数学是什么？（下） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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原文作者： Richard Courant, Herbert Robbins, Ian Stewart

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美国排名第一
纽约大学数学科学研究所
创办人瑞赫德．库兰特送给高等数学人才
一本从代数到微积分的系统性数学学习书
1941年出版至今，仍在Amazon.com获得4.5颗星好评

　　《数学是什么？》(What is Mathematics?) 是一本为初学者和学者、学生和老师、哲学家，和工程师而写的数学名着。自1941年出版以来就得到包括爱因斯坦、赫曼．外尔 (Herman Weyl) 等一代科学大师在内的一致推崇。两位原作者如今都已辞世，不过后继有人。1996年在着名数学家伊恩．史都华手中把原着中多个相关的数学主题带到切合当前的发展水平，因而有现在的第二版。通过平易近人，引人入胜的描述，这部闪烁出两代作者才华的鉅着，把「反映出人类积极的意志，深思熟虑的推理，以及在美学上尽善尽美的祈求」的数学世界，栩栩如生地呈现在我们眼前。《数学是什么?》文情并茂地给我们报导了一个非凡的故事，为我们对数学的了解打开了一扇窗。

作者简介

瑞赫德．库兰特（Richard Courant, 1888 ~ 1972）

　　出生于德国，哥庭根大学数学研究所创建人，1920年至1933年期间任所长, 他在函数论和变分法方面的发展做出贡献。在研究所期间与当时最负盛名的德国数学家希尔伯特（David Hilbert, 1862~1943）建立密切的合作关系，两人合写了着名的Methods of Mathematical Physics一书，将数学分析运用到物理学。1933年纳粹兴起，他逃往美国，翌年任纽约大学数学教授，并将他在哥庭根大学的经验在纽约大学复制。在他的领导下建立了美国最有声望的应用数学研究所之一。1958年他退休时为了纪念他，研究所以他命名（Courant Institute of Mathematical Sciences）。他的另一本名着Differential and Integral Calculus也被誉为是现代在微积分方面的最佳着作之一。

贺伯特．罗宾斯（Herbert Robbins, 1915 ~ 2001）

　　为前美国纽泽西州罗格斯大学（Rutgers University）数学教授，以拓扑学、测度理论、统计学等方面的研究而知名。

伊恩．史都华（Ian Stewart）

　　是英国英格兰渥威克大学（University of Warwick）数学教授，在推动大众对科学的认识方面做出许多贡献。1995年获得英国皇家学会颁赠法拉第奖章。他的着作广泛，其中尤以《大自然的数学游戏》（天下出版）、《上帝掷骰子吗？》（八方出版），以及被他视为可作为本书姊妹篇的From Here to Infinity为大家所熟知。他同时为《科学人》杂志撰写Mathematical Recreation专栏。

译者简介

容士毅

　　1945年生，原籍广东佛山，退休工程师，现居台北，从事科普出版工作，译有《罗素的回忆：来自记忆里的肖像》（左岸）、《爱因斯坦》、《霍金与最终理论的寻求》（牛顿）。

