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图书目录
Preface.
1.Fundamental Concepts.
1.1.What is a Graph?
1.2.Paths, Cycles, and Trails.
1.3.Vertex Degrees and Counting.
1.4.Directed Graphs.
2.Trees and Distance.
2.1.Basic Properties.
2.2.Spanning Trees and Enumeration.
2.3.Optimization and Trees.
3.Matchings and Factors.
3.1.Matchings and Covers.
3.2.Algorithms and Applications.
3.3.Matchings in General Graphs.
4.Connectivity and Paths.
4.1.Cuts and Connectivity.
4.2.k-Connected Graphs.
4.3.Network Flow Problems.
5.Coloring of Graphs.
5.1.Vertex Colorings and Upper Bounds.
5.2.Structure of k-Chromatic Graphs.
5.3.Enumerative Aspects.
6.Planar Graphs.
6.1.Embeddings and Euler's Formula.
6.2.Characterization of Planar Graphs.
6.3.Parameters of Planarity.
7.Edges and Cycles.
7.1.Line Graphs and Edge-Coloring.
7.2.Hamiltonian Cycles.
7.3.Planarity, Coloring, and Cycles.
8.Additional Topies(optional)
8.1.Perfect Graphs.
8.2.Matroids.
8.3.Ramsey Theory.
8.4.More Extremal Problems.
8.5.Random Graphs.
8.6.Eigenvalues of Graphs.
Appendix A.Mathematical Background.
Appendix B.Optimization and Complexity.
Appendix C.Hints for Selected Exercises.
Appendix D.Glossary of Terms.
Appendix E.Supplemental Reading.
Appendix F.References.
Author Index.
Subject Index.
图书序言
图书试读
用户评价
《图论导引（第二版）》在阐述图的分解和结构方面，给我带来了新的视角，让我更加理解图的内在组织方式。书中关于“图的分解”的概念，例如将一个复杂的图分解成更简单的子图或结构，对于理解和分析图的性质非常有帮助。我记得书中对“分解成树”或者“分解成二分图”等主题的讨论，这些分解有助于简化问题，并利用已知算法来解决。例如，对于一些非二分图的问题，将其转化为二分图的等价问题来解决，往往会更容易。此外，书中还探讨了一些图的特殊结构，比如“偶图”和“完全图”等，并分析了它们的性质。我对“完全图”的概念印象深刻，它是一个非常简单却又蕴含丰富性质的图，其边的数量和连接方式都具有很强的规律性。书中还提及了一些更复杂的图结构，比如“立方体图”等，并通过一些实例展示了如何分析它们的特性。这部分内容虽然不像最短路径那样直接面向具体的计算问题，但它建立了我对图的更深层次的理解，让我能够从不同的维度去审视和分析图的结构，这对于解决更复杂、更抽象的图论问题至关重要。
评分这本书给我的最大惊喜在于，它不仅仅是罗列公式和定理，更重要的是它揭示了图论思想在解决实际问题中的强大力量。当我深入到书中关于连通性、割点、桥的部分时，我开始意识到，原来我们日常生活中的许多问题，都可以用图论的语言来描述和解决。比如，如何找到一个网络中最容易被切断的关键节点（割点），或者一条关键的连接线（桥），这对于维护网络稳定至关重要。书中对这些概念的引入，并不是生硬的定义，而是从实际场景出发，引导读者去思考。我记得书中有一个关于“城市交通网络”的例子，通过分析城市之间的连接（边）和交叉路口（顶点），来评估整个网络的鲁棒性。作者运用了图的连通分量、强连通分量等概念，清晰地展示了如何分析网络的健壮程度。此外，书中对于“欧拉图”和“哈密顿图”的讨论，也让我眼前一亮。欧拉图的问题，比如能否一次性走遍所有街道而不重复，在古代就曾引发了数学家的思考，而这本书则将这个古老的问题以现代数学的严谨方式呈现出来。我特别喜欢书中关于“柯尼斯堡七桥问题”的讲解，它不仅仅是一个数学谜题，更是图论诞生的一个重要里程碑。通过对这些经典问题的深入剖析，我不仅学会了图论的工具，更感受到了数学的魅力和历史的厚重。感觉就像是在和那些伟大的数学家进行一场跨越时空的对话，这种感觉非常奇妙，让我对接下来的学习更加投入。
