杨维哲高中资优数学讲义之二：代数(二版) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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资优专家杨维哲教授专为高中生编写之数学资优教材
　　◆独特杨氏风格教学法
　　◆强调内容深度与广度，讲究观念理解与活用
　　◆与理化观念相结合，具多元化学习效能

　　本书主要内容：
　　初中代数的复习
　　余数定理
　　对称式
　　实系数方程式之实根
　　方程式之复数根
　　导来式与根本定理
　　递回与点算
　　向量与定准
　　指数与对数
　　机率

好的，这里有一份关于不包含《杨维哲高中资优数学讲义之二：代数(二版)》内容的图书简介，内容详尽，力求自然流畅： --- 《经典数学思想与方法探析：从基础到前沿的思维进阶》 图书简介 本书并非聚焦于特定高中阶段的课程教材或讲义，而是致力于为所有对数学思维、逻辑构建与解决问题策略抱有浓厚兴趣的读者，提供一套宏大而深入的数学思想图景。它旨在超越特定知识点的罗列，深入探讨支撑数学大厦的那些核心的、具有普适性的思维工具和方法论。 核心主题：数学的“骨架”与“灵魂” 本书的结构围绕数学学科中几个关键的、贯穿始终的思维范式展开。我们相信，真正的数学能力并非源于对公式的死记硬背，而是对这些底层逻辑的深刻理解和灵活运用。 第一篇章：逻辑的基石与论证的艺术 本篇深入剖析了数学推理的本质。我们将从最基础的命题逻辑和谓词逻辑入手，探讨演绎推理、归纳推理和反证法等核心论证工具的运用场景和哲学基础。读者将学习如何识别逻辑谬误，如何构建严谨而无懈可击的数学证明。 重点内容解析： 我们不会停留在高中代数中的具体方程求解，而是探讨“为什么”某些证明结构是有效的。例如，在处理集合论的某些概念时，我们将详细演示如何使用皮亚诺公理或集合论公理（如ZFC的概述）来建立起整个数学体系的可靠性基础。此处侧重于抽象的逻辑框架，而非具体函数或数列的计算技巧。 第二篇章：抽象化的力量——结构与模式的识别 数学的伟大之处在于其抽象能力。本篇将带领读者领略从具体实例中提炼出普适结构的过程。我们将聚焦于抽象代数（不涉及具体环论或域论的详细计算，而是侧重于概念引入）和线性代数的几何直觉。 向量空间的概念导入： 我们将讨论什么是“空间”，什么是“基”与“维度”，并强调这些概念在不同领域（如信号处理、物理学）中的映射关系。这部分将侧重于概念的几何理解，例如，如何通过线性变换来理解矩阵的本质，而不是侧重于计算行列式或求逆矩阵的繁琐步骤。 群论的初步思想： 介绍对称性与不变性，讲解群（Group）作为一种描述变换的代数结构所蕴含的深刻意义，例如在晶体学或密码学中的应用前景。 第三篇章：分析的视野——极限、连续性与无穷的处理 本篇将探讨微积分背后的严格分析基础，但视角将更为宏观和概念化，避免陷入对特定函数的求导或积分运算。 极限的epsilon-delta定义： 详细阐述这个定义如何确保“无穷小”和“无穷大”概念的严格性，这是数学分析的真正起点。我们将探讨收敛性和发散性的判据，侧重于理论证明而非数值逼近。 拓扑思想的萌芽： 引入开集、闭集等基本拓扑概念，以理解连续性在更一般的度量空间中的推广意义。这有助于读者建立对函数行为的整体性认识。 第四篇章：离散世界的秩序——组合学与图论的思维 现代数学和计算机科学日益依赖于处理有限结构和网络关系。本篇聚焦于计数原理的精妙运用以及图论这一强大建模工具。 生成函数（Generating Functions）的魔力： 这部分将展示如何利用幂级数这一代数工具来解决复杂的计数问题，如划分问题或递推关系求解。重点在于如何构建和解释生成函数，而不是深陷于复杂的级数运算。 图论的应用模型： 探讨如何将现实世界的问题（如路线规划、网络连接）抽象为图结构，并介绍如欧拉路径、哈密顿回路等经典问题的求解思路，强调建模过程的创造性。 第五篇章：问题的解决策略与数学建模 本篇是本书实践性的总结，侧重于“如何思考”而非“计算什么”。我们将系统梳理一套行之有效的解题流程。 问题分解与简化： 学习如何将复杂问题拆解为可管理的小块，并利用降维、特例分析等手段来获取洞察。 反向工程与直觉培养： 探讨如何从期望的结论反推所需条件，并介绍如何通过构造反例（Counterexamples）来检验猜想的普遍性。 读者定位 本书面向的是对数学怀有探索精神的群体——可能是正在准备高等数学学习的优秀高中生，对数学基础理论有兴趣的大学生，或是希望回顾和深化数学思维框架的专业人士。它要求读者具备扎实的初等代数基础，但并不依赖于对高等微积分或抽象代数特定章节的预先掌握。通过阅读本书，读者将能建立起一个更加全面、结构化的数学知识体系，提升其在任何定量领域中解决复杂问题的能力。 ---

