具體描述
美國排名第一
紐約大學數學科學研究所
創辦人瑞赫德．庫蘭特送給高等數學人纔
一本從代數到微積分的係統性數學學習書
1941年齣版至今，仍在Amazon.com獲得4.5顆星好評
《數學是什麼？》(What is Mathematics?) 是一本為初學者和學者、學生和老師、哲學傢，和工程師而寫的數學名著。自1941年齣版以來就得到包括愛因斯坦、赫曼．外爾 (Herman Weyl) 等一代科學大師在內的一緻推崇。兩位原作者如今都已辭世，不過後繼有人。1996年在著名數學傢伊恩．史都華手中把原著中多個相關的數學主題帶到切閤當前的發展水平，因而有現在的第二版。通過平易近人，引人入勝的描述，這部閃爍齣兩代作者纔華的钜著，把「反映齣人類積極的意誌，深思熟慮的推理，以及在美學上盡善盡美的祈求」的數學世界，栩栩如生地呈現在我們眼前。《數學是什麼?》文情並茂地給我們報導瞭一個非凡的故事，為我們對數學的瞭解打開瞭一扇窗。
作者簡介
瑞赫德．庫蘭特（Richard Courant, 1888 ~ 1972）
齣生於德國，哥庭根大學數學研究所創建人，1920年至1933年期間任所長, 他在函數論和變分法方麵的發展做齣貢獻。在研究所期間與當時最負盛名的德國數學傢希爾伯特（David Hilbert, 1862~1943）建立密切的閤作關係，兩人閤寫瞭著名的Methods of Mathematical Physics一書，將數學分析運用到物理學。1933年納粹興起，他逃往美國，翌年任紐約大學數學教授，並將他在哥庭根大學的經驗在紐約大學復製。在他的領導下建立瞭美國最有聲望的應用數學研究所之一。1958年他退休時為瞭紀念他，研究所以他命名（Courant Institute of Mathematical Sciences）。他的另一本名著Differential and Integral Calculus也被譽為是現代在微積分方麵的最佳著作之一。
賀伯特．羅賓斯（Herbert Robbins, 1915 ~ 2001）
為前美國紐澤西州羅格斯大學（Rutgers University）數學教授，以拓撲學、測度理論、統計學等方麵的研究而知名。
伊恩．史都華（Ian Stewart）
是英國英格蘭渥威剋大學（University of Warwick）數學教授，在推動大眾對科學的認識方麵做齣許多貢獻。1995年獲得英國皇傢學會頒贈法拉第奬章。他的著作廣泛，其中尤以《大自然的數學遊戲》（天下齣版）、《上帝擲骰子嗎？》（八方齣版），以及被他視為可作為本書姊妹篇的From Here to Infinity為大傢所熟知。他同時為《科學人》雜誌撰寫Mathematical Recreation專欄。
譯者簡介
容士毅
1945年生，原籍廣東佛山，退休工程師，現居颱北，從事科普齣版工作，譯有《羅素的迴憶：來自記憶裏的肖像》（左岸）、《愛因斯坦》、《霍金與最終理論的尋求》（牛頓）。
著者信息
圖書目錄
第六章 函數與極限
簡介
§1. 變數與函數
1.定義和實例 2.角度之衡量：弧度 3.函數之圖形 / 反函數 4.復閤函數 5.連續 6.多個變數的函數 7.函數與變換
§2. 極限
1.序例 的極限 2.單調序例 3.一個尤拉數： 4.圓周率 5.連分數
§3. 得自連續逼近之極限
1.簡介 / 一般的定義 2.關於極限概念之論述 3. 之極限 4.隨 之極限
§4. 連續之嚴格定義
§5. 連續函數的兩個基本定理
1.波爾紮諾定理 2.波爾紮諾定理之證明 3.關於極值之維爾斯特拉斯定理 4.關於序列的一個定理 / 緊緻集閤
§6. 波爾紮諾定理之應用
1.幾何學的應用 2.一個力學問題的應用
§7. 更多關於極限的範例
1.通論 2. 之極限 3. 之極限 4.作為連續函數之極限的不連續函數 5.由迭代過程所齣之極限
§8 .關於連續的範例
第七章 極大與極小
簡介
§1.基本幾何問題
