高等微积分（一版三刷） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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现代分析的基石：深入探索极限、连续性与可微性的世界 本书是一部面向高等数学专业本科生、研究生及相关理工科领域研究人员的经典教材。它旨在为读者构建起扎实、严谨的数学分析基础，是理解微积分从几何直观向分析理论升华的关键桥梁。全书的叙述风格清晰、逻辑严密，注重概念的精确定义、定理的严格证明以及思想方法的系统阐述。 第一部分：预备知识与实数系统基础 在正式进入分析学的殿堂之前，本书首先回顾并系统地构建了分析学赖以生存的基石——实数系统。我们不再将实数视为“可以画在数轴上的点”，而是从集合论的公理出发，对其进行构造性的描述。 第一章 集合与逻辑：分析的语言 本章首先回顾了集合的基本运算、函数及其性质（如单射、满射、双射）。重点在于介绍逻辑推理的方法，包括直接证明、反证法、数学归纳法等，为后续的理论推导打下坚实的逻辑基础。分析学的严谨性首先体现在对证明过程的精确把控上。 第二章 实数系的完备性 这是全书的灵魂之一。本书详细阐述了有理数系的拓扑结构与局限性，并引入了实数的构造（通常采用戴德金分割或柯西序列的等价类来定义）。核心内容聚焦于实数系的完备性公理，即确界原理（或称有界性定理）。我们将深入探讨它在数学分析中的核心地位，并演示如何利用完备性公理证明许多看似基础的性质，例如闭区间套定理、里奇-海涅定理（Bolzano-Weierstrass 定理的初级形式）等。 第三章 序列的极限 本章将“无穷过程”的操作转化为精确的数学语言。我们定义了数列的极限 $(epsilon-N$ 语言)，并对极限的性质进行了详尽的讨论，包括极限的唯一性、加减乘除运算的极限法则。特别地，我们详细分析了单调有界定理——该定理是完备性公理在序列上的直接应用，是许多重要结论的源泉。同时，本章也引入了柯西序列的概念，并探讨了其在判断收敛性时的重要作用。 第二部分：函数与连续性——拓扑的初步接触 在确立了极限的概念后，本书将焦点转向更具实用性的函数。本部分是连接“点集收敛”到“函数性质”的关键。 第四章 函数的极限 本章将极限的概念从序列推广到函数。我们定义了函数在某点处的极限 $(epsilon-delta$ 语言)，并严格证明了极限存在的充要条件。这里，对 $epsilon-delta$ 语言的掌握是学习后续所有连续性和微分学的基础。我们详细分析了极限的保序性、复合函数的极限法则，并首次引入了无穷极限和侧极限的概念。 第五章 连续性 连续性是分析学的核心概念之一。本书提供了函数在一点连续和在区间上连续的严格定义。通过将函数极限与点列收敛相结合，我们推导出了连续函数的诸多重要性质，例如： 1. 有界性定理：在闭区间上连续的函数是有界的。 2. 极值定理：在闭区间上连续的函数必能取到其最大值和最小值。 3. 介值定理：连续函数的值域保持区间性。 此外，本章对一致连续性进行了深入探讨，区分了逐点收敛与一致收敛在函数空间中的微妙差异，并证明了在紧致集上的连续函数必一致连续。 第六章 一致收敛性与函数序列 本章将分析的工具从常数函数推广到函数序列。我们详细比较了逐点收敛和一致收敛的本质区别，并着重论证了一致收敛的“好性”： 极限函数是连续的（若原序列函数都连续）。 极限与积分可以交换顺序（在接下来的章节中讨论）。 极限与微分可以交换顺序（在微分学部分讨论）。 我们运用Weierstrass M-检验法等工具，来判定函数序列的一致收敛性，为幂级数的收敛性研究铺平道路。 第三部分：微分学——瞬时变化率的精确描述 微分学研究的是函数在局部上的变化规律，是物理学和工程学应用最广泛的部分。 第七章 导数的概念与计算 本章从斜率的直观概念出发，给出了导数的严格定义，即函数在某点处的增量比的极限。我们系统推导了所有基本的求导法则（和、差、积、商、反函数、复合函数——链式法则）。本章的重点在于理解导数作为局部线性逼近的本质。 第八章 微分中值定理 这是微分学的核心理论体系。本书详细证明并应用了三大中值定理： 1. 费马引理：极值点处的导数为零的必要条件。 2. 罗尔定理：用于连接零点与导数的桥梁。 3. 拉格朗日中值定理：平均变化率等于瞬时变化率的精确表述。 基于这些定理，我们推导了洛必达法则，用于处理 $frac{0}{0}$ 或 $frac{infty}{infty}$ 型不定式极限，并利用导数的符号来判断函数的单调性和凸凹性。 第九章 泰勒公式与幂级数 本章将微分学成果推向高潮。我们严格推导了泰勒定理，特别是带有拉格朗日余项和佩亚诺余项的形式，揭示了函数如何被多项式精确逼近。基于泰勒公式，我们引入了幂级数的概念，讨论了它们的收敛半径和收敛域。通过与指数函数、三角函数等基本函数的关联，读者将看到一个强大的分析工具如何从简单的导数运算中涌现出来。 第四部分：积分学——累积与面积的量化 积分学是分析学的另一大支柱，它处理的是“整体的累积效应”。 第十章 Riemann 积分 本章对定积分进行了严格的定义。我们从黎曼上和与黎曼下和的概念出发，定义了可积性。本书详尽讨论了可积函数的性质：连续函数一定可积，单调函数也一定可积。我们还探讨了积分的线性、保序性以及积分的估算不等式。重点在于理解为什么这个定义是必要的，以及它在计算上的局限性。 第十一章 微积分基本定理 这是连接微分学和积分学的“基本桥梁”。本书通过严格的证明阐述了微积分的牛顿-莱布尼茨公式，揭示了求导与积分的互逆关系。随后，我们讨论了变上限积分函数的性质，并证明了该函数是可导的，其导数即被积函数本身（牛顿公式的微分形式）。 第十二章 不定积分与积分技巧 本章是计算技巧的汇集。我们将复习和系统化各种积分技巧，包括凑微分法、换元法以及分部积分法的系统应用。此外，我们也会介绍有理函数、三角函数有理式等特殊类型函数的积分方法，为后续学习更高级的积分理论（如勒贝格积分）打下计算基础。 全书在概念的层层递进、逻辑的环环相扣中，力求展现数学分析的内在美感与严谨性，确保读者不仅学会“如何计算”，更能理解“为何如此”。