评分总的来说，这本书《图论导引（第二版）》是我近期阅读过的一本非常优秀的数学书籍。它以一种既严谨又不失趣味的方式，将图论这个迷人的领域呈现在读者面前。从最基础的概念到复杂的定理和算法，作者都力求清晰、准确地阐述。我特别喜欢书中大量生动的例子和恰到好处的插图，它们有效地帮助我理解了抽象的数学概念。而且，书中的内容安排非常有条理，循序渐进，能够很好地引导读者一步步深入。虽然有些部分对数学基础的要求较高，但书中详细的证明和解释，让我能够克服困难，不断向前。我感觉通过这本书的学习，我不仅掌握了图论的基本知识和工具，更重要的是，我培养了一种用图论的思维方式去分析和解决问题的能力。这本书不仅仅是一本教材，更像是一位循循善诱的老师，引导我探索数学的奥秘。对于任何想要深入了解图论的读者，无论是初学者还是有一定基础的，我都强烈推荐这本书，它绝对会让你受益匪浅，并且让你爱上图论的魅力。
评分这本《图论导引（第二版）》我拿到手上的时候，就有一种沉甸甸的期待感，毕竟图论这个领域，虽然听起来抽象，但它在计算机科学、网络分析、运筹学等许多地方都有着至关重要的应用。我一直想系统地学习一下，了解一下图的基本概念、性质以及那些经典的问题是如何被解决的。翻开书页，首先映入眼帘的是严谨的数学语言和清晰的逻辑框架，这让我感到非常安心，我知道我将踏上一段扎实的学术旅程。从最基础的图的定义、节点（或称为顶点）、边（或称为弧）的表示方法开始，作者就循序渐进地展开。书中对于不同类型的图，比如无向图、有向图、多重图、简单图等，都做了详尽的阐述，并且通过大量的例子来帮助读者理解这些抽象概念。我尤其欣赏的是书中对于图的度数、邻接关系、子图、同构等基本概念的解释，没有丝毫含糊，每一处都力求精准。我记得当我读到关于“度数序列定理”时，虽然它是一个相对初等的结论，但作者通过多种角度的论证，让我深刻体会到了数学的严谨性。而且，书中还很细致地介绍了不同图的表示方法，例如邻接矩阵和邻接表，并分析了它们各自的优缺点，这对于后续算法的设计和分析至关重要。我觉得，对于一个初学者来说，能够如此清晰地建立起对图论基本骨架的认识，真的是非常宝贵。书中的插图也很恰当，虽然不多，但每一幅都起到了点睛之笔的作用，帮助我把脑海中的抽象模型具象化。总的来说，第一部分的基础内容，我就感觉收获颇丰，为后续更深入的学习打下了坚实的基础，让人对接下来的内容充满了好奇和信心。
评分这本书中关于图的着色问题，给我带来了意想不到的思维挑战和解决问题的乐趣。起初，“着色”这个概念听起来很直观，就像给图的顶点涂上颜色，但深入进去才发现，它背后隐藏着深刻的数学问题和广泛的应用。书中首先介绍了图的“色数”——即图的顶点着色所需要的最小颜色数，以及“边着色”和“面着色”等概念。我记得书中关于“四色定理”的介绍，虽然定理的证明过程非常复杂且依赖于计算机辅助，但书中对这个定理的历史背景、提出过程以及它在地图着色问题中的应用进行了生动的描述，让我感受到了数学研究的艰辛与辉煌。更重要的是，书中介绍了一些实际应用中的着色问题，比如“时间表安排”、“无线电频率分配”等。这些例子让我明白，图着色问题并非仅仅是抽象的数学游戏，而是与日常生活的许多方面息息相关。书中还探讨了不同类型图的色数，以及一些求解图着色的算法，虽然很多问题都是NP-难的，但理解这些问题及其近似算法的重要性，对于我在实际问题中进行启发式求解非常有帮助。这本书教会我，即使是看似简单的问题，深入挖掘其内在的数学结构，也能发现其复杂性和美妙之处，这是一种非常宝贵的学习体验。
评分这本书在图的匹配问题上的讲解，可以说是对我的思维方式进行了一次全面的“重塑”。在学习之前，我从未想过“匹配”这个概念能与图论如此紧密地联系在一起，更没有意识到它在现实世界中有着如此广泛而重要的应用。书中从二分图的匹配开始，逐步深入到一般图的匹配。我记得书中对“最大匹配”和“完美匹配”的定义非常清晰，并且通过一些生动的例子，比如“分配工作给工人”或者“运动员配对比赛”，让我立刻就理解了匹配问题的核心。更令我印象深刻的是书中关于“霍尔定理”的介绍，这个定理为二分图的最大匹配提供了充当充要条件，其证明过程虽然略显抽象，但其逻辑的严谨性和结论的普适性，让我惊叹于数学的优雅。我花了很多时间去理解这个定理，并且尝试着用它来解决一些简单的匹配问题。书中还介绍了多种寻找最大匹配的算法，比如匈牙利算法，并且对算法的原理和实现细节进行了详细的阐述。虽然这些算法的实现可能需要一定的编程基础，但书中提供的思路和框架，对于理解算法的核心逻辑非常有帮助。读完这部分内容，我感觉自己仿佛打开了一个新的视角，能够用图论的语言去分析和解决更多现实世界中的组合优化问题，比如资源分配、任务调度等，这真的是一次非常有价值的学习体验。
