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本书特色

　　学会微积分到底有什么用？为什么教科书那么艰深难懂？

　　这本最简单、最有趣的微积分入门书
　　以浅显文字与趣味漫画，为你介绍微积分的概念、公式与用途，
　　患有数学过敏症的人也能愉快、轻松地学会微积分！

　　微积分是一种「便利的实用工具」！

　　人们之所以讨厌数学，主要是由于：必须背一大堆公式，
　　但是，公式并不是用来背的，而是创造出来的：
　　微分的结果是斜率，可用来分析变化，
　　广泛运用于物理、股票、汇率与摄影等；
　　积分则是微分的逆运算，目的在于求出变化的总和与面积。

　　本书专为数学过敏症者设计了效果卓着的学习策略：
　　大致理解 接触公式 尝试解题 再一次大致地思考

　　跟着本书循序渐进，你将发现---
　　拥有一颗理解微积分的数学脑，也等于拥有预测的能力！

作者简介

石山　平

　　代书。目前于Medaka-College服务，主要教授法学科目，同时负责其他科目的教学工作。

大上丈彦

　　曾任程式设计师、升学补习班讲师，现为Medaka-College负责人。主要着作有《超难微积分》、《四维度的苹果》（以上日本荒地出版社）。

监修者简介

Medaka-College

　　二○○二年基于「图解书若没办法说明得清楚易懂，是因为说明的人本身也不了解内容」的精神创社。主要业务为教材的企划出版及接受学校的谘询。

译者简介

陈玉华

　　政治大学东语系日语组学士，辅仁大学日本语文学系硕士。目前于大学任教，同时从事翻译工作。译有：《探索昆虫微小脑》、《图解交通工具修理DIY》、《图解家电用品修理DIY》、《图解微生物》、《图解失智症．阿兹海默症》、《成功的人都很健忘》、《经皮毒完全排毒法》、《恐怖的食品添加物》、《品味橡皮章》、《懂得倾听的人最有说服力》等（以上世茂）。

前言…………………………………………………………………3

第1章  微分………………………………………………………9
　1微积分与艾克索三圈半跳跃 / 2数学过敏症对策 / 3精准的微分定义 / 4一点的斜率？  ~ 瞬间的斜率 ~ / 5气氛曲线的最高潮在哪里？ / 6从图形创造图形 / 7微分会用在什么地方？ / 8寻找微分偶像！ / 9基本的确认  斜率的求法 / 10在曲线上取两个点的方法 / 11让两点逐渐靠近后 / 12极限状态＝没有可能性了 / 13何谓无限接近？ / 14尝试具体接近 / 15极限值的求法与表现方式 / 16如何接近？ / 17从后面？从前面？ / 18何谓「连续的」 / 19差不多该回到微分了 / 20滑过去微分 / 21一点的斜率所代表的意义 / 22导函数这种函数 / 23导函数的表记法 / 24续．导函数的表记法 / 25练习题 / 26导函数的简单求法 / 27微分的基本公式组 / 28最棒的基本工具 / 29基本工具的确认 / 30从基本公式创造应用的工具 / 31创造工具的意义 / 32 的微分 / 33积的微分 / 34合成函数的微分 / 35利用微分画图形 / 36适当描绘的二次函数 / 37画三次函数的图形 / 38任你塞的包裹专用袋？ / 39微分的出口

第2章  积分…………………………………………………………107
　40积分与微分的关系 / 41积分写法的练习 / 42积分读法的练习 / 43积分的计算练习 / 44积分常数 / 45为什么是  / 46原始函数 / 47真的是逆运算吗？ / 48积分为变化的总和 / 49从不定积分到定积分 / 50限定范围的积分 / 51不定积分．定积分与面积 / 52 的宽度 / 53分割后求面积 / 54另一种研究定积分的方法 / 55把要求的面积夹进去 / 56分部求积法 1 / 57分部求积法 2 / 58分部求积法 3 / 59分部求积法实际演算 / 60从分部求积法到定积分 / 61用定积分求面积的函数 / 62微积分学的基本定理 / 63负的面积？ / 64请求出面积 / 65续．请求出面积 / 66积分的本质 / 67圆锥的体积 / 68球体的体积 / 69积分的策略 / 70用物理创造公式