1.兩邊邊長為已知的三角形之極大麵積 2.海龍定理 / 光綫之極值特性 3.海龍定理在三角形問題上的應用 4.橢圓與雙麯綫之切綫性質及相應之極值性質 5.從一點到一已知麯綫的極端距離
§2.極值問題之基礎：一個普遍原理
1.原理 2.例題
§3.平穩點與微分學
1.極值與平穩點 2.多個變數的函數之極大與極小 / 鞍點 3.最小的極大點與拓撲學 4.從一點到一個錶麵的距離
§4.施瓦茲的三角形問題
1.施瓦茲的求證方法 2.不同的證明方法 3.鈍角三角形 4.由光綫構成的三角形 5.反射與遍曆運動的相關問題之論述
§5.斯坦納問題
1.問題與解答 2.兩種抉擇的分析 3.一個補充問題 4.特徵與運用 5.街道網路問題的推廣
§6.極值與不等式
1.兩個正值變量的算術平均數和幾何平均數 2.推廣至 個變量 3.最小平方法
§7.極值之存在性 / 狄利剋雷原理
1.緒論 2.例題 3.初等極值問題 4.較高層次的難題
§8.等周問題
§9.結閤邊界條件的極值問題 / 斯坦納問題與等周問題的關聯
§10.變分法
1.簡介 2.變分法 / 光學的費馬原理 3.伯努利對最速降綫問題的處理方式 4.球麵的測地綫 / 測地綫與最大的極小值
§11.極小問題的實驗解決 / 肥皂膜實驗
1.簡介 2.肥皂膜實驗 3.關於柏拉托問題的新型實驗 4.其它數學問題的實驗解答
第八章 微積分
簡介
§1.積分
1.麵積：一個極限 2.積分 3.積分概念的一般特徵和定義 4.積分的實例 / 的積分方法 5.「積分」規則
§2.導數
1. 導數：一個斜率 2. 導數：一個極限 3.例題 4.三角函數之導數 5.微分與連續性 6.導數與速度 / 二階導數與加速度 7.二階導數的幾何意義 8.極大值與極小值
§3.微分的技巧
§4.萊布尼茲的標誌法與「無窮小」
§5.微積分基本定理
1.基本定理 2.初步應用： , , , 之積分 3.萊布尼茲為 提齣的公式
§6.指數函數與對數
1.對數之定義與性質 / 尤拉數： 2.指數函數 3.關於 , , 之微分公式 4.以 , , 和 為極限之顯式錶示公式 5.對數之無窮級數及其數值計算
§7.微分方程
1.定義 2.指數函數之微分方程：放射性衰變、成長定律、復利 3.其它例子 / 最簡單的振動問題 4.牛頓的動力學定律
§8.原則性問題
1.可微性 2.積分 3.積分概念的其它應用：功、長度
§9.數量級
1.指數函數與 的冪數 2. 之數量級
§10.無窮級數及其乘積
1.函數之無窮級數 2.尤拉公式： 3.調和級數與 函數。尤拉關於正弦的乘積
§11.得自統計方法的質數定理
第九章 數學在近代的發展
§1.關於質數的一個公式
§2.哥德巴赫猜想與孿生質數
§3.費馬最後定理
§4.連續統假設
§5.集閤理論的標誌方法
§6.四色定理
§7.豪斯朵夫維數與碎形
§8.紐結
圖書序言
推薦序
爬上數學大廈的頂端
數學傢兼科普作傢史都華為本書修訂版寫序時，特彆指齣：「閤乎邏輯形式的數學（formal mathematics）就像拼寫與文法－－正確地使用局部性的規則。有意義的數學（meaningful mathematics）有如新聞工作－－它報導一個有趣的故事。但又不像某些新聞報導，因為它的描述一定要真實。最好的數學就像文學－－它把故事栩栩如生地帶到你的眼前，從而無論在理智上或情緒上使你捲入其中。」這個比喻堪稱是史都華的現身說法，生動地呼應瞭庫蘭特所謂的「數學作為一個有機的整體結構」之重要意義。形式數學固然重要，解題更是不遑多讓，然而，唯有類似敘事（narrative）的知識活動，纔是掌握數學整體結構的正道。
一九六七年，我進入颱灣師範大學數學係就讀時，經由翻版書而得以略窺本書內容－－比起史都華，晚瞭四年的「初體驗」。不過，由於閱讀本書相較於譬如英文版微積分教科書，顯然需要更成熟的閱讀（或數學）經驗－－對於數學主修學生而言，本書所訴求的，正如前述，絕對不僅止於解題，它的更高尚要求，乃是數學知識的結構與意義之掌握，因此，「製式學習」如我者一直無從深入。當然，缺乏勝任可靠的導讀，也是另一個主要的原因。
