Principles of Real Analysis 3/e pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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With the success of its previous editions, Principles of Real Analysis, Third Edition, continues to introduce students to the fundamentals of the theory of measure and functional analysis. In this thorough update, the authors have included a new chapter on Hilbert spaces as well as integrating over 150 new exercises throughout. The new edition covers the basic theory of integration in a clear, well-organized manner, using an imaginative and highly practical synthesis of the "Daniell Method" and the measure theoretic approach. Students will be challenged by the more than 600 exercises contained in the book. Topics are illustrated by many varied examples, and they provide clear connections between real analysis and functional analysis. * Gives a unique presentation of integration theory * Over 150 new exercises integrated throughout the text * Presents a new chapter on Hilbert Spaces * Provides a rigorous introduction to measure theory * Illustrated with new and varied examples in each chapter * Introduces topological ideas in a friendly manner * Offers a clear connection between real analysis and functional analysis * Includes brief biographies of mathematicians

经典分析学的基石：严格、直观与现代视角 本书旨在为读者构建一个扎实、严谨且富有洞察力的实分析基础。我们不再停留在微积分的直观层面，而是深入探究实数系统及其上的函数空间的内在结构。本书的核心目标是引导学生从“如何计算”转向“为何如此”的深刻理解，为后续学习泛函分析、测度论或偏微分方程等高级课程奠定不可动摇的基石。 第一部分：实数系统的精确描绘与收敛性的严密论证 本书伊始，我们便着手处理分析学的基石——实数系统（$mathbb{R}$）。我们不满足于将其视为一个给定集合，而是从最基本的皮亚诺公理（或更常见的，通过有理数的戴德金截位构造）出发，构建出完整的、满足完备性公理的实数域。完备性是分析学的灵魂所在，它确保了极限的存在性，使得闭区间套定理、单调收敛定理等核心工具得以成立。我们将详细探讨上确界与下确界的性质，并利用这些概念来精确定义序列的极限。 接下来的篇章专注于序列与级数。我们严格定义了收敛的含义，并细致区分了点收敛与一致收敛的本质区别。对于级数，我们引入了一系列强大的收敛判别法，例如比值判别法、根值判别法，以及对于正项级数和交错级数的特殊处理。一个重要的讨论点在于绝对收敛与条件收敛，以及黎曼级数重排定理所揭示的条件收敛序列的惊人可塑性。我们还将审视一些著名的级数，如p-级数，并探讨其收敛的边界。 第二部分：拓扑基础与函数空间的初步探索 为了更优雅和更具普适性地处理极限的概念，本书将引入拓扑学的基本概念，但聚焦于度量空间（Metric Spaces）这一分析学中最常用、最直观的拓扑结构。我们将定义度量空间中的开集、闭集、邻域、聚点和稠密子集。 在度量空间的基础上，我们重访核心概念： 1. 连续性（Continuity）：从 $epsilon-delta$ 定义延伸至拓扑语言下的预像性质。我们将证明连续函数在紧致集上的性质，例如，连续函数将紧集映为紧集。 2. 紧致性（Compactness）：这是分析学中极其强大的工具。我们将展示 Heine-Borel 定理（在 $mathbb{R}^n$ 中）作为紧致性的一个具体体现。紧致性与闭有界性的关系，在处理函数的最大值最小值问题时至关重要。 3. 完备性（Completeness）：在更一般的度量空间中，我们重新审视完备性，引入柯西序列的概念。柯西序列完备的空间具有许多优良的性质，为后续的巴拿赫不动点定理（Banach Fixed Point Theorem）打下基础。 第三部分：微积分的严格重构——微分与积分 本书的核心内容之一是对微积分进行最严格的重构。 在微分学部分，我们将从导数的精确定义出发，详细阐述微分中值定理（如罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理）的证明及其应用。对于高阶可微函数，我们将精确地阐述泰勒定理，并探究余项的各种形式（如拉格朗日形式和积分形式）。单变量函数到多元函数的推广将引入偏导数、方向导数和梯度，为理解多变量函数的局部性质奠定基础。 在积分学部分，本书将跳过黎曼积分的直观引入，直接聚焦于黎曼积分的严格定义。我们将详细分析可积性的充要条件（即几乎处处连续性）。随后，我们将探索积分的线性、单调性、以及更重要的——均值定理和微积分基本定理的严格证明。这些证明将深刻揭示微分与积分之间的对偶关系。 第四部分：序列与函数的收敛——一致收敛的力量 在分析学中，我们关心的往往不是单个函数的极限，而是函数序列或函数级的极限。本书投入大量篇幅讨论一致收敛。我们将清晰地展示，为什么一致收敛比点收敛更重要： 连续性的保持：一致极限下的连续函数序列的极限仍然是连续的。 积分的交换：在一致收敛条件下，极限与积分可以交换顺序。 导数的交换：在适当的条件下，极限与微分可以交换顺序。 我们将利用Weierstrass M-检验来处理函数级数的收敛性，并探讨等度连续性的概念，这是Arzelà-Ascoli定理的核心，该定理在函数空间中提供了紧致性判据，是处理函数空间理论的有力工具。 贯穿全书的特色：证明的艺术与直觉的培养 本书的每一处论述都建立在严密的逻辑链条之上。我们强调证明的构造性和清晰性，鼓励读者不仅要记住定理，更要理解定理成立的必要条件和证明的内在逻辑。书中的例子精心挑选，旨在突出定理的应用范围及其失效的边界情况，从而帮助读者建立起对分析学概念的深刻直觉，区分哪些是普遍真理，哪些是特定环境下的结果。本书致力于培养读者进行精确数学思考的能力，使其能够自信地迈入更广阔的分析世界。