探寻未知领域：一个关于“时间之谜”的史诗级叙事 书名：《永恒的回响：宇宙图景与存在的悖论》 作者： （此处留空，以增加神秘感与想象空间） --- 图书简介： 《永恒的回响：宇宙图景与存在的悖论》并非一部传统的物理学教科书，亦非晦涩难懂的哲学思辨录。它是一次横跨已知科学边界，深入人类意识核心的宏大探险。本书以一个看似简单却困扰了人类数千年的核心问题为引子——“时间”究竟是宇宙的基本结构，还是心智的幻觉？——构建了一个由多个相互关联的叙事层叠而成的复杂结构。 本书的核心目标，在于解构我们习以为常的“线性时间观”，并以一种高度文学化和具象化的语言，引导读者穿越时空交织的迷宫，抵达那些被主流科学语境所忽视的、关于“当下”与“永恒”的边缘地带。 第一部分：坍缩的维度——古典物理学的黄昏与新视界的曙光 在本书的开篇，作者以极其细腻的笔触描绘了经典力学框架下，时间所扮演的坚定、不可逆转的角色。牛顿的绝对时间观，如何如同一个公正的钟表匠，精确地计量着宇宙的每一次运动。然而，随着描述的深入，场景悄然转向爱因斯坦的相对论领域。 我们不再仅仅是旁观者，而是成为了时空结构的一部分。作者通过一系列富有启发性的思想实验（例如，一个在黑洞边缘徘徊的宇航员，与地球上等待的人之间的生命流速差异），将抽象的数学概念转化为读者可以“触摸”到的感知。这里，时间不再是恒定的背景，而成为了可弯曲、可拉伸的物质。本书深入探讨了“时间膨胀”的现象，但更着重于探讨这种膨胀对“因果律”的微妙侵蚀——如果未来可以被看到，那么自由意志的基石是否正在动摇？ 第二部分：量子的低语——叠加态中的“此刻” 旅程在第二部分急转直下，进入了量子力学的深渊。在这里，时间的概念面临着最剧烈的挑战。薛定谔的猫，不再仅仅是关于观测前后的不确定性，而是关于“可能性的矩阵”在哪个时间点上坍缩成我们所感知的“实在”。 作者巧妙地引入了“退相干理论”，并将其与人类记忆的形成过程进行类比。我们如何“选择”历史？我们所体验的“现在”，是否只是一个高度选择性的信息过滤系统，将那些不符合我们内在逻辑的“其他时间线”排除在外？本书大胆推测，也许时间并非从过去流向未来，而是“信息复杂度”在不同维度间的有序或无序的重组。我们感知的“流逝”，可能是宇宙为了维持信息结构的有效性而设置的一种必要幻觉。 第三部分：循环与螺旋——古代智慧与现代宇宙论的交汇 本书的中间部分，是对历史与神话的深度挖掘，旨在寻找现代科学在描述时间时的“盲区”。作者追溯了古希腊的“永恒轮回”思想、印度教中的“劫”（Kalpa）概念，以及玛雅历法的精妙结构。 这些古老的系统，往往将时间视为一种非线性的、具有周期性的力量。作者将这些概念与现代的“大爆炸-大挤压”（Big Crunch）宇宙模型，以及新兴的“多元宇宙”理论并置比较。如果宇宙是周期性循环的，那么我们所经历的“线性历史”只是一个更大、更宏伟循环中的一个微小片段。这种视角迫使读者思考：是否存在一个“元时间”，它以一种我们无法察觉的方式，记录着所有可能发生和已经发生的一切？ 第四部分：意识的锚点——心智对现实的塑造力 这是本书最具争议性也最引人入胜的部分。作者提出，人类对时间的感知，并非被动接收的物理信号，而是主动构建的认知框架。 我们对“过去”的记忆是可塑的，对“未来”的期望是驱动行为的引擎。如果“时间”是一个为了让有限的生命能够有效运作而必需的“导航工具”，那么当意识达到某种超越性的状态（例如深度冥想或临死体验）时，这种工具是否会被暂时关闭？书中引用了神经科学中关于“时间感知失调”的案例，并将其提升到哲学层面：我们所感知的“一秒”和另一人的“一秒”，在本质上是否共享同一份物理真实？ 作者挑战性地描绘了一个情景：如果所有生命体突然丧失了对“过去”的记忆，我们是否还会像现在这样，相信时间的单向性？换言之，时间是我们存在的必要条件，还是我们强加于存在之上的秩序？ 第五部分：回响与未来——时间的非物质化 在最终章，作者将所有的线索汇聚一处，提出了一个大胆的、非物质化的时间观。本书不再追求找到一个“时间粒子”或一个“时间场”，而是主张时间是宇宙结构中“信息熵差”的体现。 我们所认为的“未来”，不过是概率云在当前时刻的展开。我们所认为的“过去”，则是信息被固定和不可逆转地写入宇宙记录中的状态。当信息达到最大化或最小化（即达到热寂或再次奇点爆发），时间的体验将趋于零。 《永恒的回响》最终引导读者超越对“钟表时间”的执着，去体验一种“存在的时间”——一种超越线性限制，与万物共振的、深邃而永恒的“此刻”。本书是一封写给所有对宇宙终极奥秘感到好奇的人的邀请函，它承诺的不是简单的答案，而是一场思维的彻底重塑。阅读此书，你将不再只是“度过时间”，而是开始“理解时间”本身。

