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★解决向量在老师与学生内心的疙瘩。
　　★难道一定要用物理概念才能学会数学向量吗？
　　★内积、外积在数学与物理各自是什么意思？

　　本书是为了解决一段人对向量的大量疑惑。因为从物理的功、力矩定义导入向量内积、外积概念，令人误会没有这两个观念就不能将解析几何，由二度推到三度空间。及为什么能用物理概念推论数学？本书详细说明数学及物理的向量历史，认知到解析几何根本不需要「向量」概念，就能够推广，只是相当繁琐。并理解是数学支撑物理，而不是物理来说明数学。

　　作者之一多年来在求学与教学深受上述问题困扰，因为用物理说明数学会导致学生不理解、造成教学困难。两位作者都认为死背定义的数学学习，或说不清楚的数学，根本不配称为好的数学教育。因为数学是一门可以被说清楚的演绎逻辑，不能说清楚的部分越少越好。想要保持数学直觉性与创意性，适当的途径是研究这门学科的历史和现状。因此本书尽可能釐清内积、外积在数学与物理的混乱。希望学生不再有困惑，心理不再存在疙瘩，并了解在自然科学中，数学具有不可理喻的有效性。
 

作者简介

吴作乐

　　学历 国立台湾大学数学系学士
　　美国哥伦比亚大学数理统计博士
　　经历 长荣大学资讯管理系教授   
　　数位内容创作学程主任
　　国家太空中心主任    
　　国际宇宙航行学院 (International Academy of Astronautics) 院士
　　宏远育成科技股份有限公司总经理
　　工研院电通所副所长
　　美国Bell core公司信号处理部研发经理(District Manager)
　　美国贝尔实验室(Bell Labs) 卫星通讯部门研究员

吴秉翰

　　学历 辅仁大学应用数学学士
 

前言

第1章　疑惑与历史
1-1 向量常见的疑惑　
1-2 数学与物理的关系　
1-3 数学的历史　
1-4 太多新的定义　
1-5 向量的教学顺序令人困惑　

第2章　传统解析几何
2-1 笛卡儿的平面座标　
2-2 平面座标系的直线方程式(1)：由来　
2-3 平面座标系的直线方程式(2)：斜截式　
2-4 平面座标系的直线方程式(3)：点斜式、截距式　
2-5 平面座标系的直线方程式(4)：两点式　
2-6 平面座标系的直线方程式(5)：参数式　
2-7 空间座标系的平面方程式(1)：由来　
2-8 空间座标系的平面方程式(2)：表示方法　
2-9 空间座标系的直线方程式　
2-10 平面座标系的两直线夹角　
2-11 空间座标系的两直线夹角　
2-12 平面座标系、空间座标系的距离问题　
2-13 平面座标系的点到线的距离(1)：毕氏定理　
2-14 平面座标系的点到线的距离(2)：三角函数　
2-15 平面座标系的点到线的距离(3)：参数式　
2-16 空间座标系的点到线的距离、两平行线的距离　
2-17 空间座标系的点到面的距离　
2-18 各个平行情况的距离　
2-19 空间座标系的两歪斜线的距离　
2-20 空间座标系的两平面相交直线方程式　
2-21 空间座标系的两平面夹角　
2-22 整合此章的数学式　
2-23 参数式的起源：抛物线　

第3章　行列式
3-1 解联立方程式：两变数　
3-2 解联立方程组：三变数　
3-3 行列式的运算(1)：二阶　
3-4 行列式的运算(2)：三阶　
3-5 克拉码行列式求平面方程式　
3-6 二阶行列式与面积关系　
3-7 三阶行列式与体积关系　
3-8 变形的二阶行列式（测量员公式）求多边形面积(1)　
3-9 变形的二阶行列式（测量员公式）求多边形面积(2)　

第4章　高斯列运算
4-1 加减消去法与列运算(1)：两变数　
4-2 加减消去法与列运算(2)：三变数　
4-3 高斯列运算求平面方程式　

第5章　向量在物理的意义
5-1 向量在物理的意义　
5-2 功与内积　
5-3 力矩与外积　
5-4 向量的定义　
5-5 向量的基础计算(1)　
5-6 向量的基础计算(2)　
5-7 向量的基础计算(3)　
5-8 正射影与正射影长　
5-9 向量与艺术：投影几何　
5-10 向量数学式总结　