评分☆☆☆☆☆

《Principles of Real Analysis 3/e》这本书，在我看来，是一部真正意义上的“实分析百科全书”，它以一种极其系统和全面的方式，向读者展示了实数分析的方方面面。作者的讲解风格严谨而不失条理，从最基础的公理体系出发，逐步构建起分析学的宏伟大厦。我特别欣赏书中关于“极限”概念的论述，作者不仅给出了严格的定义，还深入探讨了极限的各种性质，以及它在序列、函数等不同情境下的表现。例如，关于柯西序列的引入，为判断序列收敛提供了一种强有力的方法，这在许多证明中都起到了关键作用。书中对连续函数性质的详尽介绍，特别是关于介值定理和极值定理的证明，以及它们在闭区间上的应用，都让我对函数的行为有了更深刻的理解。我曾投入 considerable effort 去理解一致收敛的定义及其重要性，尤其是在涉及极限运算与积分运算交换时的关键作用。书中还对黎曼积分进行了深入的介绍，包括可积的条件和积分的性质。尽管书中的某些章节，如度量空间和勒贝格积分的初步介绍，对我来说还比较前沿，但我深知，这正是本书的价值所在，它为我未来的学习指明了方向。总而言之，《Principles of Real Analysis 3/e》是一部值得反复研读的经典著作，它不仅传授了知识，更塑造了我的数学思维方式，让我开始欣赏数学的严谨之美。

评分☆☆☆☆☆

当我翻开《Principles of Real Analysis 3/e》时，我预料到会遇到一本具有挑战性的数学书籍，但这本书的深度和严谨性还是超出了我的想象。它并非一本侧重于计算和公式应用的入门级读物，而是一本旨在构建读者对实数分析底层逻辑深刻理解的书籍。作者在讲解每一个概念时，都力求做到无懈可击，从最基础的集合论概念，如开集、闭集、紧集，到序列的收敛性、级数的敛散性，再到函数的连续性、可微性以及积分理论，本书都进行了详尽而严谨的论述。我花了大量时间来理解epsilon-delta语言在证明极限时的运用，以及如何通过它来精确地刻画“无限接近”的概念。书中对“完备性”概念的讲解，特别是通过戴德金分割和柯西序列来阐述，让我对实数与有理数之间的根本区别有了更深刻的认识。在学习级数收敛性时，各种判别方法的介绍以及它们的证明过程，都极大地丰富了我的工具箱，同时也让我体会到数学证明的精妙之处。关于一致收敛的讨论，以及它在函数序列和级数中的重要性，让我对函数的行为有了更深入的理解，特别是涉及到极限运算的交换问题时。本书的习题设计也非常出色，它们不仅巩固了理论知识，更激发了读者的独立思考能力。虽然我还在努力消化书中的部分内容，但毫无疑问，《Principles of Real Analysis 3/e》已经为我打下了坚实的实数分析基础，并极大地提升了我的数学思维能力。