第一章 基础数学
第1 节 逻辑1
第2 节 三角函数 7
第3 节 集合10
第4 节 函数 16
第5 节 可数集合与不可数集合30
第6 节 实数 35

第二章 测度空间
第1 节 测度空间 48
第2 节 测度空间的完备性68
第3 节 函数的极限与连续性 77
第4 节 集合的连通性90
第5 节 均匀连续 101
第6 节 固定点106

第三章 函数的可微分
第1 节 可微分的定义 108
第2 节 可微分函数之和差积商与合成 125
第3 节 切线、切平面与方向导数134
第4 节 均值定理145
第5 节 均值定理的应用和导函数的中间值定理153
第6 节 柯西均值定理159
第7 节 反函数定理与隐函数定理 171
第8 节 函数的极值190

第四章 无穷数列与无穷级数
第1 节 无穷数列 204
第2 节 无穷级数的基本性质 210
第3 节 级数的敛散性 214
第4 节 均匀收敛 233
第5 节 Arzela-Ascoli Theorem And
Stone-Weierstrass Theorem 263
第6 节 幂级数271

第五章 积分
第1 节 积分的定义与存在性286
第2 节 广义积分304
第3 节 瑕积分的均匀收敛315
第4 节 Gamma Function And Beta Function 326
第5 节 特殊的定积分技巧337
第6 节 富立叶级数343
高等微积分题库解答371

评分☆☆☆☆☆

我一直认为，数学学习的最终目的是为了解决实际问题。而这本书在这方面，也展现出了它独特的价值。虽然它是一本理论性很强的教材，但作者却在书中巧妙地融入了许多与实际应用相关的案例。这些案例并不只是简单的“应用题”，而是深入地展示了高等微积分的概念和方法，是如何在物理学、工程学、经济学等领域发挥巨大作用的。我通过这些案例，不仅加深了对数学知识的理解，更重要的是，我看到了数学的“力量”，它能够帮助我们解释和改造现实世界。这让我觉得，我所学的知识是有价值的，是有意义的。这种理论与实践的结合，让我对学习高等微积分的动力更加充足，也更加坚定了我未来在相关领域深入发展的决心。