第六章　函数与极限
简介
§1. 变数与函数
1.定义和实例　2.角度之衡量：弧度　3.函数之图形 / 反函数　4.复合函数　5.连续　6.多个变数的函数　7.函数与变换
§2. 极限
1.序例 的极限　2.单调序例　3.一个尤拉数： 　4.圆周率 　5.连分数
§3. 得自连续逼近之极限
1.简介 / 一般的定义　2.关于极限概念之论述　3. 之极限　4.随 之极限
§4. 连续之严格定义
§5. 连续函数的两个基本定理
1.波尔扎诺定理　2.波尔扎诺定理之证明　3.关于极值之维尔斯特拉斯定理　4.关于序列的一个定理 / 紧致集合
§6. 波尔扎诺定理之应用
1.几何学的应用　2.一个力学问题的应用
§7. 更多关于极限的范例
1.通论　2. 之极限　3. 之极限　4.作为连续函数之极限的不连续函数　5.由迭代过程所出之极限
§8 .关于连续的范例

第七章　极大与极小
简介
§1.基本几何问题
1.两边边长为已知的三角形之极大面积　2.海龙定理 / 光线之极值特性　3.海龙定理在三角形问题上的应用　4.椭圆与双曲线之切线性质及相应之极值性质　5.从一点到一已知曲线的极端距离
§2.极值问题之基础：一个普遍原理
1.原理　2.例题
§3.平稳点与微分学
1.极值与平稳点　2.多个变数的函数之极大与极小 / 鞍点　3.最小的极大点与拓扑学　4.从一点到一个表面的距离
§4.施瓦兹的三角形问题
1.施瓦兹的求证方法　2.不同的证明方法　3.钝角三角形　4.由光线构成的三角形　5.反射与遍历运动的相关问题之论述
§5.斯坦纳问题
1.问题与解答　2.两种抉择的分析　3.一个补充问题　4.特征与运用　5.街道网路问题的推广
§6.极值与不等式
1.两个正值变量的算术平均数和几何平均数　2.推广至 个变量　3.最小平方法
§7.极值之存在性 / 狄利克雷原理
1.绪论　2.例题　3.初等极值问题　4.较高层次的难题
§8.等周问题
§9.结合边界条件的极值问题 / 斯坦纳问题与等周问题的关联
§10.变分法
1.简介　2.变分法 / 光学的费马原理　3.伯努利对最速降线问题的处理方式　4.球面的测地线 / 测地线与最大的极小值
§11.极小问题的实验解决 / 肥皂膜实验
1.简介　2.肥皂膜实验　3.关于柏拉托问题的新型实验　4.其它数学问题的实验解答

