魔法数学(上)：函数．有限数学 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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　　这是一本可随身携带，即时复习的独家数学重点笔记。

　　很多人在学习数学时，只会死记一大堆定律与公式，但一碰上题目时就会不知从何下手。有鑑于此，本书特针对学科能力测验、指定科目考试，将多年之精华，加以精心汇编，以焦点突击记忆的方式，提供同学最快速、最方便也最有效率的精读。

　　笔者将庞杂的数学公式浓缩归纳，依函数、有限数学、向量、线性代数的主题区分成上下二册，上册为「函数、有限数学」，下册为「向量、线性代数」，以焦点突击记忆的方式，提供同学最快速、最方便也最有效率的精读。每个焦点罗列重要观念，要点明确，清楚易读。辅以多样图表，加深学习印象，巩固记忆。此外，书中「超强笔记」与「绝招」，釐清极易混淆的观念，并提供超强密技，让同学在最后的冲刺时间，掌握致胜关键，一举拿下傲人成绩。

深入解析《代数几何基础：从环到射影空间》 本书旨在为读者提供一个严谨而全面的代数几何入门。它侧重于代数与几何之间深刻的联系，从抽象代数的核心概念出发，逐步构建起现代代数几何的基石。全书内容组织精妙，逻辑推进清晰，力求在保持数学严谨性的同时，兼顾初学者的理解难度。 第一部分：代数结构的回顾与深化 本书的开篇并非直接进入几何概念，而是对读者在环论、域扩张和模论方面知识进行一次系统性的梳理和提升，为后续的几何构造打下坚实的代数基础。 第一章：交换环与理想的精细结构 本章首先回顾了交换环的基本定义、理想、商环的概念。重点深入探讨了素理想（Prime Ideals）和极大理想（Maximal Ideals）的性质及其在环结构分类中的重要作用。引入了零因子、局部化（Localization）的概念，特别是如何通过构造分数域来“聚焦”于环上的特定点（即素理想）。例如，我们详细分析了如何通过对某个素理想 $P$ 进行局部化，得到一个仅保留与 $P$ 相关的代数信息的环 $R_P$，这为后续“点”的几何直觉提供了精确的代数对应。 第二章：模论的进阶视角 本章将视线从环推广到模。除了介绍自由模、投射模和内射模这些基础概念外，本书花费大量篇幅探讨了结构定理，尤其是在有限生成模块上的应用。我们详细讨论了Noetherian 环和 Noetherian 模 的特性。Noetherian 性质是代数几何中至关重要的一个条件，它保证了诸如理想的有限生成性等良好性质，从而使得我们可以在有限的代数框架内描述复杂的几何对象。此外，还引入了张量积（Tensor Product）的构造及其在模之间的双线性映射之间的关系，为后续的乘积空间和态射研究做准备。 第三章：代数簇的早期构想：仿射空间 在代数结构准备就绪后，我们开始向几何过渡。本章引入仿射空间 $mathbb{A}^n$ 的概念，将其定义为 $k^n$（其中 $k$ 是一个域），但着眼于通过多项式方程来刻画其中的子集。我们定义了代数集（Algebraic Sets），即一组多项式方程的公共零点集。接下来，引入了理想与代数集之间的对偶关系：希尔伯特零点定理（Hilbert’s Nullstellensatz）。本书采用较为现代和抽象的方式来阐述这个定理，展示了代数中的“零点集”如何与环中的“素理想”一一对应。通过这个对应，读者可以直观地理解，研究几何对象（代数集）等同于研究它们的坐标环（商环）。 第二部分：从局部到整体的统一：概形理论的雏形 代数集虽然直观，但其内在结构描述并不完善（例如，无法区分“光滑”与“奇异”点）。因此，本部分引入了更精细的结构——方案（Schemes），这是现代代数几何的基石。 第四章：预层与拓扑结构 为了在代数结构上建立起一个具有“拓扑”性质的框架，本章首先介绍了预层（Presheaf）的概念，它是一种在某个给定拓扑空间上，将开集与其上的代数对象（如环或集合）相关联的结构。随后，重点讨论了如何将仿射代数集转化为具有特定拓扑结构的 Zariski 拓扑。虽然 Zariski 拓扑在某些方面不如欧几里得拓扑“优良”（例如，它不满足 T2 性质），但它是由代数方程自然诱导出的最基础的拓扑结构。 第五章：环化与谱（Spec）的构造 这是全书中最具创新性和关键性的部分。我们不再满足于仿射空间上的代数集，而是希望找到一个通用的框架来描述所有“代数空间”。本章正式引入环谱（Spectrum of a Ring）$operatorname{Spec}(R)$ 的概念。$operatorname{Spec}(R)$ 被定义为环 $R$ 的所有素理想构成的集合，并赋予了它一个特定的拓扑结构。 随后，本书构建了预层 $mathcal{O}$，它将 $operatorname{Spec}(R)$ 的每个开集 $U$ 映射到某个特定的交换环 $mathcal{O}(U)$。通过这种方式，我们成功地将一个抽象的交换环 $R$ 转化为了一个具有“空间”性质的对象 $(operatorname{Spec}(R), mathcal{O})$，即仿射概形（Affine Schemes）。我们详细分析了 $operatorname{Spec}(R)$ 中的“点”的几何意义：闭点对应于极大理想（对应于代数簇中的点），而“泛点”（即零理想）则对应于整个环的结构。 第六章：概形的粘合：射影空间与非仿射概形 仿射概形虽然基础，但它们是“局部”的。如同拓扑学中需要将局部坐标系粘合起来形成流形一样，代数几何需要将仿射概形“粘合”起来形成更复杂的“概形”。本章介绍了概形（Scheme） 的一般定义，即局部上是仿射概形的拓扑空间。 作为核心案例，本书详细构造了射影空间 $mathbb{P}^n$。我们展示了如何通过覆盖 $mathbb{P}^n$ 的 $n+1$ 个仿射开集（即 $U_i = {x_i eq 0}$）并将它们根据特定的同构关系进行“粘合”，从而得到一个全局结构。我们深入分析了 $mathbb{P}^n$ 上的齐次坐标系和齐次多项式，并定义了射影空间上的射影代数集。本书强调了射影空间在代数几何中的优越性，因为它保证了许多代数对象具有良好的完备性。 第三部分：态射与几何性质的代数编码 一旦建立了空间的框架（概形），下一步就是研究这些空间之间的映射关系，即态射（Morphisms）。 第七章：概形的态射 本章精确地定义了两个概形之间的态射，它本质上是满足特定兼容性条件的环同态的逆向映射。我们强调了态射如何保持局部结构：一个概形的态射在局部对应于环之间的“结构保持映射”。本书分析了几种重要的态射类型： 1. 开嵌入与闭嵌入：对应于环的局部化和商运算。 2. 双有理等价：研究在哪些条件下，两个概形在去除“不好”的点后是双射的。 第八章：维数与光滑性 本章将焦点转向了描述几何对象的内在属性。我们定义了概形的维度，它不再仅仅是坐标空间的维度，而是通过素理想链的长度来衡量，即Krull 维度。维度理论在不可约概形上提供了关于其复杂程度的代数度量。 随后，本书引入了局部性质的代数表征。我们探讨了正则点（Smooth Points） 的概念，并展示了其与局部环的正则性（Regularity） 之间的深刻联系。正则性是通过对局部环的极小理想的张量积（即对 $mathfrak{m}/mathfrak{m}^2$ 的研究）来衡量的，这直接导向了经典微分几何中对切空间和切丛的抽象描述。 结论 《代数几何基础：从环到射影空间》通过一套严谨的数学工具，成功地将抽象的环论知识转化为对几何对象的精确描述。全书的核心思想在于揭示：任何关于几何空间的陈述，都可以被转化为关于其坐标环的代数陈述，反之亦然。本书为有志于深入研究经典代数几何、复几何乃至现代算术几何的读者提供了不可或缺的理论阶梯。

