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本书系遵照民国九十三年教育部颁布之「后期中等教育共同核心课程指引」及九十五学年度入学五专部数学科目学分数与时数规划草案，并配合实际教学编辑而成。全书共分二册，可供五年制专科学校第一及第二学年，每学期每週授课2节四学期，共八学分之教学使用。 内容力求简洁易读，仅量避免非必要的证明及繁杂、艰深的问题。本书着重培养学生正确的数学观念以及基本计算能力，进而能将所学有效运用到专业课程上。为因应高中、高职及五专同学互转，特配合高中、职教材编辑，以免因教材差异，造成教学困扰。于各节末皆有习题，方便授课教师依据实际学习状况指导学生实作随堂练习，亦可作为课后作业的指定范围。书末附有习题解答。

好的，这是一本名为《代数与几何的交织》的图书简介，旨在探索数学深层的结构与美感，内容完全不涉及《数学 II》的任何主题。 --- 图书简介：《代数与几何的交织》 洞察根源：超越计算的数学哲学 《代数与几何的交织》并非一本传统的解题手册或公式汇编，它是一场深入数学思想腹地的探险。本书的核心目标是揭示看似独立的代数结构与空间几何形态之间，那层微妙而深刻的内在联系。我们相信，真正的数学理解并非来自于对步骤的机械模仿，而是源于对概念起源、逻辑演进及其相互映射关系的透彻把握。 本书将带领读者，从欧几里得的严谨逻辑出发，逐步迈入非欧几何的奇特世界，同时穿梭于环、域与群论的抽象空间，最终在拓扑学的柔性框架下，重新审视我们对“形状”和“结构”的定义。 第一部分：几何的革命与度量的重塑 第一章：欧氏体系的巅峰与裂痕 本章首先回顾欧几里得几何学的伟大成就——五条公设如何构建出一个完美自洽的平面宇宙。我们将详细剖析平行公设的地位与必要性，通过对古希腊数学家们多年努力的梳理，展现出在“不可动摇”的基石上，隐藏着何种微妙的张力。 论证的艺术： 从“无限”的引入到可公度性的探究，分析演绎推理在几何证明中的作用。 对偶与对称： 探究点与线、平面与空间的对偶关系，理解对称性在几何结构保持中的核心地位。 第二章：逃离平面：非欧几何的诞生 本部分是本书最具颠覆性的篇章之一。我们将跟随高斯、罗巴切夫斯基和黎曼的脚步，系统地考察当平行公设被否决或修改后，我们所处的“空间”会发生怎样的根本性变化。 罗巴切夫斯基的鞍面空间： 介绍双曲几何，着重分析其三角学特性——角度和边长之间不再符合传统余弦定理，以及如何在“负曲率”下理解直线和三角形。 黎曼的球体： 深入椭圆几何（或称球面几何），探讨其“正曲率”特性，理解在有限且无界的球面上，最短路径（大圆）如何重新定义“直线”的概念。 测地线与曲率： 从微分几何的视角引入曲率的概念，解释曲率如何量化空间弯曲的程度，为后续的广义相对论打下朴素的几何基础。 第二部分：结构的抽象：从数到运算 第三章：群论的基石：对称性的代数语言 本章将视野转向纯粹的结构——群。我们不再关注数字的运算，而是关注“操作”本身，以及这些操作所保持不变的内在关系。 定义的精确性： 严格定义群、子群、陪集和同态，强调结合律、单位元和逆元的重要性。 费马小定理与欧拉定理的群论诠释： 展示数论中的重要结论如何自然地涌现于有限循环群的阶的性质之中。 置换群与刚体运动： 探索对称群（如二面体群 $D_n$ 和完整对称群 $S_n$），将几何中的旋转、反射等刚性变换转化为代数中的元素排列，体现几何与代数的第一次深度融合。 第四章：环与域：代数运算的边界 在建立了群论的基础后，本书引入了更复杂的结构——环和域，它们允许我们处理加法和乘法两种运算，并探讨其相互作用的规律。 整环与零因子： 区分整数环、多项式环，并重点解析“零因子”的存在如何限制了域的形成。 域的扩张： 探讨如何从一个基础的数集（如 $mathbb{Q}$ 或 $mathbb{R}$）构造出包含特定解的更高阶的域，例如如何用代数方法构造出 $sqrt{2}$ 所在的最小域。 理想的概念： 引入理想作为环中特殊子集的概念，为理解同态和商环奠定基础，揭示结构如何通过“除法”被简化。 第三部分：交织：拓扑的温柔之手 第五章：连续性的不变量：拓扑学的视角 本章是全书的收束点，它将前两部分的思想提炼到一个更抽象、更“柔软”的层次——拓扑学。拓扑学关注的不是精确的距离或角度，而是物体在连续变形下保持不变的性质。 拓扑空间的定义： 介绍开集、闭集和邻域的概念，理解连续函数在拓扑意义下的含义（即不撕裂、不粘合）。 同胚与拓扑不变量： 核心概念辨析。我们将展示如何利用拓扑不变量来区分空间，例如连通分支数和“洞”的数量。 欧拉示性数： 探讨欧拉示性数 $chi = V - E + F$ (顶点数 - 边数 + 面数) 如何跨越多面体、球面和环面，成为连接离散结构（代数计数）和连续形状（几何结构）的关键桥梁。 第六章：从环面到高维流形 我们利用拓扑的工具，深入研究更复杂的二维曲面，并展望高维空间。 环面与亏格： 详细分析环面（甜甜圈的表面）的拓扑特性，引入“亏格”（Genus）的概念，它是衡量一个曲面上有多少个“洞”的拓扑量度。 黎曼流形的概念初探： 简要介绍如何将局部具有欧氏空间结构的“流形”概念推广到任意维度，暗示了现代物理学中时空模型的数学基础，但重点保持在结构和拓扑的层面。 结语：结构即实在 《代数与几何的交织》旨在证明，数学的伟大并非在于计算的效率，而在于其无与伦比的抽象能力。代数提供了操作的规则，而几何提供了直观的形态；它们相互印证，共同揭示了宇宙深层秩序的本质。本书适合所有对数学原理有好奇心、希望超越公式表层、探究结构本质的读者。读完此书，您将不再仅仅“使用”数学，而是开始“感受”数学。 ---