第八章　微积分
简介
§1.积分
1.面积：一个极限　2.积分　3.积分概念的一般特征和定义　4.积分的实例 / 的积分方法　5.「积分」规则
§2.导数
1. 导数：一个斜率　2. 导数：一个极限　3.例题　4.三角函数之导数　5.微分与连续性　6.导数与速度 / 二阶导数与加速度　7.二阶导数的几何意义　8.极大值与极小值
§3.微分的技巧
§4.莱布尼兹的标志法与「无穷小」
§5.微积分基本定理
1.基本定理　2.初步应用： , , , 之积分　3.莱布尼兹为 提出的公式
§6.指数函数与对数
1.对数之定义与性质 / 尤拉数： 　2.指数函数　3.关于 , , 之微分公式　4.以 , , 和 为极限之显式表示公式　5.对数之无穷级数及其数值计算
§7.微分方程
1.定义　2.指数函数之微分方程：放射性衰变、成长定律、复利　3.其它例子 / 最简单的振动问题　4.牛顿的动力学定律
§8.原则性问题
1.可微性　2.积分　3.积分概念的其它应用：功、长度
§9.数量级
1.指数函数与 的幂数　2. 之数量级
§10.无穷级数及其乘积
1.函数之无穷级数　2.尤拉公式： 　3.调和级数与 函数。尤拉关于正弦的乘积
§11.得自统计方法的质数定理

第九章　数学在近代的发展
§1.关于质数的一个公式
§2.哥德巴赫猜想与孪生质数
§3.费马最后定理
§4.连续统假设
§5.集合理论的标志方法
§6.四色定理
§7.豪斯朵夫维数与碎形
§8.纽结

推荐序

爬上数学大厦的顶端

　　数学家兼科普作家史都华为本书修订版写序时，特别指出：「合乎逻辑形式的数学（formal mathematics）就像拼写与文法－－正确地使用局部性的规则。有意义的数学（meaningful mathematics）有如新闻工作－－它报导一个有趣的故事。但又不像某些新闻报导，因为它的描述一定要真实。最好的数学就像文学－－它把故事栩栩如生地带到你的眼前，从而无论在理智上或情绪上使你卷入其中。」这个比喻堪称是史都华的现身说法，生动地唿应了库兰特所谓的「数学作为一个有机的整体结构」之重要意义。形式数学固然重要，解题更是不遑多让，然而，唯有类似叙事（narrative）的知识活动，才是掌握数学整体结构的正道。

　　一九六七年，我进入台湾师范大学数学系就读时，经由翻版书而得以略窥本书内容－－比起史都华，晚了四年的「初体验」。不过，由于阅读本书相较于譬如英文版微积分教科书，显然需要更成熟的阅读（或数学）经验－－对于数学主修学生而言，本书所诉求的，正如前述，绝对不仅止于解题，它的更高尚要求，乃是数学知识的结构与意义之掌握，因此，「制式学习」如我者一直无从深入。当然，缺乏胜任可靠的导读，也是另一个主要的原因。

　　现在，本书有了认真的中译者与编辑，再加上目前国内关数学普及阅读活动之推广，它的影响力绝对可以预期。其实，我在初次接触本书大约十年后，开始有计画地自修数学史，从而得知库兰特与哥廷根学派克莱因（Felix Klein）与希尔伯特（David Hilbert）之深厚关系。这是我从数学史面向，体会到库兰特的数学认识论的一段经历。此外，我在台湾师大也曾以库兰特的微积分与分析学着作（Introduction to Calculus and Analysis，与Fritz John合撰）为教材，在课堂中与学生实际地分享库兰特的数学经验。有了这两个面向的体验之后，我还不时地回头重温本书论述，充分体会其中所洋溢的杰出数学家之深刻洞察力。

　　本书范围遍及自然数（含数论）、数系（有理数、实数与复数、代数数与超越数）、几何作图（或尺规作图）与数域代数、射影几何、公理体系与非欧几何、拓朴学、函数与极限、极大与极小、微积分，以及史都华所增补的数学在近代的发展。本书1941年第一版目次共有八章及其补充，1995年，史都华代为增写XI章，作为本书首版之后，二十世纪数学蓬勃发展之补充说明。综合上述可见，本书作者企图运用这些概念与方法的初等进路，来说明「数学是什么」。其中有关数系之介绍，作者纳入代数数与超越数之概念，显然意在唿应数系结构与无限集合之关连。另外，有关几何作图主题之引入，则是让解析几何在几何与代数之间所扮演的搭桥角色，赋予了更丰富的想像。同时，其中所底蕴的变换（transformation）想法，更是让下两章的几何学与拓朴学之现身，显得水到渠成。其实，根据克莱因的埃尔兰根提纲（Erlanger program），变换（群）作为一种具有现代性（modernity）的概念工具（conceptual tool），不仅帮助我们刻画了各色各样的几何学（含拓朴学），而且，它也从整体结构面向，大一统了绝大多数的几何学。在本书中，库兰特具体实践了克莱因这种取精用宏的进路，非常值得爱好数学者，尤其是数学教师取法。

