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数学本身不但是一种学问，同时也是科学的工具。研读自然科学或工程的同学莫不需有良好的数学基础。本书是提供给大一的同学作为先修课程，前三章为函数及微积分基本观念及技巧，中间三章是有关向量的运算，后面是曲线座标及简易微分方程，对非数学系的同学来说只要能真正的了解本书以及熟练这些技巧，就有足够的数学基础来研读各专业科目。

经典力学导论：从牛顿到拉格朗日 内容简介 本书旨在为物理学、工程学以及对理论物理有浓厚兴趣的读者，提供一套深入而严谨的经典力学框架。我们聚焦于物理学发展史上的关键里程碑，特别是牛顿力学体系的构建、能量和动量守恒定律的深入探讨，以及向更具普适性的拉格朗日力学形式的过渡。本书的结构设计旨在引导读者从直观的、基于力的宏观描述，逐步过渡到抽象的、基于能量和变分原理的微观描述，从而为深入学习量子力学、电动力学和更前沿的理论物理打下坚实的基础。 第一部分：牛顿力学的基石与应用 本部分着重于奠定经典力学的基本概念和数学工具。我们将从对“力”、“质量”和“加速度”的精确定义开始，细致剖析牛顿三大运动定律在各种物理情境下的严格应用。 第一章：运动学的几何与矢量基础 我们首先回顾必要的数学工具。包括空间坐标系的选择（笛卡尔、柱坐标、球坐标），位移、速度和加速度的矢量描述。重点讨论在不同参考系下的运动学变换，特别是惯性系与非惯性系之间的区别，为后续讨论惯性力和科里奥利力做铺垫。我们还会引入瞬时速度和角速度的概念，并用微分几何的语言描述曲线运动的曲率和切向加速度。 第二章：牛顿第二定律的严格表述 本章是全书的核心之一。我们不仅讨论 $mathbf{F} = mmathbf{a}$ 的标量形式，更强调其矢量形式在三维空间中的应用。详细分析几种理想化的力场：重力场、弹性力（胡克定律）和粘滞阻力。通过大量实例，如抛体运动在考虑空气阻力下的修正解，以及受迫振动中的瞬态响应，巩固读者对力的矢量叠加原理的理解。 第三章：功、能与保守力场 从力到能量的转变是物理学思维的一次飞跃。本章引入“功”的概念，并建立功与动能之间的关系——动能定理。随后，我们定义保守力，并导出势能的概念。深入探讨势能函数的性质，如平衡点、势垒和势阱。通过保守力场中的运动分析，读者将体会到能量守恒定律作为一种更基本、更普适的守恒律的优越性。我们还会分析一般保守力场中的运动轨迹，包括中心力问题（如行星运动的开普勒定律的推导）。 第四章：动量、角动量及其守恒律 动量和角动量是描述系统整体运动状态的关键物理量。本章详细探讨冲量与动量变化的关系，并分析碰撞问题，区分完全弹性碰撞和非弹性碰撞。在角动量部分，我们建立角动量定理，并论证了在没有外力矩作用下角动量守恒的条件。这部分内容将穿插介绍刚体的定性概念，为下一部分研究复杂系统做好准备。 第二部分：扩展系统与刚体动力学 牛顿力学的应用范围远不止于质点。本部分将系统扩展到多粒子系统和宏观的刚体运动。 第五章：质点系动力学与质心运动 对于由大量粒子组成的系统，我们引入质心坐标系的概念。证明质心遵守与单个质点相同的运动方程，即 $mathbf{F}_{ ext{ext}} = Mmathbf{a}_{ ext{cm}}$，即使内部粒子间存在复杂的相互作用。本章还探讨了系统内部能量（内能）与质心运动能量（外能）的解耦，以及对火箭推进等变质量系统的初步分析。 第六章：刚体的定性描述与转动定律 刚体是宏观物理研究的重要对象。我们首先定义刚体的约束和自由度。随后，重点推导欧拉角，作为描述三维刚体定向的必要工具。动能的计算扩展到平动能和转动能之和。最终，我们建立刚体的转动惯量概念，并推导出角动量的守恒形式——转动定律 $mathbf{ au} = frac{dmathbf{L}}{dt}$，并与牛顿第二定律进行类比。 第七章：陀螺与进动 本章是刚体动力学应用的难点与亮点。详细分析定常转动，特别是绕固定点转动的刚体。通过分析对称陀螺的运动，系统地推导出章动（Precession）、自转（Spin）和章动力矩之间的关系。这部分内容对理解地球的进动和稳定性至关重要。 第三部分：从力学到分析力学——拉格朗日形式的引入 本部分标志着分析工具的升级，从基于力的积分形式转向基于能量的变分形式。 第八章：约束、广义坐标与虚拟功 在分析复杂系统时，处理约束力会非常繁琐。本章介绍如何用最少的独立坐标——广义坐标 $(q_i)$——来描述系统的构型。我们将严格定义“约束”的类型（完整约束与非完整约束），并引入“虚位移”和“虚功”的概念。基于达朗贝尔原理（Principle of Virtual Work），推导出静态平衡的条件，为拉格朗日方程的推导奠定变分基础。 第九章：拉格朗日方程的推导与应用 本章的核心是哈密顿-拉格朗日原理（最小作用量原理）。我们首先定义拉格朗日量 $L = T - V$（动能减去势能），然后推导出著名的欧拉-拉格朗日方程： $$ frac{d}{dt} left( frac{partial L}{partial dot{q}_i} ight) - frac{partial L}{partial q_i} = 0 $$ 我们将用此方程重新解决简单的振动问题、复合摆问题，以及著名的二次耦合振子问题，展示其在处理约束和求运动方程时的简洁性与高效性。 第十章：守恒量与诺特定理（概述） 利用拉格朗日力学框架，守恒量的寻找变得更加系统化。如果拉格朗日量不显含某个广义坐标（即该坐标是“循环坐标”），则与之共轭的广义动量 $frac{partial L}{partial dot{q}_i}$ 必守恒。这为分析中心力问题中角动量守恒提供了更优雅的数学解释。本章末尾将简要介绍诺特定理的思想，揭示对称性与守恒量之间的深刻联系，为后续深入学习打下概念基础。 总结 本书在结构上遵循了从具体到抽象、从经验到原理的清晰路径。读者在完成本书的学习后，不仅能熟练运用牛顿力学解决宏观物理问题，更重要的是，将掌握一套强大的、以能量为中心的分析工具——拉格朗日力学，从而为理解现代物理学的数学结构做好充分准备。本书强调概念的精确性、数学的严谨性以及物理图像的直观性相结合。