评分☆☆☆☆☆

这本书带给我的最大惊喜，莫过于它对于数学“应用之美”的展现。我一直认为，数学的价值最终体现在它能够解决实际问题。《魔法数学(上)：函数．有限数学》在这方面给我留下了深刻的印象。在介绍函数的部分，我看到了函数如何在物理学、经济学、生物学等领域大显身手；而在有限数学的部分，我更是看到了它在计算机科学、运筹学、统计学等领域的广泛应用。例如，书中在讲解如何使用图论来解决交通网络优化问题时，我就感觉自己仿佛看到了数学的“魔力”在现实世界中显现。

评分☆☆☆☆☆

我特别喜欢书中对“有限数学”部分的阐述。以往我接触到的数学，更多的是连续的、无限的。而这本书则让我看到了离散数学的魅力。它不仅仅是简单地罗列一些组合、排列的公式，而是通过讲解如何解决实际问题，比如如何安排会议议程，如何设计最优化的路径，如何分析社交网络中的连接关系等等，来展示有限数学的强大力量。书中的例子非常生动，比如在讲到图论时，作者用了一个非常形象的比喻，把城市之间的道路想象成图中的边，城市本身想象成图中的顶点，然后以此来解释最短路径问题、旅行商问题等。这让我觉得，这些看似复杂的数学概念，其实可以用来解决我们生活中遇到的很多难题。