作者简介

杨维哲

　　着名的数学学者及教育家。在联考时代曾担任多次大学联考闱场闱长。
　　致力推广台语，并以台语教授数学，让人津津乐道。
　　把教书当成一门表演艺术，上课方式随性自由，自我风格强烈。

　　现职：国立台湾大学数学系名誉教授
　　学历：普林斯顿大学数学博士
　　经历：国立台湾大学数学系专任教授/系主任

第零章   初中代数的复习
二次方程式
虚根
联立一次方程的定准法
几个常用的公式
带余除法原理

第一章   余数定理
体上的多项式
带余除法
质因式分解
余数定理
共轭原理
有理函数的分项分式
因式定理与方程式

第二章   对称式
奇函数与偶函数
交错式与对称式
轮换式
Vieta 与Pascal 定理
Newton 定理
Vieta 定理的应用
诸根之初等变换
较高等的变换
自逆方程

第三章   实系数方程式之实根
实函数之连续性
笛卡尔符号律
勘根法（Horner） 

第四章   方程式之复根
复数之绝对值与辐角
Euler 的虚指数函数
DeMoivre 公式与割圆方程式
Cardano 方法
四次方程式
规矩的割圆

第五章   导来式与根本定理
微导
Taylor 展式
极限
曲线的渐近线
导数的意义
平均变化率定理
Sturm 定理
根本定理之证明
附录一   李白飞：代数学的故事
附录二   M.Kac：我如何成为一位数学家？(蔡聪明译)

第六章   递回与点算
归纳与递回
乘法原理：排列
除(乘)法原理：组合
引申
Pascal 二项式定理
差和分法基本定理
一种镜射原则

第七章   向量与定准
Gibbs 的算术
内外积的几何意义
定准：置换的奇偶性
定准式的杂题
方阵与定准的乘法
余逆与消去
滑移与扣消

第八章   指数与对数
分数指数
对数
对数概念的应用
指数函数的伸缩与平移
离散与连续
等比数列
利率

第九章   机率
频度分布
分布之代表值与参差度
Markov 与Chebyshev 不等式
两变量记述统计
机率与频度
条件机率
连续机率
资讯

习题简答
记号索引与解说
索引

附录一：代数学的故事
     
朋友，你学过代数吧！那么，请你说说看，代数学在学些什么？解方程式？对了！不过，也许你要说，那是「中学代数」嘛，人家「大学代数」学的可是什么「群」啦、「环」啦、「体」啦，一些玄而又玄的东西，哪里是解方程式呢？不错，群、环、体等抽象的代数系统，地却是近世代数所研究的对象，不过当初引进这些观念，莫不是为了要有系统地处理方程式问题。如果我们说，代数史就是解方程式的历史，也不为过。现在让我们来回顾一下代数发展的历史吧！
    