作者简介

林云海

　　淡江大学物理系教授
 

第一章　函数观念和函数的一些复习1
1-1　函数的定义2
1-2　函数的图形表示4
1-3　三角、反三角函数、自然对数和指数函数8

第二章　微　分13
2-1　极限14
2-2　连续20
2-3　瞬时速度的观念22
2-4　导数27
2-5　一般函数的导数31
2-6　导数运算法则33
2-7　三角函数、对数函数和指数函数的导数40
2-8　高阶导数48
2-9　微分49
2-10　方程式的微分55
2-11　极大和极小56
2-12　偏导数和全微分62

第三章　积　分73
3-1　曲线下的面积74
3-2　反导数──不定积分78
3-3　变换变数的积分法83
3-4　部分积分87
3-5　部分分式积分90
3-6　定积分和不定积分94
3-7　重积分98
3-8　积分的应用106

第四章　向量代数117
4-1　纯量和向量118
4-2　向量的加法──几何法119
4-3　向量乘法120
4-4　几何学上的应用128
4-5　直角坐标系的向量132
4-6　三个向量乘积137
4-7　向量的应用141

第五章　向量微分149
5-1　向量微分150
5-2　空间曲线159
5-3　梯度（Gradient）171
5-4　散度（Divergence）178
5-5　旋度（curl）184
5-6　一些有用的向量恆等式189

第六章　向量积分197
6-1　线积分198
6-2　保守向量场204
6-3　面积分209
6-4　体积分214
6-5　高斯发散定理215
6-6　史托克斯定理222

第七章　正交曲线坐标231
7-1　曲线坐标232
7-2　曲线坐标的线段、体积单元235
7-3　曲线坐标的梯度、散度、旋度及散梯度239
7-4　圆球坐标245
7-5　圆柱坐标248

第八章　简易微分方程式253
8-1　定义254
8-2　一阶一次常微分方程式257
8-3　高阶线性微分方程式272
8-4　二阶线性常系数微分方程式277
8-5　二阶线性变数系数微分方程式287
8-6　二阶线性微分方程式的应用291
8-7　线性偏微分方程式297
 

序言

　　数学本身不但是一种学问，同时也是科学上的工具，如果没有数学，我们实在很难想像出目前的科学会是怎样的一种样子。因此研读自然科学的同学莫不需有良好的数学基础，就是社会科学来说也愈来愈需要数学了，在各大专院校「微积分」大概除了文学院以外都列入了必修课程。