第6章　向量改变数学的教法
6-1 数学的夹角与内积　
6-2 向量与平面上的直线方程式关系　
6-3 数学的平面方程式系数与外积(1)：解析几何方法　
6-4 数学的平面方程式系数与外积(2)：法向量与力矩　
6-5 数学的平面方程式系数与外积(3)：法向量怎么求　
6-6 利用向量求平面上点到线的距离　
6-7 利用向量求空间中点到平面的距离　
6-8 利用向量表示倾斜程度（斜率）　
6-9 向量与柯西不等式(1)：如何证明　
6-10 向量与柯西不等式(2)：柯西不等式与配方法的关系　
6-11 向量与柯西不等式(3)：如何记忆　
6-12 利用向量与二阶行列式，求平面座标系的三角形面积　
6-13 利用向量与三阶行列式，求平面座标系三角形面积、及两向量张出的平行四边形面积　
6-14 利用向量与二阶行列式，求空间座标系的三角形面积、及两向量张出的平行四边形面积　
6-15 空间座标系的「两向量张出的平行四边形面积值」等于「两向量外积后的公垂向量长度值」　
6-16 三角锥体积与行列式(1)：拉格朗日　
6-17 三角椎体积与行列式(2)：向量方法　
6-18 空间座标系的三向量张出平行六面体体积　
6-19 空间座标系的点到线的距离(1)　
6-20 空间座标系的点到线的距离(2)　
6-21 歪斜线的向量讨论(1)　
6-22 歪斜线的向量讨论(2)　
6-23 三垂线定理的讨论　
6-24 向量方法证明毕氏定理、三角不等式　
6-25 传统解析几何的分点公式与向量的三点共线定理　
6-26 计算三角形重心　
6-27 计算三角形内心(1)：向量方法　
6-28 计算三角形内心(2)：传统解析几何　
6-29 外心、垂心的向量性质　
6-30 两面角与两平面交线的向量求法　
6-31 二度空间的角平分线与三度空间的角平分面　
6-32 三度空间的角平分线　

第7章　向量从物理到数学，再回到物理
7-1 物理数学家与数学物理家　
7-2 向量对数学的意义　
7-3 数学与物理互相帮助

第8章　矩阵
8.1 动画的由来(1)　
8-2 动画的由来(2)　
8-3 动画的由来(3)　
8.4 矩阵的由来　
8-5 矩阵的运算(1)：二阶矩阵PART1　
8-6 矩阵的运算(2)：二阶矩阵PART2　
8-7 矩阵的运算(3)：二阶矩阵PART3　
8-8 矩阵的运算(4)：三阶矩阵　
8-9 矩阵的运算(5)：二阶矩阵的反矩阵的由来　
8-10 矩阵的运算(6)：三阶矩阵的反矩阵的由来与记法　
8-11 矩阵的应用(1)：转移矩阵的概念　
8-12 矩阵的应用(2)：如何求转移矩阵　
8-13 矩阵的应用(3)：血型的转移矩阵
　
第9章　总结
9-1 相关历史　
9-2 结论　

附录
附录1.为什么负负得正呢？　
附录2.为什么阿拉伯数字会长这样？　
附录3.配方法与双重配方法　
附录4.相关联结

前言

　　本书是针对高中生学习「向量」时，产生大量疑惑而写的一部着作。高中数学课本从物理学的功、力矩的定义导入向量内积、外积的概念，造成学生极大的困惑，并误以为仅能经由功、力矩的概念，才能推导出向量的内积与外积，这是相当大的错误认知。其中最大的问题是：

　　1. 如果没有「功」和「力矩」的概念，就没有「内积」和「外积」吗？

　　2. 没有「内积」和「外积」，就不能将解析几何，由二度空间推广到三度空间吗？

　　3. 为什么会用物理概念来推论数学，不是说数学是科学的语言吗？

　　有鑑于此，作者从历史演进说明及数学推导传统解析几何根本不需要「向量」的概念，就能够推广至三度空间，只是相当繁琐而己。诚然物理学家创造了向量的概念，并启发了数学家。换句话说，物理为了正确描述力学现象，建立一套数学语言，而后由数学家接手，建构了向量分析、线性代数，及希尔伯特空间（Hilbert Space），也就是n维度空间。但我们仍然不可以将数学与物理混为一谈、这样会导致两者关系的混乱，误会数学需要物理，事实上数学不需借助外力，本身就可说明清楚，也就是自圆其说。

