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★解决向量在老师与学生内心的疙瘩。
　　★难道一定要用物理概念才能学会数学向量吗？
　　★内积、外积在数学与物理各自是什么意思？

　　本书是为了解决一段人对向量的大量疑惑。因为从物理的功、力矩定义导入向量内积、外积概念，令人误会没有这两个观念就不能将解析几何，由二度推到三度空间。及为什么能用物理概念推论数学？本书详细说明数学及物理的向量历史，认知到解析几何根本不需要「向量」概念，就能够推广，只是相当繁琐。并理解是数学支撑物理，而不是物理来说明数学。

　　作者之一多年来在求学与教学深受上述问题困扰，因为用物理说明数学会导致学生不理解、造成教学困难。两位作者都认为死背定义的数学学习，或说不清楚的数学，根本不配称为好的数学教育。因为数学是一门可以被说清楚的演绎逻辑，不能说清楚的部分越少越好。想要保持数学直觉性与创意性，适当的途径是研究这门学科的历史和现状。因此本书尽可能釐清内积、外积在数学与物理的混乱。希望学生不再有困惑，心理不再存在疙瘩，并了解在自然科学中，数学具有不可理喻的有效性。
 

作者简介

吴作乐

　　学历 国立台湾大学数学系学士
　　美国哥伦比亚大学数理统计博士
　　经历 长荣大学资讯管理系教授   
　　数位内容创作学程主任
　　国家太空中心主任    
　　国际宇宙航行学院 (International Academy of Astronautics) 院士
　　宏远育成科技股份有限公司总经理
　　工研院电通所副所长
　　美国Bell core公司信号处理部研发经理(District Manager)
　　美国贝尔实验室(Bell Labs) 卫星通讯部门研究员

吴秉翰

　　学历 辅仁大学应用数学学士
 

前言

第1章　疑惑与历史
1-1 向量常见的疑惑　
1-2 数学与物理的关系　
1-3 数学的历史　
1-4 太多新的定义　
1-5 向量的教学顺序令人困惑　

第2章　传统解析几何
2-1 笛卡儿的平面座标　
2-2 平面座标系的直线方程式(1)：由来　
2-3 平面座标系的直线方程式(2)：斜截式　
2-4 平面座标系的直线方程式(3)：点斜式、截距式　
2-5 平面座标系的直线方程式(4)：两点式　
2-6 平面座标系的直线方程式(5)：参数式　
2-7 空间座标系的平面方程式(1)：由来　
2-8 空间座标系的平面方程式(2)：表示方法　
2-9 空间座标系的直线方程式　
2-10 平面座标系的两直线夹角　
2-11 空间座标系的两直线夹角　
2-12 平面座标系、空间座标系的距离问题　
2-13 平面座标系的点到线的距离(1)：毕氏定理　
2-14 平面座标系的点到线的距离(2)：三角函数　
2-15 平面座标系的点到线的距离(3)：参数式　
2-16 空间座标系的点到线的距离、两平行线的距离　
2-17 空间座标系的点到面的距离　
2-18 各个平行情况的距离　
2-19 空间座标系的两歪斜线的距离　
2-20 空间座标系的两平面相交直线方程式　
2-21 空间座标系的两平面夹角　
2-22 整合此章的数学式　
2-23 参数式的起源：抛物线　

第3章　行列式
3-1 解联立方程式：两变数　
3-2 解联立方程组：三变数　
3-3 行列式的运算(1)：二阶　
3-4 行列式的运算(2)：三阶　
3-5 克拉码行列式求平面方程式　
3-6 二阶行列式与面积关系　
3-7 三阶行列式与体积关系　
3-8 变形的二阶行列式（测量员公式）求多边形面积(1)　
3-9 变形的二阶行列式（测量员公式）求多边形面积(2)　

第4章　高斯列运算
4-1 加减消去法与列运算(1)：两变数　
4-2 加减消去法与列运算(2)：三变数　
4-3 高斯列运算求平面方程式　

第5章　向量在物理的意义
5-1 向量在物理的意义　
5-2 功与内积　
5-3 力矩与外积　
5-4 向量的定义　
5-5 向量的基础计算(1)　
5-6 向量的基础计算(2)　
5-7 向量的基础计算(3)　
5-8 正射影与正射影长　
5-9 向量与艺术：投影几何　
5-10 向量数学式总结　