　　就理工学院的同学来说，有一些基本课程如普通物理、普通化学，一开始就在使用微积分的观念和技巧，而正规的微积分课程可能还在起步，使得在学习上发生很大的困难，有些学校还特别开一门「基础数学」的课，先给同学一些基本的概念与方法，即使没有开课老师也会辅导同学自己看一点这方面的书籍。

　　由于大一的同学对原文书使用尚不习惯，语文的的困难阻碍了内容的吸收，笔者特地编着本书提供给大一的同学作为先修课程，本书前三章为函数及微积分基本观念及技巧，中间三章是有关向量的运算，后面是曲线座标及简易微分方程，对非数学系的同学来说只要能真正的了解本书以及熟练这些技巧，大概已有足够的数学基础来研读各专业科目了。当然在一些比较高深的课程中可能还会遇到一些比较特别的数学，但是那些数学常常可以在那时候再学习的。
 

函数是一个非常基本而且重要的观念，不但在纯数学上是重要的，在许多科学领域上更是重要而有用。
 
其实，所谓的函数用比较通俗的话来说，就是一种关系或关联，比如在一天中，每个钟头各有它的气温，这样在「时间」和「温度」间就有关系存在，这种关系便是函数。比较一般的来说，在两组「集合」间的关联就是函数，通常我们最常用的函数是两组「数量」间的关联。
 
这种关联还有一些限制才能真正叫函数，这儿我们把函数的正式定义写下来：
 
有A和B的集合，假如对于A集合的每一个元素，都可以在B集合中找到一个，而且只有一个元素和它相关联，那么，这个关联就叫做A到B的函数。A集合就称为这函数的定义域。B集合则称为这函数的值域。
 
注意到对应A集合中的一个元素，只能有一个B集合的元素，不能有两个以上，但非有一个不可。反过来说，B集合中的一个元素可能和A集合中两个以上元素相关联，所以我们不能把函数的定义域和值域换过来。换句话说，光只两集合间的关联本身不能就一定符合函数的定义，还需要规定那个是定义域，那个是值域，而且这个关联也必须符合那个单一值的规定才行。
 
比如说sin x是个三角函数，它的定义域是所有实数，它的值域是1到+1间的所有实数，你给任何实数x，就有在1到+1间的某一定值和x对应，所以sin这个关联确实是个函数，但是如果你问当sin x是某个实数时，x是多少，则答案就不只一个，所以当你把原来值域当作定义域，把原来定义域当作值域时，sin虽然也是这两组间的关联，但不符合单一值的规定，所以不符合函数的定义。（大家可以注意到定义反三角函数时，对值域有特别的规定，否则就不能算函数。）
 
现在我们知道要定义一个函数，必须要有两个集合A和B，其中一个（A）叫定义域，另一个（B）叫值域，然后有个一定的关联在，通常为了容易表示起见，在定义域A中的一个元素，我们用字母x表示，这个x就称为自变数，对于这个自变数x，根据这函数的关联一定可以在B集合找到一个元素y，y就称为是因变数。其实自变数和因变数的命名是很自然而且合理，因为x可以先在A集合中「自」由选取，然后通过函数关系，y就「因」x而在B集合中被选中了。

评分☆☆☆☆☆

天呐，我终于找到了一本能让我重新燃起对数学兴趣的宝藏！这本书，嗯，怎么说呢，它真的打破了我之前对“基础数学”固有的枯燥印象。翻开第一页，我就被它那种循序渐进的引导方式给吸引住了。那些我曾经望而生畏的抽象概念，在作者的笔下变得生动有趣，仿佛一个个沉睡的巨人被唤醒，开始展现它们迷人的魅力。尤其是在处理那些看似简单却常常出错的计算题时，作者给出的解题思路简直是醍醐灌顶。不仅仅是教你“怎么做”，更重要的是让你理解“为什么这么做”，那种根源性的理解让我每次做题都充满了自信。我记得我曾经因为一个反复出现的错误而沮丧不已，但这本书里关于这个问题的讲解，像一盏明灯，照亮了我思路的盲区，让我豁然开朗。它不是简单地堆砌公式和定理，而是巧妙地将它们融入到一个个引人入胜的例子中，让我在不知不觉中掌握了核心要点。就连那些我一直觉得非常抽象的几何图形，在这里也变得立体鲜活，我可以轻易地在脑海中勾勒出它们的形态，理解它们之间的关系。总之，如果你曾经对数学感到过一丝丝的畏惧，或者只是想让自己的数学知识体系更加扎实，那么这本书绝对是你的不二之选。它就像一位耐心而博学的老师，时刻在你身边，用最清晰、最易懂的方式，引领你探索数学的奇妙世界。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，这本书带给我的惊喜远不止一点点。它的排版设计也堪称一流，清晰明了，重点突出。我曾经看过一些数学书，密密麻麻的文字和公式让我头晕眼花，但这本书不同，它运用了大量的图示、表格和高亮标记，让知识点一目了然。我特别喜欢它在介绍新概念之后，会立即配上一系列相关的例题，并且这些例题的解答过程都非常详尽，让我能够清楚地看到每一步的思路和操作。甚至对于一些基础的计算技巧，作者也会给出非常实用的提示和建议，帮助我提高计算的准确性和效率。我记得我曾经在某个章节卡住了，感觉自己怎么也理解不了，但当我仔细研究了书中给出的每一个例题，并且尝试着自己动手去做的时候，突然就找到了突破口。这种“手把手”的教学方式，让我感觉自己不是一个人在战斗，而是有老师在背后默默地支持着我。这本书不仅是知识的传授，更是一种学习方法的启迪，让我学会如何更有效地学习数学，如何更自信地面对数学挑战。