　　作者在本书所要釐清的重点是：

　　1. 高中数学使用向量学习三度空间内容，是因为比传统方法简洁，而非必要，这个重点应该让学生清楚知道，并让学生知道数学不该存在破绽，一门演绎逻辑的科目，不该被误解为归纳逻辑。

　　2. 本书依实际发生过的历史进展过程详加说明，彻底去除学生因课本的陈述方式，所产生的历史错乱与困惑感，如：柯西不等式、行列式、参数式。为了解决这种问题，本书将不属于向量范畴的内容移除，以免学生误会一定要先会向量才能学会那些内容，并了解传统解析几何就足以推导，但较为繁琐，必须知道不用借助向量也可以推导。

　　3. 点出数学与物理之间的关系，数学是物理的语言，数学可以和物理紧密相关，也可能亳不相关。然而有趣的是，表面上和物理不相关的数学，竟然常常被物理学家或工程师使用在新的领域。有兴趣的读者可参考物理学家Eugene Wigner有名的论述：「在自然科学中，数学不可理喻的有效性。」原文是：「The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences」。

　　4. 了解内积、外积在数学、物理两方的关系，而不是混为一谈。数学「余弦定理」会对应到物理的「功」，其运算动作都称为「内积」；数学「平面方程式系数」会对应到物理的「力矩」，其运算动作都称为「外积」。现行的内积、外积教学方式，大抵如下述：内积直接用物理来定义，硬套用到数学，不一定解释。外积用公垂向量解释外积，或直接用物理来定义，硬套用到数学，不一定解释。本书详细说明向量在数学及物理的历史发展，并说明数学支撑物理。

　　5. 认识向量是基础数学和基础物理的交界点之一，高中数学从物理应用切入三度空间的数学，导致许多学生产生困惑。虽然数学和物理有错综复杂的关系，但我们仍然不该混为一谈。必须理解到数学是建构在演绎逻辑的语言，而物理是建构在归纳逻辑的自然科学，只是用数学语言来表达，物理与数学两者高度相关，但不相同。作者将所有产生困惑的原因全面清理，期望学生或教师们终能理解。

　　6. 如果不说明清楚向量概念的原由，将失去一次可以说明数学与物理之间的关系（另一次是抛物线的内容）。而数学与物理之间的关系，实际上是数学支撑物理，而不是物理来说明数学。如果不了解两者关系，使得有一部分的人将数学当作物理，也就是误会数学公式如同物理公式一般，会随着时代被修正，也就是将演绎逻辑当归纳逻辑。

　　作者认为数学教科书应该使学习者学习顺畅，而非死背定义。现行教科书用向量作为定理来说明解析几何，也就是用物理概念强迫学生学向量，再处理数学的解析几何问题。学生可能不明白内积的意义，若要死背公式（内积）来硬套数学题目，必然会令学习者相当困惑。

　　但作者也能理解到传统解析几何非常繁琐，所以也不希望完全走回原本的老路，最起码也应该用数学余弦定理的概念来说明内积，用公垂向量来说明外积，避开物理概念的硬套，才能让学生接受。如果非要用物理也应该说清楚从何而来，为什么物理与数学可以相互唿应。为此本书说明了物理为什么需要创造向量与内积、外积。

　　作者之一多年来，在求学与教学深受上述问题困扰，因为用物理说明数学会导致学生不理解、造成教学困难。作者认为死背定义的数学学习方式，或说不清楚的数学，根本不配称为好的数学教育。因为数学是一门可以被说清楚的演绎逻辑，不能说清楚的部分愈少愈好。因此本书尽可能将向量产生的疑惑纳入讨论，希望学生不再有困惑，心里不再存在疙瘩。

　　本书详述了非常多的细节部分，但实际的核心价值是「釐清内积、外积在数学与物理的混乱」，想要快速解除困惑可以参考CH1、CH5、CH6的6-1到6-5、CH7、CH9，至于细节部分可以斟酌跳过。

