第一次学工程数学就上手：微积分与微分方程 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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◎◎◎    SOP闪通教材   ◎◎◎
　　老师在解题时，会把题目的标准解题流程（SOP）记在头脑里，
　　依此标准解题流程（SOP）解给学生看，可是并不是每个学生
　　看完老师教的标准解题流程（SOP）后，就能记住此标准解题流程（SOP）。
　　本书是将每个题型的标准解题流程（SOP）写下来，
　　学生只要将题目的数值代入标准解题流程(SOP)内，
　　就可以把该题目解答出来。
　　等学生学会了后，此SOP就可以丢掉了
 

工程数学的基石与实践：深入解析微积分与微分方程 本书旨在为初涉工程科学领域的学习者提供一套全面、深入且极具实践导向的数学基础教程。我们聚焦于工程实践中最为核心的两大数学分支：微积分与微分方程，力求在严谨的数学理论与实际工程问题之间搭建起坚实的桥梁。全书结构清晰，逻辑严密，旨在帮助读者不仅“学会”计算，更能“理解”其背后的物理和几何意义，从而在面对复杂系统建模与分析时游刃有余。 第一部分：微积分——变化率与积累的艺术 微积分是理解和描述动态世界的语言。本部分将从基础概念出发，逐步深入到高等微积分的应用层面，为后续的微分方程学习打下不可动摇的基础。 第一章：函数与极限——构建微积分的逻辑起点 本章首先回顾必要的预备知识，如函数的基本性质、三角函数、指数与对数函数。核心内容在于极限的严谨定义（$epsilon-delta$ 语言的直观阐释），以及极限在判断函数连续性中的关键作用。我们将通过大量图示和实际案例（如传感器响应时间、收敛过程），展示极限概念如何为微分和积分提供数学上的可靠基础。 第二章：导数的概念与计算——瞬时变化率的精确捕捉 导数是描述系统瞬时变化率的强大工具。本章详细阐述了导数的几何意义（切线斜率）和物理意义（瞬时速率）。我们将系统性地介绍基本求导法则，包括乘法、除法、链式法则的细致推导。随后，重点介绍高阶导数的应用，例如利用二阶导数判断函数的凹凸性及极值点性质。本章的实践部分将聚焦于相关变化率问题，如管道中液体流速的变化、弹道轨迹的瞬时方向等。 第三章：导数的应用——优化与图形分析的利器 将导数知识应用于解决实际问题是工程学习的关键一步。本章深入探讨极值问题——寻找函数的最大值和最小值，这直接对应于工程中的效率优化、成本最小化等目标。我们详细分析了洛必达法则在处理不定型极限中的应用。此外，本章还涵盖了泰勒与麦克劳林级数，解释了它们如何用多项式来近似复杂的函数，这在数值计算和物理模型的简化中至关重要。 第四章：不定积分与定积分——量化积累与总量 积分是导数的逆运算，用于计算曲线下的面积、体积或随时间变化的量的累积总量。本章首先定义了黎曼和，并由此引出定积分的精确含义。微积分基本定理的推导将清晰地展示微分与积分之间的内在联系。在不定积分部分，我们将系统介绍积分技巧，包括替换法（换元积分法）、分部积分法、三角代换法以及有理函数积分中的部分分式分解法。 第五章：积分的应用——面积、体积与物理量计算 本章将积分工具箱应用到具体的几何和物理场景中。重点包括：计算平面图形的面积、旋转体的体积（圆盘法、薄壳法），以及求解弓形面积。在物理应用方面，我们将探讨功的计算、质心和形心定位、以及变力做功等问题。这些案例强调了如何将实际问题转化为合适的积分模型。 第六章：超越一元：多元微积分基础 工程系统往往涉及多个相互影响的变量。本章引入偏导数的概念，解释了如何在一个多维空间中追踪函数的变化。梯度向量的引入将直观展示函数在特定方向上的最大变化率，这对理解物理场（如热流、电场）至关重要。同时，本章也将简要介绍方向导数以及多重积分（二重积分）在计算平面区域上的质量或通量时的应用。 第二部分：微分方程——动态系统的建模与求解 微分方程是描述物理系统随时间或空间演化的核心数学工具。本部分将系统介绍常微分方程（ODE）的解法及其在工程领域的广泛应用。 第七章：微分方程导论与基本概念 本章界定微分方程的类型（常微分方程与偏微分方程）、阶数、线性和齐次性。重点在于理解微分方程的物理意义——它描述的是系统状态的变化率与其当前状态或外部输入之间的关系。本章将通过诸如牛顿冷却定律、自由落体运动等经典一阶模型，建立起“建立模型 $ ightarrow$ 求解 $ ightarrow$ 解释解”的完整流程。 第八章：一阶常微分方程的求解方法 一阶ODE是所有更高阶方程的基石。本章详细讲解求解一阶方程的几种关键解析方法： 1. 变量分离法：适用于可分离变量的方程。 2. 精确方程与积分因子法：处理不可分离的方程，并引入积分因子以将其转化为可分离形式。 3. 一阶线性微分方程：重点讲解如何运用积分因子法求解形如 $y' + P(x)y = Q(x)$ 的方程，这是RLC电路分析的基础。 4. 伯努利方程：作为线性方程的推广形式，通过变量替换转化为线性方程求解。 第九章：二阶线性常微分方程——振动与电路分析的核心 二阶线性常系数齐次方程是描述简谐振动、弹簧系统和二阶电路（RLC）的数学模型。本章将集中在求解 $ ext{ay'' + by' + cy = 0}$ 形式的方程： 1. 特征方程法：详细分析了三种情况——实数不相等根、重根和复数根（对应阻尼、临界阻尼和欠阻尼系统）。 2. 常数法（待定系数法）：用于求解非齐次方程 $L[y] = g(x)$ 的特解，涵盖了多项式、指数函数、正弦/余弦函数作为驱动项的情况。 第十章：非齐次二阶方程的求解进阶与应用 本章将拓展现有方法，以应对更复杂的工程激励。 1. 参数变易法（拉格朗日法）：一种更普适的求解特解的方法，适用于待定系数法失效的情况（如驱动项与齐次解相关时）。 2. 共振现象的深入分析：通过分析特征根与驱动频率的关系，解释工程中的共振现象及其危害。 3. 应用举例：重点分析RLC串联电路在不同输入电压（阶跃函数、正弦函数）下的瞬态响应和稳态响应。 第十一章：高阶线性常微分方程与系统动力学 本章将求解阶数大于二的线性常系数齐次与非齐次方程，其求解思路与二阶方程类似，但操作略微复杂。最后，本章将初步介绍微分方程组的概念，为理解多变量耦合系统（如机械耦合振动系统或反馈控制系统）的动态行为打下基础。 全书在覆盖以上内容时，均强调“为什么”而不是仅仅“怎么做”。每一个公式、每一种解法都配有源自机械、电子、结构或流体力学领域的具体工程实例，确保读者在掌握数学工具的同时，能清晰地看到这些抽象概念在现实世界中是如何发挥作用的。学习者将通过大量的逐步分解的例题和强调几何解释的习题，真正实现“上手”工程数学。