現在，本書有瞭認真的中譯者與編輯，再加上目前國內關數學普及閱讀活動之推廣，它的影響力絕對可以預期。其實，我在初次接觸本書大約十年後，開始有計畫地自修數學史，從而得知庫蘭特與哥廷根學派剋萊因（Felix Klein）與希爾伯特（David Hilbert）之深厚關係。這是我從數學史麵嚮，體會到庫蘭特的數學認識論的一段經曆。此外，我在颱灣師大也曾以庫蘭特的微積分與分析學著作（Introduction to Calculus and Analysis，與Fritz John閤撰）為教材，在課堂中與學生實際地分享庫蘭特的數學經驗。有瞭這兩個麵嚮的體驗之後，我還不時地迴頭重溫本書論述，充分體會其中所洋溢的傑齣數學傢之深刻洞察力。
本書範圍遍及自然數（含數論）、數係（有理數、實數與復數、代數數與超越數）、幾何作圖（或尺規作圖）與數域代數、射影幾何、公理體係與非歐幾何、拓樸學、函數與極限、極大與極小、微積分，以及史都華所增補的數學在近代的發展。本書1941年第一版目次共有八章及其補充，1995年，史都華代為增寫XI章，作為本書首版之後，二十世紀數學蓬勃發展之補充說明。綜閤上述可見，本書作者企圖運用這些概念與方法的初等進路，來說明「數學是什麼」。其中有關數係之介紹，作者納入代數數與超越數之概念，顯然意在呼應數係結構與無限集閤之關連。另外，有關幾何作圖主題之引入，則是讓解析幾何在幾何與代數之間所扮演的搭橋角色，賦予瞭更豐富的想像。同時，其中所底蘊的變換（transformation）想法，更是讓下兩章的幾何學與拓樸學之現身，顯得水到渠成。其實，根據剋萊因的埃爾蘭根提綱（Erlanger program），變換（群）作為一種具有現代性（modernity）的概念工具（conceptual tool），不僅幫助我們刻畫瞭各色各樣的幾何學（含拓樸學），而且，它也從整體結構麵嚮，大一統瞭絕大多數的幾何學。在本書中，庫蘭特具體實踐瞭剋萊因這種取精用宏的進路，非常值得愛好數學者，尤其是數學教師取法。
事實上，正如庫蘭特的期待，本書也非常適閤中學數學教師用以提升教學素養。這是因為作者注意到當時的數學教學，有一些已經退化成為解題的空洞演練，這或許有助於形式能力（formal ability）之發展，但卻無從導緻真正的理解或更大的智識獨立性。針對這一點，庫蘭特指齣：「中學的教師也許發現，在幾何作圖和極大與極小兩章的材料對校中若乾社團或優等生來說是有幫助的。」不過，正如上一段所指齣，本書第VI、V章對於中小學教師素養而言，也至關緊要，這是因為它們補全瞭結構性麵嚮（structural aspects）的數學經驗。其實，如果教師願意考慮將這些材料適當剪裁，引進至少是資優生的課堂，那麼，他們的數學本能，一定可以從平闆無趣的空洞解題活動甦醒過來，爬上結構的階梯，從頂端俯瞰數學的宏偉大廈，然後大呼「不虛此行」！
對於科普界的作者、譯者與編者來說，本書絕對是必須永遠置於案頭的參考用書。這是因為庫蘭特寫作本書的初衷，就包括瞭數學普及的考量。盡管如此，他對於內容空洞、包裝花俏的科普讀物，還是相當嚴肅地評論道：「知識之攫取不能單靠間接的手段。對數學的理解是不可能憑輕輕鬆鬆的娛樂方式來傳達，這與音樂教育無法透過最齣色的新聞報導，以傳授給那些從來沒有深入聆聽音樂的人一樣。」其實，就本書的內容與形式而言，它的主題包羅萬象，呈現手法紮實有趣，同時，作者也在自然而然的情境中，分享他們的認識論與方法論。所有這些，當然都足以降低閱讀門檻，何況各章彼此之間在內容上，有著相當程度上的互不依賴，因此，讀者盡可隨性地閱讀就是瞭。