第6章　向量改变数学的教法
6-1 数学的夹角与内积　
6-2 向量与平面上的直线方程式关系　
6-3 数学的平面方程式系数与外积(1)：解析几何方法　
6-4 数学的平面方程式系数与外积(2)：法向量与力矩　
6-5 数学的平面方程式系数与外积(3)：法向量怎么求　
6-6 利用向量求平面上点到线的距离　
6-7 利用向量求空间中点到平面的距离　
6-8 利用向量表示倾斜程度（斜率）　
6-9 向量与柯西不等式(1)：如何证明　
6-10 向量与柯西不等式(2)：柯西不等式与配方法的关系　
6-11 向量与柯西不等式(3)：如何记忆　
6-12 利用向量与二阶行列式，求平面座标系的三角形面积　
6-13 利用向量与三阶行列式，求平面座标系三角形面积、及两向量张出的平行四边形面积　
6-14 利用向量与二阶行列式，求空间座标系的三角形面积、及两向量张出的平行四边形面积　
6-15 空间座标系的「两向量张出的平行四边形面积值」等于「两向量外积后的公垂向量长度值」　
6-16 三角锥体积与行列式(1)：拉格朗日　
6-17 三角椎体积与行列式(2)：向量方法　
6-18 空间座标系的三向量张出平行六面体体积　
6-19 空间座标系的点到线的距离(1)　
6-20 空间座标系的点到线的距离(2)　
6-21 歪斜线的向量讨论(1)　
6-22 歪斜线的向量讨论(2)　
6-23 三垂线定理的讨论　
6-24 向量方法证明毕氏定理、三角不等式　
6-25 传统解析几何的分点公式与向量的三点共线定理　
6-26 计算三角形重心　
6-27 计算三角形内心(1)：向量方法　
6-28 计算三角形内心(2)：传统解析几何　
6-29 外心、垂心的向量性质　
6-30 两面角与两平面交线的向量求法　
6-31 二度空间的角平分线与三度空间的角平分面　
6-32 三度空间的角平分线　

第7章　向量从物理到数学，再回到物理
7-1 物理数学家与数学物理家　
7-2 向量对数学的意义　
7-3 数学与物理互相帮助

第8章　矩阵
8.1 动画的由来(1)　
8-2 动画的由来(2)　
8-3 动画的由来(3)　
8.4 矩阵的由来　
8-5 矩阵的运算(1)：二阶矩阵PART1　
8-6 矩阵的运算(2)：二阶矩阵PART2　
8-7 矩阵的运算(3)：二阶矩阵PART3　
8-8 矩阵的运算(4)：三阶矩阵　
8-9 矩阵的运算(5)：二阶矩阵的反矩阵的由来　
8-10 矩阵的运算(6)：三阶矩阵的反矩阵的由来与记法　
8-11 矩阵的应用(1)：转移矩阵的概念　
8-12 矩阵的应用(2)：如何求转移矩阵　
8-13 矩阵的应用(3)：血型的转移矩阵
　
第9章　总结
9-1 相关历史　
9-2 结论　

附录
附录1.为什么负负得正呢？　
附录2.为什么阿拉伯数字会长这样？　
附录3.配方法与双重配方法　
附录4.相关联结

1-2 数学与物理的关系
 
数学与物理的关系，这个问题可以连同「为什么要学一堆几何证明」一起回答。很多学生对于几何证明的题目太多，感到有疑问，为什么要练习那么大量的几何证明？几何证明固然可以学习逻辑，但基础概念理解后其他仅是练习，为什么有那么多题目？因为中世纪的僧侣，因战争避世，并肩负传承知识，认为「上帝就是几何学家（God is Geometer）」、「宇宙的建筑师（Architect of the Universe）」，所以僧侣研究几何问题产生大量的证明；同时文艺复兴时期的欧洲人认为希腊的数学是哲学的基础，故大量练习几何证明（欧式几何），更成为近代教科书的内容。
 
僧侣为什么要研究数学？因为在西方的文化，理性占文化很大一部分，并且神学、哲学、数学的关系是密不可分的。同时更早希腊时期的大哲学家—柏拉图也曾说过「经验世界是真实世界的投影」。其意义为我们处的世界具有很多数学规则，有些已经理解成为了经验，有些是由这些组合成为新的经验，但仍不够完善。所以要学习数学的目的是为了解神创造世界的原理。
 
为什么他们从数学切入，而不是从其他科目切入，如：物理、化学？因为科目本质性的不同，可以从几个角度来讨论原因。
 
1.出错修正的机率
 
数学是零修正，唯一需要修正的情形，仅是取有效位数产生的误差，如：圆周率，微积分（200年来都没变，且不需要改变）。
 
物理、化学则是随时代进步而修正模型公式。
 
2.研究的方式
 
数学是演绎逻辑的学问。
 
物理、化学是经验结果论（归纳逻辑）的科学，科技进步就会更改，如：抛物线的轨迹、四大元素到现在週期表。
 
3.由真实经验假设最基础的情形
 
数学是可以理解的、不必再质疑准确性的公理做为最小元件。
 
如：1 + 1 = 2。再以此基础来组合定义新的数学式，且不需质疑与验证。
 
并且数学进步可视作由小元件到大物品的组合。
 
物理、化学是以现在的科技能观察到的情形，做为元件，因科技进步，观察到在更大的情形不符合，就必须修正。如：牛顿力学与爱因斯坦的相对论，或是要说明此方程式对于此情形是正确的，须实验确定真实性。并且物理、化学进步可视作元件由半成品到大物品的组合，但须验证，因为不清楚此半成品的理论是否正确，可能会导致大物品的实验产生错误；以及半成品是否可以分解为更细小的元件。如：四大元素→週期表→电子中子→夸克→超弦理论。

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