实变函数论（第二版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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本书主要包括六部分，分别是集合及其基数、n维空间中的点集、测度理论、可测函数、积分理论和函数空间Lp。每章各节后均附习题，以便于读者学习和掌握实变函数论的基础知识。

好的，这里是为您构思的图书简介，该书的名称为《实变函数论（第二版）》，但简介内容将不包含您指定书名的任何信息。 --- 空间、测度与分析的基石：《现代分析导论》 简介： 在数学的广袤领域中，对“函数”的理解早已超越了微积分时代对连续性和可微性的直观把握。随着数学的深化与应用领域的拓展，我们迫切需要一套更为严谨、更具普适性的框架来处理各种奇异、不规则甚至病态的函数行为。本书《现代分析导论》正是为了填补这一空白而精心编纂的权威著作。它并非一部传统的微积分教材，而是深入探究现代数学分析的根基——测度论与勒贝格积分的经典指南。 本书旨在为研究生及高年级本科生提供一个清晰、严谨且富有洞察力的视角，系统地构建起实数域上的泛函分析理论。我们将从基础的拓扑结构出发，逐步搭建起描述集合大小和复杂性的全新工具，彻底革新我们对“面积”和“体积”的认知。 第一部分：拓扑结构与度量空间 分析的起点是对空间的理解。本书首先从拓扑学的角度审视实数线 $mathbb{R}$ 及其推广，介绍拓扑空间的基本概念，如开集、闭集、邻域和连续性。重点在于度量空间的引入，它为我们提供了一个量化距离的统一框架。我们将详细讨论完备性（Completeness）这一核心概念，它对于许多分析的收敛性论证至关重要。例如，为什么柯西序列在完备空间中总是收敛的？我们不仅会给出严谨的证明，还会通过具体的例子阐释完备性在微分方程解的存在性证明中的核心作用。 第二部分：测度论——超越有限的量化 传统的积分理论依赖于黎曼和的概念，但它在处理不规则函数和高维空间时显得捉襟见肘。本书的核心突破点在于测度论的建立。我们将精确地定义什么是一个“可测集”，并系统地构建外测度。 关键的理论进展集中在$sigma$-代数的构造上。我们探讨了博雷尔 $sigma$-代数（Borel $sigma$-algebra）的定义及其在概率论和函数空间中的基础地位。随后，测度（Measure）的正式引入，特别是勒贝格测度（Lebesgue Measure）的构建过程，将展示如何为所有直观上有意义的集合赋予一个一致且可加的“大小”度量。本书会深入剖析可测函数的概念，这是连接几何直觉与分析推理的桥梁。 第三部分：勒贝格积分的革命 在测度论的基础上，本书将引出勒贝格积分。这种积分方式通过对函数的值域而非定义域进行划分，极大地扩展了可积函数的范围，并赋予了积分运算更优越的性质。我们将从简单函数的积分开始，逐步推广到非负可测函数的积分，最终定义一般可测函数的勒贝格积分。 理论的精髓在于积分的极限交换。本书将详尽阐述著名的三大收敛定理： 1. 单调收敛定理 (Monotone Convergence Theorem, MCT)：确保了在递增序列下，积分与极限的交换是合法的。 2. 法图引理 (Fatou's Lemma)：作为MCT的弱化形式，它在估计极限下限的积分时具有不可替代的作用。 3. 占优收敛定理 (Dominated Convergence Theorem, DCT)：这是现代分析中最常用的工具之一，它在存在一个可积的“优势函数”控制着函数序列时，保证了积分和极限的交换。 这些定理不仅简化了许多积分的计算，更重要的是，它们为泛函分析、概率论和偏微分方程的研究奠定了不可动摇的理论基础。 第四部分：函数空间与 $L^p$ 理论 分析的最终目标是研究函数组成的“空间”。本书将视角从单个函数扩展到函数空间。我们将引入范数和内积的概念，将函数空间转化为一个带有代数结构的集合。 重点章节将专门讨论$L^p$ 空间（Lebesgue $L^p$ Spaces）。我们将定义这些空间，并利用闵可夫斯基不等式（Minkowski Inequality）来证明它们确实构成了完备的赋范向量空间（即巴拿赫空间）。$L^p$ 空间是傅里叶分析、概率论中期望的定义以及泛函分析的核心研究对象。此外，我们还将触及赫尔德不等式（Hölder Inequality）这一关键工具，它在处理不同指数函数的乘积积分时至关重要。 结语：通往更高阶分析的阶梯 《现代分析导论》的编写风格力求清晰、逻辑严密，同时注重数学直觉的培养。每一章节都配有丰富的例题和旨在巩固理论的习题，帮助读者真正掌握从基础概念到高级定理的完整推导过程。本书不仅仅是关于测度论和积分的知识集合，它更是一种思维方式的训练——一种在处理无限、复杂和不规则对象时，保持数学严谨性的分析哲学。掌握了本书中的内容，读者将为进一步探索泛函分析、调和分析、概率测度论乃至偏微分方程领域打下坚实而无可替代的基础。 ---