作者简介

林振义　　

　　现职
　　明新科技大学电机系副教授
　　荣获105年度师铎奖

　　学历
　　屏东高中
　　交通大学控制(电机)工程学系
　　交通大学计算机工程研究所硕士
　　交通大学资讯工程研究所博士

　　经历
　　工业技术研究院机械所
　　中山科学研究院
　　国立空中大学学科委员
 

第一篇　微积分
第一章　微分   
1.1 微分的定义   
1.2 微分的方法   
第二章　积分   
2.1 积分的定义   
2.2 积分的方法 

第二篇　微分方程式
第一章　基本观念   
第二章　一阶常微分方程式   
2.1 变数分离法   
2.2 正合微分方程式   
2.3 积分因子   
2.4 一阶齐次微分方程式   
2.5 含一次式之非齐次微分方程式   
2.6 一阶线性微分方程式   
2.7 白努力方程式   
第三章　常系数微分方程式   
3.1 二阶常系数微分方程式的齐次解   
3.2 二阶常系数非齐次线性方程式   
3.3 二阶常系数非齐次线性方程式的特例   
3.4 参数变换法   
3.5 含初值的二阶常系数微分方程式   
3.6 高阶微分方程式
3.7 微分运算子D   
3.8 常系数线性微分方程组   
3.9 电路学的应用   
第四章 其他类型微分方程式   
4.1 Euler-Cauchy微分方程式   
4.2 Clairaut方程式的求法   
4.3 微分方程式无x项或无y项   
4.4 幂级数法   
附录 证明用参数变换法求特解（求yp）

序

　　我利用「SOP闪通教学法」教我们系上的工程数学课，学生普遍反应良好。学生在期末课程问卷上，写着「这堂课真的帮了大家不少，以为工数很难，但在老师的教导下，工数就跟小学的数学一样的简单，这真的都是拜老师所赐的呀！」「老师很厉害，把一科很不容易学会的科目，一一讲解的很详细。」「老师谢谢您，让我重新爱上数学。」「高三那年我放弃了数学，自从上您的课后，开始有了变化，而且还有教学影片可以在家里复习，重点是上课也很有趣。」「一直以来我的数学是学过就忘，难得有老师可以让我学之后记得那么久的。」「老师让工程数学变得非常简单。」我们的前工学院院长说：林老师很不容易，将一科很硬的科目，教得让学生满意度那么高。