 今日的代数学并不是无中生有，从天而降的，他是有其历史渊源；抽象化和公理化的处理，并不是无谓的符号游戏，而是为了要提炼和整理一些具体的成果，以期能应用于更广的领域，这是我们所要特别强调的。

二次方程式已解之

早在数千年前，土巴比伦人和埃及人，即已着手于代数学的探索。虽然他们解决代数问题的方法，早已湮没不彰，但是，很明显的，从他们那高度发展的文明所带来的种种成就，可以看出他们对很多的代数技巧相当熟习。譬如说，规划那些规模宏大的建筑，处理浩瀚的天文资料，以及推算各种历法等，在在都必须知道解一次和二次芳成的实际知识才行。巴比伦人和埃及人的数学，具有一个共同特色，那就是「经验主义」：一些计算法则，似乎都是由经验得来。
 

评分☆☆☆☆☆

阅读《杨维哲高中资优数学讲义之二：代数(二版)》是一次非常充实和 rewarding 的经历。我之前总觉得代数很难，很多概念都像云里雾里，但这本书却以一种非常清晰、逻辑性强的方式，将代数的世界展现在我面前。作者的讲解风格非常到位，他能够恰当地把握知识点的难度，既不显得过于简单，又不至于让人望而却步。我印象特别深刻的是关于不等式组的讲解，作者不仅讲解了如何求解不等式组，还深入探讨了不等式组所代表的区域，以及如何利用这个区域来寻找最优解，这让我看到了代数在优化问题中的应用。而且，书中还提供了许多引导性的思考题，这些题目能够激发我的独立思考能力，让我主动去探索数学的奥秘。总的来说，这本书不仅帮助我掌握了代数的知识，更重要的是，它培养了我对数学的兴趣和热爱，让我觉得学习代数是一件充满乐趣的事情。

评分☆☆☆☆☆

这本书的编排和内容设计，真的达到了一个相当高的水准。我本来以为“资优数学”的讲义，会是一本充满晦涩符号和繁复证明的书籍，但《杨维哲高中资优数学讲义之二：代数(二版)》却给了我一个巨大的惊喜。作者杨维哲先生的语言风格非常亲切，他仿佛一位经验丰富的老师，耐心地引导着每一位读者。我尤其欣赏书中对数学思想的渗透，它不仅仅是传授知识，更是在培养我们分析问题、解决问题的能力。例如，在讲解方程组的求解时，作者不仅介绍了代入法和消元法，还深入探讨了矩阵在多维方程组求解中的应用，虽然对于高中生来说可能有点超前，但这种拓展性的讲解，无疑会极大地开阔我们的视野，激发我们对更高层次数学的兴趣。而且，书中对一些抽象的代数概念，比如复数，也进行了非常生动和形象的讲解，让我能够理解复数的几何意义，以及它在解决一些经典问题中的独特优势。

评分☆☆☆☆☆

对于这本书，我只能用“震撼”来形容我的感受。我一直认为代数是高中数学中比较枯燥乏味的部分，但《杨维哲高中资优数学讲义之二：代数(二版)》彻底颠覆了我的认知。作者杨维哲先生的功力深厚，他能够将复杂的代数概念，用极其清晰、生动、富有洞察力的方式呈现出来。我特别喜欢书中对函数方程部分的讲解，作者不仅仅是讲解了各种类型的函数方程，更深入地探讨了它们的性质和解法，以及它们在描述自然界和工程领域中的普遍应用。例如，书中对指数增长和衰减模型，以及周期性函数在模拟波动现象中的应用，都进行了非常精彩的讲解，让我看到了代数知识的强大生命力。而且，书中的习题设计也非常有梯度，从基础的巩固性练习，到一些需要深度思考的综合题，能够有效地提升我的解题能力和思维能力。