　　事实上，正如库兰特的期待，本书也非常适合中学数学教师用以提升教学素养。这是因为作者注意到当时的数学教学，有一些已经退化成为解题的空洞演练，这或许有助于形式能力（formal ability）之发展，但却无从导致真正的理解或更大的智识独立性。针对这一点，库兰特指出：「中学的教师也许发现，在几何作图和极大与极小两章的材料对校中若干社团或优等生来说是有帮助的。」不过，正如上一段所指出，本书第VI、V章对于中小学教师素养而言，也至关紧要，这是因为它们补全了结构性面向（structural aspects）的数学经验。其实，如果教师愿意考虑将这些材料适当剪裁，引进至少是资优生的课堂，那么，他们的数学本能，一定可以从平板无趣的空洞解题活动甦醒过来，爬上结构的阶梯，从顶端俯瞰数学的宏伟大厦，然后大唿「不虚此行」！

　　对于科普界的作者、译者与编者来说，本书绝对是必须永远置于案头的参考用书。这是因为库兰特写作本书的初衷，就包括了数学普及的考量。尽管如此，他对于内容空洞、包装花俏的科普读物，还是相当严肃地评论道：「知识之攫取不能单靠间接的手段。对数学的理解是不可能凭轻轻松松的娱乐方式来传达，这与音乐教育无法透过最出色的新闻报导，以传授给那些从来没有深入聆听音乐的人一样。」其实，就本书的内容与形式而言，它的主题包罗万象，呈现手法扎实有趣，同时，作者也在自然而然的情境中，分享他们的认识论与方法论。所有这些，当然都足以降低阅读门槛，何况各章彼此之间在内容上，有着相当程度上的互不依赖，因此，读者尽可随性地阅读就是了。

　　最后，对于数学主修的学生来说，我尤其要指出：本书诚如史都华所说的，的确是一部数学经典，因此，非常值得将它列入必须精读的书单之一。三年前，本系大一新生仍有必修「数学导论」课程之规划，而我当时忝为系主任，必须协助开授此一课程，遂决定採用本书为教材（本书修订版于1996年问世）。只有短短一个学期的时间，当然无法涵盖太多单元，于是，我只好尽量利用时间与学生分享数论、数系、几何作图以及射影几何的一些基本概念和方法。当然，结构性面向知识始终是我再三举例说明的重点。另一方面，如果数学主修的大四学生，有机会研读本书，为四年所学进行一个综合性的回顾或反思，那么，他们或许可以更清楚地看到数学知识的一个比较全面的图像。

　　总之，本书是一本可以让多方读者各取所需的一本导论型的数学经典。一般读者或许在乍看之下，会觉得本书纳入过多技术性的细节，而不适合一般人阅读。这个观察无可厚非，因为它本来所诉求的读者并没有「一般化」到那种程度。然而，要是读者可以暂时忍受或撇开这些技术性的困难，转而投入本书内容所关连的一些认识论议题之论述，那么，史都华针对数学知识本质所谓的「不真实的真实」(unreal reality)，就会变得鲜明而立体起来。当然，如果你有充分的耐心或训练，足以亦步亦趋地遵循着本书论证，那么，你还是需要在作者叙事或议论的地方，多作一点时间的驻足：再多想一下，那些论证究竟如何连结到作者所谓的数学！

