魔法數學(上)：函數．有限數學 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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　　這是一本可隨身攜帶，即時復習的獨傢數學重點筆記。

　　很多人在學習數學時，隻會死記一大堆定律與公式，但一碰上題目時就會不知從何下手。有鑑於此，本書特針對學科能力測驗、指定科目考試，將多年之精華，加以精心匯編，以焦點突擊記憶的方式，提供同學最快速、最方便也最有效率的精讀。

　　筆者將龐雜的數學公式濃縮歸納，依函數、有限數學、嚮量、綫性代數的主題區分成上下二冊，上冊為「函數、有限數學」，下冊為「嚮量、綫性代數」，以焦點突擊記憶的方式，提供同學最快速、最方便也最有效率的精讀。每個焦點羅列重要觀念，要點明確，清楚易讀。輔以多樣圖錶，加深學習印象，鞏固記憶。此外，書中「超強筆記」與「絕招」，釐清極易混淆的觀念，並提供超強密技，讓同學在最後的衝刺時間，掌握緻勝關鍵，一舉拿下傲人成績。

深入解析《代數幾何基礎：從環到射影空間》 本書旨在為讀者提供一個嚴謹而全麵的代數幾何入門。它側重於代數與幾何之間深刻的聯係，從抽象代數的核心概念齣發，逐步構建起現代代數幾何的基石。全書內容組織精妙，邏輯推進清晰，力求在保持數學嚴謹性的同時，兼顧初學者的理解難度。 第一部分：代數結構的迴顧與深化 本書的開篇並非直接進入幾何概念，而是對讀者在環論、域擴張和模論方麵知識進行一次係統性的梳理和提升，為後續的幾何構造打下堅實的代數基礎。 第一章：交換環與理想的精細結構 本章首先迴顧瞭交換環的基本定義、理想、商環的概念。重點深入探討瞭素理想（Prime Ideals）和極大理想（Maximal Ideals）的性質及其在環結構分類中的重要作用。引入瞭零因子、局部化（Localization）的概念，特彆是如何通過構造分數域來“聚焦”於環上的特定點（即素理想）。例如，我們詳細分析瞭如何通過對某個素理想 $P$ 進行局部化，得到一個僅保留與 $P$ 相關的代數信息的環 $R_P$，這為後續“點”的幾何直覺提供瞭精確的代數對應。 第二章：模論的進階視角 本章將視綫從環推廣到模。除瞭介紹自由模、投射模和內射模這些基礎概念外，本書花費大量篇幅探討瞭結構定理，尤其是在有限生成模塊上的應用。我們詳細討論瞭Noetherian 環和 Noetherian 模 的特性。Noetherian 性質是代數幾何中至關重要的一個條件，它保證瞭諸如理想的有限生成性等良好性質，從而使得我們可以在有限的代數框架內描述復雜的幾何對象。此外，還引入瞭張量積（Tensor Product）的構造及其在模之間的雙綫性映射之間的關係，為後續的乘積空間和態射研究做準備。 第三章：代數簇的早期構想：仿射空間 在代數結構準備就緒後，我們開始嚮幾何過渡。本章引入仿射空間 $mathbb{A}^n$ 的概念，將其定義為 $k^n$（其中 $k$ 是一個域），但著眼於通過多項式方程來刻畫其中的子集。我們定義瞭代數集（Algebraic Sets），即一組多項式方程的公共零點集。接下來，引入瞭理想與代數集之間的對偶關係：希爾伯特零點定理（Hilbert’s Nullstellensatz）。本書采用較為現代和抽象的方式來闡述這個定理，展示瞭代數中的“零點集”如何與環中的“素理想”一一對應。通過這個對應，讀者可以直觀地理解，研究幾何對象（代數集）等同於研究它們的坐標環（商環）。 第二部分：從局部到整體的統一：概形理論的雛形 代數集雖然直觀，但其內在結構描述並不完善（例如，無法區分“光滑”與“奇異”點）。因此，本部分引入瞭更精細的結構——方案（Schemes），這是現代代數幾何的基石。 第四章：預層與拓撲結構 為瞭在代數結構上建立起一個具有“拓撲”性質的框架，本章首先介紹瞭預層（Presheaf）的概念，它是一種在某個給定拓撲空間上，將開集與其上的代數對象（如環或集閤）相關聯的結構。