评分☆☆☆☆☆

对于《Principles of Real Analysis 3/e》这本书，我的整体感受是，它是一部真正意义上的“原理”之书，它不仅仅停留在计算和应用层面，而是深入到实数分析最根本的逻辑基石。作者以一种近乎“考古”的严谨态度，带领读者一层层剥开实数世界的本质。从最基础的实数公理开始，构建了整个分析学的大厦。我尤其欣赏作者在引入“完备性”公理时的处理方式，它并非一个孤立的公理，而是通过戴德金分割和柯西序列的视角，巧妙地解释了为什么实数比有理数更加“完整”，能够包含所有“潜在”的数。这让我对我们习以为常的数轴有了全新的认识。在序列和级数部分，作者的讲解非常详尽，无论是收敛的条件、敛散性的判别方法，还是各种特殊级数的性质，都经过了细致的梳理和证明。我曾花费大量时间去理解阿贝尔判别法和迪里赫利判别法，这些判别法在判断级数敛散性时起到了至关重要的作用，它们的证明过程让我看到了数学的智慧和精妙之处。书中的一些关于函数序列和级数一致收敛的讨论，也让我认识到了均匀收敛与逐点收敛之间的微妙区别，以及这种区别在极限运算交换时的重要性。这一点在实际应用中，比如函数展开成级数时，至关重要。我非常喜欢书中包含的一些“思考题”，它们往往不是要求直接计算，而是引导你去探索一些性质的边界，或者思考一些反例的可能性。这些题目极大地锻炼了我的分析能力和批判性思维。总的来说，这本书不仅仅是在教我“怎么做”实分析，更是在教我“为什么”实分析是这样，它让我深刻理解了数学知识的来龙去脉，以及其内在的严谨性和逻辑性。

评分☆☆☆☆☆

在我研读《Principles of Real Analysis 3/e》的过程中，我逐渐体会到这本书并非仅仅是一堆定理和公式的集合，而是一种关于如何进行精确数学思考的训练手册。作者以一种近乎“苛刻”的标准，要求读者理解每一个概念的内涵和外延。从对实数集合的公理化定义开始，到对序列、级数、函数等基本对象的深入探讨，本书始终贯穿着严谨的逻辑推理。我尤其被书中关于“收敛”概念的细致阐述所吸引。作者不仅仅介绍了数列的收敛，还深入讲解了函数序列的一致收敛，以及它与逐点收敛的区别。这让我意识到，在处理涉及极限的运算时，一致收敛的条件是多么重要，它保证了我们可以在极限运算和某些连续性操作之间进行交换。书中关于黎曼积分的讲解，也非常详尽，它不仅给出了积分的定义，还深入探讨了可积函数的性质，以及积分的线性性质和单调性。我曾反复推敲书中关于“可测集”和“可测函数”的初步介绍，虽然这部分内容对我来说还比较陌生，但它预示着实数分析向更广阔的领域发展。这本书的难度体现在其深度和广度上，它要求读者不仅仅是记忆，更要理解和内化。每一次对一个复杂证明的理解，都像是在解开一个数学的谜题，带来的满足感是无与伦比的。我相信，通过对这本书的深入学习，我的数学分析能力将得到极大的提升。

评分☆☆☆☆☆

《Principles of Real Analysis 3/e》这本书，对我来说，是一次关于数学思维重塑的旅程。它并非我之前接触过的任何一本数学教材。它最显著的特点在于其高度的抽象性和严谨性。作者并没有试图用过于通俗易懂的语言来“简化”数学，而是直接呈现了实数分析最纯粹、最核心的逻辑结构。从最基础的逻辑符号和集合论概念开始，本书就要求读者具备一定的数学素养。我花了很长时间来理解“良序原理”、“选择公理”等基础性概念，它们虽然看似抽象，但却是后续一切推导的基础。在学习序列的收敛性时，作者对epsilon-delta定义的强调，以及对一些复杂序列收敛性证明的详细展开，让我认识到数学证明的严谨性是多么重要。例如，证明一个数列的极限是L，需要精确地指出对于任意给定的$epsilon > 0$，都存在一个正整数$N$，使得当$n > N$时，$|a_n - L| < epsilon$。这种精确性是之前在其他教材中很少见到的。书中对连续函数性质的探讨，特别是关于紧集上连续函数的性质，比如一致连续性和最小值、最大值的存在性，都给我留下了深刻的印象。作者在证明这些定理时，往往会巧妙地利用集合的拓扑性质，展现了数学的整体性和协调性。虽然我对于书中的一些更高级的主题，比如度量空间和巴拿赫不动点定理等，还在逐步理解中，但毫无疑问，《Principles of Real Analysis 3/e》已经为我打开了一扇通往更深层次数学领域的大门。