　　「如果我做的物理问题呈现意料外的丰富数学结构，那么这个物理理论一定是正确的。我们都知道这个假说曾经被惊人的验证过，例如爱因斯坦的重力理论与狄拉克的电子理论。」

　　徐一鸿，华裔美国物理学家

　　本书虽经多次修订，缺点与错误在所难免，欢迎各界批评指正，得以不断改善。如有问题也可以连络作者，作者信箱praxismathwu@gmail.com

1-2 数学与物理的关系
 
数学与物理的关系，这个问题可以连同「为什么要学一堆几何证明」一起回答。很多学生对于几何证明的题目太多，感到有疑问，为什么要练习那么大量的几何证明？几何证明固然可以学习逻辑，但基础概念理解后其他仅是练习，为什么有那么多题目？因为中世纪的僧侣，因战争避世，并肩负传承知识，认为「上帝就是几何学家（God is Geometer）」、「宇宙的建筑师（Architect of the Universe）」，所以僧侣研究几何问题产生大量的证明；同时文艺复兴时期的欧洲人认为希腊的数学是哲学的基础，故大量练习几何证明（欧式几何），更成为近代教科书的内容。
 
僧侣为什么要研究数学？因为在西方的文化，理性占文化很大一部分，并且神学、哲学、数学的关系是密不可分的。同时更早希腊时期的大哲学家—柏拉图也曾说过「经验世界是真实世界的投影」。其意义为我们处的世界具有很多数学规则，有些已经理解成为了经验，有些是由这些组合成为新的经验，但仍不够完善。所以要学习数学的目的是为了解神创造世界的原理。
 
为什么他们从数学切入，而不是从其他科目切入，如：物理、化学？因为科目本质性的不同，可以从几个角度来讨论原因。
 
1.出错修正的机率
 
数学是零修正，唯一需要修正的情形，仅是取有效位数产生的误差，如：圆周率，微积分（200年来都没变，且不需要改变）。
 
物理、化学则是随时代进步而修正模型公式。
 
2.研究的方式
 
数学是演绎逻辑的学问。
 
物理、化学是经验结果论（归纳逻辑）的科学，科技进步就会更改，如：抛物线的轨迹、四大元素到现在週期表。
 
3.由真实经验假设最基础的情形
 
数学是可以理解的、不必再质疑准确性的公理做为最小元件。
 
如：1 + 1 = 2。再以此基础来组合定义新的数学式，且不需质疑与验证。
 
并且数学进步可视作由小元件到大物品的组合。
 
物理、化学是以现在的科技能观察到的情形，做为元件，因科技进步，观察到在更大的情形不符合，就必须修正。如：牛顿力学与爱因斯坦的相对论，或是要说明此方程式对于此情形是正确的，须实验确定真实性。并且物理、化学进步可视作元件由半成品到大物品的组合，但须验证，因为不清楚此半成品的理论是否正确，可能会导致大物品的实验产生错误；以及半成品是否可以分解为更细小的元件。如：四大元素→週期表→电子中子→夸克→超弦理论。

评分☆☆☆☆☆

这本书，就像一位循循善诱的老师，用最生动的方式，带领我走进向量和解析几何的奇妙世界。我之前对这些概念的理解，非常有限，常常是知其然不知其所以然。但这本书，通过它那精美的插图和深入浅出的讲解，彻底改变了我的认知。我特别喜欢书中关于“坐标系变换”的讲解，它用直观的图示来展示坐标系的平移、旋转、缩放如何影响点的坐标和向量的分量，这让我对坐标系在不同场景下的应用有了更深刻的理解。它还讲解了如何通过坐标变换来简化方程，例如将二次曲线化为标准形式，这让我看到了代数和几何之间的紧密联系。解析几何部分同样精彩，它不仅仅讲解了二维平面上的曲线，还深入到了三维空间中的曲面。我尤其喜欢书中关于“曲率”和“挠率”的讲解，它用形象的比喻来描述曲线和曲面的弯曲程度和扭曲程度，这让我对几何对象的局部性质有了更深入的理解。书中的例子也足够丰富，涵盖了物理、工程、计算机图形学等多个领域，这让我看到了数学的广泛应用前景，也激发了我进一步学习的动力。这本书的阅读体验非常愉快，它就像一位经验丰富的数学导游，带领我领略数学世界的壮丽风光。