评分☆☆☆☆☆

这本书简直是为我量身定做的！我一直在寻找一本能够真正帮助我深入理解代数的教材，《杨维哲高中资优数学讲义之二：代数(二版)》就是我梦寐以求的那一本。作者的讲解方式非常深入，他不仅仅是告诉你“怎么做”，更重要的是告诉你“为什么这么做”。例如，在讲解多项式的性质时，作者会深入分析多项式的各项系数对函数图像的影响，以及多项式的根的分布规律，这些讲解让我对多项式有了全新的认识。书中还提供了许多有挑战性的题目，这些题目不仅考验我的解题技巧，更考验我的逻辑思维能力和创新能力。通过解决这些题目，我不仅巩固了所学的知识，更提升了自己的数学素养。我尤其欣赏书中对一些高级代数概念的引入，比如矩阵，作者用一种非常直观和易于理解的方式，将其与线性方程组联系起来，让我看到了代数在更高层面的应用潜力。

评分☆☆☆☆☆

我一直认为，学习数学的关键在于理解其背后的逻辑和思想。《杨维哲高中资优数学讲义之二：代数(二版)》完美地诠释了这一点。这本书没有给我一种“硬塞”知识的感觉，而是循序渐进地引导我进入代数的殿堂。我印象特别深刻的是关于多项式恒等式和因式定理的讲解。作者没有仅仅给出定理的结论，而是详细地展示了这些定理是如何被推导出来的，以及它们在简化代数表达式和求解方程时所起到的关键作用。书中提供的练习题，也很有针对性，能够帮助我巩固对这些概念的理解。此外，对于方程的根的性质，书中也进行了非常深入的探讨，例如韦达定理，以及它如何帮助我们快速求解方程的根，而无需直接去解出方程本身。这些技巧性的讲解，不仅提高了我的解题效率，更让我体会到了数学的精妙之处。总的来说，这本书让我感觉到，代数不再是枯燥的符号游戏，而是一种强大的思维工具。

评分☆☆☆☆☆

这本《杨维哲高中资优数学讲义之二：代数(二版)》实在是太棒了！我本来对代数一直有点畏惧，总觉得它抽象难懂，公式一大堆，但自从我开始研读这本书，我的看法彻底改变了。作者杨维哲先生用一种极其清晰、循序渐进的方式，将代数的每一个概念都剖析得淋漓尽致。一开始，我以为资优数学讲义会很难，担心自己跟不上，结果这本书从最基础的概念讲起，就像搭积木一样，一步步往上建构，让我能够扎实地掌握每一个知识点。尤其是一些我之前一直困惑的抽象概念，比如函数的概念，以及它在代数方程中的应用，作者通过生动的例子和图示，让我瞬间豁然开朗。书中对代数方程的解法，从一元一次方程到更复杂的多元方程，都进行了详尽的讲解，并且提供了大量的练习题，让我能够反复练习，巩固所学。最让我惊喜的是，书中不仅仅是罗列公式和解题技巧，更注重培养我们对代数思想的理解。它引导我们去思考为什么会有这样的公式，它的逻辑是什么，以及它在解决实际问题中的应用。这种深入的探究，让我不再是被动地记忆，而是主动地去理解和运用。读完这本书，我感觉自己对代数的掌握程度有了质的飞跃，再遇到相关的题目，我不再感到迷茫，而是能够自信地运用所学知识去解决。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，我曾经对代数充满了畏惧，总觉得它是一个由无数公式和符号组成的迷宫。但《杨维哲高中资优数学讲义之二：代数(二版)》就像一盏明灯，照亮了我通往代数理解的道路。作者的讲解方式非常独特，他善于运用比喻和类比，将抽象的数学概念具象化，让我能够轻松地理解。例如，在讲解对数运算时，作者并没有直接给出复杂的公式，而是从指数运算出发，引导我一步步理解对数的本质。书中还提供了大量的实例，让我能够看到代数在实际生活中的应用，比如在金融、工程、物理等领域。这极大地增强了我学习代数的兴趣和动力。我尤其喜欢书中对代数恒等式和方程根的深入探讨，作者不仅讲解了如何应用这些知识，更重要的是，他引导我去思考这些知识的数学意义和逻辑基础，让我能够真正地理解代数，而不是死记硬背。

