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泛函分析
数值分析

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具体描述

Summary

　　This book is a written version of a lecture course that I have conducted over anumber of years at National Tsing Hua University on the subject of mathematical methods for physics In response to student requests, once and again, the main purpose of the book is devoted to motivate students to feel free to study mathematics independently The book is intended to provide advanced undergraduate and beginning graduate students in physical science with the most fundamental tools and important background which they will need in the advanced studies It contains a lot of physical examples appearing in many remarkable reference books, or bursting out
in my research career All examples have been carried out step by step as clear as possible Through the numerous illustrations readers may become familiar with the basic outlook of mathematical methods for physics, recognize the skillful techniques in general, and enable to apply or to extend to advanced problems

好的，这是一本名为《经典力学中的数学方法》的图书简介，内容详尽，不涉及任何与《Mathematical Methods for Physics》直接相关的内容。 --- 《经典力学中的数学方法》导言经典力学是物理学中最基础、最核心的理论框架之一。它为我们理解宏观世界中物体的运动规律提供了坚实的数学基础。然而，要深入理解和应用经典力学，仅仅掌握牛顿定律是远远不够的。本书旨在为物理学、工程学及相关领域的学生和研究人员提供一套系统、严谨的数学工具箱，这些工具是解析复杂力学问题、从拉格朗日与哈密顿体系中提取深刻洞见的基石。本书的撰写视角着重于“应用驱动的数学”，而非纯粹的数学理论阐述。我们相信，数学工具的价值在于其在解决实际物理问题中的有效性。因此，每一章节的介绍都紧密围绕其在力学中的具体应用展开，力求在严谨性与直观性之间取得平衡。核心内容与结构本书结构清晰，层层递进，从基础的微积分工具到高级的微分几何概念，构建起一个完整的力学数学框架。第一部分：基础分析工具的重温与深化第一章：多变量微积分与向量分析本章首先回顾了多变量函数的偏导数、梯度、散度、旋度和线积分、面积分等基础概念。我们将重点探讨这些概念在物理学中的具体含义，例如梯度如何指示力的方向，散度与源项的关系，以及旋度在角动量守恒中的角色。我们随后深入探讨了格林定理、斯托克斯定理和高斯散度定理。这些定理不仅是数学的优美表达，更是物理学中场论和保守力的基础。通过大量的力学实例——如计算电场或引力场中的通量和环量——读者将熟悉如何利用这些积分定理简化复杂的场积分运算，理解保守场与非保守场的区别。本章还引入了正交曲线坐标系（包括柱坐标和球坐标）下的微分算子表达，这是处理具有对称性问题（如中心力问题）的必要准备。第二章：常微分方程与边值问题经典力学的核心在于运动方程，它们通常表现为常微分方程组。本章专注于线性常微分方程的求解技术。我们将复习齐次与非齐次方程的通解结构，以及常数变易法和拉普拉斯变换在求解瞬态响应问题中的应用。重点部分在于特征值问题。在振动分析中，特征值对应于系统的固有频率，特征向量则描述了振动的模式。本章详细讲解了常系数矩阵的对角化方法，这直接对应于解耦合振动系统。此外，我们引入了摄动论的初步概念，用于处理那些难以精确求解的微小扰动问题，例如受阻尼或微弱驱动的谐振子。第二部分：解析力学的数学语言第三章：变分原理与欧拉-拉格朗日方程解析力学的核心是最小作用量原理。本章从严格的数学角度引入泛函和泛函导数的概念。我们详细推导了欧拉-拉格朗日方程，并展示了如何将其应用于各种保守和非保守系统。本章的重点在于理解守恒量的导出。通过将欧拉-拉格朗日方程与诺特定理（Noether's Theorem）建立联系，读者将清晰地看到对称性如何直接导出动量、角动量和能量守恒。我们将通过多个实例（如单摆、受约束的粒子系统）来巩固这些概念，强调坐标选择的自由度如何通过拉格朗日量得到统一处理。第四章：哈密顿力学与相空间结构从拉格朗日形式到哈密顿形式的转变是分析力学的一次飞跃。本章详细介绍了勒让德变换，并推导出哈密顿正则方程。我们将相空间（由广义坐标和共轭动量构成的空间）作为研究的核心舞台。关键概念包括泊松括号的引入及其代数性质。泊松括号不仅是微分算子的简洁表示，更是判断两个物理量是否守恒的关键工具。本章还探讨了正则变换的理论，特别是母函数法，这为简化哈密顿系统提供了强大的代数工具。我们将运用这些工具来分析周期性系统的稳定性。第三部分：高级数学工具的应用第五章：张量分析与微分几何基础为了处理更复杂的物理系统，例如在弯曲时空中描述运动，我们需要更强大的数学框架——张量分析。本章介绍张量的定义、协变与逆变分量、指标提升与降低，以及张量在不同坐标系下的变换规律。重点在于共变导数的概念，它允许我们在非欧几里得空间（如曲面上或弯曲时空中）中定义梯度的概念，从而正确地表达微分关系。我们将应用张量来描述应力与应变（在材料力学中的应用），并为理解相对论中的时空几何打下基础。第六章：傅里叶分析与偏微分方程在波动现象、扩散过程以及许多场论问题中，我们常常需要求解偏微分方程 (PDEs)，如波动方程、热传导方程和拉普拉斯方程。本章集中于利用傅里叶级数和傅里叶变换来求解这些方程的分离变量法。我们将详细分析在不同边界条件下（如固定端、周期边界）如何利用傅里叶级数展开来表示任意初始条件。随后，傅里叶变换被引入处理无限域问题。本章的难点在于处理格林函数（或称基本解），这是一种强大的技术，能够将复杂的非齐次PDE问题转化为求解一个源项的积分问题。第七章：群论基础与对称性本章探讨群论在物理学中的作用，特别是作为理解对称性的语言。我们介绍群的基本概念，如子群、陪集、同态与同构。重点在于表示论，特别是酉表示。我们将应用群论来分析系统的对称性，例如旋转群 $SO(3)$ 在角动量理论中的应用。通过正交化基矢和特征值的技术，读者将掌握如何利用对称性来简化能级简并和预测守恒律的必然性。结论《经典力学中的数学方法》旨在提供一个坚实的桥梁，连接抽象的数学概念与具体的物理现实。通过对变分法、哈密顿形式、张量分析和高级积分技术的系统介绍，本书确保了读者不仅能够“解出”力学问题，更能从数学结构上“理解”物理定律背后的深刻逻辑。掌握这些方法，是迈向量子力学、场论及现代物理研究的必经之路。