最後，對於數學主修的學生來說，我尤其要指齣：本書誠如史都華所說的，的確是一部數學經典，因此，非常值得將它列入必須精讀的書單之一。三年前，本係大一新生仍有必修「數學導論」課程之規劃，而我當時忝為係主任，必須協助開授此一課程，遂決定採用本書為教材（本書修訂版於1996年問世）。隻有短短一個學期的時間，當然無法涵蓋太多單元，於是，我隻好盡量利用時間與學生分享數論、數係、幾何作圖以及射影幾何的一些基本概念和方法。當然，結構性麵嚮知識始終是我再三舉例說明的重點。另一方麵，如果數學主修的大四學生，有機會研讀本書，為四年所學進行一個綜閤性的迴顧或反思，那麼，他們或許可以更清楚地看到數學知識的一個比較全麵的圖像。
總之，本書是一本可以讓多方讀者各取所需的一本導論型的數學經典。一般讀者或許在乍看之下，會覺得本書納入過多技術性的細節，而不適閤一般人閱讀。這個觀察無可厚非，因為它本來所訴求的讀者並沒有「一般化」到那種程度。然而，要是讀者可以暫時忍受或撇開這些技術性的睏難，轉而投入本書內容所關連的一些認識論議題之論述，那麼，史都華針對數學知識本質所謂的「不真實的真實」(unreal reality)，就會變得鮮明而立體起來。當然，如果你有充分的耐心或訓練，足以亦步亦趨地遵循著本書論證，那麼，你還是需要在作者敘事或議論的地方，多作一點時間的駐足：再多想一下，那些論證究竟如何連結到作者所謂的數學！
何謂數學？有關這個問題的迴答，在可預見的將來，想必仍然會激發許多數學傢或科普作傢的雄心壯誌。不過，話說從頭，這部七十歲的經典，卻早已為我們樹立瞭典範！
颱灣師範大學數學係退休教授 洪萬生 2011年1月
圖書試讀
用戶評價
《數學是什麼？（下）》這本書，與其說是一本講解數學的書，不如說是一本關於“思考”的書。作者在其中反復強調，數學的魅力不僅在於其嚴謹的邏輯和強大的推理能力，更在於它能夠幫助我們建立一種清晰、有條理的思維模式。我尤其對其中關於“證明”的討論印象深刻。作者並沒有把證明當作枯燥的文字遊戲，而是將其看作是一種對真理的探索和確立的過程。他通過一些經典的幾何證明例子，展示瞭如何從已知的公理齣發，通過一步步的邏輯推導，最終得齣結論。這種過程讓我體會到，數學的證明不僅僅是為瞭“證明”，更是為瞭理解“為什麼”它成立，以及這種成立背後的深刻道理。
评分閱讀《數學是什麼？（下）》的過程，簡直是一場思維的盛宴。作者並沒有局限於單一的數學分支，而是以一種宏大的視角，將代數、幾何、概率、數論等看似獨立的領域串聯起來，展現齣數學內部精妙絕倫的聯係。我印象最深刻的是關於“對稱性”的探討，它不僅貫穿於幾何圖形的美感之中，更體現在物理學定律的優雅錶達，甚至是生物體的生長模式裏。作者用大量的插圖和簡潔的數學推導，將這種普遍存在的數學美感淋灕盡緻地展現齣來。每當我翻過一頁，都仿佛看到數學的觸角伸嚮瞭更廣闊的未知領域，讓我對這個世界有瞭更深一層的理解。這本書真的讓我打破瞭對數學的刻闆印象，原來它不僅僅是計算和公式，更是一種看待世界、理解規律的獨特視角和一種強大的思維工具。
评分這本《數學是什麼？（下）》讀下來，感覺像是與一位充滿智慧的老友在深夜促膝長談，他並沒有急於灌輸知識，而是循循善誘，引導我去探索數學那深邃而迷人的世界。整本書的敘事節奏把握得極好，總能在你感到一絲睏惑時，及時拋齣一個巧妙的比喻，或者引齣一個引人入勝的曆史典故，讓你恍然大悟，又忍不住想繼續往下挖掘。我尤其喜歡作者在講解抽象概念時，所采用的那些生動的生活化例子。比如，關於集閤論的部分，他並沒有枯燥地羅列定義和公理，而是用我們日常生活中收集郵票、分類書籍這樣細微的場景來類比，一下子就把抽象的“元素”、“集閤”這些概念變得觸手可及。這種“潤物細無聲”的教學方式，讓我感到數學不再是高高在上、難以企及的學科，而是滲透在我們生活中的方方麵麵。
评分《數學是什麼？（下）》這本書就像一個精心設計的迷宮，每當你以為自己找到瞭齣口，卻又發現前方是另一條更加引人入勝的道路。作者在引導讀者思考“為什麼”而不是僅僅“是什麼”上下瞭很大功夫。例如，在討論微積分時，他並沒有直接給齣導數和積分的公式，而是先從“變化”這個最直觀的現象入手，通過觀察物體運動的速度、麯綫的斜率等問題，一步步地引導讀者去思考如何量化和描述這些變化。這種從問題齣發，追溯根源的講解方式，讓我覺得我不是在被動地接受知識，而是在主動地參與到數學的發現過程中。這種參與感是許多數學書籍所欠缺的，也正是因為如此，這本書纔顯得如此有生命力，讓我讀來樂此不疲。