第１ 章 集合与点集 (１)
１. １ 集合及其运算  (１)
１. １. １ 集合的基本概念  (１)
１. １. ２ 集合的运算  (２)
１. １. ３ 集的分解  (６)
１. １. ４ 笛卡尔乘积集  (７)
１. １. ５ 域  (８)
１. １. ６ 集列的极限  (９)
 习题１. １  (１２)
１. ２ 映射与基数 (１４)
１. ２. １ 映射的概念 (１４)
１. ２. ２ 对等 (１７)
１. ２. ３ 数的进位制简介 (１８)
１. ２. ４ 伯恩斯坦定理 (２１)
１. ２. ５ 有限集、无限集及基数  (２２)
习题１. ２  (２３)
阅读材料１  (２４)
１. ３ 可数集合 (２５)
１. ３. １ 可数集的定义 (２５)
１. ３. ２ 可数集的性质 (２５)
习题１. ３  (３０)
阅读材料２  (３０)
１. ４ 不可数集合 (３１)
习题１. ４  (３５)

第２ 章 ｎ 维空间中的点集  (３７)
２. １ 聚点、内点、边界点、Bolzano-Weierstrass 定理  (３９)
习题２. １  (４２)
２. ２ 开集、闭集与完备集  (４４)
２. ２. １ 稠密与疏朗 (４４)
２. ２. ２ 开集、闭集  (４４)
２. ２. ３ 开覆盖、紧集  (４８)
２. ２. ４ 完备集 (４９)
２. ２. ５ Ｂｏｒｅｌ 集  (５２)
２. ２. ６ 点集上的连续函数 (５３)
习题２. ２  (５４)
２. ３ 一维开集、闭集、完备集的结构 (５６)
习题２. ３  (６０)
２. ４ 点集间的距离 (６０)
习题２. ４  (６２)

第３ 章 测度论  (６３)
３. １ 开集的体积 (６６)
习题３. １  (６９)
３. ２ 点集的外测度 (７０)
３. ２. １ 外测度的定义 (７０)
３. ２. ２ 外测度的性质 (７２)
３. ２. ３ 内测度 (７６)
习题３. ２  (７６)
３. ３ 可测集及测度 (７７)
３. ３. １ 可测集的定义 (７７)
３. ３. ２ 可测集的运算 (７９)
３. ３. ３ 可测集列的极限 (８３)
３. ３. ４ Ｌｅｂｅｓｇｕｅ(勒贝格)可测集的结构  (８５)
３. ３. ５ 勒贝格测度的平移、旋转不变性  (８８)
 ∗３. ３. ６ 不可测集  (８９)
习题３. ３  (９０)
３. ４ 乘积空间 (９３)
习题３. ４  (９８)

第４ 章 可测函数  (９９)
４. １ 可测函数的定义及其简单性质  (１００)
４. １. １ 勒贝格可测函数的定义  (１００)
４. １. ２ 勒贝格可测函数的性质  (１０３)
４. １. ３ 勒贝格可测函数列的极限  (１０６)
４. １. ４ 复合函数的可测性  (１１０)
习题４. １  (１１０)
４. ２ 可测函数的逼近定理  (１１２)
４. ２. １ Ｅｇｏｒｏｆｆ(叶果洛夫)定理  (１１２)
４. ２. ２ Ｌｕｓｉｎ(鲁津)定理  (１１５)
４. ２. ３ 依测度收敛  (１２０)
习题４. ２  (１２４)