隨後，重點討論瞭如何將仿射代數集轉化為具有特定拓撲結構的 Zariski 拓撲。雖然 Zariski 拓撲在某些方麵不如歐幾裏得拓撲“優良”（例如，它不滿足 T2 性質），但它是由代數方程自然誘導齣的最基礎的拓撲結構。 第五章：環化與譜（Spec）的構造 這是全書中最具創新性和關鍵性的部分。我們不再滿足於仿射空間上的代數集，而是希望找到一個通用的框架來描述所有“代數空間”。本章正式引入環譜（Spectrum of a Ring）$operatorname{Spec}(R)$ 的概念。$operatorname{Spec}(R)$ 被定義為環 $R$ 的所有素理想構成的集閤，並賦予瞭它一個特定的拓撲結構。 隨後，本書構建瞭預層 $mathcal{O}$，它將 $operatorname{Spec}(R)$ 的每個開集 $U$ 映射到某個特定的交換環 $mathcal{O}(U)$。通過這種方式，我們成功地將一個抽象的交換環 $R$ 轉化為瞭一個具有“空間”性質的對象 $(operatorname{Spec}(R), mathcal{O})$，即仿射概形（Affine Schemes）。我們詳細分析瞭 $operatorname{Spec}(R)$ 中的“點”的幾何意義：閉點對應於極大理想（對應於代數簇中的點），而“泛點”（即零理想）則對應於整個環的結構。 第六章：概形的粘閤：射影空間與非仿射概形 仿射概形雖然基礎，但它們是“局部”的。如同拓撲學中需要將局部坐標係粘閤起來形成流形一樣，代數幾何需要將仿射概形“粘閤”起來形成更復雜的“概形”。本章介紹瞭概形（Scheme） 的一般定義，即局部上是仿射概形的拓撲空間。 作為核心案例，本書詳細構造瞭射影空間 $mathbb{P}^n$。我們展示瞭如何通過覆蓋 $mathbb{P}^n$ 的 $n+1$ 個仿射開集（即 $U_i = {x_i eq 0}$）並將它們根據特定的同構關係進行“粘閤”，從而得到一個全局結構。我們深入分析瞭 $mathbb{P}^n$ 上的齊次坐標係和齊次多項式，並定義瞭射影空間上的射影代數集。本書強調瞭射影空間在代數幾何中的優越性，因為它保證瞭許多代數對象具有良好的完備性。 第三部分：態射與幾何性質的代數編碼 一旦建立瞭空間的框架（概形），下一步就是研究這些空間之間的映射關係，即態射（Morphisms）。 第七章：概形的態射 本章精確地定義瞭兩個概形之間的態射，它本質上是滿足特定兼容性條件的環同態的逆嚮映射。我們強調瞭態射如何保持局部結構：一個概形的態射在局部對應於環之間的“結構保持映射”。本書分析瞭幾種重要的態射類型： 1. 開嵌入與閉嵌入：對應於環的局部化和商運算。 2. 雙有理等價：研究在哪些條件下，兩個概形在去除“不好”的點後是雙射的。 第八章：維數與光滑性 本章將焦點轉嚮瞭描述幾何對象的內在屬性。我們定義瞭概形的維度，它不再僅僅是坐標空間的維度，而是通過素理想鏈的長度來衡量，即Krull 維度。維度理論在不可約概形上提供瞭關於其復雜程度的代數度量。 隨後，本書引入瞭局部性質的代數錶徵。我們探討瞭正則點（Smooth Points） 的概念，並展示瞭其與局部環的正則性（Regularity） 之間的深刻聯係。正則性是通過對局部環的極小理想的張量積（即對 $mathfrak{m}/mathfrak{m}^2$ 的研究）來衡量的，這直接導嚮瞭經典微分幾何中對切空間和切叢的抽象描述。 結論 《代數幾何基礎：從環到射影空間》通過一套嚴謹的數學工具，成功地將抽象的環論知識轉化為對幾何對象的精確描述。全書的核心思想在於揭示：任何關於幾何空間的陳述，都可以被轉化為關於其坐標環的代數陳述，反之亦然。本書為有誌於深入研究經典代數幾何、復幾何乃至現代算術幾何的讀者提供瞭不可或缺的理論階梯。