评分我一直以為，數學就是那些冷冰冰的數字和公式，但在讀瞭《數學是什麼？（下）》之後，我纔意識到數學同樣充滿瞭詩意和美感。作者在書中巧妙地運用瞭大量的類比和隱喻，將那些抽象的數學概念轉化為生動有趣的畫麵。我至今還記得，他對“函數”的講解，將之比作一個神奇的“黑箱”，你投入一個東西，它就會按照一定的規則，吐齣另一個東西。這種形象的描述，瞬間就消除瞭我對函數概念的畏懼感。而且，書中穿插的數學傢們的生平故事，也讓這些偉大的頭腦變得更加鮮活，他們的探索精神和求知欲，也深深地感染瞭我，讓我覺得自己也能在數學的世界裏找到樂趣。
评分《數學是什麼？（下）》這本書，像是一場穿越時空的數學之旅。作者以一種非常敘事化的方式，帶領我們迴顧瞭數學史上的重大發現和革命。我印象最深刻的是關於“數”的概念的演變，從最原始的計數，到負數的齣現，再到復數的誕生，每一步都充滿瞭智慧的火花和對未知的好奇。作者並沒有簡單地羅列曆史事件，而是深入挖掘瞭當時人們的思維方式和麵臨的挑戰，讓整個過程變得引人入勝。這種講述曆史的方式，讓我覺得數學的發展並非一蹴而就，而是無數先賢智慧的結晶，也讓我對數學的敬畏之情油然而生。
评分我一直認為，數學的精髓在於其“普適性”，而《數學是什麼？（下）》這本書恰恰充分地展現瞭這一點。作者在書中反復強調，數學的語言是超越國界、超越文化、超越時代的。他通過一些不同文化背景下的數學發現，以及數學在不同科學領域中的應用，嚮我們展示瞭數學作為一種通用語言的強大生命力。我特彆喜歡他對“證明”的理解，認為它不僅僅是一種邏輯工具，更是一種追求真理的信念。這種對數學本質的深刻洞察，讓我覺得這本書不僅僅是關於數學的知識，更是關於一種精神，一種探索未知、追求真理的精神。
评分坦白說，一開始我帶著一絲“看熱鬧”的心情翻開瞭《數學是什麼？（下）》，畢竟“數學是什麼”這個宏大的命題，聽起來就足夠吸引人。但閱讀過程中，我發現作者的筆觸極其細膩，他並沒有試圖用一兩個簡單的答案來“定義”數學，而是通過講述數學史上的重要事件、關鍵人物的思考曆程，來展現數學是如何一步步發展演變的。我特彆喜歡關於“無窮”的概念的解讀，作者沒有迴避其悖論和反直覺之處，而是以一種非常平和且富有啓發性的方式，帶領我們一同去“玩味”這個既熟悉又陌生的概念。這種對待復雜問題的審慎態度，以及對讀者智力挑戰的尊重，讓我對作者充滿瞭敬意。
评分讀完《數學是什麼？（下）》，我有一種醍醐灌頂的感覺。作者並沒有直接告訴你數學是什麼，而是通過層層剝繭，引導你去發現數學的本質。我尤其對書中關於“數學模型”的討論印象深刻。作者通過一係列的例子，展示瞭如何用數學的語言來描述和理解現實世界中的各種現象，從經濟的波動到人口的增長，再到天體的運行。他強調，數學模型並非對現實世界的完全復製，而是對核心規律的抽象和提煉。這種對模型局限性的清晰認知，讓我覺得數學更加真實和可靠，也更懂得如何去運用它。
评分《數學是什麼？（下）》這本書，給我最大的感受就是其“包容性”。作者並沒有局限於某一特定的數學流派，而是以一種開放的姿態，將不同領域、不同時期的數學思想融會貫通。我尤其欣賞他對“不確定性”和“隨機性”的探討，這部分內容讓我看到瞭數學在應對現實世界復雜性和不可預測性方麵的強大力量。從統計學的應用到概率論的奇妙世界，作者都用通俗易懂的語言，結閤實際案例，為我們揭示瞭數學如何幫助我們理解和預測“風險”。這種將抽象理論與現實生活緊密結閤的講解方式，讓我覺得數學不再是象牙塔裏的學問，而是與我們每個人息息相關的實用工具。
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