第５ 章 积分理论  (１２７)
５. １ 非负函数的积分  (１２７)
５. １. １ 测度有限的集上有界可测函数的积分  (１２７)
５. １. ２ 测度有限的集上一般函数的积分  (１３３)
５. １. ３ 测度无限的集上的 Ｌｅｂｅｓｇｕｅ 积分  (１３５)
５. １. ４ 非负可测函数积分的几何意义  (１３５)
５. １. ５ 积分的极限定理  (１３６)
习题５. １  (１３８)
５. ２ 可积函数  (１４０)
习题５. ２  (１５５)
５. ３ 重积分与累次积分的关系  (１５８)
５. ３. １ 非负广义实值可测函数情形  (１５８)
５. ３. ２ 可积函数情形  (１６０)
习题５. ３  (１６５)
５. ４ 微分与不定积分  (１６６)
５. ４. １ 单调函数  (１６７)
５. ４. ２ 有界变差函数  (１７５)
５. ４. ３ 绝对连续函数  (１８４)
习题５. ４  (１９１)

第６ 章 ＬＰ 空间及抽象测度与积分 (１９４)
６. １ ＬＰ 空间 (１９４)
６. １. １ ＬＰ 空间的定义与不等式 (１９４)
６. １. ２ ＬＰ 空间的结构 (２００)
习题６. １  (２０５)
６. ２ Ｌ２ 内积空间  (２０７)
６. ２. １ 内积正交系  (２０７)
６. ２. ２ 广义 Fourier 级数  (２０８)
６. ２. ３ Ｌ２(Ｅ) 中的线性无关组  (２１０)
习题６. ２  (２１３)
６. ３ 抽象测度与积分  (２１４)
６. ３. １ 集合环上的测度及扩张  (２１４)
６. ３. ２ 可测函数及其积分  (２１６)
习题解析  (２２０)
附录:各章知识点概要  (２８９)

 

序

　　本书第一版是２０１１ 年出版的，在四年多的时间里，把此书用作教材的广大读者和教师，通过各种形式对此书存在的不足向编者提出了许多宝贵的意见和建议，对此我们深表感谢.为了使数学专业和非数学专业的本科生和研究生更好地学习实变函数论。

　　本书第二版在第一版的基础上，通过整理和修正，校正了书中出现的错误与不妥之处，补充和调整了部分内容和习题，并增加了各章知识点及学法概要和教材所列习题的详解，使其更适合不同层次的读者，以达到学以致用的目的. 为了知识体系的完整性，部分重要知识和习题需要读者掌握但由于其证明很抽象、叙述较为繁琐，我们便在它的前面加了「∗」号，非数学专业的读者在学习过程中可以跳过这部分知识.

　　本书由朱文莉担任主编，由张文燕编写第６ 章.
　　书中不足之处，敬请读者批评指正.
 

评分☆☆☆☆☆

这本《实变函数论（第二版）》在我的书架上占了一个相当显眼的位置，它的外观就透露出一种沉甸甸的学术气息。我尤其喜欢它封面的设计，简洁却不失大气，那种深邃的色调和恰到好处的文字排布，都显得非常考究，一看就是精心制作的。翻开书本，首先映入眼帘的是那优质的纸张，触感温润，而且非常有韧性，即使我时不时地在书页上做标记，它也能够很好地承受住。印刷的清晰度更是无可挑剔，任何复杂的数学公式和符号都能被准确无误地呈现出来，这对于我理解那些抽象的概念至关重要。在排版上，我欣喜地发现它非常人性化，无论是行距还是页眉页脚的设计，都显得十分得体，使得阅读过程非常流畅，不会产生任何阻碍感。书本的装订方式也让我感到安心，感觉非常牢固，可以放心地将它作为一本可以反复查阅的工具书。它所散发出的专业感和厚重感，让我对即将开启的阅读之旅充满了信心和期待。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对数学有着强烈好奇心的业余爱好者，我一直渴望能系统地学习一些更接近现代数学核心的理论。当我选择这本《实变函数论（第二版）》时，我期待的是一种能够引领我走进抽象数学世界的钥匙。收到书的那一刻，厚重的质感和精美的装帧就让我对它有了极高的好感。纸张的质地很棒，不是那种廉价的、容易泛黄的纸，而是带着些许光泽，触感细腻，能感受到制作的用心。印刷的字迹非常清晰，即使是那些复杂的数学公式，也一目了然，这对于理解数学推导至关重要。排版也十分讲究，每一页的留白恰到好处，不会让人觉得拥挤，阅读起来非常舒适。我尤其欣赏的是它封面设计的简洁和庄重，没有花哨的图案，只有书名和作者名，却散发着一种不容置疑的学术权威感。我特别关注了书的装订，非常牢固，即使经常翻阅，也不会出现散页的担忧。我希望这本书能成为我探索数学世界的重要伙伴，帮助我理解那些抽象的概念，并培养我严谨的数学思维。这本书给我一种“值得拥有”的感觉，它的实体质量完全符合我对一本优秀学术书籍的期待。