著者信息

图书目录

Preface 3
Contents 5
1 Functions of a Complex Variable 9
11 A Brief Review of Analytic Functions 9
12 Cauchy Residue Theorem and Its Applications 23
13 Poisson's Integral and Mittag-Le_er's Expansion 53
14 Evaluations of Inverse Laplace Transform 58
Exercise 64

2 Conformal Mapping 69
21 Examples of Conformal Mappings 69
22 Transformation of Harmonic Functions 78
23 Applications to Steady Temperatures 81
24 Applications to Electrostatic Potential 90
25 Schwarz-Christo_el Transformation 101
26 Applications to Fluid Flow 113
Exercise 124

3 Elliptic Functions 129
31 Introduction 129
32 Elliptic Integrals 135
33 Parametric Equation of the Ellipse 145
34 Reduction to the Standard Form 157
35 Complex Argument 169
36 _Conformal Mapping 174
37 _Applications 181
Exercise 196

4 Tensor Calculus 201
41 Tensor Algebra 201
42 Fundamental Tensor (Metric) 207
43 Parallel Displacement 213
44 Christo_el Symbols 214
45 Covariant Di_erentiation 221
46 Geodesics 228
47 Frenet-Serret Formulas 236
48 Riemann-Christo_el Tensors 241
49 Gravity as a Metric Phenomenon 255
Exercise 269