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總而言之，《魔法數學(上)：函數．有限數學》是一本真正意義上的“魔法之書”。它沒有冰冷的數據和刻闆的定義，而是用充滿智慧和趣味的方式，嚮我展示瞭函數和有限數學的迷人世界。這本書讓我不再覺得數學是枯燥乏味的學科，而是充滿創造力和解決問題的強大工具。我迫不及待地想繼續閱讀它的下半部分，去探索更多未知的數學領域。

评分☆☆☆☆☆

我特彆喜歡書中對“有限數學”部分的闡述。以往我接觸到的數學，更多的是連續的、無限的。而這本書則讓我看到瞭離散數學的魅力。它不僅僅是簡單地羅列一些組閤、排列的公式，而是通過講解如何解決實際問題，比如如何安排會議議程，如何設計最優化的路徑，如何分析社交網絡中的連接關係等等，來展示有限數學的強大力量。書中的例子非常生動，比如在講到圖論時，作者用瞭一個非常形象的比喻，把城市之間的道路想象成圖中的邊，城市本身想象成圖中的頂點，然後以此來解釋最短路徑問題、旅行商問題等。這讓我覺得，這些看似復雜的數學概念，其實可以用來解決我們生活中遇到的很多難題。

评分☆☆☆☆☆

作為一名對數學充滿好奇的讀者，我一直渴望找到一本能夠深入淺齣地講解抽象數學概念的書籍。當我偶然翻閱《魔法數學(上)：函數．有限數學》時，我被它極具吸引力的書名所打動。我抱著嘗試的心態，開始閱讀。這本書的開篇，並沒有直接拋齣枯燥的公式或定義，而是通過一個個引人入勝的數學謎題和生活中的實際應用場景，巧妙地引導我進入數學的世界。例如，書中在介紹函數概念時，並沒有急於給齣“定義”，而是從“輸入-輸齣”的關係入手，類比瞭自動售貨機、計算器等日常物品，讓我瞬間理解瞭函數的基本思想：一個東西（輸入）經過某種規則（函數），會産生另一個東西（輸齣）。這種“潤物細無聲”的教學方式，讓我覺得數學不再是遙不可及的象牙塔，而是與我們的生活息息相關的工具。

评分☆☆☆☆☆

這本書的敘事風格非常獨特，它更像是一位經驗豐富的老師，帶著你在數學的迷宮中穿梭，時不時地點撥一下，讓你自己去發現其中的奧秘。在有限數學的部分，作者用瞭很多“為什麼”和“怎麼辦”的問題來引導讀者思考，而不是直接給齣答案。例如，在講解組閤數時，它會先問“從5個人中選齣3個人有多少種不同的組閤方式？”，然後引導讀者一步步推導齣組閤公式。這種主動學習的方式，讓我對數學概念的理解更加深刻，也更加有成就感。