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这本书，我断断续续也看了好几个月了，说实话，一开始拿到手的时候，的确被那厚实的分量给镇住了。封面设计是那种很经典的学术风格，简洁大气，透着一股严谨的气息。翻开扉页，作者的名字赫然在目，这位在学术界享有盛誉的前辈，他的著作本身就代表着一种品质的保证。我特别喜欢它印刷的纸张，摸上去有一种温润的触感，字迹清晰，排版也很舒服，长时间阅读眼睛也不会觉得疲劳。书页之间似乎还带着一种淡淡的油墨香，这大概是资深书迷才能体会到的细微之乐吧。我买这本书，主要还是因为我对数学的某些领域特别感兴趣，而我一直听说实变函数论是理解更高级数学概念的基石。虽然我还没有深入到每一个章节的细节，但仅仅是浏览一下目录和前言，就能感受到其内容的深度和广度。作者在序言中提到的研究方法和学术思想，让我对即将展开的学习充满了期待。我希望通过这本书，能够建立起一个扎实而系统的数学理论框架，为我日后更深入的学习和研究打下坚实的基础。这本书的外观给我的第一印象就是专业、严谨，而且有分量，一看就是那种可以反复研读的经典之作。

评分☆☆☆☆☆

拿到这本《实变函数论（第二版）》的时候，第一感觉就是“沉甸甸”的学术分量。封面的设计是那种一看就很有历史感和专业性的风格，深邃的蓝色搭配烫金的书名，透着一股知识的厚重感。我特别喜欢它选用的纸张，触感温润，而且非常挺括，翻阅的时候有种清脆的“沙沙”声，这种纸张的质感对于长时间沉浸在阅读中的我来说，是一种莫大的享受。书的印刷字体非常清晰，大小也适中，即使遇到那些密集的数学公式和符号，也不会让人感到眼花缭乱。排版上，作者和出版社显然是花了不少心思，每一页都显得非常均衡和舒适，给读者留下了足够的空间去思考和标注。我尤其注意到书本的装订非常牢固，感觉即使经常翻阅，它也能长久地保持完好。这本书给我的感觉，就像是一位经验丰富的老者，静静地坐在那里，等待着你去倾听他的智慧。我个人对数学的美学也有一定的追求，而这本书的整体设计和装帧，无疑是非常符合我的审美偏好的。它不仅仅是一本书，更像是一件可以反复品味的艺术品，它的存在本身就激励着我去探索其内在的宝藏。

评分☆☆☆☆☆

当这本书呈现在我面前时，我首先被它厚实的体积所吸引，这预示着它将包含极其丰富和深刻的内容。书的封面设计非常低调而经典，没有过多的装饰，但那种严谨的学术风格却扑面而来，让我立刻感受到它的专业性和权威性。我非常喜欢它所使用的纸张，摸起来有一种细腻的滑腻感，而且相当坚韧，翻动时不会轻易产生褶皱。印刷的质量也属上乘，字迹清晰锐利，即使是细微的数学符号，也得到了完美的呈现，这对于阅读复杂的数学理论至关重要。排版方面，我观察到它采用了合理的行距和字间距，使得每一页都显得疏朗有致，不会给人造成视觉疲劳，这对于需要长时间专注的读者来说，无疑是一个巨大的福音。我特别留意了它的装订工艺，感觉非常结实，足以应对反复翻阅带来的磨损。这本书给我的整体印象是，它是一件用心打造的学术工具，它的实用性和收藏价值并存，能够长久地陪伴我进行深入的学习和研究。