评分☆☆☆☆☆

我必须承认，我对数学一直以来都有点“敬而远之”，总觉得它是一门高深莫测、难以企及的学科。但这本书的出现，彻底改变了我的看法。它不是那种冷冰冰的学术著作，而是充满了人情味和温度。作者在讲解每一个概念的时候，都非常注重从读者的角度出发，去思考我们可能会遇到的困难和疑问，然后有针对性地进行讲解。我尤其喜欢它在解释一些抽象概念时，会引用大量的现实生活中的例子，让我能够亲身感受到数学是如何融入到我们的日常生活中，又是如何帮助我们解决实际问题的。比如，在讲到函数的时候，作者并没有直接给出一堆公式，而是先通过一些生活中的例子，比如“打车费用与里程的关系”、“水龙头漏水速度与时间的关系”，来帮助我们建立对函数的直观认识，然后再逐步深入到数学定义。这种“润物细无声”的学习方式，让我感觉自己不是在学习数学，而是在体验数学，在与数学进行一场愉快的对话。这本书真的让我重新认识了数学，发现它原来可以如此亲切和有趣。

评分☆☆☆☆☆

说实话，我拿到这本书的时候，并没有抱太大的期望，毕竟“基础数学”这个名字听起来就有点…嗯…老套。但事实证明，我的第一印象大错特错！这本书的语言风格真的是太友好了，它没有那些令人望而生畏的专业术语，即使有，作者也会用非常通俗易懂的方式进行解释。我感觉自己就像在和一位学识渊博的朋友聊天，他在娓娓道来，把我曾经困惑不解的数学难题一一化解。那些我曾经认为非常枯燥的证明过程，在这里也变得生动有趣，作者会用一些形象的比喻来帮助我理解其中的逻辑。我记得有一次，我被一个关于概率的问题困扰了很久，书中正好有一个非常贴切的例子，通过这个例子，我茅塞顿开，不仅解决了那个具体的问题，还对概率有了更深刻的理解。而且，这本书在处理每一个知识点时，都力求做到详略得当，既不会过于简化而导致理解偏差，也不会过于繁琐而让人失去耐心。我特别欣赏它在章节末尾设置的“思考与拓展”环节，这让我有机会跳出书本的框架，去尝试解决一些更具挑战性的问题，也激发了我对数学更深层次的探索欲望。

评分☆☆☆☆☆

我必须得说，这本书的结构设计真是太绝了！它不是那种把所有内容一股脑儿地塞给你，然后让你自己去摸索的教科书。相反，它就像一个精心设计的迷宫，一步一步地引导你，让你在探索的过程中不断发现新的惊喜。我特别喜欢它在介绍新概念时，总是会先从一些非常直观、贴近生活的例子入手，然后慢慢过渡到更抽象的数学语言。这种“由表及里”的学习方式，让我感觉自己不是在被动地接受知识，而是在主动地参与到数学思维的构建过程中。而且，书中的练习题也是经过了精心编排的，从最基础的巩固练习，到一些需要思考和发散的拓展题，覆盖了各种难度和类型，能够有效地检验我是否真正掌握了所学内容。我曾经花了很长时间在一个题目上，后来发现这本书里恰好有一个类似的例子，通过对比和分析，我立刻就找到了解题的关键。这种“及时雨”般的帮助，在整本书的学习过程中屡见不鲜。我真的觉得，这本书不仅教授了数学知识，更重要的是培养了我的数学思维能力，让我学会如何分析问题，如何寻找规律，如何逻辑推理。