评分☆☆☆☆☆

《Principles of Real Analysis 3/e》这本书，我只能说，它是一部名副其实的“原理”之作，它以一种极其系统和严谨的方式，构建了实数分析的理论框架。作者在编写这本书时，显然是将读者置于一个初学者但又具备一定数学基础的视角。他从最基础的实数公理出发，一步步建立起了整个分析学的体系。我印象最深刻的是关于“极限”概念的讲解，作者并没有止步于简单的epsilon-delta语言，而是深入探讨了极限的各种性质，以及它在序列、函数等不同场景下的应用。例如，关于柯西序列的引入，它为我们提供了一种不依赖于已知极限值来判断序列收敛的方法，这在很多情况下是非常有用的。书中关于连续函数的性质的讨论，例如介值定理和极值定理，以及它们在闭区间上的应用，都让我对函数的行为有了更直观的理解。我曾花费 considerable effort 去理解一致收敛的定义以及它与逐点收敛之间的差异，特别是它在极限运算与积分运算交换时的重要性。书中还对黎曼积分进行了深入的介绍，包括可积的条件和积分的性质。尽管书中的某些章节，如勒贝格积分的初步介绍，对我来说还稍显超前，但我深知，这正是本书的价值所在，它为我指明了继续深入学习的方向。总而言之，《Principles of Real Analysis 3/e》是一部值得反复品读的经典之作，它不仅传授知识，更塑造思维。

评分☆☆☆☆☆

《Principles of Real Analysis 3/e》这本书，坦白讲，最初拿到手的时候，我被它厚重的体量和全英文的表述震慑住了。作为一名非数学专业的学生，我对实分析的了解仅限于一些基础的概念，比如微积分中的极限和导数。然而，当我开始阅读这本书时，我被作者那种循序渐进、由浅入深的讲解方式深深吸引。他没有直接跳到复杂的定理，而是从最根本的集合论概念开始，用清晰的语言和恰当的例子来解释每一个定义。例如，关于“开集”的定义，作者不仅仅给出了数学描述，还配以数轴上区间的图示，让我直观地理解了“内点”的概念。接着，他对“闭集”和“紧集”的解释，也层层递进，让我逐渐理解了集合的拓扑性质。在学习序列的收敛性时，作者对epsilon-delta语言的运用，起初让我有些吃力，但通过书中大量的例题和证明，我逐渐掌握了如何运用这种语言来精确地描述和证明极限的存在。特别是关于柯西序列的引入，让我对“完备性”有了更深刻的理解，知道它为什么是实数分析中如此重要的概念。书中关于连续函数性质的讨论，例如介值定理和极值定理，以及它们证明过程中对闭区间上连续函数的特殊性质的运用，都让我印象深刻。我尤其欣赏作者在讲解这些定理时，不仅仅给出证明，还强调了定理的几何意义和实际应用的可能性。尽管书中的某些章节，例如关于度量空间的部分，对我来说还比较超前，但我相信随着我不断深入学习，这本书一定会成为我理解实分析的坚实基础。