评分☆☆☆☆☆

我必须强调，《数学 II》这本书在帮助我建立数学信心方面起到了至关重要的作用。我曾经因为数学成绩不理想而对这门学科产生了抵触情绪，但这本书却让我看到了数学的另一面——它的逻辑性、它的美感、它的实用性。作者在讲解过程中，始终保持着一种鼓励和引导的态度，让我觉得学习数学是一件可以克服的挑战，而不是一项无法企及的任务。我最喜欢的是书中关于“如何培养数学思维”的章节，它提供了一些非常实用的方法和建议，让我能够在日常学习中不断地去锻炼和提升自己的数学思维能力，这对我未来的学习和工作都将产生深远的影响。

评分☆☆☆☆☆

我必须诚实地说，在阅读《数学 II》之前，我对数学的理解一直停留在非常基础的层面，甚至有些概念我都觉得遥不可及。然而，这本书以一种极其友好的方式，将那些曾经让我望而生畏的数学概念变得触手可及。作者在阐述复杂理论时，总是会辅以大量贴近生活、易于理解的例子。例如，在介绍集合论时，作者并没有上来就讲罗素悖论，而是从我们日常生活中对物品进行分类的例子入手，比如水果集合、书籍集合，让我们自然而然地理解了集合的基本概念。这种循序渐进、由浅入深的讲解方式，极大地增强了我的学习信心，也让我对数学产生了前所未有的亲切感。

评分☆☆☆☆☆

这本书所呈现的知识深度和广度，让我觉得物超所值。它并没有局限于某个单一的数学分支，而是将多个重要的数学领域有机地串联起来，展现出数学学科的整体性。我尤其赞赏作者在不同章节之间建立联系的做法，比如在讲解差分方程时，作者会巧妙地将其与数列、函数等概念联系起来，让我能从更宏观的视角去理解数学知识。这种跨领域的整合，不仅加深了我对各个知识点的理解，也让我看到了数学在不同学科中的应用价值。让我印象深刻的是，当作者讲解到图论时，会提及它在网络分析、路径规划等方面的应用，这些鲜活的例子让我意识到，数学并非只存在于书本中，而是渗透在我们生活的方方面面。

评分☆☆☆☆☆

不得不说，这本书在细节处理上做得非常到位。作者在讲解过程中，不仅考虑到了初学者可能遇到的困难，也为有一定基础的读者提供了更深入的思考方向。我尤其赞赏书中对数学史的穿插介绍，它让我看到了这些数学概念是如何一步步发展演变的，也让我对那些伟大的数学家们产生了敬意。例如，在介绍勾股定理时，书中简略地提及了毕达哥拉斯学派的贡献，让我对几何学的起源有了更深的认识。这种在严谨的数学讲解中融入人文情怀的做法，让这本书不仅仅是一本纯粹的教科书，更像是一本引人入胜的数学探索之旅。