评分☆☆☆☆☆

我对这本书的排版和设计也印象深刻。每一页都充满了活力，图文并茂，而且不会显得过于拥挤。尤其是一些复杂的数学公式，都被清晰地呈现出来，并且配有详细的解释。在有限数学的部分，作者运用了很多图表和流程图，将一些逻辑关系和算法步骤可视化，这对于我这种视觉型学习者来说，简直是福音。我常常会花很长时间来欣赏书中的插图和图表，它们不仅仅是装饰，更是理解数学概念的重要辅助工具。

评分☆☆☆☆☆

我尤其赞赏这本书在介绍抽象概念时的耐心和细致。《魔法数学(上)：函数．有限数学》在讲解函数时，不仅仅是给出定义和性质，还会深入探讨函数的“行为”——它的变化趋势、它的极限状态，以及它与其他函数之间的相互关系。通过对微积分前期思想的铺垫，让我对函数有了更深层次的理解，也为后续的学习打下了坚实的基础。在有限数学的部分，作者在组合数学和图论的讲解上，也显得尤为细致，从最基本的计数原理，到复杂的图算法，都进行了深入浅出的讲解。

评分☆☆☆☆☆

这本书的叙事风格非常独特，它更像是一位经验丰富的老师，带着你在数学的迷宫中穿梭，时不时地点拨一下，让你自己去发现其中的奥秘。在有限数学的部分，作者用了很多“为什么”和“怎么办”的问题来引导读者思考，而不是直接给出答案。例如，在讲解组合数时，它会先问“从5个人中选出3个人有多少种不同的组合方式？”，然后引导读者一步步推导出组合公式。这种主动学习的方式，让我对数学概念的理解更加深刻，也更加有成就感。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对数学充满好奇的读者，我一直渴望找到一本能够深入浅出地讲解抽象数学概念的书籍。当我偶然翻阅《魔法数学(上)：函数．有限数学》时，我被它极具吸引力的书名所打动。我抱着尝试的心态，开始阅读。这本书的开篇，并没有直接抛出枯燥的公式或定义，而是通过一个个引人入胜的数学谜题和生活中的实际应用场景，巧妙地引导我进入数学的世界。例如，书中在介绍函数概念时，并没有急于给出“定义”，而是从“输入-输出”的关系入手，类比了自动售货机、计算器等日常物品，让我瞬间理解了函数的基本思想：一个东西（输入）经过某种规则（函数），会产生另一个东西（输出）。这种“润物细无声”的教学方式，让我觉得数学不再是遥不可及的象牙塔，而是与我们的生活息息相关的工具。

评分☆☆☆☆☆

我一直认为，好的数学书应该能够激发读者的探索欲，而不是仅仅灌输知识。《魔法数学(上)：函数．有限数学》在这方面做得非常出色。它没有预设读者必须具备多少数学基础，而是从零开始，循序渐进地引导读者进行思考。在讲解函数的部分，作者并没有停留在静态的定义，而是深入探讨了函数的性质，比如单调性、周期性、奇偶性等等，并且通过大量的图示和实例，让这些抽象的性质变得直观易懂。当我看到函数图像的变换时，我仿佛打开了新世界的大门，理解了为什么一个简单的函数表达式，可以通过平移、伸缩等操作，能够描绘出如此多样的图形。

评分☆☆☆☆☆

总而言之，《魔法数学(上)：函数．有限数学》是一本真正意义上的“魔法之书”。它没有冰冷的数据和刻板的定义，而是用充满智慧和趣味的方式，向我展示了函数和有限数学的迷人世界。这本书让我不再觉得数学是枯燥乏味的学科，而是充满创造力和解决问题的强大工具。我迫不及待地想继续阅读它的下半部分，去探索更多未知的数学领域。

评分☆☆☆☆☆

作为一个对数学的“逻辑之美”有所追求的读者，我在这本书中找到了极大的满足感。《魔法数学(上)：函数．有限数学》在阐述函数和有限数学的原理时，始终保持着严谨的逻辑性。然而，这种严谨性并没有让文本变得枯燥乏味。作者巧妙地运用了大量的例子和类比，将抽象的逻辑推理过程变得生动有趣。比如，在讲解排列组合中的“分类加法原理”和“分步乘法原理”时，作者就用大家熟悉的“穿衣服”和“点餐”等场景来举例，让我一下子就明白了其中的区别和应用场景。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，我曾经对数学感到过一丝畏惧，总觉得它太过抽象和难以理解。然而，《魔法数学(上)：函数．有限数学》彻底改变了我的看法。这本书并没有回避数学的严谨性，但它用一种非常友好的方式呈现出来。它不是在“教”你数学，而是在“引”你进入数学的殿堂。在讲解函数相关内容时，作者的笔触非常细腻，他花了大量篇幅来解释不同类型的函数，以及它们在现实世界中的应用，比如指数函数在描述人口增长和复利计算中的作用，对数函数在衡量地震强度和声音大小方面的应用等等。这些真实的案例，让我看到了数学的实用价值，也增加了学习的动力。