评分☆☆☆☆☆

我必须说，《Principles of Real Analysis 3/e》这本书带给我的体验是相当复杂的，既有惊喜，也有挑战，还有一种难以言喻的成就感。一开始，我对于“实分析”这个词就充满了敬畏，感觉它像是数学的“硬核”部分，充满了各种抽象的概念和繁琐的证明。果不其然，打开书的扉页，扑面而来的是密密麻麻的符号和定义，比如开集、闭集、紧集等等，这些在中学和本科初年接触到的集合论概念，在这里被赋予了更精确、更严谨的数学内涵。作者在处理这些基础概念时，并没有直接给出一堆定义然后让我们去记忆，而是通过一些精心挑选的例子，来解释这些概念的几何意义和直观含义，这极大地帮助我理解了这些看似冰冷的数学语言背后所蕴含的深刻思想。例如，关于开集的定义，通过圆盘和半开区间的例子，我才真正体会到“邻域”概念的重要性，以及它如何定义了“内部点”和“边界点”。书中的证明部分更是让我受益匪浅，作者在展示一个定理的证明时，往往会先给出定理的直观解释，然后再逐步展开逻辑推理，每一步都力求严谨，并且会清晰地指出使用了哪些已有的定义或定理。这让我学会了如何“阅读”证明，而不是简单地“背诵”证明。当然，我也遇到了不少困难，尤其是在处理一些收敛性的证明时，例如一致收敛的判断，一开始总觉得无从下手，需要反复阅读相关的定义和定理，并尝试一些小的例子来验证自己的理解。不过，正是这种克服困难的过程，让我在解开一个难题时，获得了巨大的满足感。这本书的价值在于它不仅仅是知识的传授，更是一种思维训练，它正在潜移默化地改变我对数学的认知方式，让我开始欣赏数学的内在逻辑和结构之美。

评分☆☆☆☆☆

在我阅读《Principles of Real Analysis 3/e》的过程中，我最大的感受就是这本书对数学严谨性的极致追求。它不是一本让你快速掌握计算技巧的书，而是一本让你深刻理解数学“为什么”的书。作者在讲解每一个概念时，都力求做到无懈可击。从实数系的公理化出发，到序列、级数、函数、积分等核心内容，每一个环节都建立在前一个环节坚实的基础之上。我花了相当多的时间去理解“上确界”和“下确界”的概念，以及它们如何引出实数的完备性。作者用戴德金分割的例子来解释这一点，这让我明白，为什么实数轴上没有“空隙”。在学习级数收敛性时，作者详细介绍了各种判别法，比如比值判别法、根值判别法、莱布尼茨判别法等，并对它们的适用范围和证明思路进行了深入剖析。我特别喜欢书中对“一致收敛”的讲解，它与逐点收敛的区别，以及在涉及极限运算交换时的关键作用，让我对函数的性质有了更深层次的认识。书中对黎曼积分的定义和性质的讨论，也相当详尽，它让我理解了积分的几何意义，以及积分可积的条件。而对于勒贝格积分的初步介绍，则让我窥见了分析学更广阔的天地。这本书的难度不小，需要投入大量的时间和精力去钻研，但每一次攻克一个难点，都会带来巨大的成就感。它不仅仅是一本教科书，更像是一座数学思想的宝库，让我得以深入挖掘实数分析的精髓。

评分☆☆☆☆☆

在翻阅完《Principles of Real Analysis 3/e》之后，我才真正领略到了数学的深刻与美妙，这本书如同一个精心构建的逻辑迷宫，引导我一步步深入探寻实数分析的奥秘。初次接触时，书本厚重的篇幅和严谨的表述让我有些望而却步，但随着我耐心地投入其中，那些看似抽象的定义和证明逐渐变得清晰起来。作者在阐述概念时，总是循序渐进，从最基础的集合论和拓扑学概念讲起，然后逐步过渡到序列、级数、连续性、可微性以及积分等核心内容。每一次对新定理的理解，都像是在黑暗中点亮了一盏灯，让我看到了数学世界更广阔的图景。书中大量的例题和习题是其一大亮点，它们并非简单的机械练习，而是巧妙地设计来巩固理论，同时激发思考。有些习题的难度系数不低，需要反复推敲，甚至查阅相关的辅助资料，但正是这种挑战，让我对每一个概念的理解更加透彻。特别是关于极限的论证，epsilon-delta语言的运用，最初让我感到些许生涩，但随着练习的深入，我逐渐掌握了其精髓，能够独立地去证明一些基本的极限性质。而对于傅里叶级数和勒贝格积分等更高级的主题，虽然我还在消化吸收中，但作者的讲解清晰而有条理，为我打开了通往更广阔的数学领域的大门。这本书不仅仅是知识的堆砌，更是一种思维方式的训练，它教会我如何严谨地思考，如何清晰地表达，如何从繁杂的信息中提炼出核心的逻辑。我深信，这本书将成为我数学学习道路上不可或缺的指南，它的价值远远超出了教材本身，它是一种对求知精神的启迪。