　　我也因而得到了：教育部105年师铎奖、明新科大100、104、107学年度教学绩优教师、技职教育热血老师、私校楷模奖等。我的上课讲义「微分方程式」、「拉普拉斯转换」，分别申请上明新科大104、105年度教师创新教学计画，并获选为优秀作品。

　　很多理工商科的基本计算题，如：微积分、工程数学、电路学等，有些人看到题目后，就能很快地将它解答出来，这是因为很多题目的解题方法，都有一个标准的解题流程（SOP，Standard sOlving Procedure），只要将题目的数据带入标准解题流程内，就可以很容易地将该题解答出来。

　　现在很多老师都将这标准解题流程记在头脑内，依此流程解题给学生看。但并不是每个学生看完老师的解题后，都能将此解题流程记在脑子里。

　　SOP闪通教学法是：若能将此解题流程写在黑板上，一步一步的引导学生将此题目解答出来，学生可同时用耳朵听（老师）解题步骤、用眼睛看（黑板）解题步骤，则可加深学生的印象，学生只要按图施工，就可以解出相类似的题目来。

　　SOP闪通教学法的目的就是要闪通，是将老师记在头脑内的解题步骤用笔写出来，帮助学生快速的学习，就如同：初学游泳者使用浮板、初学下棋者使用棋谱、初学太极拳先练太极十八式一样，这些浮板、棋谱、固定的太极招式都是为了帮助初学者快速的学会游泳、下棋和太极拳，等学生学会了后，浮板、棋谱、固定的太极招式就可以丢掉了。SOP闪通教学法也是一样，学会后SOP就可以丢掉了，之后再依照学生的属性，做一些变化题。

　　有些初学者的学习需要借由浮板、棋谱、SOP等工具的辅助，有些人则不需要，完全是依据每个人的学习状况而定，但最后需要借由工具辅助的学生，和不需要工具辅助的学生都学会了，这就叫做「因材施教」。

　　我身边有一些同事、朋友，甚至IEET教学委员们直觉上觉得数学怎能SOP？老师们会把解题步骤（SOP）记在头脑内，依此解题步骤（SOP）教学生解题，我只是把解题步骤（SOP）写下来，帮助学生学习，但我的经验告诉我，对我的学生而言，写下SOP的教学方式会比SOP记在头脑内的教学方式好很多。

　　本书就是依据此原则所写出来的。我利用此法写一系列的工程数学套书，包含有：

　　1. 第一次学工程数学就上手(I)—微积分与微分方程式
　　2. 第一次学工程数学就上手(II)—拉普拉斯转换与傅立叶
　　3. 第一次学工程数学就上手(III)—线性代数
　　4. 第一次学工程数学就上手(IV)—向量分析与复变数

　　它们的写作方式都是尽量将所有的原理或公式的用法流程写出来，让读者知道如何使用此原理或公式，帮助读者学会一门艰难的工程数学。

　　最后，非常感谢五南图书股份有限公司高至廷先生对此书的肯定，此书才得以出版。也要感谢彭幼玲小姐帮此书收集题目与练习题，打字与校对，丰富此书的内容。
 

评分☆☆☆☆☆

这本书简直是我的救星！我之前对工程数学，尤其是微积分和微分方程，简直是一头雾水，感觉像在看天书。这次考试前，我抱着试试看的心态买了这本《第一次学工程数学就上手：微积分与微分方程》。翻开第一页，我就被它的排版和语言风格吸引了。不是那种枯燥乏味的教科书，而是更像一位经验丰富的老师，循循善诱地讲解每一个概念。它没有上来就堆砌公式和定理，而是从最基本的生活实例出发，比如描述物体运动、计算面积等等，让我能很快理解微积分的意义。 它对导数的讲解特别透彻，我以前总觉得导数就是个求斜率的工具，这本书让我明白它其实是描述变化率的，这在物理、经济等很多领域都有着至关重要的应用。而且，书中的例子都非常贴近实际，比如如何利用微积分优化生产成本、分析股票波动等等，这些都让我觉得工程数学不再是遥不可及的理论，而是解决实际问题的强大武器。 我尤其喜欢它对不定积分和定积分的阐述。书里用了很多图示来解释积分的几何意义，比如定积分就是曲线下的面积，这让我一下子就豁然开朗。它还详细讲解了各种积分技巧，而且每种技巧都配有大量的例题，从简单到复杂，让我能够一步步地掌握。最重要的是，它强调了理解概念的重要性，而不是死记硬背公式。这对于我这种容易混淆公式的读者来说，简直是福音。