5 Sturm-Liouville Theory 271
51 Adjoint and Hermitian Operators 272
52 Properties of the Hermitian Operators 279
53 Bessel Inequality and Schwarz Inequality 284
54 Green Function 290
55 Gram-Schmidt Orthogonalization 317
Exercise 321

6 Gamma Function 323
61 De_nition and Properties of Gamma Functions (z) 323
62 Integral Expression of (z) 328
63 Cauchy and Saalschutz Extension of (z) with Re(z) < 0 332
64 Digamma Functions And Polygamma Functions 333
65 Bernoulli Numbers And Bernoulli Functions 339
66 Euler-Maclaurin Integration Formula 342
67 Beta Function and Incomplete Functions 346
68 Error Functions 353
69 Dirichlet Integral 357 Exercise 360

7 Bessel Functions 365
71 Generating Function 365
72 Recurrence Relations 368
73 Integral Expressions of Bessel Function Jn(x) 370
74 Bessel Functions J_(x) with Noninteger _ 371
75 Contour Expression of Bessel Functions 380
76 Orthogonality of Bessel Functions 383
77 The Second Kind Bessel Functions N_(x) 391
78 Hankel Functions H(1;2)
_ (x) 394
79 Saddle-Point Method (Steepest Descent) 396
710 Wronskian Formulas 401
711 Modi_ed Bessel Functions 403
712 Spherical Bessel Functions 410
713 Modi_ed Spherical Bessel Functions 419
Exercise 421

8 Legendre Functions 425
81 Generating Function 425
82 Recurrence Relations 429
83 Orthogonality 433
84 Rodrigues Formula of Legendre Functions 439
85 Legendre Functions of the Second Kind 444
86 Laplace Integral Representation of Legendre Function 450
87 Associated Legendre Functions 452
88 Spherical Harmonic Functions 462
89 Angular Momentum 468
810 Addition Theorem 474
811 _Integrals of the Product of Three Spherical Harmonic Functions 479
Exercise 481

9 Other Special Functions 485
91 Hermite Functions 485
92 Laguerre Functions 502
93 Associated Laguerre Functions 506
94 Chebyshev Polynomials 514
95 Hypergeometric Functions 526
96 Conuent Hypergeometric Functions 535
Exercise 543

10 Fourier Series and Fourier Transform 547
101 Fourier Series 547
102 Complex Fourier Series 561
103 Applications to Solving Di_erential Equations 563
104 Fourier Integral 569
105 Properties of Fourier Transform 583
106 Dirac _-Function 601
Exercise 610

11 Laplace Transform 615
111 De_nition of Laplace Transform 615
112 Properties of Laplace Transform 618
113 Applications to Special Functions and Di_erential Equations 630
114 Inverse Laplace Transform 647
115 Operator Calculus 656
116 Useful Integrals 662
Exercise 669

12 Mellin and Hankel Transform 673
121 De_nition of Integral Transform 673
122 Mellin Transform 678
123 Properties of Mellin Transform 687
124 Hankel Transform 691
125 Properties of Hankel Transform 702
126 Relation Between Hankel and Fourier Transforms 707
127 _Dual Integral Equations 714
128 Finite Hankel Transform 722 Exercise 738

13 Integral Equations 741
131 Linear Di_erential Equations And Integral Equations 742
132 Sturm-Liouville Equation into Integral Equation 747
133 Integral Transforms 759
134 Iteration Method 767
135 Separable Kernels 769
136 Eigenvalues and Eigenfunctions 772
137 Variation-Iteration Method 777
138 Two-Dimensional Green Function 782
139 Three-Dimensional Green Function 789
1310Applications to Heat, Wave, and Schrodinger Equations 796
Exercise 807