评分☆☆☆☆☆

我一直认为，一本好的教科书，不应该仅仅是知识的搬运工，更应该是思想的启迪者。在这方面，《高等微积分》做得非常出色。它不仅仅是枯燥的公式和定理的罗列，而是充满了作者对数学的深刻理解和对教学的热忱。在一些关键的章节，作者会穿插一些数学史的背景介绍，或者一些数学家在探索这些概念时遇到的有趣故事。这些内容虽然不是考试的重点，但却能够极大地激发我们对数学的兴趣，让我们感受到数学的生命力，体会到它不仅仅是一门冰冷的学科，更是一门充满智慧和创造力的学问。我尤其喜欢那些关于“为什么”的探讨，比如为什么需要引入极限的概念？为什么积分能够衡量面积？作者总是能够以一种非常生动的方式，将这些抽象的数学思想，与现实世界中的问题联系起来，让我觉得学习高等微积分是有意义的，它能够帮助我们理解和改造世界。这种“润物细无声”的引导，让我觉得这本书不仅仅是在教我知识，更是在塑造我的数学思维方式。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧实在是很讨喜，沉甸甸的，纸张的触感也很不错，那种略带磨砂的质感，拿在手里就有种安心和厚重感，感觉像是承载了知识的重量。封面设计虽然简洁，但那种低调的蓝色和银色的字体组合，透着一股严谨又不失优雅的气质，不像很多现代教材那样花里胡哨，反而更容易让人专注于内容本身。我一直觉得，一本好的教材，光是外观就应该传递出一种“值得信赖”的信号，而这本《高等微积分》无疑做到了这一点。书脊上的烫金字体清晰可见，即使放在书架上，随便一瞥也能认出它的名字，这点对于我这种经常需要查找资料的人来说，简直是福音。打开书页，那种淡淡的油墨香味扑鼻而来，瞬间勾起了我当年在图书馆埋头苦读的回忆，仿佛回到了那个充满求知欲的青春年代。印刷质量也相当出色，字迹清晰，排版合理，即使长时间阅读也不会感到眼睛疲劳。页边距的设计也很人性化，留下了足够的空间，方便我随时随地写下自己的思考、疑问，或是将一些重要的公式、定理标注出来，这对于构建自己的知识体系来说，实在是太重要了。总而言之，从拿到书的那一刻起，它就给了我一种非常积极的“初体验”，这种对细节的打磨，让人深切感受到出版方和作者在制作这本书时倾注的心血。

评分☆☆☆☆☆

这本书的练习题设计，简直是学习者福音中的福音！我一直相信，数学的学习离不开大量的练习，但练习题的质量和难度至关重要。这本书在这方面做得非常到位。它提供的习题，既有巩固基本概念和计算能力的“例行训练”，也有挑战思维、激发探索欲望的“深度思考题”。每一章的习题都严格对应了该章的知识点，而且数量适中，不会让人觉得题海战术的疲惫，但又足够让你将所学知识融会贯通。更难得的是，很多习题的设置都非常有“巧思”，它们往往不是简单的套用公式，而是需要你对概念有深刻的理解，并能灵活运用所学知识来解决。我尤其喜欢那些需要综合运用多章知识的题目，它们能帮助我建立起学科整体的联系，看到知识点的“网状结构”，而不是孤立的点。此外，书中对于一些比较难的习题，还会给出提示或者解题思路，这对于我们这些还在摸索阶段的学习者来说，无疑是巨大的帮助。它不是直接给出答案，而是引导我们思考，这比直接看答案更有价值。我常常在做完练习后，感觉自己对某个概念的理解又上了一个台阶，这种成就感是学习的最大动力。

评分☆☆☆☆☆

这本书还有一个我非常欣赏的地方，就是它对数学证明的呈现方式。在数学领域，理解证明比记住结论更加重要。这本书在这方面做得非常出色。它在提供定理的同时，也给出了相对完整和清晰的证明。而且，证明的步骤都安排得非常合理，逻辑链条清晰，不会让人感到突兀或者难以理解。作者在证明过程中，会特别强调关键的步骤和思想，帮助我们理解“为什么”要这样做，而不是简单地跟着符号走。我尤其喜欢那些包含“技巧性”证明的例子，它们能让我们看到数学思维的精妙之处。即使有些证明比较复杂，作者也会尽量用文字进行解释和引导，让我能够逐步理解，而不是望而却步。这种对证明过程的重视，不仅帮助我掌握了具体的定理，更重要的是，它培养了我严谨的数学逻辑思维能力，让我能够自己去分析问题、解决问题。