评分☆☆☆☆☆

这本书，真的就像一个耐心的老师，把我从工程数学的迷宫中一步步地牵引出来。《第一次学工程数学就上手：微积分与微分方程》的优点太多了，让我都不知道从何说起。最让我惊喜的是，它在讲解每一个知识点的时候，都非常注重逻辑的严谨性和推理的清晰性，让我能够理解每一个公式的由来和应用的场合。 例如，在讲到积分的意义时，它并没有直接给出定义，而是从面积计算的困境出发，引导读者一步步地走向定积分的概念，这个过程非常自然，也让我对积分的理解更加深刻。对于微分方程，它也并非简单地教授解题技巧，而是首先强调了建立数学模型的重要性，以及不同类型的微分方程所对应的实际问题，这让我意识到，数学是用来描述和解决世界的。 我非常喜欢它在例题的选取上，既有基础的巩固练习，也有一些具有挑战性的应用题，能够帮助我检验学习成果，并且将理论知识转化为实际操作能力。而且，书中的图解和表格也非常精炼，能够直观地展示一些抽象的概念，这对于我这种视觉型学习者来说，是莫大的帮助。总而言之，这是一本让我能够真正“上手”的工程数学教材，它让我对这门学科的恐惧感荡然无存，取而代之的是学习的乐趣和成就感。

评分☆☆☆☆☆

说实话，我之前对数学一直有点“恐惧症”，尤其是涉及到工程数学这种听起来就很高大上的领域，感觉自己肯定学不会。《第一次学工程数学就上手：微积分与微分方程》这本书，用一种完全出乎我意料的方式，化解了我的担忧。它更像是一本“科普读物”，用一种非常亲切的语言，把我带入了工程数学的世界。 书中的每一个章节，都仿佛是一次有趣的探索。它不是死板地罗列公式，而是通过大量的实际案例，解释了微积分和微分方程是如何解决现实世界中各种问题的。比如，书中用生动的例子讲解了如何用微积分来计算抛物线的轨迹，如何用微分方程来模拟热量的传导，这些都让我觉得数学不再是枯燥的数字游戏，而是解决问题的工具。 它对概念的解释也非常到位，不会让你产生“为什么是这样”的疑问。很多我以前怎么也想不明白的理论，在这本书里都得到了清晰的解释。而且，它鼓励读者去思考，而不是死记硬背，这让我真正地理解了数学的内涵，而不是停留在表面。这本书绝对是工程数学入门者的首选，它让你在轻松愉快的氛围中，掌握扎实的数学基础。

评分☆☆☆☆☆

作为一名工程专业的学生，我深知数学的重要性，但过去在学习微积分和微分方程时，常常感到力不从心。《第一次学工程数学就上手：微积分与微分方程》这本书的出现，无疑为我打开了一扇新的大门。它以一种非常系统和深入的方式，重新梳理了工程数学的核心内容。 本书最大的亮点在于其清晰的逻辑结构和循序渐进的学习路径。作者并没有急于展示高深的技巧，而是从最基础的定义和原理入手，层层递进，让读者能够稳扎稳打地建立起知识体系。我特别欣赏它对数学概念的解释，力求用最直观、最易懂的语言来阐述，避免了不必要的学术术语堆砌，这对于初学者来说是极大的福音。 在微积分部分，它对极限、导数、积分的概念进行了详尽的讲解，并通过大量的实例，展示了这些概念在工程设计、物理建模等方面的应用。而在微分方程部分，作者更是将复杂的方程求解过程，分解成一个个 manageable 的步骤，并辅以详细的推导过程和图示，让我能够轻松掌握。这本书不仅仅是知识的传授，更是一种学习方法的引导，让我学会了如何去理解和应用数学。

评分☆☆☆☆☆

刚拿到这本书时，我还有些忐忑，毕竟“工程数学”这几个字听起来就让人望而生畏。但是，《第一次学工程数学就上手：微积分与微分方程》这本书彻底颠覆了我的认知。它不像我之前接触过的很多教材那样，上来就抛出大量晦涩难懂的定义和定理，而是非常注重理论与实践的结合。 书中关于微分方程的讲解，更是让我印象深刻。它不仅仅是教你如何求解，更重要的是解释了微分方程在现实世界中的应用。比如，它用非常生动的例子展示了如何用微分方程来模拟传染病的传播、预测人口增长、甚至分析电路的行为。这种“知其所以然”的学习方式，让我对工程数学产生了浓厚的兴趣，也让我看到了它在各个领域的广阔前景。 它对一些复杂问题的处理也十分细致，例如在求解过程中，它会逐步分析每一步的逻辑，确保读者不会因为某个环节的理解不清而卡住。书中的插图和图表也起到了至关重要的作用，它们将抽象的概念形象化，让我在学习过程中能够更加直观地理解。我特别赞赏它在讲解过程中，始终保持一种鼓励和引导的姿态，让我感觉学习过程并没有那么艰难，而是充满探索的乐趣。