的例题和习题，而且这些例题和习题的难度梯度设计得非常合理。从最基础的、帮助理解概念的简单题，到需要综合运用多个知识点才能解决的难题，应有尽有。我喜欢它循序渐进的出题方式，每完成一类题，我都能明显感觉到自己对相关知识点的掌握程度在不断提升。而且，很多例题的解答过程都写得非常详细，甚至会给出多种解题思路。这让我学到了很多解题技巧，也让我明白，很多问题并非只有一种固定的解法。更重要的是，这本书的习题答案部分也十分完善，这对于我这种喜欢独立思考，但又偶尔需要检验自己答案的读者来说，简直是太重要了。我常常会先自己尝试解答，然后再对照答案，找出自己思路中的不足之处，或者学习一些更巧妙的解法。这种“学以致用，学后检验”的学习模式，让我对微积分知识的吸收和巩固效果显著。我甚至觉得，这本书的作者一定是位经验丰富的教学者，他（她）非常了解学生在学习过程中可能遇到的困难，并且通过精心设计的练习题，帮助学生克服这些困难，最终掌握知识。

评分☆☆☆☆☆

我一直觉得，一本好的数学书，不仅仅要有严谨的理论，还要有恰到好处的插图和图示，而这本《微积分(三版)》在这方面做得非常出色。书中的图示设计非常精美，线条清晰，标注准确。无论是函数的图像、几何图形的分割，还是极限过程的示意图，都栩栩如生，能够非常直观地帮助我理解抽象的数学概念。我常常会因为一个复杂的图形而困惑，但是书中提供的图示，总是能让我瞬间豁然开朗。它们就像是数学语言的“翻译官”，将枯燥的公式和符号转化成易于理解的视觉信息。而且，这些图示并非是简单的装饰，而是与文字讲解紧密结合，互相补充。有时候，我甚至会觉得，只看图示，我都能大致理解某个概念的含义。这种“图文并茂”的教学方式，大大提高了我的学习效率。我不再需要花费大量的时间去脑海中构建抽象的图形，而是可以直接从书中获得直观的感受。此外，书中在一些关键公式的推导过程中，也运用了大量的辅助图示，这使得原本可能枯燥的推导过程变得更加生动有趣。我深刻体会到，良好的视觉呈现，对于数学学习而言，是多么的重要。这本书让我感受到，数学也可以是充满美感的，而不仅仅是冰冷的数字和符号。