评分☆☆☆☆☆

《数学 II》这本书的叙述逻辑清晰，结构紧凑，让我在阅读过程中始终能够保持连贯的思路。每一章的开头都会对本章内容进行简要的概述，并与前一章的知识点进行衔接，这让我能够很好地把握整体的学习脉络。而且，书中对每个知识点的讲解都层层递进，从基础概念到复杂定理，再到实际应用，都安排得井井有条。我尤其喜欢书中对一些证明过程的详细解析，作者会一步步地展示出证明的思路和关键步骤，让我能够理解证明的逻辑，而不是死记硬背结论。这种严谨的推理过程，让我对数学的严密性有了更深的体会。

评分☆☆☆☆☆

《数学 II》这本书的讲解风格，非常注重启发性和互动性。作者在给出某个概念的定义后，常常会提出一些思考题，引导读者去主动探索和发现。我特别喜欢书中那些“小练习”和“思考题”，它们往往能够触及到知识点的核心，帮助我巩固所学，并且发现自己可能存在的理解盲点。例如，在学习导数应用时，书中会提出一个关于“如何最经济地建造一个圆柱形水槽”的问题，引导我去思考如何利用导数来求解极值问题。这种主动参与式的学习体验，让我觉得非常有成就感，也让我更能深刻地理解数学在解决实际问题中的力量。

评分☆☆☆☆☆

这本书的版式设计和排版也着实令人赏心悦目，这一点在学术类书籍中实属难得。清晰的章节划分，合理的段落布局，以及恰到好处的图表和公式标注，都让我阅读时倍感流畅。我最喜欢的是书中那些精心绘制的插图，它们不仅仅是装饰，更是对抽象概念的绝佳诠释。当我看到书中关于线性代数中矩阵变换的几何解释时，那些色彩鲜明的向量和变换后的图形，瞬间打通了我理解的任督二脉。我仿佛能看到向量在空间中旋转、伸缩，理解了矩阵乘法的几何意义，这远比死记硬背那些矩阵乘法规则要有效得多。而且，书中对每个定理或公式的推导过程都解释得非常详尽，作者并没有省略关键的步骤，而是耐心地引导读者一步步跟上思路。这种严谨又不失温度的讲解，让我感受到了作者对教学的认真和投入，也让我对数学学习本身产生了浓厚的兴趣。

评分☆☆☆☆☆

我必须得说，《数学 II》这本书给了我太多意想不到的惊喜。我一直以为数学学习就是要靠大量的刷题来巩固，但这本书却颠覆了我的认知。作者非常注重培养读者的数学思维能力，通过引导读者去思考“为什么”而不是仅仅记住“是什么”，来帮助我们真正掌握知识。我印象最深的是关于概率论的章节，作者通过一些经典的悖论和实际案例，让我们看到了概率的微妙之处，也学会了如何更理性地去分析和判断。例如，关于“生日悖论”，作者用非常直观的方式解释了为什么在相对较小的人群中，出现相同生日的可能性会惊人地高，这让我深刻体会到了概率的非直观性，也学会了如何避免一些常见的概率误区。这种注重逻辑推理和思维训练的方式，让我觉得学习数学不再是被动地接受知识，而是主动地参与到知识的构建过程中。

评分☆☆☆☆☆

这本书的语言风格非常严谨又不失趣味，这让我受益匪浅。作者在表达专业术语时，措辞精准，避免了任何含糊不清的地方，这对于理解抽象的数学概念至关重要。同时，作者也善于运用一些幽默的笔触和生动的比喻，让学习过程不再枯燥乏味。我印象深刻的是，在讲解到极限的概念时，作者用了一个“追逐者和逃跑者”的生动比喻，形象地说明了极限的意义。这种巧妙的语言运用，不仅让我更容易理解抽象的数学原理，也让我在阅读过程中保持了愉快的心情，从而更愿意投入到学习中去。

评分☆☆☆☆☆

这本书的出现，简直就像在我迷茫的数学海洋中投下了一颗璀璨的星辰，指引着我前进的方向。在此之前，我一直觉得数学是一门抽象而冰冷学科，充斥着让人望而生畏的符号和公式。然而，《数学 II》却以一种前所未有的方式，将这些看似复杂的概念剥茧抽丝，展现出其内在的逻辑美和实用价值。我尤其欣赏作者在讲解过程中所采用的类比和举例，它们生动形象，仿佛能让我触摸到数学的脉搏。例如，在介绍微积分时，作者并没有直接抛出复杂的定义，而是从现实生活中常见的“变化”入手，比如速度的变化、面积的变化，引导读者一步步理解导数的概念。这种“润物细无声”的教学方法，极大地降低了学习门槛，让我这个曾经对微积分深感恐惧的学生，也敢于去探索和理解。