评分☆☆☆☆☆

我一直认为，数学的魅力在于它的抽象和逻辑，但这本书却告诉我，数学同样可以充满美感和直觉。它用大量的精美插图，将抽象的向量和解析几何概念变得生动形象，仿佛拥有了生命。我特别欣赏书中关于“向量场的”讲解，它通过箭头密布的图形来描绘不同位置的向量，让我直观地理解了矢量场是如何描述物理量在空间中的分布和方向的，例如流体流动、电场等。它还讲解了向量场的散度、旋度等重要概念，并用图示来展示它们的几何意义，这对于理解一些物理现象至关重要。解析几何部分同样精彩，它不仅仅讲解了经典的二次曲线，还涉及到了更高阶的曲线和曲面，以及如何用代数方法来分析它们的性质。我尤其喜欢书中关于“参数化表示”的讲解，它用一个“行走”的点来模拟曲线的生成过程，让我理解了参数在描述运动和轨迹中的作用，这在计算机图形学和动画制作中有着广泛的应用。这本书的语言风格非常平实，没有使用过多生僻的专业术语，即使是初学者也能够轻松读懂。它让我觉得，数学不再是遥不可及的理论，而是能够解决实际问题的强大工具。

评分☆☆☆☆☆

自从读了这本书，我感觉自己仿佛拥有了一双“数学的眼睛”。它教会我如何从数学的角度去观察和理解世界。书中的图解，不仅仅是辅助理解的工具，更是数学思想的载体。我印象最深的是书中关于“向量投影”的讲解，它通过光线照射在物体上的影子来比喻向量在另一个向量上的投影，这个简单的类比，让我一下子就理解了向量投影的几何意义，以及它在计算“在某个方向上的分量”时的作用。还有关于“向量内积”的解释，它不仅仅是一个计算公式，更是衡量两个向量“相似度”或者“相关性”的指标，这让我在理解物理中的功、电场强度等概念时，有了更深刻的认识。解析几何部分同样令人惊艳。它不仅仅展示了各种曲线和曲面的形状，更重要的是教会了我如何用代数方程来描述这些几何对象的性质，以及如何通过方程的变化来预测几何形状的变化。我尤其喜欢书中关于“曲面方程的分类”的讲解，它通过对二次曲面方程的判别式分析，将它们分为椭球面、双曲面、抛物面等不同类型，这让我对空间几何有了更系统的认识。书中的例子也足够丰富，涵盖了物理、工程、计算机图形学等多个领域，这让我看到了数学的广泛应用前景，也激发了我进一步学习的动力。这本书的阅读体验非常愉快，它就像一位经验丰富的数学导游，带领我领略数学世界的壮丽风光。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我的感觉，就像是打开了一扇通往数学殿堂的神秘大门。我一直对那些高深的数学理论感到敬畏，但又无从下手。直到我遇到了这本书，它用一种非常“接地气”的方式，将向量和解析几何的精髓呈现给我。它的插图设计真的太出色了，每一张图都经过了深思熟虑，不仅仅是为了美观，更是为了准确地传达数学信息。我尤其喜欢书中对“多线性代数”的基础概念的讲解，比如张量，它用箭头组合以及更复杂的网格状结构来表示，让我对高阶张量的概念有了初步的认识。它还讲解了张量的收缩运算，并通过一些简单的例子展示了它在物理学和工程学中的应用。解析几何部分也同样精彩，它不仅仅讲解了经典的二次曲线，还涉及到了更高次的曲线，比如三次曲线，以及如何用代数方法来分析它们的性质。书中还花了相当大的篇幅来讲解“微分几何”的基础，比如曲面的法向量、切平面，以及曲率等等，这些概念让我对光滑曲面的局部性质有了更深入的理解。我常常会花很多时间去研究书中的图，反复体会它们所蕴含的数学意义。它让我明白，很多复杂的数学概念，都可以通过可视化和直观的类比来理解。这本书的语言风格也非常平易近人，没有使用过多生僻的专业术语，即使是初学者也能够轻松读懂。它让我对数学产生了浓厚的兴趣，并且开始主动去探究更多相关的知识。

