初中资优生的解析几何学(二版) pdf epub mobi txt 电子书下载 2025

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具体描述

「思考比学习更重要；思考才是真正的学习」

　　数学大师杨维哲教授特地为想成为初中资优生的人而编写，
　　内容着重观念的理解和思考，完全颠覆传统採取强迫记忆的模式，
　　借由独特的教学风格让你突破自我极限，发挥埋没已久的天份，
　　跟随着数学大师的脚步，让你窥探解析几何的奥秘，引领你成为数理资优生。

深入探究：高中数学竞赛与高等代数预备知识导览（一本面向渴望拓展知识边界的优秀高中生和数学爱好者的深度学习指南）书籍定位与目标读者：本书旨在为那些对高中数学，特别是解析几何领域有浓厚兴趣，并希望在大学先修课程或数学竞赛中取得优异成绩的初中优秀学生、高中生以及自学者提供一个全面而深入的进阶知识平台。它并非传统意义上的初中教材补充，而是致力于搭建一座从扎实初中几何基础迈向高等数学思维的坚实桥梁。我们假定读者已经掌握了初中代数和平面几何的全部基础知识，并且对函数、方程等概念有清晰的理解。本书的核心目标是培养读者独立思考、抽象建模和严谨论证的能力，为他们未来深入学习微积分、线性代数以及更复杂的空间几何打下坚实的基础。 --- 第一部分：欧氏几何的深化与坐标系统的精炼（解析几何的基石重塑）本部分将超越初中对直线的简单刻画，引入更精确、更具几何洞察力的分析工具。第一章：坐标系与点的位置向量的引入笛卡尔坐标系的拓展与泛化：重新审视二维笛卡尔坐标系，不仅关注点 $(x, y)$ 的坐标，更强调其作为位置向量 $mathbf{r} = xmathbf{i} + ymathbf{j}$ 的几何意义。探讨向量的加减法、数乘如何对应于平面上的平移和伸缩。距离公式的向量推导：不依赖于勾股定理的直接应用，而是通过向量的模长 $|vec{P_1P_2}| = |mathbf{r}_2 - mathbf{r}_1|$ 来推导距离公式，从而建立几何量与代数运算的内在联系。内积（点积）的概念与应用：引入向量的内积 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}||mathbf{b}|cos heta$。深入探讨内积在判断垂直性（$mathbf{a} cdot mathbf{b} = 0$）以及求解投影上的强大威力。有向线段与比例分割：细致分析定比分点公式的向量形式，这为后续处理重心、中线等概念提供了代数化的手段。第二章：直线方程的多元表述与几何性质的代数刻画点斜式、斜截式、一般式之外的表达：重点研究向量法线式 $n_x x + n_y y = d$ 和向量方向式 $mathbf{r} = mathbf{r}_0 + tmathbf{d}$。解析每种形式背后的几何直观和应用场景。两直线位置关系的精确判别：利用斜率的乘积（仅适用于非垂直情况）的局限性，转而使用法向量或方向向量的点积和叉积的二维模拟（如行列式形式）来精确判断平行、相交或重合。点到直线的距离与投影：利用向量投影的知识，推导出点到直线距离公式的向量几何意义，即点到直线垂足的向量位移。直线束与切比雪夫多项式（初步接触）：探讨如何用参数方程表示通过特定交点的直线系，为解决复杂几何约束问题打下基础。第三章：圆锥曲线的统一解析——以二次型方程为中心本章是解析几何的精髓，旨在揭示圆、椭圆、抛物线和双曲线在代数上的内在统一性。圆锥曲线的生成与定义回顾：简要回顾圆锥截面的生成过程，强调其作为一类特定二元二次方程的解集的本质。标准方程的深入推导：不仅展示如何通过定义（如距离和率）推导出标准方程 $frac{x^2}{a^2} pm frac{y^2}{b^2} = 1$ 等，更要分析 $a, b, c$ (焦距) 之间的关系如何从几何性质（如离心率 $e = c/a$）中自然涌现。离心率与焦点性质的代数验证：利用离心率 $e$ 的范围（$e=0$ 为圆，$01$ 为双曲线）统一分类，并严格证明焦点弦的性质。抛物线的聚焦特性与切线：侧重于抛物线的反射性质，并从极限角度理解抛物线切线斜率的几何意义。 --- 第二部分：几何变换与非欧几何的萌芽本部分将视角从静态的方程转向动态的几何变换，这是理解高等数学中“变换”概念的关键一步。第四章：几何变换的代数描述刚体运动（等距变换）：详细介绍平移、旋转的矩阵表示（二维旋转矩阵 $mathbf{R}$）。探讨复合变换的矩阵乘法性质。理解为何旋转和平移的组合构成了一般刚体运动。相似变换与缩放：引入缩放矩阵，分析相似变换如何保持角度不变但改变长度，以及相似比 $k$ 在面积和体积上的影响（二维面积因子为 $k^2$）。仿射变换的初步认识：介绍更广义的变换，如剪切（Shear），并分析仿射变换如何保持“直线仍为直线”和“平行性”的某些特征。第五章：向量空间与线性组合的几何直觉线性组合与张成空间（Span）：以二维向量空间为例，理解两个非共线向量如何“张成”整个平面。讲解为什么需要两个基向量来唯一确定平面上的任何一点。线性相关的几何意义：解释在线性代数中，向量线性相关意味着什么——它们落在同一条线上（或同一个子空间内）。这与解析几何中“共线点”的概念形成了深刻的联系。基底与坐标变换的几何解释：当我们改变坐标系（例如，将坐标轴旋转 $ heta$ 度）时，点的位置向量本身不变，改变的是我们用来描述它的基向量 $(mathbf{i}, mathbf{j})$ 的方向。这为理解坐标变换的本质提供了直觉。 --- 第三部分：参数化与微积分的边界（高等数学的引子）本章旨在展示解析几何如何自然地过渡到微积分和微分方程的领域，为有志于未来学习科学与工程的读者指明方向。第六章：参数方程的应用与运动学建模参数方程描述曲线：深入学习如何使用时间 $t$ 或角度 $ heta$ 作为参数来描述曲线运动，尤其适用于描述圆锥曲线在运动过程中的位置变化。曲线的切线斜率（初识导数）：引入“切线斜率”是极限的观念（尽管不进行严格的 $epsilon-delta$ 证明）。对于参数方程 $x=f(t), y=g(t)$，解释切线斜率 $frac{dy}{dx} = frac{dy/dt}{dx/dt}$ 的物理意义——速度的两个分量的比值。追及问题与相对运动的参数化处理：利用参数方程建立二维空间中两个物体运动的轨迹方程，并分析它们何时会相遇或达到最近距离。第七章：空间几何的预览——从平面到三维的自然延伸三维坐标系与向量的扩展：简要介绍空间直角坐标系 $(x, y, z)$ 和单位向量 $(mathbf{i}, mathbf{j}, mathbf{k})$。展示距离公式在三维中的自然扩展。空间直线与平面的向量表示：讨论空间直线如何由一个点和一个方向向量确定，以及平面如何由一个点和一个法向量确定。强调法向量在空间几何中的核心地位。空间中的点到平面距离：利用向量投影的知识，推导出点到平面距离的公式，展示解析几何思维在升维后的适用性和统一性。结语：本书的编写风格力求严谨而富有启发性，注重几何直觉的培养与代数工具的熟练运用相结合。它提供的不是现成答案的堆砌，而是深入理解数学结构、为更高阶学习做好思维准备的蓝图。通过本书的系统学习，读者将能够以更成熟的数学视角重新审视平面几何，并为接触更广阔的数学世界做好充分准备。