　　何谓数学？有关这个问题的回答，在可预见的将来，想必仍然会激发许多数学家或科普作家的雄心壮志。不过，话说从头，这部七十岁的经典，却早已为我们树立了典范！

台湾师范大学数学系退休教授　洪万生　2011年1月

评分☆☆☆☆☆

读完《数学是什么？（下）》，我有一种醍醐灌顶的感觉。作者并没有直接告诉你数学是什么，而是通过层层剥茧，引导你去发现数学的本质。我尤其对书中关于“数学模型”的讨论印象深刻。作者通过一系列的例子，展示了如何用数学的语言来描述和理解现实世界中的各种现象，从经济的波动到人口的增长，再到天体的运行。他强调，数学模型并非对现实世界的完全复制，而是对核心规律的抽象和提炼。这种对模型局限性的清晰认知，让我觉得数学更加真实和可靠，也更懂得如何去运用它。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，一开始我带着一丝“看热闹”的心情翻开了《数学是什么？（下）》，毕竟“数学是什么”这个宏大的命题，听起来就足够吸引人。但阅读过程中，我发现作者的笔触极其细腻，他并没有试图用一两个简单的答案来“定义”数学，而是通过讲述数学史上的重要事件、关键人物的思考历程，来展现数学是如何一步步发展演变的。我特别喜欢关于“无穷”的概念的解读，作者没有回避其悖论和反直觉之处，而是以一种非常平和且富有启发性的方式，带领我们一同去“玩味”这个既熟悉又陌生的概念。这种对待复杂问题的审慎态度，以及对读者智力挑战的尊重，让我对作者充满了敬意。

评分☆☆☆☆☆

我一直以为，数学就是那些冷冰冰的数字和公式，但在读了《数学是什么？（下）》之后，我才意识到数学同样充满了诗意和美感。作者在书中巧妙地运用了大量的类比和隐喻，将那些抽象的数学概念转化为生动有趣的画面。我至今还记得，他对“函数”的讲解，将之比作一个神奇的“黑箱”，你投入一个东西，它就会按照一定的规则，吐出另一个东西。这种形象的描述，瞬间就消除了我对函数概念的畏惧感。而且，书中穿插的数学家们的生平故事，也让这些伟大的头脑变得更加鲜活，他们的探索精神和求知欲，也深深地感染了我，让我觉得自己也能在数学的世界里找到乐趣。

评分☆☆☆☆☆

《数学是什么？（下）》这本书就像一个精心设计的迷宫，每当你以为自己找到了出口，却又发现前方是另一条更加引人入胜的道路。作者在引导读者思考“为什么”而不是仅仅“是什么”上下了很大功夫。例如，在讨论微积分时，他并没有直接给出导数和积分的公式，而是先从“变化”这个最直观的现象入手，通过观察物体运动的速度、曲线的斜率等问题，一步步地引导读者去思考如何量化和描述这些变化。这种从问题出发，追溯根源的讲解方式，让我觉得我不是在被动地接受知识，而是在主动地参与到数学的发现过程中。这种参与感是许多数学书籍所欠缺的，也正是因为如此，这本书才显得如此有生命力，让我读来乐此不疲。

评分☆☆☆☆☆

这本《数学是什么？（下）》读下来，感觉像是与一位充满智慧的老友在深夜促膝长谈，他并没有急于灌输知识，而是循循善诱，引导我去探索数学那深邃而迷人的世界。整本书的叙事节奏把握得极好，总能在你感到一丝困惑时，及时抛出一个巧妙的比喻，或者引出一个引人入胜的历史典故，让你恍然大悟，又忍不住想继续往下挖掘。我尤其喜欢作者在讲解抽象概念时，所采用的那些生动的生活化例子。比如，关于集合论的部分，他并没有枯燥地罗列定义和公理，而是用我们日常生活中收集邮票、分类书籍这样细微的场景来类比，一下子就把抽象的“元素”、“集合”这些概念变得触手可及。这种“润物细无声”的教学方式，让我感到数学不再是高高在上、难以企及的学科，而是渗透在我们生活中的方方面面。