14 Calculus of Variations 813
141 Variational Calculus 814
142 Hamiltonian Principle 821
143 One Dependence, Several Independent Variables 824
144 Several Dependent, Several Independent Variables 827
145 Lagrangian Multipliers 830
146 Variation Subject to Constraints 835
147 Rayleigh-Ritz Method 842
148 Variational Formulation of Eigenfunction Problems 844
149 Eigenfunction Problems by the Ratio Method 850
Exercise 855
Bibliography 859
Index 861

6 Gamma Function 323
61 De_nition and Properties of Gamma Functions

图书序言

图书试读

用户评价

评分☆☆☆☆☆

我一直认为，一本好的科学书籍，不应该仅仅是知识的堆砌，更应该展现出作者对学科的热情和思考。《Mathematical Methods for Physics》恰恰做到了这一点。在讲解某些概念时，作者会时不时穿插一些历史的渊源，或者是一些著名物理学家在发展这些数学工具时的故事。例如，在介绍复变函数时，作者会提到柯西和黎曼的工作，以及这些概念如何深刻地影响了物理学的发展。这些“花絮”虽然不是核心内容，但却极大地增加了阅读的趣味性，也让我感受到了数学和物理学作为人类智慧结晶的魅力。我常常会因为这些小故事，对某个数学工具或者物理概念产生更浓厚的兴趣，想要去了解更多。这种人文关怀式的讲解，让这本书不再是一本冰冷的教科书，而更像是一位经验丰富的老师，在与你进行一场智慧的交流。它让我明白，科学的学习过程，不仅仅是理性逻辑的推演，也包含了人类探索未知的好奇心和创造力。

评分☆☆☆☆☆

这本书在数学符号的引入和使用上，显得非常有条理和规范。在不同的数学分支或者概念出现时，作者都会明确地介绍所使用的符号及其含义，并且在首次使用时进行详细的解释。这避免了我们在阅读其他书籍时，经常遇到的“符号爆炸”问题，即各种符号层出不穷，但又没有明确的定义，导致理解困难。例如，在介绍微分方程的时候，书中会详细说明不同记号（如 $y'$, $frac{dy}{dx}$, $dot{y}$）的含义和适用场景。在涉及张量时，作者也很有耐心地解释了指标的上下位置、爱因斯坦求和约定等约定俗成的规则，并提供了清晰的例子。这使得我在阅读过程中，能够专注于理解数学方法本身，而不是花费过多的精力去纠结于符号的意义。这种严谨的符号处理，不仅提升了阅读的流畅性，也培养了我对数学符号规范使用的良好习惯。我甚至觉得，这本书在符号处理方面的细致程度，足以成为其他数学类书籍的典范。

评分☆☆☆☆☆

书中提供的例题和习题，我必须说，是这本书最宝贵的部分之一。我一直觉得，学习数学方法，光看不练是远远不够的，而《Mathematical Methods for Physics》在这方面做得非常出色。它的例题涵盖了从基本概念的应用到复杂问题的求解，并且每道例题都提供了详细的解题思路和步骤，这对于我这种需要“模仿学习”的读者来说，简直是无价之宝。我会在看书的时候，先尝试自己做一遍例题，然后再对照书中的解答，看看自己的思路和方法是否正确。这种主动学习的方式，让我能够及时发现自己的知识盲点。而习题部分，则是由浅入深，难度梯度设计得非常合理。从一些简单的概念检验题，到需要综合运用多个数学工具来解决的复杂问题，应有尽有。更让我惊喜的是，很多习题都来源于经典的物理学问题，这让我感觉自己不仅仅是在做数学练习，更是在参与到物理学的探索过程中。我还发现，一些习题的后面，会有一个小小的提示，或者会指明该习题涉及的知识点，这对于我这种时间有限，需要提高效率的读者来说，非常实用。