评分☆☆☆☆☆

这本书，就像一幅精美的数学画卷，徐徐展开在我眼前。我之前一直觉得向量和解析几何是两个独立且相对枯燥的数学分支，但这本书却巧妙地将它们融合在一起，展现出它们之间深刻的内在联系。书中的插图，堪称教科书级别的艺术品，它们用最直观的方式解释了最抽象的数学概念。例如，在讲解向量的旋转时，书中用箭头在二维平面上围绕原点旋转的动画效果图来展示，这比单纯的公式表达要生动得多。它还讲解了如何用复数来表示旋转和缩放，这是一种非常优雅的数学工具，让我看到了数学的简洁和力量。解析几何部分同样出色，它不仅仅讲解了二维平面上的曲线，还深入到了三维空间中的曲面。我尤其喜欢书中关于“曲面相交”的讲解，它通过不同曲面方程的联立求解，来展示它们交线的形状，比如直线、椭圆、抛物线等等，这让我对空间几何有了更直观的认识。书中还涉及到了“仿射变换”和“射影变换”等更高级的概念，并用图示来解释它们的几何意义，这让我对计算机图形学中的几何变换有了更深的理解。这本书的写作风格非常清晰流畅，语言简洁易懂，即使是初学者也能够轻松入门。它不仅仅是知识的传授，更重要的是激发了读者对数学的兴趣和探索欲望。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我的感觉，就像是拿到了一把能够解锁数学迷宫的钥匙。我之前学习数学的时候，常常会觉得像是在走迷宫，绕来绕去，很多概念都理解不透。但这本书，用它那独特的“图解”方式，为我指明了方向。我特别喜欢它对向量空间的讲解，它不仅仅给出定义，而是通过各种向量组合在一起形成的“区域”，来形象地展示向量空间的“范围”和“维度”。这种可视化让我一下子就明白了为什么说一个向量空间可以被一组基向量“张成”。还有在讲解线性变换时，书中用箭头如何被拉伸、旋转、剪切来展示矩阵的作用，这让我对抽象的矩阵运算有了更直观的理解，不再是简单的数字乘法，而是对空间进行的一种“操作”。解析几何部分也是一样，我印象深刻的是它对“二次型”的讲解，它通过将二次型与椭圆、双曲线、抛物线等二次曲线联系起来，让我看到代数表达式和几何形状之间的紧密关系。它甚至还讲解了如何在三维空间中通过二次曲面的方程来识别它们的类型，比如椭球面、双曲抛物面等等，这些在现实生活中都有很多的应用，比如建筑设计、天体运动模拟等等。这本书的优点在于，它不仅仅是介绍数学概念，更重要的是教会你如何“思考”数学，如何用几何直觉去辅助代数运算，反之亦然。它鼓励读者去动手画图，去尝试不同的参数组合，去观察结果的变化，这种主动学习的方式让我觉得更有参与感，也更容易将知识内化。

评分☆☆☆☆☆

这本《图解向量与解析几何》给我带来的震撼，不仅仅是知识层面的，更多的是思维方式的转变。我一直以为数学是属于少数天才的领域，而我这种普通人很难企及。但这本书的出现，彻底颠覆了我的看法。它没有一开始就抛出大量的公式和定理，而是从最基础的向量概念入手，用非常形象生动的图画来解释。比如，它解释向量的模长时，就画出一个箭头，然后用尺子量出箭头的长度，告诉我这就是向量的大小。当它讲解向量的平行和垂直时，也是用相互平行的箭头和相互垂直的箭头来演示，直观得不行。更让我惊喜的是，书中对于解析几何部分的讲解，也同样注重可视化。那些在坐标系中描绘的抛物线、椭圆、双曲线，我第一次感觉到它们不再是冰冷的数学公式，而是具有优美曲线的几何图形。它教会我如何通过方程来“看见”这些图形的形态，以及它们与方程系数之间的微妙联系。我尤其欣赏书中关于“轨迹方程”的讲解，它通过一个点在平面上运动形成的路径来引出方程，让我理解了代数方程是如何描述几何运动的。这对我来说，是一种全新的视角，以前我总觉得几何和代数是两个独立的学科，而这本书却将它们完美地融合在一起，让我看到了它们之间深刻的内在联系。书中的每一个插图都经过精心设计，不仅仅是为了美观，更是为了准确地传达数学信息。我常常会停下来，仔细端倪那些图，想象着箭头在空间中移动，想象着点在坐标系中描绘出优美的曲线。这种“看”数学的方式，让我对它产生了浓厚的兴趣，也让我更加自信地去探索数学的奥秘。