著者信息

作者简介

杨维哲

　　学历：
　　国立台湾大学数学系毕业
　　国立台湾大学医科肄业
　　普仁斯敦大学博士

　　经历：
　　国立台湾大学数学系主任
　　数学研究中心主任

图书目录

1 坐标系
1−1　一维坐标系   1
1−2　绝对值与符号   4
1−3　距　离   5
1−4　圆规的用法   7
1−5　二维坐标系   11
1−6　一、二维对照：中点公式   15
1−7　距离的应用   17
1−8　面积公式   21

2 割点公式
2−1　等距分割   29
2−2　一般分割   30
2−3　质心与凸性组合   33
2−4　平直组合   35

3 关系、函数、图解
3−1　关系与图解   40
3−2　由式子定图形   45
3−3　函　数   52
3−4　函数的图解   58
3−5　齐一次函数、斜率   61

4 直　线
4−1　一般式   65
4−2　参数式   74
4−3　斜率的意义   77
4−4　一次不等式的图解   87
4−5　联立的意义   91
4−6　点线距   95
4−7　线性规划   101
4−8　直线系   115
4−9　折线与断线   124

5 圆
5−1　圆的方程式   133
5−2　圆与直线   143
5−3　圆　幂   153
5−4　圆系、根轴   156
5−5　极　线   161

6 一些曲线的描图
6−1　抛物线   167
6−2　阿基米德(Archimedes)   176
6−3　椭　圆   178
6−4　双曲线   181
6−5　描图法：范围、对称   190
6−6　描图法：渐近线   195
6−7　轨　迹   202

7 向量的介绍
7−1　定义及表现   206
7−2　线性运算、成分   207
7−3　向径与几何   209
7−4　内　积   212
7−5　方　向   217
7−6　外　积   221
7−7　向量与几何   221