评分☆☆☆☆☆

对于这本书，我的感受真的非常复杂，但总体来说，绝对是赞誉有加。我尝试过许多不同的代数教材，但很多都过于理论化，或者仅仅是罗列题型，让人感觉枯燥乏味。然而，《杨维哲高中资优数学讲义之二：代数(二版)》却完全不同。它以一种非常人性化的方式来呈现代数的世界，让我感觉自己不再是孤军奋战，而是有一个循循善诱的老师在身边指导。书中的逻辑结构设计得非常巧妙，从基础的概念铺垫，到复杂 theorems 的推导，再到实际应用的拓展，层层递进，环环相扣。每一个章节都像是一个精心设计的环节，将知识点有机地串联起来，让我能够清晰地看到代数知识体系的完整性。我特别喜欢书中对一些核心概念的深入剖析，例如多项式，以及它们之间的运算关系，作者不仅给出了定义和性质，还深入探讨了多项式的因式分解，以及如何利用因式分解来简化代数表达式，甚至解决方程。这些讲解，往往是我在其他教材中难以找到的深度。而且，书中的例题非常丰富，涵盖了各种题型和难度，从基础题到一些具有挑战性的难题，应有尽有。更重要的是，这些例题的解析都非常详细，能够帮助我理解解题思路，而不是仅仅提供一个答案。

评分☆☆☆☆☆

说实话，我拿到这本《杨维哲高中资优数学讲义之二：代数(二版)》的时候，内心是充满期待又有些许忐忑的。毕竟“资优数学”这几个字，听起来就不是寻常的难度。然而，翻开书页的那一刻，我的担忧就烟消云散了。作者的叙述风格非常独特，他并没有直接跳入深奥的理论，而是用一种引人入胜的方式，将读者带入代数的奇妙世界。就拿函数这一章节来说，我之前对函数的理解仅仅停留在y=f(x)的层面，而这本书让我看到了函数的更深层含义，它不仅仅是一个数学工具，更是一种描述关系、揭示规律的语言。书中对于函数性质的探讨，比如单调性、奇偶性、周期性等等，都进行了非常透彻的讲解，并且用了很多形象的比喻和图示，让我能够直观地理解这些抽象的概念。还有对不等式的讲解，作者不仅讲解了基本的解法，还深入探讨了不等式的性质及其在解决实际问题中的应用，让我看到了代数在解决现实世界问题时的强大力量。我尤其喜欢书中那些“拓展思考”或者“深入探究”的部分，它们往往会引导我去思考一些更深层次的问题，激发我的好奇心，让我对代数产生更浓厚的兴趣。

评分☆☆☆☆☆

阅读《杨维哲高中资优数学讲义之二：代数(二版)》是一次令人愉悦的学习经历。我之前对代数的一些概念，比如根式运算，常常感到头疼，总是在计算中出错。但这本书的讲解，让我彻底克服了这个难题。作者在讲解根式运算时，不仅详细列出了各种运算规则，还深入解释了这些规则的由来，以及它们背后的数学原理。例如，对于分数指数的理解，作者用通俗易懂的方式，将其与根式运算联系起来，让我能够更深刻地理解为什么会有那样的公式。而且，书中还提供了大量针对性的练习题，让我能够反复练习，熟练掌握各种根式运算的技巧。除了根式运算，书中对指数函数和对数函数也进行了非常精彩的讲解。作者没有停留在简单的定义和性质，而是深入探讨了它们之间的关系，以及它们在描述指数增长和衰减现象中的重要作用。通过书中大量的实例，我看到了指数函数和对数函数是如何被应用于实际问题，比如人口增长、复利计算等等，这让我对代数的实用性有了更深的认识。