评分☆☆☆☆☆

我特别喜欢这本书在处理抽象概念时所采用的清晰逻辑和循序渐进的教学方法。对于像“张量”、“群论”这样初学者可能觉得十分晦涩的数学工具，作者并没有直接丢出定义和公式，而是先从一些相对容易理解的物理场景入手，比如刚体的转动或者晶体的对称性，然后慢慢地引出相关的数学概念。这种“由表及里”或者“由浅入深”的讲解方式，极大地降低了学习的门槛。在介绍一个新概念时，作者总是会先给出直观的解释，然后是数学定义，接着是详细的推导过程，最后还会配以具体的例子进行说明。这种结构化的讲解，让我能够一步步地理解和掌握每一个知识点，而不是感到无所适从。我记得在看关于“李群”的部分，一开始我完全没有头绪，觉得这东西太抽象了。但作者通过介绍对称性在物理学中的重要性，比如拉格朗日方程中的守恒律，然后逐步引入李代数的概念，再到李群的性质，最终让我对李群有了初步的认识。这种循序渐进的教学设计，充分考虑到了读者的认知规律，让人感觉学习过程是一个自然而然的推进，而不是被动地接受信息。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版，我得说，简直是太人性化了。我之前也看过不少理工科的书籍，很多时候都觉得排版很混乱，公式挤在一起，图表和文字之间没有足够的留白，看久了眼睛非常疲劳。但是《Mathematical Methods for Physics》在这方面做得非常出色。每当引入一个新的概念或者定理，作者都会给出一个清晰的标题，然后用加粗或者斜体的形式突出关键词，这对于我这种需要快速抓住重点的人来说，简直是福音。公式的排版也十分规范，每一个符号都清晰可见，并且与旁边的文字解释衔接得非常流畅。更难得的是，书中穿插的图示和图形，质量都非常高。它们不是那种随随便便画的示意图，而是经过精心设计的，能够直观地展示数学概念在物理学中的应用。比如，在介绍矢量微积分的时候，书中就配有详细的曲线、曲面和区域的示意图，配合着文字的讲解，我能很轻松地理解梯度、散度和旋度的几何意义。而且，文字和图表之间的过渡非常自然，不会让人觉得突兀。页眉和页脚的设计也很有心，页眉清晰地标明了章节的名称，页脚则有页码，方便我在阅读过程中快速定位。我尤其欣赏的是，书中对于一些复杂的数学推导，会通过分步讲解的方式呈现，并且在关键步骤用特殊标记（比如小箭头或者高亮）来指示，这让我在跟着推导的时候，思路不会被打断，也能更容易地发现其中的逻辑联系。

评分☆☆☆☆☆

我发现这本书在对数学方法的物理意义的强调上，做得非常出色。很多时候，我们在学习数学方法时，会陷入纯粹的计算和推导，而忽略了这些数学工具背后所蕴含的物理思想。这本书则不同，它始终将数学方法置于物理学的背景下进行讲解。例如，在介绍“拉普拉斯变换”时，作者会首先阐述它在解决常微分方程中的优势，特别是如何将微分运算转化为代数运算，从而简化求解过程，而这正是物理学中处理系统响应的常用手段。书中关于“格林函数”的讲解，更是将抽象的数学概念与物理学中的散射理论、电磁学边界值问题等紧密联系起来，让我深刻体会到数学工具如何帮助我们理解物理世界的本质。这种“理论联系实际”的教学理念，极大地提升了学习的效率和乐趣，让我觉得学习数学方法不再是枯燥的训练，而是通往理解物理世界的钥匙。