附录：垃圾处理场的位置问题
──平衡中心的研究   230
金华国中　杨汗如
索　引   267

图书序言

序
　　
　　这一本书本来想取名为初中资优生的解析几何学。顾名思义，它是为初中资优生写的。（我心目中有相当明确的对象：1986年春季的资优生研习营的学生；）或者，更为明确一点：这是为我最疼爱的资优生杨汗如写的。
　　
　　我的看法常常与众不同，快乐与痛苦常因此产生；汗如也被迫与众不同，因为她的数、理、化成绩并不太好，（照常人的标准，不能同意把她列入「数理资优」之类）又不被允许去补习，乃至于校内辅导、模拟考、复习考又大大的打击了她的信心，天性的潇洒被沖蚀殆尽，……
　　
　　我的看法是：要嘛，天底下本来就无「资优」，要嘛，天底下人人资优，汗如当然资优。我以长期观察的经验，敢确定：只要给她轻松的气氛，优哉悠哉的环境，她可以学得很好！绝不输她哥哥。
　　
　　这本书，立意在「初中程度」的拘束条件，因此，三角学的概念都不用，虽则偶而用到，但是不懂的人都可以绕道而过。
　　
　　我们的主题是直线和圆；当然也扯到一些别的曲线。其实写到最后甚至于想写一些反影几何，但是那当然不太好，因为这个研习营，时间只有一週不到。
　　

图书试读

用户评价

评分☆☆☆☆☆

我必須說，這本書的題目設計真的非常用心。它不是那種一味堆砌難題的書，而是非常巧妙地融入了許多思考題和應用題。我以前學幾何的時候，常常覺得很多題目都只是套公式，但這本書的題目很多都要求你活用觀念，去分析題目給的條件，然後自己建構出幾何模型，再用代數的方式去解決。像是有些題目會結合實際生活中的情境，或是需要一些邏輯推理才能找到解題的方向，這對培養孩子的空間感和數學思維非常有幫助。而且，它的題目由淺入深，從基礎練習到挑戰題，讓資優生能夠在不同層次上得到鍛鍊，不會覺得太簡單而失去興趣，也不會因為太難而感到挫敗。

评分☆☆☆☆☆

這本《初中資優生的解析幾何學(二版)》在視覺呈現上也下了不少功夫。它的排版非常清晰，不會有擁擠的感覺，每個公式、定理都有獨立的區塊，重點標示也很明確。圖形的繪製更是精美，而且都非常貼合內容，能夠直觀地幫助理解。我注意到書中有很多輔助性的圖示，像是向量的示意圖、角度的標示等等，都設計得非常精準。有時候，即使文字上的描述比較複雜，透過書中的圖形，也能夠一目了然。這對於國中生來說，是很重要的學習輔助，能夠降低理解的門檻，讓學習過程更有效率。

评分☆☆☆☆☆

這本書的文字風格是我非常喜歡的一點。它的敘述不會太學術化，反而有一種娓娓道來的親切感，好像是一位經驗豐富的老師在跟你面對面講解一樣。雖然是針對資優生，但它並沒有因此就省略掉一些基礎的解釋，反而會用比較精煉的語言，深入淺出地闡述一些比較抽象的概念。我特別欣賞的是，書中經常會加入一些「小提示」或是「注意事項」，點出一些學生容易忽略的細節，或是提供一些額外的解題思路，這對於釐清觀念、避免錯誤非常有幫助。很多時候，那些「旁徵博引」的額外說明，反而比主幹的內容更讓我印象深刻。

评分☆☆☆☆☆

這本《初中資優生的解析幾何學(二版)》真的是讓我眼睛一亮，原本以為初中的幾何課本就那樣，頂多是把國中的觀念再加深一點，沒想到這本完全顛覆了我的想像！首先，它的編排方式就非常有條理，從最基礎的點、線、面的概念開始，循序漸進地帶入座標系，然後再深入到各種曲線的方程，像是直線、圓、橢圓、雙曲線，甚至還有拋物線。最讓我驚豔的是，它不只是告訴你公式，更著重於「為什麼」，每一步的推導都寫得非常清楚，甚至會補充一些歷史背景或是相關的數學家故事，讓學習過程變得更有趣，而不是死記硬背。

评分☆☆☆☆☆

我尤其推薦這本書中的「補充」與「延伸」單元。它不只是圍繞著課本內容打轉，而是會適當地延伸到一些更進階的概念，或是介紹一些與解析幾何相關的有趣數學知識。像是有些單元會稍微觸碰到一點向量的應用，或是介紹一些有趣的幾何圖形性質，這些內容對於資優生來說，是非常寶貴的額外養分。它能夠激發他們對數學的更大好奇心，讓他們知道數學的世界還有更廣闊的天地。這本書讓我感覺，它不只是一本教科書，更像是一扇打開通往數學奇妙世界的大門。