评分☆☆☆☆☆

《数学是什么？（下）》这本书，与其说是一本讲解数学的书，不如说是一本关于“思考”的书。作者在其中反复强调，数学的魅力不仅在于其严谨的逻辑和强大的推理能力，更在于它能够帮助我们建立一种清晰、有条理的思维模式。我尤其对其中关于“证明”的讨论印象深刻。作者并没有把证明当作枯燥的文字游戏，而是将其看作是一种对真理的探索和确立的过程。他通过一些经典的几何证明例子，展示了如何从已知的公理出发，通过一步步的逻辑推导，最终得出结论。这种过程让我体会到，数学的证明不仅仅是为了“证明”，更是为了理解“为什么”它成立，以及这种成立背后的深刻道理。

评分☆☆☆☆☆

《数学是什么？（下）》这本书，给我最大的感受就是其“包容性”。作者并没有局限于某一特定的数学流派，而是以一种开放的姿态，将不同领域、不同时期的数学思想融会贯通。我尤其欣赏他对“不确定性”和“随机性”的探讨，这部分内容让我看到了数学在应对现实世界复杂性和不可预测性方面的强大力量。从统计学的应用到概率论的奇妙世界，作者都用通俗易懂的语言，结合实际案例，为我们揭示了数学如何帮助我们理解和预测“风险”。这种将抽象理论与现实生活紧密结合的讲解方式，让我觉得数学不再是象牙塔里的学问，而是与我们每个人息息相关的实用工具。

评分☆☆☆☆☆

我一直认为，数学的精髓在于其“普适性”，而《数学是什么？（下）》这本书恰恰充分地展现了这一点。作者在书中反复强调，数学的语言是超越国界、超越文化、超越时代的。他通过一些不同文化背景下的数学发现，以及数学在不同科学领域中的应用，向我们展示了数学作为一种通用语言的强大生命力。我特别喜欢他对“证明”的理解，认为它不仅仅是一种逻辑工具，更是一种追求真理的信念。这种对数学本质的深刻洞察，让我觉得这本书不仅仅是关于数学的知识，更是关于一种精神，一种探索未知、追求真理的精神。

评分☆☆☆☆☆

阅读《数学是什么？（下）》的过程，简直是一场思维的盛宴。作者并没有局限于单一的数学分支，而是以一种宏大的视角，将代数、几何、概率、数论等看似独立的领域串联起来，展现出数学内部精妙绝伦的联系。我印象最深刻的是关于“对称性”的探讨，它不仅贯穿于几何图形的美感之中，更体现在物理学定律的优雅表达，甚至是生物体的生长模式里。作者用大量的插图和简洁的数学推导，将这种普遍存在的数学美感淋漓尽致地展现出来。每当我翻过一页，都仿佛看到数学的触角伸向了更广阔的未知领域，让我对这个世界有了更深一层的理解。这本书真的让我打破了对数学的刻板印象，原来它不仅仅是计算和公式，更是一种看待世界、理解规律的独特视角和一种强大的思维工具。

评分☆☆☆☆☆

《数学是什么？（下）》这本书，像是一场穿越时空的数学之旅。作者以一种非常叙事化的方式，带领我们回顾了数学史上的重大发现和革命。我印象最深刻的是关于“数”的概念的演变，从最原始的计数，到负数的出现，再到复数的诞生，每一步都充满了智慧的火花和对未知的好奇。作者并没有简单地罗列历史事件，而是深入挖掘了当时人们的思维方式和面临的挑战，让整个过程变得引人入胜。这种讲述历史的方式，让我觉得数学的发展并非一蹴而就，而是无数先贤智慧的结晶，也让我对数学的敬畏之情油然而生。