评分☆☆☆☆☆

我一直认为，学习一门学科，尤其是像高等微积分这样抽象而复杂的领域，一个清晰、有条理的学习路径是至关重要的。而这本书在这方面做得相当出色。它并没有一开始就抛出大量艰深的定义和定理，而是循序渐进，从最基础的概念开始，逐步深入。每一章的逻辑都衔接得非常紧密，仿佛是一条精心铺设的道路，引导读者一步一步地攀登知识的高峰。在讲解某个概念时，作者会先给出直观的解释，然后引入严格的数学定义，并用一系列精心设计的例子来佐证。这些例子不仅仅是枯燥的计算，很多都包含了深刻的几何或物理意义，能够帮助我们建立起对抽象概念的具象理解。我特别喜欢它在引入新概念时，总是会先回顾之前学过的相关知识，将它们巧妙地联系起来，让我不会有“断层”的感觉，反而有一种知识层层叠加、不断扩展的成就感。而且，书中对某些关键定理的证明，也处理得恰到好处，既保持了数学的严谨性，又尽量避免了不必要的复杂化，让学习者能够理解证明的思路和逻辑，而不是被繁琐的符号所淹没。这种“由浅入深，循序渐进”的学习体验，对于提升学习效率和巩固知识的理解，起到了事半功倍的作用。

评分☆☆☆☆☆

对于一本厚重的学术著作来说，保持一致性和严谨性是其生命线。《高等微积分》在这方面做得令人称道。在通读过程中，我发现书中几乎没有出现前后矛盾的表述，也没有发现任何低级的错误。每一个概念的定义，每一个定理的表述，每一个公式的推导，都经过了严谨的审校。我曾经在阅读其他教材时，经常会因为一些小错误而打断学习的思路，甚至怀疑自己对概念的理解是否正确，但这本书在这方面让我非常安心。这种高质量的出版，不仅是对读者负责的表现，更是对学术研究的尊重。它让我能够放心地将这本书作为我学习和研究的坚实基础，而不必担心其中隐藏的“陷阱”。这种对严谨性的极致追求，绝对是值得所有读者信赖的。

评分☆☆☆☆☆

我发现这本书在细节处理上，真的是达到了令人赞叹的地步。举个例子，很多公式在第一次出现时，都会有非常详细的推导过程，并且会标注清楚每一步的依据，让我可以清晰地追溯其来源。而且，书中还巧妙地运用了各种标记符号，比如加粗、斜体、不同颜色的文字等等，这些看似微小的细节，却能有效地突出重点，帮助我区分不同类型的概念和符号。我曾经遇到过一些教材，排版混乱，符号使用不规范，阅读起来非常费力，但这本书完全没有这个问题，它的排版清晰、逻辑分明，符号统一，这极大地降低了阅读的门槛，让我在学习过程中能够更加专注于理解内容，而不是被排版所困扰。另外，书中的一些插图也非常精美，而且恰到好处地出现在了讲解某个概念的关键位置，能够极大地帮助我们理解那些抽象的几何图形和函数图像。这些精心的设计，都体现了作者和出版方对于教学质量的极致追求，让阅读体验本身就成为一种享受。

评分☆☆☆☆☆

这本书在语言风格上，也给我留下了深刻的印象。作者的文笔非常流畅，而且充满了一种亲切感，仿佛是一位经验丰富的老师，正在耐心细致地为我讲解。他善于运用比喻和类比，将那些抽象的概念，形象地展现在我的脑海中。我曾经在其他教材上遇到过一些晦涩难懂的表述，读起来就像是在啃一本天书，但在这本书里，我几乎没有遇到这种困扰。作者总是能够用最简洁、最清晰的语言，把最复杂的数学思想表达清楚。而且，他还会时不时地加入一些鼓励和启发性的语言，让我觉得学习的道路虽然充满挑战，但也是充满希望的。这种温暖的语言风格，让我觉得学习过程不再是孤独的，而是有一个良师益友在指引我前进。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对数学充满好奇心的读者，我一直在寻找一本能够真正点燃我对高等微积分兴趣的书籍。读完这本《高等微积分》之后，我可以说，它绝对是我近期最满意的一本教材。它不仅仅是知识的传递，更是一种学习方法的引导，一种思维方式的启发。我尤其欣赏它在引入新概念时，所展现出的那种“诗意”和“美感”。作者并非冷冰冰地陈述定义，而是会从一个更宏观的角度，讲述这个概念的出现是如何解决数学上的难题，或者如何揭示了自然界更深层次的规律。我经常在阅读过程中，会有一种“豁然开朗”的感觉，仿佛是打开了一扇新的窗户，看到了一个全新的数学世界。这种对数学“美”的呈现，让我对这门学科产生了前所未有的热爱。它不再是死记硬背的公式，而是充满智慧和创造力的探索过程。