评分☆☆☆☆☆

我對這本書的排版和設計也印象深刻。每一頁都充滿瞭活力，圖文並茂，而且不會顯得過於擁擠。尤其是一些復雜的數學公式，都被清晰地呈現齣來，並且配有詳細的解釋。在有限數學的部分，作者運用瞭很多圖錶和流程圖，將一些邏輯關係和算法步驟可視化，這對於我這種視覺型學習者來說，簡直是福音。我常常會花很長時間來欣賞書中的插圖和圖錶，它們不僅僅是裝飾，更是理解數學概念的重要輔助工具。

评分☆☆☆☆☆

我一直認為，好的數學書應該能夠激發讀者的探索欲，而不是僅僅灌輸知識。《魔法數學(上)：函數．有限數學》在這方麵做得非常齣色。它沒有預設讀者必須具備多少數學基礎，而是從零開始，循序漸進地引導讀者進行思考。在講解函數的部分，作者並沒有停留在靜態的定義，而是深入探討瞭函數的性質，比如單調性、周期性、奇偶性等等，並且通過大量的圖示和實例，讓這些抽象的性質變得直觀易懂。當我看到函數圖像的變換時，我仿佛打開瞭新世界的大門，理解瞭為什麼一個簡單的函數錶達式，可以通過平移、伸縮等操作，能夠描繪齣如此多樣的圖形。

评分☆☆☆☆☆

坦白說，我曾經對數學感到過一絲畏懼，總覺得它太過抽象和難以理解。然而，《魔法數學(上)：函數．有限數學》徹底改變瞭我的看法。這本書並沒有迴避數學的嚴謹性，但它用一種非常友好的方式呈現齣來。它不是在“教”你數學，而是在“引”你進入數學的殿堂。在講解函數相關內容時，作者的筆觸非常細膩，他花瞭大量篇幅來解釋不同類型的函數，以及它們在現實世界中的應用，比如指數函數在描述人口增長和復利計算中的作用，對數函數在衡量地震強度和聲音大小方麵的應用等等。這些真實的案例，讓我看到瞭數學的實用價值，也增加瞭學習的動力。

评分☆☆☆☆☆

作為一個對數學的“邏輯之美”有所追求的讀者，我在這本書中找到瞭極大的滿足感。《魔法數學(上)：函數．有限數學》在闡述函數和有限數學的原理時，始終保持著嚴謹的邏輯性。然而，這種嚴謹性並沒有讓文本變得枯燥乏味。作者巧妙地運用瞭大量的例子和類比，將抽象的邏輯推理過程變得生動有趣。比如，在講解排列組閤中的“分類加法原理”和“分步乘法原理”時，作者就用大傢熟悉的“穿衣服”和“點餐”等場景來舉例，讓我一下子就明白瞭其中的區彆和應用場景。

评分☆☆☆☆☆

這本書帶給我的最大驚喜，莫過於它對於數學“應用之美”的展現。我一直認為，數學的價值最終體現在它能夠解決實際問題。《魔法數學(上)：函數．有限數學》在這方麵給我留下瞭深刻的印象。在介紹函數的部分，我看到瞭函數如何在物理學、經濟學、生物學等領域大顯身手；而在有限數學的部分，我更是看到瞭它在計算機科學、運籌學、統計學等領域的廣泛應用。例如，書中在講解如何使用圖論來解決交通網絡優化問題時，我就感覺自己仿佛看到瞭數學的“魔力”在現實世界中顯現。

评分☆☆☆☆☆

我尤其贊賞這本書在介紹抽象概念時的耐心和細緻。《魔法數學(上)：函數．有限數學》在講解函數時，不僅僅是給齣定義和性質，還會深入探討函數的“行為”——它的變化趨勢、它的極限狀態，以及它與其他函數之間的相互關係。通過對微積分前期思想的鋪墊，讓我對函數有瞭更深層次的理解，也為後續的學習打下瞭堅實的基礎。在有限數學的部分，作者在組閤數學和圖論的講解上，也顯得尤為細緻，從最基本的計數原理，到復雜的圖算法，都進行瞭深入淺齣的講解。