评分☆☆☆☆☆

在阅读《Mathematical Methods for Physics》的过程中，我发现它在理论的深度和广度上都做得相当到位。作者并没有简单地罗列各种数学工具，而是非常注重解释这些工具是如何从物理学的基本原理中产生的，以及它们在解决具体物理问题时扮演的角色。这一点非常关键，因为很多时候，我们学习数学方法，仅仅是为了应付考试或者完成作业，并没有真正理解它们背后的物理意义。这本书给了我一种“授人以渔”的感觉，它教会我不仅仅是“怎么用”，更重要的是“为什么这么用”。比如，在讲解傅里叶变换时，它并没有止步于介绍其数学形式，而是花了大量的篇幅来阐述其在波动理论、信号处理乃至量子力学中的重要性，并通过一些典型的物理例子，比如简谐振动的叠加，来展示傅里叶变换的强大威力。这种从物理问题出发，引出数学工具，再回到物理应用的方式，让我对数学方法有了更深刻的理解，也激发了我进一步探索相关物理现象的兴趣。我常常在阅读的过程中，会不自觉地将书中的数学概念与我之前学过的物理知识联系起来，这种融会贯通的感觉，让我觉得学习过程非常充实和有意义。

评分☆☆☆☆☆

在结构设计上，《Mathematical Methods for Physics》展现出了非常清晰的脉络和逻辑性。全书的内容被划分成若干个主要部分，每个部分又由多个章节组成，并且章节之间相互关联，层层递进。从基础的代数和微积分，到线性代数、复变函数，再到更高级的微分方程、张量分析，以及一些在现代物理中广泛应用的特殊函数和积分变换，内容安排得井井有条。我特别欣赏的是，书中在引入一个新的数学工具之前，都会简要回顾之前学过的相关知识，或者说明新知识将如何构建在旧知识的基础上。这种“回顾与展望”的设计，让我能够清晰地看到知识体系的完整性，也更容易将新的知识点融入到已有的知识框架中。书的附录部分也做得相当实用，包含了常用的数学公式、物理常数以及一些重要的数学定理的证明，这为我提供了极大的便利，省去了我到处查找资料的时间。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计，我第一眼就觉得很有质感，硬壳封面，低饱和度的蓝绿色调，上面用银色烫金印着书名“Mathematical Methods for Physics”，简洁而又不失专业感。翻开扉页，纸张的触感也相当不错，不是那种薄薄的、容易泛黄的纸，而是略带韧性的，即使经常翻阅也不会轻易损坏。我特别喜欢书脊的装订方式，牢固而且可以平铺，阅读起来非常方便，尤其是在需要抄写公式或者对照图表的时候，这一点真的太重要了。我拿到书的那天，刚好是周末，阳光正好，我就带着它去了家附近的咖啡馆，点了一杯拿铁，然后就迫不及待地翻开了第一章。老实说，我一开始并没有对书的内容抱有多大的期待，毕竟“数学方法”这个主题本身就有点枯燥，而且市面上相关的书籍也很多，想要找到一本既系统又易懂的，实在不易。但这本书，从它的整体呈现方式，到我初步浏览的章节，都给我一种惊喜。它不仅仅是一本教材，更像是一件精心打磨的工艺品，让人在学习知识的同时，也能享受到阅读的乐趣。封面上的字体选择也非常考究，衬线体的应用，既保留了学术的严谨性，又带有一丝复古的优雅，这与物理学本身那种探索未知、追求本质的魅力，似乎有着异曲同工之妙。我甚至觉得，仅仅是摆在书架上，它也能为我的书房增添不少学术氛围。

评分☆☆☆☆☆

这本书的语言风格，我个人觉得非常到位，既有学术的严谨性，又不失通俗易懂的特点。作者在解释复杂的数学概念时，善于使用类比和形象的比喻，将抽象的数学语言转化为更加直观的理解。比如，在讲解“狄拉克δ函数”时，它会将其比喻为一个“无限高、无限窄，但面积为1的脉冲”，这个比喻生动形象，让我一下子就抓住了狄拉克δ函数的核心特性。而且，作者在遣词造句上，也力求简洁明了，避免了冗长和晦涩的表达。即使是涉及到一些专业术语，也会在第一次出现时给出清晰的解释。我感觉作者就像是一位经验丰富的导游，能够带领我这个初学者，一步步地游览数学和物理学的奇妙世界。他不会一上来就抛出大量的专业术语，而是循序渐进，让我能够逐步适应和理解。这种教学语言的艺术，在这本书中得到了很好的体现。