评分这本书对于图中的距离和最短路径问题的讲解，可以说是非常透彻和实用的。当我读到这部分时，我立刻联想到了导航系统、网络通信中的数据传输等实际应用。书中首先引入了“距离”的概念，以及如何在带权图（或称为赋权图）中计算两点之间的距离。我记得书中详细介绍了“迪杰斯特拉算法”，用于求解单源最短路径问题。作者不仅解释了算法的直观思想，比如“贪心”地选择当前最近的未访问节点，还提供了详细的算法步骤和证明，让我理解了为什么它能够找到最短路径。我对算法的每次迭代和距离更新过程都进行了仔细的分析，并且尝试用小规模的图进行手动模拟，感觉自己真正掌握了这项重要的算法。除了迪杰斯特拉算法，书中还介绍了“弗洛伊德-沃舍尔算法”，用于求解所有顶点对之间的最短路径问题。虽然这个算法在处理大规模图时效率不高，但它提供了一种完全不同的思路，通过动态规划的思想来逐步构建出所有最短路径，这让我对最短路径问题有了更全面的认识。我尤其欣赏书中对这些算法在实际应用场景中的介绍，这让我能够清晰地看到理论知识是如何转化为解决实际问题的强大工具，极大地激发了我学习的动力。
评分《图论导引（第二版）》对于连通性、割集和流网络的论述，给我带来了极大的启发，它让我看到了图论在网络流分析和通信系统设计等领域的重要作用。书中对“割”的概念的引入，是理解网络流问题的关键。我理解了如何用“最小割”来度量网络的容量瓶颈，以及它与“最大流”之间的深刻联系，即著名的“最大流最小割定理”。这个定理的证明过程，不仅展现了数学的严谨性，更揭示了网络分析中一种深层次的对称性。书中详细介绍了求解最大流问题的几个经典算法，例如福特-福尔森算法及其改进算法——埃德蒙兹-卡普算法。作者通过详细的图示和循序渐进的讲解，让我能够清晰地理解算法的每一步操作，包括如何构建残量网络，如何寻找增广路径，以及如何更新流量。虽然算法的实现需要一定的细致度，但书中提供的理论基础和算法框架，让我能够有效地掌握这些工具。我特别喜欢书中关于“多路网络流”和“单位容量网络流”的讨论，这些内容进一步拓展了流网络的应用范围，并为解决更复杂的问题提供了方法。读完这部分，我感觉自己对网络的容量、瓶颈和效率有了更深刻的理解，也对如何在实际的通信、交通、物流等网络中进行优化设计有了初步的认识。
评分《图论导引（第二版）》在树这一个章节的处理上，给我留下了极其深刻的印象。树作为一种特殊的图，其简洁的结构和广泛的应用，使得我对它一直充满兴趣。书中对树的定义，如无环连通图，以及其等价命题，如任意两顶点间有唯一路径，都进行了细致的推导和证明，这让我对树的本质有了更清晰的认识。我特别欣赏的是书中关于“生成树”的部分，它在网络设计、数据结构（如优先队列、霍夫曼编码）等领域都有着不可替代的作用。书中详细介绍了两种经典的生成树算法：普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。作者不仅给出了算法的伪代码，还用非常直观的图示和文字解释了算法的每一步操作，并对算法的时间复杂度进行了分析。我反复研读了这两个算法，并尝试自己用笔在纸上模拟运行，感觉自己真的掌握了如何构建最小生成树。这不仅仅是学习两个算法，更重要的是理解了“贪心算法”的思想，以及它如何在特定问题中取得最优解。此外，书中还探讨了树的遍历（前序、中序、后序）以及一些特殊的树结构，如二叉树、平衡树等，虽然这些可能涉及更高级的计算机科学内容，但书本的引入方式非常自然，不会让读者感到突兀。它就像一座桥梁，将初等的图论概念与更广泛的应用领域连接起来，让我看到了图论的无限可能性。
评分《图论导引（第二版）》在探索图的遍历和搜索算法方面，做得非常出色，这部分内容对我理解算法设计和数据结构起到了关键作用。书中详细介绍了两种最基本的图的遍历算法：广度优先搜索（BFS）和深度优先搜索（DFS）。我记得作者用非常清晰的图示和递归/迭代的伪代码，一步步地解释了这两种算法的工作原理。BFS通过一层一层地探索图，寻找最短路径，这在很多问题中都非常有用，比如社交网络中的“六度分隔”问题。而DFS则沿着一条路径尽可能深地探索，直到无法继续，这在寻找连通分量、检测环等问题中发挥重要作用。书中还深入探讨了BFS和DFS的应用，例如在判断图的连通性、查找图中的路径、拓扑排序等。拓扑排序部分，我尤其感兴趣，它在项目管理、课程安排等领域有着实际的应用价值。书中清晰地阐述了如何利用DFS来求解拓扑排序，并且分析了其可行性和有效性。此外，书中还触及了一些更高级的搜索算法，比如A*搜索算法，虽然没有深入展开，但其引入让我对更高效的搜索策略有了一个初步的认识。总的来说，这部分内容让我对如何系统地“走访”图的每一个节点和边有了深刻的理解，也为我未来学习更复杂的图算法打下了坚实的基础。
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