评分☆☆☆☆☆

不得不说，这本书的排版和设计真的非常用心。当我拿到它的时候，就被封面的设计吸引了。那种简洁又不失科技感的风格，已经预示着里面内容的精彩。翻开书页，首先映入眼帘的是大篇幅的插图，而且不是那种简单的示意图，而是非常精致、清晰，甚至可以说是艺术品级别的插图。它们准确地描绘了向量的加减运算、数乘、点乘、叉乘，以及在三维空间中的各种几何关系，比如直线与平面的夹角，两个平面的夹角等等。我之前在很多其他教材上看到的图，往往比较模糊或者过于简化，很难让人一下子抓住重点，而这本书里的图，每一笔都充满了信息量。特别是那些三维空间的图形，竟然能够如此清晰地展现出来，让我对空间的想象力得到了极大的提升。它不仅仅是“告诉”你公式，更是“展示”给你公式背后的几何意义。例如，在讲解向量点乘时，它通过将一个向量分解为平行于另一个向量的分量和垂直于另一个向量的分量，然后强调平行部分的贡献，这比单纯的公式 a · b = |a||b|cosθ 来得更加直观和深刻。至于解析几何部分，书中同样采用了大量的图示来解释各种曲线方程，比如二次曲线的各种标准形式，如何通过配方法来化简方程，以及如何从方程中识别出曲线的中心、焦点、顶点等关键要素。我尤其赞赏书中对“参数方程”的讲解，它用一个“行走”的点来模拟曲线的生成过程，让我一下子理解了参数在描述运动和轨迹中的作用。整本书的阅读体验非常流畅，图文的结合恰到好处，让我在轻松愉悦的氛围中学习到了复杂的数学知识。

评分☆☆☆☆☆

这本书，我断断续续地翻了有一段时间了，尤其是那些充满着各种箭头和坐标系的插图，给我的感觉就像是在探索一个全新的宇宙。一开始，我只是抱着了解一下“向量”和“解析几何”这两个概念的好奇心，但读着读着，我发现自己被深深地吸引住了。那些抽象的数学符号，通过书中的图示，变得鲜活起来，仿佛拥有了生命。例如，书中对向量加法的解释，不仅仅是简单的数值相加，而是用箭头首尾相接的方式直观地展现了位移的合成，这让我对“合力”之类的概念有了更深刻的理解。还有那些在二维和三维空间中描绘的直线、平面和曲面，每一条线、每一个面都仿佛承载着丰富的数学信息，通过解析几何的方法，我学会了如何用代数语言来描述这些几何图形的性质，例如直线方程的斜截式、点斜式，以及圆的方程，这些都让我觉得数学不再是枯燥的符号堆砌，而是理解世界的一种强大工具。我特别喜欢书中关于投影的讲解，通过光线照射在物体上的影子来类比向量在另一个向量上的投影，这种形象的比喻一下子就让那些看似复杂的数学运算变得清晰易懂。书中的例子也非常贴切，很多都是我平时生活中能遇到的情境，比如在导航中如何计算两点之间的距离和方向，或者在工程设计中如何确定物体的受力情况。虽然我不是数学专业出身，但这本书的图文并茂确实帮我克服了对数学的畏惧感，让我觉得即便是复杂的数学概念，只要有好的引导，也能够被理解和掌握。它就像一位耐心的老师，循序渐进地带领我走进向量和解析几何的世界，让我感受到了数学之美和它在解决实际问题中的巨大潜力。我甚至开始尝试自己去绘制一些简单的向量图，用解析几何的知识去推导一些简单的几何关系，这让我获得了一种前所未有的成就感。

评分☆☆☆☆☆

我必须承认，在翻阅这本书之前，我对“向量”和“解析几何”的印象，还停留在中学时期的模糊记忆中，觉得它们是枯燥乏味的。但这本书，像一股清流，彻底改变了我的看法。它最让我赞赏的一点是，它能够将那些看似非常抽象的数学概念，用极其形象和贴切的比喻来解释。比如，讲解向量的外积时，它用了“力矩”的概念，通过旋转的杠杆来展示外积的方向和大小，这瞬间就让我理解了为什么外积的结果是一个垂直于两个向量的向量。还有在讲解解析几何中的“曲率”时，它用了汽车在弯道上行驶的例子，来比喻曲线的弯曲程度，让我一下子就明白了曲率的物理意义。更重要的是，这本书的例子非常丰富，而且大多来源于实际生活或者工程领域。比如，它讲解如何用向量来计算射击的落点，如何用解析几何来描述天体的轨道，如何用矩阵来处理图像的缩放和旋转等等。这些例子让我看到了数学的实用价值，也让我觉得学习这些知识是有意义的。我特别喜欢书中关于“复向量”和“复数在几何中的应用”的章节，它用复数的旋转和缩放来表示几何变换，这是一种非常巧妙且高效的方法，让我看到了数学不同分支之间的融会贯通。这本书的阅读体验非常棒，它就像一位经验丰富的向导，耐心地带领着我穿梭于数学的世界，让我感受到数学的严谨之美和它强大的解释力。