后记

01 微分的明确定义

为什么微分有存在的必要？这当然是因为微分是一种便利的工具。至于微分对哪方面能带来哪些便利，这一点就留待后面再一一讨论。这里先为大家介绍微分真正的功能，也就是：

分析变化

如果以直线来看，微分后的结果就是「斜率」。请在脑中画一张直线的图形。如果要看直线上某一个点如何往另一个点变化，都会以斜率「陡峭」或「和缓」等来表现。换句话说，只要对直线进行微分，就会出现「斜率」。而且，即使是蜿蜒的曲线，只要进行微分，就会出现各处的「斜率」。像这样用来分析「变化」的工具就是微分。

如果要问在这个世界上，有多么需要分析变化的话，那我只能说：

真的是多到无法计算

至于有哪些例子呢？我将于本书介绍其中一部分。不过，在书中能够介绍的仅是整体的一小部分而已，因为微分的应用范围可是无限大的喔。

但是，在学校上数学课时，就很难实际感受到「微分的应用范围很大」这一点。反正，学校的课程本来就是这样嘛。

02 一点的斜率？～瞬间的斜率～

前面提到，「微分的功能在于求出变化」。这样突然提出变化的概念，或许会令大家一头雾水，因此，我在这里就以云霄飞车为例来为大家说明。

云霄飞车的轨道大部分都是曲线。因此，坐在云霄飞车上的乘客可以视为是在轨道这种曲线上移动的一个点。当坐在云霄飞车上时，不论是下坡，或在平坦的轨道间行进，抑或爬坡时，身体都会因位置的改变而受到牵引或放松，出现不同的身体感觉。身体之所以会像这样随着位置不同而产生不同的感觉，其中一项要素就是身体方向及速度的差异。由于云霄飞车的轨道是曲线，且不断地弯曲，因而不论在轨道上的哪一个点，身体都会变化成最适合那一个瞬间的方向与趋势。

将这个例子放到数学上来看，曲线图就有如云霄飞车的轨道，图形上的点就是在轨道上行驶的云霄飞车。如果将曲线上的每一个点想像成行进的样子，那么，曲线上的各个点应该都正在准备往不同方向前进。不过，如果是图形上的点，就不知道它们是以什么样的速度在移动了。

因此，在数学中，当假设点是在曲线上移动时，便会将该点在下一瞬间的变化称为「瞬间的斜率」。换句话说，「瞬间的斜率」就是指「曲线上的每个点在该点时的斜率」。

这个概念后面会再作详细解说，总之，在数学中思考斜率的问题时，基本上都会取两个点来看。因此，「一点的斜率」这种说法有点奇怪，所以我们才会採用「瞬间的斜率」这种说法。不过，这样的说法还是有些不妥。由于微分这种观念本来就是为了解决物理学及天文学等有关运动的学问才发展出来的，因此在这类领域中，使用「瞬间」这种感觉是很普通的。但是，在去掉运动这种概念的数学曲线上，就会有人无法理解「瞬间」的意思。

因此，本书为了以数学式的、图形的方式来说明，便决定不採用「瞬间的斜率」这种说法，而使用「一点的斜率」这种说法。因此，已习惯「瞬间的斜率」这种说法的人在书中看到「一点的斜率」时，请自行转换为「瞬间的斜率」。至于第一次接触微分的人，则请记住「瞬间的斜率」才是通用的用语。

此外，也请记住，当要计算一般很难算出的「一点的斜率」时，微分是一种非常方便的工具。

接下来是题外话，不知道各位有没有想过，当轨道在某一个瞬间消失时，行走中的云霄飞车会出现什么样的变化呢？这个问题的答案当然是会笔直地往前飞出去。而云霄飞车在这时候往前飞去的方向其实正好是曲线的切线（tangent line）。因此，「瞬间的斜率」＝「一点的斜率」这个概念也可以用来求出切线。

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